SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2023-2024
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776.file word giá 500 nghìn
Bài 1.
1. Rút gọn biểu thức P 

x  4( x  1)  x  4( x  1) 
1 
. 1 
 , x  1; x  2 .
 x 1 
x 2  4( x  1)

2) Cho số thực x,y,z khác 0 thỏa mãn x  y  z  0 .
Chứng minh rằng Q 

6x2
6 y2
6z2


.
x2  y 2  z 2 y 2  z 2  x2 z 2  x2  y 2

Bài 2. a) Giải phương trình 2 x2  4 x  4  (2 x  3) x2  x  2

b) Giải hệ phương trình 

x2  2 y  5  2 y  1  0

3
3
2

2(2 y  x )  3 y( x  1)  6 x( x  1)  2  0
Bài 3. a) Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2  6 y 2  2 z 2  3 y 2 z 2  24 x  15
b) Cho a, b là các số tự nhiên thỏa mãn 2a2  a  3b2  b . Chứng minh rằng 2a + 2b + 1 và 3a +
3b + 1 đều là các số chính phương.

Bài 4.
1.Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB, AC
tại H và K. Gọi P, Q là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho POQ  ABC .
a) Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) HK cắt OQ tại D. Chứng minh rằng PD vuông góc với OQ.
2.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là chân ba đường cao kẻ từ
2

2

2

 AB   BC   AC 
các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng 
 
 
  36 ?
 FH   DH   EH 
3
Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  .
2
2
a(bc  1) b(ac  1)2 c(ab  1) 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2


c (ca  1) a 2 (ab  1) b2 (bc  1)
--- Hết ---

1