Chủ đề 3
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
1. Kiến thức cần nhớ
a. Nội dung phương pháp
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức

. Tư tưởng của phương pháp là

ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả
thiết của đề bài để suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là
những mệnh đề mâu thuẫn nhau, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Các bước suy luận phản chứng
Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh).
Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính
chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết.
Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai. Vậy bài toán được chứng minh.
Chú ý: Trong các bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan trọng
vì cần tạo ra mệnh đề phủ định điều cần chứng minh thực sự chính xác.
b. Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức
+ Dùng mệnh đề đảo.
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.
+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.
+ Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau.
+ Phủ định rồi suy ra kết luận.
c. Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ.
+
+
+
2. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các
bất đẳng thức sau đây là đúng:
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức
đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng
sai. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng sai không thể xẩy
ra là được.
Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên cùng sai, tức là ta có ba bất đẳng thức sau

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được

Hay

.

Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức

.

Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho các số thực

. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất

đẳng thức sau đây là sai:
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức sai,
điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng.
Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy
ra là được. Chú ý ở đây ta có giả thiết

nên có thể sử dụng đến các hiệu

là các số dương.
Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế
với vế ta có

Mặt khác do

nên ta có

. Do đó ta được

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức

.

Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn thỏa mãn các điều kiện sau
Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương.
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba số a, b, c đều là số dương,
điều này có nghĩa là không thể có trường hợp một số nào đó không dương. Như vậy
ta chỉ cần chứng minh một số bất kì không dương không thể xẩy ra là được.
Lời giải
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Giả sử rằng trong ba số a, b, c có một số không dương, không mất đi tính tổng
quát ta chọn số đó là a, tức là ta có
Vì

nên

Lại có

, do đó suy ra
nên

Theo giả thiết thứ hai
Như vậy ta được

.
.

, từ đây suy ra
hay
vì thế ta có

dẫn đến
. Bất đẳng thức này mâu thuẫn với

giả thiết thứ ba của bài toán.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 bất đẳng
thức:

Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh không tồn tại ba số dương a, b,
c để cả ba bất đẳng thức trên đều đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường
hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trường hợp
cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Chú ý các bất đẳng
thức trên làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng

.

Lời giải
Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được:

Vì a, b, c là các số dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta được

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được

Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 5: Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất
một trong các số 9ab , 9bc , 9ac nhỏ hơn

.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh tồn tại ít nhất một trong ba số
9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn

, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả

ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn

. Như vậy ta chỉ cần chứng minh ba số

9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn
9ab,

9bc,

9ca,

không xẩy ra là được. Chú ý các đại lượng
làm

ta

liên

tưởng

đến

bất

đẳng

thức

.
Lời giải
Giả sử điều cần chứng minh là sai, tức là ta có các bất đẳng thức sau

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được

Theo bài ra a, b, c đôi một khác nhau nên ta lại có

Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 6: Cho a, b, c, d là bốn số thực dương bất kì. Chứng minh rằng ba bất đẳng
thức sau không thể cùng xảy ra:

Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba bất đẳng thức trên không
cùng xẩy ra tức là có ít nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là không thể
có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh
cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được.
Lời giải
Giả sử tồn tại bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn cả ba bất đẳng thức.
Từ bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức (2) ta có

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Mặt khác ta lại có

Ta thấy hai bất đẳng thức (4) và (5) mâu thuẫn với nhau.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện

.

Chứng minh rằng:
Phân tích: Đại lượng

làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức
. Như vậy từ giả thiết của bài toán đã cho ta

suy ra được giả thiết mới

. Vậy nếu

được bất đẳng thức mới

, thì ta
. Rõ ràng

bất đẳng thức thu được là sai, do đó ta nghĩ đến sử dụng phương pháp phản chứng
để chứng minh bài toán.
Ngoài ra, để ý bất đẳng thức

và

được bất đẳng thức
cũng được

ta

. Khai triển và thu gọn ta
.
Lời giải

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức
, khi đó ta được

Kết hợp với giả thiết ta có

Bất đẳng thức cuối cùng là sai. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán
được chứng minh.
Bất đẳng thức trên cũng có thể chứng minh theo cách sau đây:
Giả thiết của bài toán tương đương với
Mà ta luôn có

, do đó ta được bất đẳng thức

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 8. Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện

. Chứng minh

rằng:

Phân tích: Quan sát giả thiết ta nhận thấy

và hai đại lượng

không đồng bậc. Do đó ta có thể đồng bậc hai vế bằng cách nhân thêm

. Vì

yêu cầu chứng minh

nên kết hợp với giả thiết ta quy bài toán về chứng

minh bất đẳng thức

. Đến đây ta có thể sử dụng phương

pháp phản chứng hoặc biến đổi tương đương để chứng minh bài toán.
Lời giải
Từ giả thiết ta có

. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có

bất đẳng thức

Vì

. Khi đó kết hợp với giả thiết ta được

nên ta có

. Do đó bất đẳng thức trên

không thể xẩy ra.
Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Bất đẳng thức trên cũng có thể chứng minh theo cách sau đây:
Từ giả thiết ta có

Mà ta có

. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

nên

nên ta được

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

và

Chứng minh rằng:
Phân tích: Từ điều kiện của biến
thể sử dụng cách đặt biến phụ
mới là

, để quy về một điều kiện ta có
, khi đó điều kiện của biến

.
Giả thiết lúc này được viết lại là

và

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

. Từ những kết quả thu được ở

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

trên ta nếu ta giả sử

thì ta thu được điều kiện

. Khi đó ta

có
suy ra

. Đến

đây xem như bài toán được giả quyết xong.
Lời giải
Đặt

, khi đó ta có

.

Giả thiết lúc này được viết lại là

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Giả sử tồn tại

, thỏa mãn điều kiện

Nhưng bất đẳng thức

không đúng. Tức là ta có

Khi đó hiển nhiên có
Suy ra

Hay

nên

.
.

. Từ đó ta có

, đây là một mâu thuẫn. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là

bài toán được chứng minh.
Ví dụ 10. Cho a, b, c là ba số thực bất kì thỏa mãn các điều kiện sau:
và
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c đó có đúng một số lớn hơn 2015.
Phân tích: Từ bài toán ta nhận thấy không thể có trường hợp cả ba số a, b, c cùng
lớn hơn 2015. Bài toán yêu cầu chứng minh rằng trong ba số a, b, c đó có đúng một
số lớn hơn 2015. Điều này có nghĩa là không thể có hai số lớn hơn 2015 cũng không
thể có cả ba số cùng không lớn hơn 2015. Như vậy để chứng minh bài toán ta chỉ
cần chứng minh hai trường hợp này không xẩy ra là được. Để ý là khi so sánh các số
a, b, c với 2015 ta thường so sánh

với 0.

Lại thấy từ giả thiết ta được

nên ta được
.
Lời giải

Xét biểu thức

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Giả sử khẳng định của bài toán là sai, khi đó sẽ có hai trường hợp
+ Trường hợp thứ nhất cả ba số a, b,c đều không lớn hơn 2015, khi đó ta có
Suy ra

, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trên.

+ Trường hợp thứ hai là có ít nhất hai số lớn hơn 2015, chẳng hạn là a, b. Khi đó ta
được
suy ra

.

Do đó ta có
Suy ra

, dẫn đến

, điều này mâu thuẫn với giả thiết

.

Vậy điều giả sử không thể xẩy ra. Do đó bài toán được chứng minh.
Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Phân tích: Trước hết ta nhận thấy, nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì bài toán
được chứng minh. Như vậy ta cần phải chứng minh cho trường hợp cả ba số a, b, c
khác 0. Để ý từ giả thiết ta thu được

Mà ta lại có
Đến đây ta có thể sử dụng phép phản chứng hoặc phân tích thành nhân tử
để chứng minh bài toán.
Lời giải
Nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì bài toán được chứng minh.
Như vậy ta cần phải chứng minh cho trường hợp cả ba số a, b, c khác 0. Từ giả thiết
ta thu được

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức
Đặt

. Khi theo bất đẳng thức Cauchy ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Hay

, điều này là vô lý. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được

chứng minh.
Ngoài ra ta cũng có thể trình bày như sau: Biến đổi tương tự như trên ta
được

Đặt

khi đó ta được
.

Ví dụ 12. Cho a, b là các số thức dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Để bài toán đơn giản hơn ta có thể thực hiện làm mất căn bậc ba bằng
cách đặt

, khi đó giả thiết của bài toán trở thành

chứng minh

. Để ý ta thấy

tương đương với

ta và sử dụng giả thiết ta được được

và ta cần
, khai triển

. Như vậy bất đẳng thức

cuối cùng luôn đúng nên ta có được bất đẳng thức cần chứng minh. Tuy nhiên nếu
, với cách biến đổi như trên ta thu được

là một bất

đẳng thức sai. Do đó ta có thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc phép phản
chứng để giải quyết bài toán.
Lời giải
Đặt

, khi đó giả thiết của bài toán trở thành

cần chứng minh

và ta

.

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức
.
Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được

Chia 2 vế cho số dương

khi đó ta được bất đẳng thức

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra
hay bài toán được chứng minh.
Ví dụ 13. Cho 25 số tự nhiên

khác 0 thoả mãn điều kiện:

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau.
Phân tích: Để chứng minh trong hai 25 số tự nhiên trên luôn tồn tại hai số bằng
nhau ta có thể giả sử 25 số đó khác nhau từng đôi một, để dễ biến đổi ta nên sắp
thứ tự cho 25 số đó, chẳng hạn

. Với cách sắp thứ tự như vậy ta sẽ

nhận được kết quả là

. Khi đó ta có

Đến đây ta chỉ cần chỉ ra

là bài toán được giải quyết
Lời giải

Giả sử trong 25 số tự nhiên
Không mất tính tổng quát ta có thể chọn

không có hai số nào bằng nhau.
. Khi đó ta có

Suy ra ta được
Mặt khác ta chứng minh được

Điều này dẫn tới
Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán.
Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh.
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ví dụ 14. Cho 25 số tự nhiên

khác 0 thoả mãn điều kiện:

Chứng minh rằng trong 2015 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau.
Lời giải
Giả sử trong 2015 số tự nhiên

không có hai số nào bằng nhau. Không

mất tính tổng quát ta có thể chọn

. Khi đó ta có

Suy ra ta được
Mặt khác ta chứng minh được

Điều này dẫn tới
Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán.
Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh.
Ví dụ 15. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh

rằng:
Lời giải
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, khi đó ta có bất đẳng thức
Đặt

khi đó ta được

Xét hiệu hai vế của giả thiết ta được

Hay
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.

Mà ta lại có

do đó suy ra

. Bất đẳng thức thu được trái với

giả thiết của bài toán.
Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh.
Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:

.

và

Phân tích: Quan sát bài toán ta nhận thấy vai trò của a, b là như nhau, do đó ta chỉ
cần chứng minh

, trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự. Để tìm mối liên hệ

của a và c ta viết lại giả thiết là
bất

đẳng

. Do đó nếu như

thức

.
. Như vậy ta được

Mặt

khác

thì ta được
ta

lại

thấy

, nhưng do a, c là các số nguyên

dương nên ta lại thu được

, hai bất đẳng thức này mâu

thuẫn với nhau, bài toán được giải quyết xong.
Lời giải
+ Trước hết ta chứng minh
Giả sử

. T viết lại giả thiết là

khi đó ta được

.
.

Mà ta lại thấy

.

Như vậy ta được

.

Mà do a, c là các số nguyên dương nên ta được

.

Hai bất đẳng thức này mâu thuẫn với nhau. Do đó không thể xẩy ra
có bất đẳng thức

, tức là ta

.

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được

.

Vậy bài toán được chứng minh xong.
Ví dụ 17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

.

Chứng minh rằng 2 trong 3 bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng

Phân tích: Từ cách phát biểu bài toán ta ưu tiên lựa chọn phương pháp phản chứng
để chứng minh. Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất
đẳng thức là đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp có ít nhất hai bất
đẳng thức trên cùng sai. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trường hợp có ít nhất hai
bất đẳng thức trên cùng sai không thể xẩy ra là được. Chú ý giả thiết và các bất
đẳng thức ta có thể đặt

. Khi đó giả thiết trở thành

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

và

các

bất

đẳng

thức

là

.
Lời giải
Đặt

. Khi đó giả thiết trở thành

thức là

và các bất đẳng
.

Ta cần chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên là đúng.
Giả sử điều cần phải chứng minh là sai. tức là có ít nhất hai bất đẳng thức
trên không đúng. Không mất tính tổng quát ta chọn
là hai bất đẳng thức bị sai, khi đó ta được
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được
Từ

ta được

, khi đó ta có bất đẳng thức

Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai.
Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 18. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

. Chứng minh

rằng:

Phân tích: Để ý ta thấy
điều kiện

và vì a là số thực dương nên ta có

. Như vậy để đơn giản hóa bất đẳng thức cần chứng minh ta có

thể đổ biến

, khi đó ta được

Giả thiết được viết lại là
cần chứng minh là
quen thuộc
hiện các đại lượng

.
và bất đẳng thức

. Nhìn giả thiết ta liên tưởng đến một bất đẳng thức
, như vậy ta cần cách tìm biến đổi làm xuất
. Nhận thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Như vậy nếu

thì

, lúc này ta được các bất

đẳng thức ngược chiều nhau. Đến đây một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép phản
chứng.
Lời giải
Đặt

.

Suy ra
Vì

, khi đó ta được

.

nên giả thiết được viết lại là

thức cần chứng minh là

và bất đẳng

.

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức

.

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Áp dụng tương tự ta có

Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Hay

, rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng

thức sai. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Một số ví dụ khác
Ví dụ 19. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Chưng minh

rằng:

Lời giải
Đặt

, khi đó ta được

Giả thiết được viết lại thành
Bất đẳng thức cần chứng minh là
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có

.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Mặt khác theo một bất đẳng thức quen thuộc ta lại có

Do đó ta được
Hay ta được

, bất đẳng thức thu được là một bất đẳng thức sai.

Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 20. Cho a, b là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau:

Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì vai trò của a, b như nhau nên ta chỉ cần chứng minh
minh

. Việc chứng

hoàn toàn tương tự.

Giả sử bất đẳng thức
+ Xét trường hợp
được

mà

là sai, khi đó ta có
, khi đó từ

hoặc

.

suy ra

nên

, do đó ta

điều này mâu thuẫn với giả thiết thứ

hai của bài toán. Như vậy trường hợp này không xẩy ra.
+ Xét tường hợp
ta được

, khi đó từ
mà

suy ra

nên

, do đó

điều này mâu thuẫn với giả thiết

thứ hai của bài toán. Như vậy trường hợp này cũng không xẩy ra.
Các kết quả trên chứng tỏ điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng
minh.
Ví dụ 21. Cho a, b, c là các số thức không âm thỏa mãn

. Chứng minh

rằng:
Lời giải
Nếu
Xét
sai, tức là

, thì bất đẳng thức được chứng minh.
, khi đó ta được
. Khi đó ta có

. Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là
nên

.

Chứng minh tương tự ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Từ đó suy ra

.

Mặt khác ta lại có
Kết hợp hai bất đẳng thức ta được

, bất đẳng thức này mâu thuẫn với

giả thiết của bài toán.
Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh.
Ví dụ 22. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

.

Chứng minh rằng:
Lời giải
Bất đẳng thức có tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính tổng quát ta giả
sử

, Khi đó

và

.

+ Nếu

, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

+ Nếu

. Khi này ta đặt

Khi đó ta viết lại giả thiết là

.
và

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

.
.

Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp phản chứng
Thật vậy, giả sử

Hay

. Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được

, vì

nên

Tuy nhiên cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được

, thiết lập các đánh

giá tương tự ta có

Mặt khác
Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử trên là sai, do vậy
thức trên được chứng minh, dấu đẳng thức xẩy ra khi

. Như vậy bất đẳng
.

Nhận xét: Ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng theo hướng như sau
Giả sử

, khi đó từ giả thiết của bài toán suy ra

Theo bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả sử ta lại có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Do đó

Cộng theo vế a bất đẳng thức trên ta được
Điều này mâu thuẫn với đẳng thức trên, do đó điều giả sử là sai. Như vậy bất đẳng
thức trên được chứng minh.
Ví dụ 23. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Chứng minh rằng:
Từ giả thiết của bài toán, ta suy ra

Lời giải

Mặt khác, vì a, b, c là các số dương cho nên

Hay

, từ đó suy ra

, do vậy

Khi đó

. Suy ra

Bây giờ ta chứng minh
ta suy ra

Hay

. Thật vậy, giả sử

. Mâu thuẫn với

Từ đó ta có
Cũng từ đây ta suy ra
Khi đó ta được

.

khi đó ta được

, từ đây

, do vậy

. Ta chứng minh
, suy ra

. Thật vậy, giả sử

Hay
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
Điều này mâu thuẫn với điều kiện
Cuối cùng ta chứng minh
Thật vậy, vì
và
, do đó

. Do đó

. Vậy
hay

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.

Ta cần chứng minh
Giả sử

.

, khi đó ta có
Hay

Từ đó suy ra
Hay
Đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai do
Do đó
. Vậy ta được
.
Như vậy bài toán được chứng minh xong.

. Vì vậy giả sử

là sai.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word