Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2
Năm học: 2020-2021.
Môn: TOÁN

Câu 1.

(6,0 điểm).
1) Giải phương trình:

.

2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện

3) Cho các số nguyên

. Chứng minh rằng:

thoả mãn điều kiện:

.

Tính giá trị của biểu thức

Câu 2.

.

(3,0 điểm).
1) Cho

là các số nguyên thỏa mãn điều kiện:

minh:

chia hết cho

chia hết cho

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên

. Chứng

.

thỏa mãn điều kiện:
.

Câu 3.

( 3,0 điểm).

1) Cho

là hai số thực dương. Chứng minh rằng:

2) Cho số thực

thỏa mãn

.

. Tìm GTNN của biểu thức:
.

Câu 4.

(7,0 điểm).Cho tam giác
nhau tại

.

2) Chứng minh

=

,

.

và

.cot

là trung điểm của

thẳng

Câu 5.

,

,

cắt

.

1) Chứng minh:

3) Gọi

có ba góc nhọn, ba đường cao

lần lượt tại

.

+ CHCE=

.

.
. Đường thẳng qua
và

vuông góc với

. Chứng minh rằng:

cắt đường
.

(1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó
thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

mới bằng
lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số
cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?
HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2
Năm học: 2020-2021.
Môn: TOÁN

Câu 1.

(6,0 điểm).
1) Giải phương trình:

.

2) Cho ba số thực

thỏa mãn điều kiện

. Chứng minh rằng:
.

3) Cho các số nguyên

thoả mãn điều kiện:

Tính giá trị của biểu thức

.
.

Lời giải
1) Giải phương trình:

.

Đặt
ĐKXD:

.

Phương trình trờ thành:



Ta có



Với

.

(loại) hoặc

(thỏa mãn).

ta có :
hoặc

Vậy phương trình có tập nghiệm là
2) Cho ba số thực

.

thỏa mãn điều kiện

. Chứng minh rằng:
.

Ta có

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
3) Cho các số nguyên

thoả mãn điều kiện:

.

Tính giá trị của biểu thức

.

Đặt
Ta có:
Do

là số nguyên có tồng bằng 0 và

Suy ra:

Câu 2.

nên

.

(3,0 điểm).
1) Cho

là các số nguyên thỏa mãn điều kiện:

minh:

chia hết cho

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên

chia hết cho

. Chứng

.

thỏa mãn điều kiện:
.
Lời giải

1) Cho

là các số nguyên thỏa mãn điều kiện:

minh:
Ta có:

Giả sử

chia hết cho

đều chia

dư 1

Mà

chia

chia hết cho

. Chứng

.

dư 1 (2)

(theo giả thiết) (2)

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn
Trong ba số

Điều già sử là sai.

ít nhất có một số chia hết cho 2

Từ (*) và (**) suy ra

.

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên

thỏa mãn điều kiện:
.

Ta có:
Tưng tự ta có:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Biến đổi phương trình thành:

. Mà

Vậy không tồn tại ba số nguyên

.

thỏa mãn điều kiện:

.

Câu 3.

( 3,0 điểm).
1) Cho

là hai số thực dương. Chứng minh rằng:

2) Cho số thực

1) Cho

thỏa mãn

.

. Tìm GTNN của biểu thức:
Lời giải

.

là hai số thực dương. Chứng minh rằng:

Ta có:

với mọi

.
.

.
.
.
2) Cho số thực

thỏa mãn

. Tìm GTNN của biểu thức:

Ta có

.
.

Mà

suy ra :

.

Áp dụng BĐT :

với

dấu bằng xảy ra khi

ta có:

dấu bằng xảy ra khi
dấu bằng xày ra khi
Suy ra
Liên
hệ
tài
039.373.2038

.
liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Vậy MinA =2093 khi và chi khi

Câu 4.

(7,0 điểm).Cho tam giác
nhau tại

.

cóba góc nhọn, ba đường cao

,

,

cắt

.

1) Chứng minh:

.

=

2) Chứng minh
3) Gọi .

.

.cot

,

.

=

+ CH.CE=

. Đường thẳng qua

lần lượt tại

1) Chứng minh:

.

.

.

. là trung điểm của

thẳng

và

và

vuông góc với

. Chứng minh rằng:
Lời giải

.

và

.

cắt đường

.

+ CH.CE=

Xét tam giác:

.
đông dạng

có:

chung

đồng dạng
nên
Tương tự:

đồng dạng

nên
Cộng vế với vế hai đằng thức ta được:

hay
2) Chứng minh

.cot

Chứng

đồng dạng

Xét

vuông tại

3) Gọi

là trung điểm của

thẳng
Liên
hệ
tài
039.373.2038

.

,
liệu

lần lượt tại
word

môn

. Đường thẳng qua
và

. Chứng minh rằng:

toán:

vuông góc với

cắt đường

.
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Chứng minh

đồng dạng

Chứng minh:

đồng dạng

Do
cân tại

Câu 5.

(1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó
thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số
mới bằng
lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số
cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?
Lời giải
Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng:
Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2.

.

Lúc đầu tồng

.

sau 99 bước số còn lai sẽ là
 HẾT 

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học