HƯỚNG DẪN GIẢI
CHỦ ĐỀ 2
BÀI TOÁN THAM SỐ

LIÊN QUAN CỰC TRỊ

DẠNG 1
TÌM THAM SỐ

Bài toán 1: Cho hàm số

ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI

. Tìm tham số

để hàm số đạt cực trị tại điểm

.

Phương pháp giải
+ Tìm tập xác định
+ Tính
+ Để hàm số đạt cực trị tại
Bài toán 2: Cho hàm số

thì:

. Tìm tham số

.
để hàm số đạt cực đại tại điểm

.

Phương pháp giải
+ Tìm tập xác định
+ Tính
+ Để hàm số đạt cực đại tại
Bài toán 3: Cho hàm số

thì:

. Tìm tham số

để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Phương pháp giải
+ Tìm tập xác định
+ Tính
+ Để hàm số đạt cực tiểu tại

thì:

Trang 1

.

Câu 1.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3  mx 2  (2m  3) x  3 đạt cực đại tại

x 1 .

A. m 3.

B. m  3.

C. m 3.

D. m  3.

Lời giải
Chọn B.
 y '(1) 3.12  2m.1  2m  3 0
 m 3
+ Để hàm số đạt cực đại x 1 thì 
 y ''(1) 6.1  2m  0
Câu 2.

1 3
2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  mx  m  1 x  1 đạt cực đại tại
3

x  2 ?

A. Không tồn tại m .

B.  1 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A.
y '  x 2  2mx  m  1
y " 2 x  2m
 y '  2  0

Hàm số đạt cực đại tại x  2 khi : 
 y "  2   0
Câu 3.

4  4m  m  1 0


4  2m  0

m  1
(không tồn tại m ).

m

2



Hàm số y a sin 2 x  b cos 3 x  2 x (0  x  2 ) đạt cực trị tại x  ; x  . Khi đó, giá trị của
2

biểu thức P a  3b  3ab là:
A. 3.

B.  1.

C. 1.
Lời giải

Chọn C.
TXĐ: D R
+ Ta có: y ' 2a cos 2 x  3b sin 3 x  2 .


Hàm số đạt cực trị tại x  ; x  nên ta có hệ phương trình:
2
 
 y '( )  2a  3b  2 0

 2
 y '( ) 2a  2 0

a 1

4

b  3

Do đó, giá trị của biểu thức P a  3b  3ab 1 .

Trang 2

D.  3.

DẠNG 2
BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Biện luận số cực của hàm số
Ta có:
+ Hàm số

có 2 cực trị 

có hai nghiệm phân biệt

+ Hàm số

không có cực trị 

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

2. Biện luận số cực của hàm trùng phương:
Ta có:

 Hàm số

có 3 cực trị 

có hai nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi

.

Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi

.

 Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi

Khi đó: Hàm số chỉ có cực tiểu khi
Hàm số chỉ có cực đại khi

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm

(nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại).
(nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu).

Chú ý: Hàm bậc 4 trùng phương:
 Luôn có ít nhất 1 cực trị.
 Nếu có 3 cực trị thì 3 cực trị này luôn tạo thành 1 tam giác cân tại đỉnh thuộc trục oy.

VẤN ĐỀ 1
Trang 3

HÀM SỐ

Câu 4.

Biết giá trị tham số

(với

) thì hàm số

có cực đại và cực tiểu. Giá trị biểu thức
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên

.

* Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị)

có 2 nghiệm phân biệt.
.

Câu 5.

Có

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

tham

số

để

hàm

số

y x 3  2 x 2  m  3 x  1 không có cực trị ?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
y ' 3 x 2  4 x  m  3
Hàm số không có cực trị   ' y ' 0  4  3 m  3 0  m 
Có

giá trị nguyên của tham số

5
3

.

Thầy cô muốn có file Word 38 chuyên đề ôn thi 12 từ có bản đến vận dụng cao thì liên hệ facebook:
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ Hoặc số zalo: 0978 333 093
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 của BGD, 50 câu phát

triển chuẩn đề thi minh họa 2023 và các tài liệu lớp khác.
Câu 6.

Biết

giá

trị

tham

số

(với

có cực đại và cực tiểu . Giá trị biểu thức
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

ChọnB.
Trang 4

.

)

thì

là:
D.

.

hàm

số

y x 2  2mx  m  6
m  2
2
Hàm số có cực đại và cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt.  m  m  6  0  
m 3

Câu 7.

1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  mx 2  (2m  1) x  3 có cực trị.
3
B. m .

A. m 1 .

C. m 1.

D. m 1.

Lời giải
Chọn A.
Ta có : y  x 2  2mx  2m  1
Hàm số có cực trị  y 0 có 2 nghiệm phân biệt   m 2  2m  1  0  m 1 .
Câu 8.

Cho hàm số

với

. Phương trình đường thẳng đi qua

2 điểm cực trị của hàm số trên là:
A.

.

C.

.

B.
D.

.
.

Lời giải
Chọn A.
+ Lấy

chia

ta được:

+ Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:
Câu 9.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số:

có 3 điểm cực trị.
A.

B.

C.
Lời giải

Chọn C.
Xét
Ta có

và
là số điểm cực trị dương của hàm số

Vậy yêu cầu tương đương với: 

có đúng một điểm cực trị dương 
có hai nghiệm thoả mãn

(Vì

lúc đó

còn

thì a.c < 0 suy ra m < 0 )

Trang 5

D.

VẤN ĐỀ 2
HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m  1 x 4  mx 2 

3
chỉ có cực tiểu mà
2

không có cực đại.
A. m   1.

C. m  1.

B.  1 m 0.

D.  1 m  0.

Lời giải
Chọn B.
Ta xét hai trường hợp sau đây:
2
TH1: m  1 0  m  1 . Khi đó y  x 

3
 hàm số chỉ có cực tiểu ( x 0 ) mà không có cực đại
2

 m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: m  1 0  m  1 . Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có :

m 
y ' 4 m  1 x 3  2mx 4 m  1 x  x 2 
.
2 m  1 

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại  y ' có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương
 4 m  1  0

  1  m 0 .
khi x đi qua nghiệm này   m
 2 m  1 0

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có  1 m 0 .
Thầy cô muốn có file Word 38 chuyên đề ôn thi 12 từ có bản đến vận dụng cao thì liên hệ facebook:
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ Hoặc số zalo: 0978 333 093
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 của BGD, 50 câu phát

triển chuẩn đề thi minh họa 2023 và các tài liệu lớp khác.
Câu 11. Hàm số y  x 4  2(m  2) x 2  m 2  2m  3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là:
A. m 2.

B. m  2.

C. m  2.

D. m 2.

Lời giải
Chọn A.
+ Hàm trùng phương có 1 điểm cực trị khi ab 0  m  2 0  m 2 .
Câu 12. Với

giá

trị

tham

số

(với

)

y mx 4  m2  4m  3 x 2  2m  1 có ba điểm cực trị. Giá trị biểu thức là
A.

.

B.

.

C.
Lời giải
Trang 6

.

thì

hàm

:
D.

.

số

Chọn A.
y 4mx 3  2 m 2  4m  3 x
m 0


Hàm số có 3 cực trị   m 2  4m  3
0

m


Câu 13. Với giá trị tham số

.

4
2
) thì hàm số y m  1 x  3mx  5 có cực đại mà

(với

không có cực tiểu. Giá trị biểu thức là
A.

 m 0
 m   ;0   1;3

 m   ;0   1;3

B.

:
.

C.

.

Lời giải
Chọn A.
Phương pháp tự luận
y ' 4 m  1 x 3  6mx 0 (*)
TH1 : Nếu m 1 , (*) trở thành : y '  6 x 0 hay x= 0 , y ''  6  0
Vậy m 1 hàm số đạt cực đại tại x 0
 x 0

3m
TH2 : Nếu m 1 : (*)   2
x 
2 m  1

m  1  0

 0 m  1
Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu   3m
 2 m  1 0

Kết hợp 2 trường hợp : m   0;1

Trang 7

D.

.

DẠNG 2
TÌM THAM SỐ

ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC CỦA
BÀI TOÁN
(liên quan hệ thức Vi -et)

VẤN ĐỀ 1
HÀM SỐ BẬC 3:

Cách

viết

phương

trình

đường

thẳng

nối

hai

điểm

cực

trị

cho

hàm

bậc

ba:

y. y
.
18a

Cách 1: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y 
Cách 2: Chia

của

ta được:

 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
2 3
2
2
2
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x  mx  2 3m  1 x  có
3
3
hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho x1 x2  2  x1  x2  1 .
A. m 0.

B. m 

2
.
3

2
3

C. m  .

D. m 

1
.
2

Lời giải
Chọn C.
Phương pháp tự luận
2
2
2
2
Ta có : y ' 2 x  2mx  2 3m  1 2  x  mx  3m  1 ,

g  x  x 2  mx  3m 2  1 là tam thức bậc hai có  13m 2  4 . Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và
chỉ khi y ' có hai nghiệm phân biệt  g  x  có hai nghiệm phân biệt

2 13
m 
13
  0  
. (1)

2 13
m  
13

 x1  x2 m
x1 , x2 là các nghiệm của g  x  nên theo định lý Vi-ét, ta có 
.
2
 x1 x2  3m  1
 m 0
Do đó x1 x2  2  x1  x2  1   3m  2m  1 1   3m  2m 0  
.
 m 2
3

2

2

Trang 8

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m 

2
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3

Phương pháp trắc nghiệm
Làm như câu trên : chọn từng đáp án , Loại A, B . C đúng thì dừng không thử đáp án D
Thầy cô muốn có file Word 38 chuyên đề ôn thi 12 từ có bản đến vận dụng cao thì liên hệ facebook:
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ Hoặc số zalo: 0978 333 093
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 của BGD, 50 câu phát

triển chuẩn đề thi minh họa 2023 và các tài liệu lớp khác.
Câu 15. Với các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

) thì đồ thị hàm số

có hai điểm cực trị và hoành độ x 1 , x2 thoả mãn
. Tính giá trị biểu thức
A.

B.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn C.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

.

* Để hàm số có hai cực trị thì

có hai nghiệm phân biệt.
.

* Khi có cực trị, hoành độ cực trị

là nghiệm của phương trình

.

* Ta có:
* Theo định lý Viét:

* Thay

* Kết hợp

vào

, ta được:

ta được :

.

và

thỏa yêu cầu bài toán.

1 3
2
3
Câu 16. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  (m  3) x  4 m  3 x  m  m đạt
3
cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn  1  x1  x2 .

Trang 9

A. 

7
m2.
2

m   3
C. 
.
 m 1

B.  3  m  1 .

D. 

7
 m   3.
2

Lời giải
Chọn D.
y x 2  2(m  3) x  4 m  3
Yêu cầu của bài toán  y 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn:  1  x1  x2 .
 m   3

m  32  4 m  3  0
 m  1
m  3m  1  0


7
7

  x1  1 x2  1   0
  x1 x2   x1  x2   1  0   m      m   3
2
2
x  x   2
x  x   2

1
2
1
2

m   2



Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3  3mx 2  ( m  1) x  2 có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
A. 0 m 1.

C. m 0.

B. m 1.

D. m  1.

Lời giải
Chọn D.
Ta có y ' 3 x 2  6 mx  m  1 .
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều này tương đương  ' 9 m 2  3(m  1)  0  3m 2  m  1  0 (đúng với mọi m ).
2 m  0
S  0

 m  1
 m 1
Hai điểm cực trị có hoành độ dương  
P  0
 3  0
Vậy các giá trị cần tìm của m là m  1 .
Câu 18. Với

các giá trị thực của tham số

(với

) thì đồ thị hàm số

có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía so với trục tung.
Tính giá trị biểu thức
A.

B.

C.
Lời giải

Chọn B.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

.

Trang 10

.

D.

* Để hàm số có hai cực trị

có 2 nghiệm phân biệt

.

Cách giải 1.
Gọi

là hai nghiệm của

.

Để 2 cực trị nằm về 2 phía so với trục tung

.

Cách giải 2.
Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị)

có 2 nghiệm phân

thỏa:

biệt

.

Câu 19. Với các giá trị thực của tham số

(với

là phân số tối giản) thì đồ thị hàm số

y  x 3  3mx  1 có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).
Tính giá trị biểu thức
A.

B.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn D.
Ta có y '  3 x 2  3m
y ' 0  x 2  m 0 *
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị  PT * có 2 nghiệm phân biệt  m  0 **



 

Khi đó 2 điểm cực trị A  m ;1  2m m , B

m ;1  2m m



 
1
3
Tam giác OAB vuông tại O  OA.OB 0  4m  m  1 0  m  ( thỏa mãn).
2
1
Vậy m  .
2
3
2
Câu 20. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 2 x  3 m  3 x  11  3m có hai điểm cực

trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C 0;  1 thẳng hàng .
A. m 4.

B. m 1.

C. m  3.
Trang 11

D. m 2.

Lời giải
Chọn A.
Phương pháp tự luận
y ' 6 x 2  6 m  3 x
 x 0
y'=0  
 x 3  m
Hàm số có 2 cực trị  m 3
3
2
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 0;11  3m  ; B 3  m; m  9m  24m  16 

3
AB  3  m, 3  m  .





Phương trình đt AB : 3  m  x  y  11  3m 0
2

A, B, C thẳng hàng  C  AB
Hay :  1  11  3m 0  m 4 .
Phương pháp trắc nghiệm
Thay từng đáp án là OK.
Câu 21. Với

các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

) thì đồ thị hàm số

y 2 x 3  3 m  1 x 2  6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường
thẳng: y x  2 . Tính giá trị biểu thức
A.

B.

.
C.

.

D.

Lời giải
Chọn C.
2
Ta có : y 6 x  6 m  1 x  6m

 x 1
y ' 0  
 x m
Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m 1
3
2
Ta có : A 1;3m  1 B m;  m  3m 

Hệ số góc đt AB là : k  m  1

2

 m 0
Đt AB vuông góc với đường thẳng y  x  2 khi và chỉ khi k  1  
 m 2

Câu 22. Tính theo m khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ( nếu có) của đồ thị hàm số:
1
y  x 3  mx 2  x  m  1 .
3
Trang 12

A.

2
3

2
3

m

m

2

2

 14m 4  5m 2  9 .

B.

 14m 4  8m 2  13.

D.

4
9

2m
4m

2

2

 14m 4  8m 2  13.

C.

 4 4m 4  8m 2  10 .

Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
y x 2  2mx  1
 m 2  1  0m , suy ra hàm số có 2 cực trị m .Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của pt y 0
Lấy y ; y' =

Bấm máy tính:

1 3
2003 2000002
 x m
i , m A1000
x  mx 2  x  m  1   x 2  2mx  1    x
  

i
3
3
3
3 3
2m  3 2m 2  2


x
3
3
 2m  3 2m 2  2 

2m  3 2m 2  2 

x1  ; B  x2 ;

x2 
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A  x1 ;
3
3
3
3




AB 2  x2  x1  
2

2
2
4 2
4
2
2
m  1  x2  x1   x2  x1   1  m 2  1 

9
 9


4m 2  4 4m 4  8m 2  13
2

2
 4 2
4m  4  1  m  1  
 AB 
9
3
 9

2

Cách 2: Sử dụng công thức AB 
e

m2 1
4e  16e3 2
 AB 

3
a
3

m

2

 14m 4  8m 2  13 

b 2  3ac
4e  16e3
với e 
9a
a

m

2

 14m 4  8m 2  13 .

Câu 23. Với các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

) thì đồ thị hàm

số: y x 3  mx 2  7 x  3 có đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu vuông góc với đường
thẳng có phương trình : y 3x d  . Tính giá trị biểu thức
A.

B.

C.
Lời giải

Chọn A.
y 3x 2  2mx  7
Hàm số có 2 cực trị m  21
Bấm máy tính:
Trang 13

.
D.

6973 1999958
 x m
i , m A1000
x 3  mx 2  7 x  3  3x 2  2mx  7     x
   

i
9
9
3 9
 2m 2  42 
7000  27  2.106  42 
7 m  27


i



x
9
9
9
9




 2m 2  42 
7 m  27
 
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y  
 x
9
9


 2m 2  42 
45
45
2
d   
 3  1  m   m 
9
2
2



( thỏa mãn).

Câu 24. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y x 3  3 x 2  mx  2 có điểm cực đại và điểm
cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: y x  1 d  .
 m 0
.
B. 
 m  9

2

A. m 0.

D. m 

C. m 2.

9
.
2

Lời giải
Chọn A.
y 3 x 2  6 x  m
Hàm số có 2 cực trị m   3 , gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y 0 , ta có: x1  x2 2
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y 

2m  6
m 6
x
 
3
3

2m  6
m 6
2m  6
m 6


x1 
x2 
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A  x1 ; 
 ; B  x2 ; 

3
3 
3
3 


Gọi I là trung điểm của AB  I 1;  m 
 2m  6

1
  / / d or  d


3
Yêu cầu bài toán  

 I d
  m 1  1

9

 m  2

 m 0

Kết hợp với điều kiện thì m 0 .
Câu 25. Với các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

) thì đồ thị hàm số

y x 3  3mx 2  3m3 có hai điểm cực trị A , B và tam giác OAB có diện tích bằng 48 . Giá trị biểu thức
là:
A.

.

B.

C.
Lời giải

Chọn D.
y ' 3 x 2  6mx 3 x  x  2m 

Trang 14

D.

 x 0
y ' 0  
.
 x 2m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi : 2m 0  m 0 . (1)
3
3
Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0;3m  , B 2m;  m  .

3
3
Ta có: OA 0;3m   OA 3 m . (2)

Ta thấy A  Oy  OA Oy  d  B, OA  d  B, Oy  2 m . (3)
1
4
Từ (2) và (3) suy ra S OAB  OA d B, OA  3m .
2
Do đó: SOAB 48  3m 4 48  m 2 (thỏa mãn (1) ).

Câu 26. Với các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

) thì đồ

thị hàm số y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  m3  m có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ
thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
O. Giá trị biểu thức
A.

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ

là:

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn C.
Ta có

y 3x 2  6mx  3( m 2  1)

Hàm số (1) có cực trị thì PT y 0 có 2 nghiệm phân biệt

 x 2  2mx  m 2  1 0 có 2 nhiệm phân biệt   1  0, m
Khi đó, điểm cực đại A( m  1;2  2m) và điểm cực tiểu B (m  1;  2  2m)

 m  3  2 2

2
Ta có OA  2OB  m  6m  1 0  

 m  3  2 2

Câu 27. Với các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

.

và

phân số tối giản ) thì của đồ thị hàm số: y x 3  3mx  2 đi qua 2 điểm cực trị, đồng thời đường thẳng
qua 2 điểm cực trị cắt đường tròn tâm I 1;1 bán kính bằng 1 tại 2 điểm A, B mà diện tích tam giác IAB
lớn nhất . Giá trị biểu thức

là:

Trang 15

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
y ' 3x 2  3m
x  m
y ' 0  
. Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi : m  0
 x  m
Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: M

N  m ; 2m m  2  MN   2 m ; 4m m









m ;  2m m  2





Phương trình đt MN : 2mx  y  2 0
( Học sinh có thể dùng cách lấy y chia cho y )
1
1
1
AIB 
Ta có : SIAB  IA.IB.sin AIB  sin 
2
2
2
2m  1

2 
Dấu bằng xảy ra khi 
AIB 900  d  I , MN  
2

4m 2  1



1
3
 m 1 
2
2

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M (2m3 ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu
của đồ thị hàm số y 2 x 3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 (C ) một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
A. m 2.

B. m 0.

C. m 1.

D. m  1.

Lời giải
Chọn B.
Ta có: y ' 6 x 2  6(2m  1) x  6m( m  1)
 x m
y ' 0  
 m   , hàm số luôn có CĐ, CT
 x m  1
Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A(m; 2m3  3m 2  1), B(m  1; 2m3  3m 2 )
Suy ra AB  2 và phương trình đường thẳng AB : x  y  2m3  3m 2  m  1 0 .
Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
Ta có: d ( M , AB ) 

1
1
3m 2  1
 d ( M , AB ) 
 min d ( M , AB ) 
đạt được khi m 0 .
2
2
2

Trang 16

VẤN ĐỀ 2
TÌM THAM SỐ

LIÊN QUAN HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

Câu 29. Với các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

) thì đồ thị hàm số

y  x 4  2m 2 x 2  1 (C ) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Giá trị biểu
thức

là:

A.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn A.





 x 0

3
2
2
2
Ta có: y ' 4 x  4m x 4 x x  m 0  

2
2
 x m

Hàm số (C ) có ba điểm cực trị  m 0 (*) . Với điều kiện (*) gọi ba điểm cực trị là:

A 0;1; B  m;1  m 4 ; C m;1  m 4  . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, thì
sẽ vuông cân tại đỉnh A.
Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để thỏa mãn điều
kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC .




 AB  m;  m 4 ; AC m;  m 4 ; BC 2m;0 .



2
2
2
2
2
8
2
8
Tam giác ABC vuông khi: BC  AB  AC  4m m  m  m  m



 2m 2 m 4  1 0;  m 4 1  m 1
Vậy với m 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phương pháp trắc nghiệm
Yêu cầu bài toán 

b3
 1 0   m6  1 0  m 1
8a

Thầy cô muốn có file Word 38 chuyên đề ôn thi 12 từ có bản đến vận dụng cao thì liên hệ facebook:
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ Hoặc số zalo: 0978 333 093
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 của BGD, 50 câu phát

triển chuẩn đề thi minh họa 2023 và các tài liệu lớp khác.

Trang 17

Câu 30. Với các giá trị thực của tham số

(với

) thì đồ thị hàm số:

y x 4  2mx 2  2m  m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. Giá trị biểu thức
là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
y 4 x 3  4mx

y 0  4 x  x 2  m  0
Hàm số có 3 cực trị  m  0
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :



 

A 0; m 4  2m , B  m ; m 4  m 2  2m , C

m ; m 4  m 2  2m



Do tính chất đối xứng, ta có ABC cân tại đỉnh A .
 m 0
4
Vậy ABC đều chỉ cần AB BC  m  m 4m  
3
m  3
Kết hợp điều kiện ta có: m  3 3 ( thỏa mãn).
b3
 2m   3 0  m3 3  m  3 3
Lưu ý: có thể sử dụng công thức
 3 0 
8a
8
3

Câu 31. Với các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

) thì đồ thị hàm số

y x 4  2mx 2  m  1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán
kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Giá trị biểu thức
A.

.

B.

là:

.

C.
Lời giải

Chọn B.
 x 0
'
3
2
Ta có: y 4 x  4mx 4 x  x  m  0   2
 x m
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m  0 (*)
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:



 

A 0; m  1, B  m ;  m 2  m  1 , C



m ;  m2  m  1

Trang 18

.

D.

.

SABC 

1
yB  y A . xC  xB m 2 m ; AB  AC  m 4  m , BC 2 m
2

 m 1
m4  m 2 m

AB. AC.BC
3
R
1 
1  m  2m  1 0  
 m  5  1
4 SABC
4m 2 m

2
 m 1
Kết hợp điều kiện (*) ta có 
5 1.
m

2
[Phương pháp trắc nghiệm]
 m 1
3
 2m   8

b3  8a
3
 1
 m  1 2m  
Áp dụng công thức: R 
 m  1 5
8ab
8  2 m 

2
 m 1
Kết hợp điều kiện (*) ta có 
5 1.
m

2

Câu 32. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y x 4  2mx 2  m có ba điểm cực trị . Đồng
thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1.
A. m   1.

B. m  2.

C. m   ;  1  2;  .

D. Không tồn tại m.
Lời giải

Chọn C.
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m  0



 

2
Ba điểm cực trị là A 0; m , B  m ; m  m , C

m; m  m2



2
Gọi I là trung điểm của BC  I 0; m  m 

1
SABC  AI .BC m 2 m
2
Chu vi của ABC là: 2 p  AB  BC  AC 2



m  m4  m



S ABC
m2 m

Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là: r 
p
m  m4  m
Theo bài ra: r  1 


m



m  m4 

m2 m
m  m4  m



m  m2 

1 

m2 m



m  m4 
m

4

m

  1 (vì m  0 )

m   1
m 2  m5  m 2  m  m 2  m  2  0  
m  2

So sánh điều kiện suy ra m  2 thỏa mãn.
Trang 19

Cách khác
Sử dụng công thức r 

Theo bài ra: r  1 

b2
4 a  16a 2  2ab3
m2

1 1 m

3

1 

m2

 r

4m 2

m2

4  16  16m3

 1  m  1  1 


1  1  m3

3

m3

1  m3  1  m

m  1
1  m3  m  1   1  m3  m  1  m 2  m  2  0  
m  2
So sánh điều kiện suy ra m  2 thỏa mãn.
Câu 33. Với các giá trị thực của tham số

hoặc

(với

) thì hàm số

y x 4  2 m  1 x 2  m (C ) có ba điểm cực trị A , B , C sao cho OA BC ; trong đó O là gốc tọa độ,
A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Giá trị biểu thức

là:
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
3
2
Ta có : y ' 4 x  4 m  1 x 4 x  x  m  1 .

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi :
y ' có 3 nghiệm phân biệt  m  1  0  m   1 . *
 A 0; m

 x 0
 


2
Khi đó, ta có: y ' 0   x  m  1   B  m  1;  m  m  1 ,


 x  m 1
C m  1;  m 2  m  1









(vai trò của B , C trong bài toán là như nhau ) nên ta giả sử :



 



m  1;  m 2  m  1 , C  m  1;  m 2  m  1 ).



OA

m
OA
0;
m
Ta có :
; BC 2 m  1;0  BC 2 m  1 .
 
B





Do đó OA BC  m 2 m  1  m 2  4m  4 0 (  ' 8 )  m 2 2 2 (thỏa mãn * ).
Vậy m 2 2 2 .

4
2
2
Câu 34. Cho hàm số y  x  2 1  m  x  m  1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất .
Trang 20

A. m 

1
.
2

1
B. m  .
2

C. m 0.
Lời giải

Chọn C.
y ' 4 x 3  4 1  m 2  x
 x 0
y ' 0   2
2
 x 1  m
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi : m  1
Tọa độ điểm cực trị A 0; m  1

 1  m ;  m  2m  m 
C  1  m ;  m  2 m  m 

BC  2 1  m ;0 
2

B

4

2

2

4

2

2

Phương trình đường thẳng BC : y  m4  2m 2  m 0
d  A, BC  m 4  2m2  1 , BC 2 1  m 2
1
 S ABC  BC.d [ A, BC ]  1  m 2 m 4  2m 2  1 =
2

1  m 

2 5

1

Vậy S đạt giá trị lớn nhất  m 0 .
Cách khác:

AB  1  m 2 ;  m 4  2m 2  1



AC 




1  m 2 ;  m 4  2m 2  1

Khi đó S =

1 
AB, AC = 1  m 2 m 4  2m 2  1 =
2

1  m 

Vậy S đạt giá trị lớn nhất  m 0 .

Trang 21

2 5

1

D. m 1.