SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG TRỊ

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 02 trang)
Thời gian làm bài: 150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
2

2

1
1
Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức A   x 2  2   2  x    3 : x 2  x  1 với x  0 .
x 
x


a) Rủt gọn biếu thức A .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .





Câu 2. (5,0 điểm)
 x2  y 2  x  3

1. Giải hệ phương trình 

2
3xy  y  y  3

2. Cho a, b, c là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng trong ba phương
trình sau, có ít nhất một phương trình có nghiệm:
x2  2ax  bc  1  0, x2  2bx  ca  1  0, x2  2cx  ab  1  0.

Câu 3. (3,0 điểm)
1. Cho các số nguyên x, y thỏa mân 2 x2  y 2  1 . Chứng minh xy  x 2  y 2  chia hết cho
40 .
2. Một giải cầu lông có n(n  2) vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn
một lượt (hai vận động viên bất kỷ thi đấu vởi nhau đúng một trận, không có kết quả
hòa). Chứng minh rằng tổng các bình phương số trận thắng và tổng các bình phương
số trận thua của các vận động viên là bằng nhau.
Câu 4. (6,0 điểm)Cho tam giác nhọn ABC( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O), AD là
đường cao ( D  BC ) . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên A C và A B.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
b) Đường tròn đường kính AD cắt (O) tại điểm thứ hai là M (M khác A) . Chứng minh
MD là phân giác của góc FMC .
c) Chứng minh đường thẳng MD, đường trung trực của BC và đường trung trực của
EF đồng quy.
Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  1 . Chứng
minh

a

2







 1 b2  1 c 2  1 

64
27

Lời giải
2

2

1
1
Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức A   x 2  2   2  x    3 :  x 2  x  1 với x  0 .
x
x




a) Rủt gọn biếu thức A .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
Lời giải





Câu 2. (5,0 điểm)
 x2  y 2  x  3

1. Giải hệ phương trình 

2
3xy  y  y  3

2. Cho a, b, c là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng trong ba phương
trình sau, có ít nhất một phương trình có nghiệm:
x2  2ax  bc  1  0, x2  2bx  ca  1  0, x2  2cx  ab  1  0.

Lời giải
 x2  y 2  x  3

( x  y )2  2 xy  x  3
. Cộng cả 2 phương trình lại tính

2
2
3
xy

y

y

3
3
xy

y

y

3



a) Ta có 

được x theo y rồi suy ra kết quả.
b) Giả sử a>b>c và cả 3 phương trình đều vô nghiệm.Xét phương trình thứ 3
có: a2  ac  1  a(a  c)  1 (vô lí vì a>c và a,c nguyên) . Vậy ta có đpcm.
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Cho các số nguyên x, y thỏa mân 2 x2  y 2  1 . Chứng minh xy  x 2  y 2  chia hết cho
40 .
2. Một giải cầu lông có n(n  2) vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn
một lượt (hai vận động viên bất kỷ thi đấu vởi nhau đúng một trận, không có kết quả
hòa). Chứng minh rằng tổng các bình phương số trận thắng và tổng các bình phương
số trận thua của các vận động viên là bằng nhau.
Lời giải
Câu 3.
1. Ta có 2 x2  y 2  1 (∗).Dễ thấy y lẻ ⇒ y 2 ≡1(mod4).
Nếu x chẵn thì x 2 ≡1(mod0)⇒ 2x2  y 2 ≡−3(mod4) không thoả mãn (∗).
Do đó x lẻ. Khi đó (∗)⇔ x2  y 2  1  x2  ( x 1)( x  1) . Vì (x−1)(x+1) là tích hai số
nguyên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8. Do đó xy  x 2  y 2  chia hết cho 8.
(1)
Xét TH x hoặc y chia hết cho 5 hoặc cả x và y có cùng số dư khi chia cho 5. Khi đó dễ
dàng chứng minh được xy  x 2  y 2  chia hết cho 5.
Xét TH x và y không có cùng số dư khi chia cho 5 và không có số nào chia hết cho 5.
Khi đó x 2 và y 2 chia 5 dư 1 hoặc 4. Xét TH x 2 dư 1, y 2 chia 5 dư 4 và TH x 2 chia 5
dư 4, y 2 chia 5 dư 1 đều không thoả mãn (∗).
Do đó xy  x 2  y 2  chia hết cho 5.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra xy  x 2  y 2  chia hết cho 40 (đpcm).
b) Mỗi người đều chơi n trận với n người khác và không có trận hòa
Do đó: x1  y1  x2  y2  ...  xn  yn  n . Mà tổng số trận thắng của mọi người bằng tổng
số trận thua do đó: x1  x2  ...  xn  y1  y2  ...  yn
Xét: x12  ...  xn2  ( y12  ...  yn2 )  n( x1  x2  ...  xn  y1  y2  ...  yn )  0
Nên có đpcm.

Câu 4. (6,0 điểm)Cho tam giác nhọn ABC( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O), AD là
đường cao ( D  BC ) . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên A C và A B.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
b) Đường tròn đường kính AD cắt (O) tại điểm thứ hai là M (M khác A) . Chứng minh
MD là phân giác của góc FMC .
c) Chứng minh đường thẳng MD, đường trung trực của BC và đường trung trực của
EF đồng quy.
Lời giải

a)Dễ dàng chứng minh được AF.AB=AE.AC= AD2 , từ đây suy ra được tứ giác BCEF
nội tiếp.
b) Tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn đường kính AD (do ∠AFD=∠AED=90), từ đó
suy ra được A,M,F,D,E cùng thuộc một đường tròn. Gọi T là giao điểm thứ hai
của MD với (O). Dễ thấy ∠TMA=∠DMA=90 nên suy ra được AT là đường kính
của (O). Khi
đó:∠TMC=∠TAC=90−∠ATC=90−∠ABC=90−∠ABD=∠BAD≡∠FAD=∠FMD, do
đó MD là phân giác của ∠FMC.
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFDE, dễ thấy đường trung trực của EF
đi qua I và đường trung trực của BC đi qua O. Gọi X và X' lần lượt là giao điểm của
đường trung trực của BC và MD, IN và MD. Gọi N là trung điểm của EF. Dễ
thấy △ADT có O là trung điểm của AT, OX∥AD nên X là trung điểm của DT. (1).
Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) như hình trên, chứng minh được AT⊥EF nên AT∥IX'.
Xét △ADT có I là trung điểm của AD, IX∥DT nên X' là trung điểm của DT. (2). Từ
(1) và (2) suy ra X và X' trùng nhau, ta có đpcm.
Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  1 . Chứng
minh

a

2







 1 b2  1 c 2  1 

64
27

Lời giải

Ta có  a2  1 b2  1 c2  1  (a  b)(b  c)(c  a) .Áp dụng bất đẳng thức
2

8
9

phụ (a  b)(b  c)(c  a)  (a  b  c)(ab  bc  ca) .Ta có
8

a  1 b  1 c  1  (a  b)(b  c)(c  a)   (a  b  c)(ab  bc  ca) 
9

8
64
.

3(ab  bc  ca)(ab  bc  ca) 
9
27



2



2



2



2

2