Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HAI BÀ TRƯNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1.

(5 điểm)
1) Cho

là các số thực khác

thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức:
2) Giải phương trình

Câu 2.

(5 điểm)
1) Cho đa thức

với hệ số thực thỏa mãn

trong phép chia đa thức

thỏa mãn

là các số nguyên dương phân biệt và
đều chia hết cho

Câu 3.

Tìm đa thức dư

cho đa thức

2) Tìm các cặp số nguyên
3) Cho

và

là số nguyên tố lẻ sao cho

Chứng minh rằng

.

(2 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Với các số thực

Câu 4.

thỏa mãn:

với

và

. Chứng minh rằng

(6 điểm)
Cho tam giác

vuông tại

đường vuông góc hạ từ
tại điểm

có

lên

. Gọi

Đường thẳng qua

1) Chứng minh

là trung điểm

2)

. Chứng minh:

cắt

3) Gọi

Liên
hệ
tài
039.373.2038

tại

là giao điểm của

liệu

và đường cao

word

môn

. Gọi

là giao điểm của

song song với

cắt

là chân các

và
tại

,

cắt

.

.

và

toán:

và
. Kẻ

vuông góc với

Chứng minh rằng

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Câu 5.

(1 điểm) Cho lục giác đều
giác đều

có diện tích

và

. Chứng minh rằng tồn tại tam giác có

đỉnh là

điểm nằm trong lục
điểm trong

điểm

đã cho có diện tích không lớn hơn
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA
Năm học: 2020-2021
Lời giải

Câu 1.

(5 điểm)
1) Cho

là các số thực khác

thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức:
2) Giải phương trình
Lời giải
1) Ta có:
Suy ra

Do đó,

.

TH1:

suy ra:

TH2:

Suy ra

suy ra

2) Giải phương trình
Điều kiện xác định:
Biến đổi phương trình về dạng
Vì

và

với mọi

nên

Dấu “=” xảy ra khi
Vậy nghiệm của phương trình là

Câu 2.

(5 điểm)
1) Cho đa thức

với hệ số thực thỏa mãn

trong phép chia đa thức
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

và

Tìm đa thức dư

cho đa thức
môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
2) Tìm các cặp số nguyên
3) Cho

thỏa mãn

là các số nguyên dương phân biệt và
đều chia hết cho

là số nguyên tố lẻ sao cho

Chứng minh rằng

.

Lời giải
1) Đặt
Ta có

và

Suy ra

Vậy đa thức dư là

2) Biến đổi phương trình về dạng

.

TH1:

TH2:

TH3:

TH4:
Từ đó giải ra được
3) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng:
Thấy rằng

đều chia hết cho

.
suy ra

đều không chia hết cho

.
Từ giả thiết
mà

đều chia hết cho

suy ra

,

Tương tự ta cũng có:

suy ra

Ta có

Liên
hệ
tài
039.373.2038

và

liệu

ta suy ra

word

môn

và

.
.

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Nếu
thì
trái với giả thiết vậy

dẫn đến

mà

là số nguyên tố lẻ nên

.

Sử dụng các dữ kiện:

Câu 3.

(2 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Với các số thực

thỏa mãn:

với

và

. Chứng minh rằng

Lời giải
1)

Vì

, ta xét

, do đó

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy

.

suy ra

đạt giá trị nhỏ nhất là

Vì

vì

khi

, ta xét

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Do đó,
Vậy

2)

, dấu “=” xảy ra khi
đạt giá trị lớn nhất là

suy ra

khi

Từ giả thiết ta có:

.

Sử dụng bất đẳng thức

ta suy ra

Vì

.

Chú ý: Nếu học sinh chứng minh được
Từ giả thiết
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

suy ra
word

môn

toán:

cho nửa số điểm.
.
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Do đó,

Câu 4.

(6 điểm)
Cho tam giác

vuông tại

đường vuông góc hạ từ
tại điểm

có

lên

. Gọi

Đường thẳng qua

1) Chứng minh

là trung điểm

2)

. Chứng minh:

cắt

tại

3) Gọi

và đường cao

là giao điểm của

. Gọi

là giao điểm của

song song với

cắt

là chân các

và
tại

,

cắt

.

.

và

và

. Kẻ

vuông góc với

Chứng minh rằng

Lời giải

A
P
I

L

T

E

F
Q

1)

B

M

Do

hay

Cách khác: Có thể nói

là trung điểm
là trung điểm

là trung điểm

nên

dựa trên định lý đường trung bình của tam giác

. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
.

Từ đó suy ra
Liên
hệ
tài
039.373.2038

mà

.

Ta có

có:

C

O

theo định lý Thales ta có:

dẫn đến

2)

H

liệu

.
word

môn

toán:

Tài liệu toán học

ta

Website:tailieumontoan.com

Chứng minh tương tự ta có:

.

Suy ra

Cách khác: Theo định lý Thales ta có:

, tương tự ta cũng có:

dẫn đến
3)

.

Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông

có

từ đó suy ra

trung điểm của

thì

nên
hay

Tam giác
trung trực của

Câu 5.

ta

dẫn đến

nên tam giác

Từ đó suy ra
dẫn đến

với

cân tại
nên

. Gọi

là

, suy ra

.

là trực tâm của tam giác

(*).

vuông tại , có
dẫn đến

hay
(**). Từ (*),(**) suy ra
nên tam giác
vuông tại

(1 điểm)
Cho lục giác đều
có diện tích
. Chứng minh rằng tồn tại tam giác có

và điểm nằm trong lục giác đều
đỉnh là điểm trong điểm đã cho

có diện tích không lớn hơn
Lời giải
Bổ đề: Lấy điểm trong một hình bình hành, khi đó tam giác tạo bởi
tích bé hơn hoặc bằng nửa diện tích hình bình hành.
Áp dụng: Gọi

là tâm của lục giác đều, khi đó lục giác chia thành

điểm và theo bổ đề

điểm đó có diện
hình bình hành là

. Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại một hình bình hành chứa ít nhất
điểm này tạo tam giác có diện tích nhỏ hơn nửa diện tích hình bình

hành, hay diện tích không lớn hơn
HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

là