B. Nhân đa thức với đa thức
1. Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích vào với nhau
Với

là các đơn thức

Với

là các đơn thức

Ví dụ:
2. Lưu ý: Thu gọn các hạng tử đông dạng (nếu có) trước khi nhân và sau khi nhân
- Nếu phải nhân nhiều đa thức, mỗi lần chỉ nhân hai đa thức với nhau
B. Bài tập áp dụng và các dạng toán
Dạng 1: Làm phép tính nhân đa thức với đa thức
I. Cách giải:
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức
II. Bài toán
Bài 1.1: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a)
b)
c)
d)
Bài 1.2: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a)

b)

c)

d)
1

Lời giải
a)
b)
c)
d)
Bài 1.3: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a)
b)
c)
d)
Bài 1.4: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a)
b)
c)

2

d)
Bài 1.5: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a)
b)
c)
d)
Bài 1.6: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
Bài 1.7: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a)
3

b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
Bài 1.8: Thực hiện phép tính:
a)

b)

Lời giải
a)

b)

Bài 1.9: Làm tính nhân
a.

b.

c.

d.
4

e.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:

d) Ta có:
Bài 1.10: Làm tính nhân
a.

b.

c.

d.

Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:

d) Ta có:
Bài 1.11: Thực hiện các phép nhân
a.
b.
c.
5

d.
Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 1.12: Thực hiện các phép nhân
a.
b.
Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

6

Toán 8 theo chương trình mới nhất hiện nay, liên hệ Zalo O988-166-193 để mua ạ

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Thực hiện phép tính
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

d) Ta có:

7

.
Bài 2: Thực hiện phép tính
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

.

d) Ta có:

.

.

Bài 3: Thực hiện phép tính

a)

b)
8

c)

d)

Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

.
d) Ta có:

.
Bài 4: Thực hiện phép tính

a)

b)

c)

d)

Lời giải
a) Ta có:
9

b) Ta có:

c) Ta có:

d) Ta có:

.
Bài 5: Tính các tích sau
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

10

c) Ta có:

d) Ta có:

.

Bài 6: Tính các tích sau
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

.
11

d) Ta có:

.
Bài 7: Tính
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:

c) Ta có:

d) Ta có:
Bài 8: Tính
a)

b)

c)

d)

Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:

c) Ta có:
12

d) Ta có:

.

Bài 9: Thực hiện phép tính
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Ta có:

.
b) Ta có:

c) Ta có:

d) Ta có:

Bài 10: Thực hiện phép tính
a)
13

b)
c)
d)
Lời giải
a) Ta có:

.
b) Ta có:

c) Ta có:

d) Ta có:

.

14

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức cho trước
I. Cách giải:
Bước 1: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức
đã cho
Bước 2: Thay các giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã rút gọn ở bước 1
II. Bài toán
Bài 2.1: Tính giá trị của biểu thức

tại

Lời giải

Tại

. Khi đó

có giá trị là

Bài 2.2: Tính giá trị của biểu thức
15

a)

tại

b)

.

tại

c)

.
tại

d)

.

tại

Lời giải
a)

tại

b)

tại

c)
d)

thì
thì

tại
tại

thì
thì

Bài 2.3: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.

với

b.

với

c.

với

d.
e.

với
với

Lời giải
a) Ta có:

Thay

vào biểu thức

ta được:

b) Ta có:

16

c) Ta có:

d) Ta có:
Thay

vào biểu thức

ta được:

vào biểu thức

ta được:

e) Ta có:
Thay

.

Bài 2.4: Tính giá trị của các biểu thức sau

a.

với

b.

với

c.

với

d.
e.

với
với

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:
17

c) Ta có:

d) Ta có:

Dạng 3: Chứng tỏ giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
I. Cách giải:
18

- Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức
- Áp dụng các quy tắc rút gọn đa thức để thu được kết quả không còn chứa biến
II. Bài toán
Bài 3.1: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
a)
b)
c)
d)
e)
Lời giải
a)

nên giá trị của

b)
c)

nên giá trị của
nên giá trị của

d)
e)

nên giá trị của
nên giá trị của

không phụ thuộc vào giá trị của biến
không phụ thuộc vào giá trị của biến
không phụ thuộc vào giá trị của biến
không phụ thuộc vào giá trị của biến
không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 3.2: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a.
b.
c.
Lời giải
a) Ta có:
Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến

b) Ta có:
Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến
19

c) Ta có:
Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 3.3: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a.
b.
c.
Lời giải
a) Ta có:
Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến

b) Ta có:
Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 3.4: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a.
b.
c.
Lời giải
a) Ta có:
Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến

b) Ta có:
Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến

c) Ta có:
Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến
20

Dạng 4: Tìm x biết x thỏa mãn điều kiện cho trước
I. Cách giải:
Bước 1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc
Bước 2: Nhóm các đơn thức đồng dạng và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm
II. Bài toán
Bài 4.1: Tìm

biết

Lời giải
Ta có

Vậy
Bài 4.2: Tìm

biết

a)
b)
c)
d)
Lời giải
21

a)

b)

c)

d)

Bài 4.3: Tìm

biết

a)
b)
c)
Lời giải
a)

22

b)

c)

Bài 4.4: Tìm

, biết rằng

a.
b.
c.
d.
e.
Lời giải
a) Ta có:
Vậy
b) Ta có:

Vậy
c) Ta có:

23

Vậy
d) Ta có:

Bài 4.5: Tìm

, biết rằng

a.
b.
Lời giải
a) Ta có:
Vậy

b) Ta có:

Vậy

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
I. Cách giải:
24

+ Thực hiện nhân đa thức với đa thức để biến đổi vế phức tạp của đẳng thức
+ Rút gọn biểu thức và biến đổi để thu được kết quả như ở vế còn lại
+ Nếu cả hai vế đẳng thức cùng phức tạp, ta có thể biến đổi đồng thời cả 2 vế của đẳng thức sao cho
chúng cùng bằng 1 biểu thức thứ ba.
II. Bài toán
Bài 5.1. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
b)
c)

d)
Lời giải
a)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức

25

Vậy đẳng thức được chứng minh.
c)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
d)
Xét vế trái của đẳng thức

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.2. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
b)
c)

d)
Lời giải
a)
Xét vế trái của đẳng thức

26

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
c)
Xét vế trái của đẳng thức

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.

d)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.3. Chứng minh các đẳng thức sau
27

a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c)
Xét vế trái của đẳng thức

28

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.4. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
Xét vế trái của đẳng thức

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức
29

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
d)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.5. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
b)

c)

d)
30

Lời giải
a)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.

c)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
d)
Xét vế trái của đẳng thức
31

Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.6. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
b)
c)

d)
Lời giải
a)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
32

c)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.

d)
Xét vế trái của đẳng thức

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.7. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
b)

c)

d)
Lời giải
a)
33

Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.

c)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.

d)
Xét vế trái của đẳng thức

34

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.8. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
b)

c)

d)
Lời giải
a)
Xét vế trái của đẳng thức

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức

.
35

Vậy đẳng thức được chứng minh.

c)
Xét vế trái của đẳng thức

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d)
Xét vế trái của đẳng thức

.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.9. Chứng minh các đẳng thức sau
a)

b)
c)
d) Cho

. Chứng minh rằng:

Lời giải
36

a)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
c)
Xét vế trái của đẳng thức

Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Cho

. Chứng minh rằng:

Xét vế trái của đẳng thức
37

Theo bài ra ta có:

Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.10. Chứng minh các đẳng thức sau thỏa mãn các điều kiện cho trước
a) Cho

b) Cho
c) Cho
d) Cho

. Chứng minh

. Chứng minh
. Chứng minh
. Chứng minh

Lời giải
a) Cho

. Chứng minh

Xét vế trái của đẳng thức

Theo bài ta có

, thay vào ta được:

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Cho

. Chứng minh

Xét vế trái và vế phải của đẳng thức ta có:
38

(1)

(vì

) (2)

Từ (1) và (2) suy ra
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Cho

. Chứng minh

Vì

Vậy
d) Cho

(đpcm)
. Chứng minh

Xét vế trái và vế phải của đẳng thức ta có:

(1)
Theo bài ta có

, thay vào (1) ta được:

Vậy đẳng thức được chứng minh.
39

Bài 5.11: Chứng minh rằng
a.
b.
c.
Lời giải
a) Ta có:
đpcm
b) Ta có:
đpcm
c) Ta có:

đpcm

Bài 5.12: Chứng minh rằng đẳng thức sau
với
Lời giải
Ta có:
(đpcm)
Bài 5.13: Chứng minh các đẳng thức sau
a.
b.
c.
d.
Lời giải
a) Ta có:

đpcm
40

b) Ta có:

đpcm

c) Ta có:

đpcm

d)

đpcm

Bài 5.14:
a) Chứng minh rằng nếu

thì

b) Áp dụng câu a) để viết ngay kết quả của phép nhân:

Lời giải
a) Ta có:
a) Ta có:
+) Ta có:
+) Ta có:

41

và

Dạng 6: Chứng minh các bài toán về số nguyên
I. Cách giải:
Bước 1: Gọi số phải tìm và đặt điều kiện
Bước 2: Biểu diễn các dữ kiện của đề bài theo số phải tìm
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm ra đáp án của bài toán
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận
II. Bài toán
Bài 6.1: Chứng minh rằng:
a)
b)
c)
42

d)
e)
f)
Lời giải
a) Ta có
với mọi
b) Ta có
với mọi
c) Ta có
với mọi
d) Ta có
với mọi
f) Ta có
với mọi
g) Ta có
với mọi
Bài 6.2: Cho

và

là hai số tự nhiên. Biết

chia cho

dư

chia

Toán 8 theo chương trình mới nhất hiện nay, liên hệ Zalo O988-166-193 để mua ạ

Chứng minh

chia

dư

Lời giải
Vì

chia

dư

Và

chia

dư

nên
nên

với
với
43

dư

Khi đó

chia

Bài 6.3: Cho

là hai số tự nhiên, biết

Hỏi

chia

chia

dư

dư

chia

dư

dư bao nhiêu?

Lời giải
Vì

chia

dư

nên

Vì

chia

dư

nên

với
với

Khi đó

chia

dư

Bài 6.4: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:
Theo bài ra ta có:
Vậy ba số là:
Bài 6.5: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:
Tích của hai số sau là:
Tích của hai số đầu là:
Theo bài ra ta có:

(thỏa mãn)

Vậy ba số cần tìm là:
*) Lưu ý: Có thể gọi ba số lần lượt là:
Bài 6.6: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy ta được 242
Lời giải
44

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:
Ta có:

Vậy ba số cần tìm là:
Bài 6.7: Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 24
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
Theo bài ra ta có:
Vậy ba số cần tìm là:
Bài 6.8: Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết nếu ta lấy bình phương của số ở giữa trừ đi tích của
số lớn nhất và số bé nhất thì kết quả thu được đúng bằng

của số bé nhất.

Lời giải
Cách 1:
Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
Tìm được ba số thỏa mãn bài toán là:
Cách 2: gọi ba số cần tìm là:

(

thuộc

;

chia hết cho 2 )

Toán 8 theo chương trình mới nhất hiện nay, liên hệ Zalo O988-166-193 để mua ạ

Bài 6.9: Cho

và

là hai số tự nhiên. Biết rằng

chia 5 dư 1,

chia 5 dư 4. Chứng minh rằng

chia hết cho 5
Lời giải
Vì a chia cho 5 dư 1 nên đặt
Vì b chia 5 dư 4 nên đặt
Ta có:

đpcm.
45

Bài 6.10: Cho
rằng

và

là hai số tự nhiên và

. Biết

chia 4 dư 1,

chia 4 dư 3. Chứng minh

chia hết cho 4

Lời giải
Đặt
Bài 6.11: Chứng minh rằng với mọi

thì

a)
b)
c)
d)
e)
Lời giải
a) Ta có:

(đpcm)

b) Ta có:

(đpcm)

c) Ta có:

(đpcm)

d) Ta có:

(đpcm)

e) Ta có:

(đpcm)

46

47