PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10
Năm học 2024 - 2025
MÔN: TOÁN - LẦN 1
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2 điểm). Cho hai biểu thức:
2 x
x +1
2 x +4
x -5
−
và B =
với x ≥ 0 ; x ≠ 1
x −1
x +2 x+ x -2
x +3
a/ Tính giá trị của A khi x = 4
b/ Rút gọn B
c/ Cho P = A.B. Tìm x để P có giá trị là số nguyên.
A=

Câu 2 (2,5 điểm)
1/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe vận tải nhận kế hoạch chở 360 tấn hàng, được chia đều cho các xe.
Lúc khởi hành có 3 xe bị hỏng nên mỗi xe phải chở tăng thêm 4 tấn so với dự định.
Hỏi ban đầu có bao nhiêu xe?
2/ Một chiếc đồng hồ cát được tạo bởi hai hình nón
bằng nhau, có mặt cắt và kích thước như hình vẽ. Người ta đổ
đầy cát vào một nửa rồi úp ngược cho cát chảy. Biết rằng
lượng cát chảy mỗi phút là 15cm3. Hỏi sau bao lâu cát chảy
hết. (Lấy π ≈ 3, 14 và làm tròn đến đơn vị phút).
12cm
Câu 3 (2 điểm)
3

x
−
+
2
2
= 10

y-1

12cm
1/ Giải hệ phương trình: 
2
3 x − 2 −
=2

y-1
2/ Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (với m là tham số)
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: x1 = 3x2
Câu 4 (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), đường kính AD (điểm B thuộc cung nhỏ AC).
Gọi H là giao điểm của AC và BD; Kẻ HK vuông góc với AD tại K.
a/ Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp và AH.AC = AK.AD.
b/ Chứng minh BD là tia phân giác của góc CBK
c/ Tia BK cắt (O) tại F. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của F trên các đường
thẳng BA và BD. Chứng minh PQ // BC và ba đường thẳng AD, CF, PQ đồng quy.
Câu 5 (0,5 điểm) Giải phương trình:

x 2 - 6x +

x 3 + 2x 2 + 3x + 6 = 9

Cán bộ coi kiểm tra không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:....................................................

Số báo danh:..........................

PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI

KỲ THI THỬ VÀO 10 NĂM HỌC 2024-2025

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Nội dung

Câu Phần

Điể
m

x -5
đk x ≥ 0 ; x ≠ 1
x +3
a
Với x = 4 (TMĐK) thay vào biểu thức A ta được:
0,5
−3
, KL:
Tính đúng A =
5
A=

0,25
0,25

ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1

B=
=
b
1đ

1
(2đ)

=

2 x
x −1

2 x
x −1

x +1
2 x +4
−
x +2 x+ x -2
x +1
−
x +2

(

2 x +4

)(

x −1

2x + 4 x - x + 1 - 2 x - 4

(
=
(

(

)(

x- 1

)(
x − 1)(
x −1

x +2

)=
x + 2)
x +3

KL: Vậy B =

)

x +2

=

(

)

0,25

x+2 x -3

)(

x- 1

x +2

)

x +3
x +2

0,25
0,25

x +3
x +2

0,25

ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1

P = A. B =
=1c
0,5

7
x +2

Vì x ≥ 0 ⇒

x -5
.
x +3

x +3
=
x +2

x -5
=
x +2

x +2-7
x +2

0,25

1
1
7
7
≤
⇒
≤
2
2
x +2
x +2
7
x +2>0 ⇒
>0
x +2

x +2 ≥ 2 ⇒

Mặt khác: do x ≥ 0 ⇒

7
7
≤
2
x +2
7
∈Z ⇒
Để P ∈ Z thì
x +2

0,25

⇒ 0<

7
∈ {1; 2 ; 3}
x +2

7
= 1 ⇒ x + 2 = 7 ⇒ x = 5 ⇒ x = 25 (TM)
x +2
7
7
3
9
=2 ⇒ x +2=
⇒ x =
⇒ x = (TM)
•
2
2
4
x +2
7
7
1
1
=3 ⇒ x +2=
⇒ x =
⇒ x = (TM)
•
3
3
9
x +2
9 1

Vậy x ∈ 25 ; ; 
4 9

Gọi số xe ban đầu là x (xe , x ∈ Z+ ; x > 3)
Thì số xe thực tế là: x - 3 (xe)
360
(tấn)
Theo dự định, mỗi xe chở số tấn hàng là: :
x
360
Thực tế, mỗi xe phải chở số tấn hàng là:
(tấn)
x−3
Theo bài ra ta có phương trình:
360 360
=4
x−3
x
2.1
⇔ 360x – 360x + 1080 = 4x2 - 12x
2đ
⇔ 4x2 - 12x – 1080 = 0
•

2

(2,5
đ)

∆ ' = 62 – 4.(-1080) = 4356 =>

∆ ' = 66

6 + 66
= 18 (TM)
4
6 − 66
= -15(Loại)
x2 =
4
Vậy ban đầu có 18 xe

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

x1 =

0,25
0,25

Bán đường tròn đáy hình nón là: 12 : 2 = 6(cm)
2.2
0,5

Thể tích hình nón là: V2 =

1
1
π.r2h = .3,14.62.12 ≈ 452,16 (cm3)
3
3

Thời gian cát chảy hết là: 452,16 : 15 ≈ 30 (phút)

3

2 x − 2 + y - 1 = 10


Đkxđ: x ≥ 2 ; y ≠ 1
3 x − 2 − 2
=2

y-1
3
3.1
 x−2 = a
(2đ) 0,75đ

Đặt  1
y - 1 = b

2a + 3b = 10
4a + 6b = 20
13a = 26
a = 2
⇔ 
⇔
⇔
hpt ⇔ 
3a - 2b = 2
9a - 6b = 6
3b = 10 - 2a
b = 2

0,25
0,25

0,25

 x−2 = 2
x - 2 = 4


⇔ 
1⇔
Thay ẩn:  1
=
2
y
1
=
y - 1

2


x = 6


3 (tm)
y
=

2

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất: (x , y) = (6 ;

0,25

3
)
2

x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0
3.2 ∆ ' = [-(m – 1)]2 – (2m – 3) = m2 – 2m + 1 – 2m + 3
(a)
= m2 – 4m + 4 = (m – 2)2 ≥ 0 ∀ m
0,5đ
 Pt luôn có hai nghiệm ∀ m
x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0
∆ ' = (m – 2)2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ' > 0
=> (m – 2)2 > 0 => m ≠ 2
Nx: a + b + c = 1 – 2(m – 1) + 2m – 3 = 0
Nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 2m - 3
x1 = 3x2
3.2 Theo bài:
• TH1: Chọn x1 = 1; x2 = 2m – 3 thay vào hệ thức ta được:
(b)

0,75đ

1 = 3(2m – 3) => 1 = 6m – 9 => 6m = 10 ⇒ m =

0,25

5
(tm)
3

0,25
0,25

0,25

0,25

• TH2: Chọn x1 = 2m – 3 ; x2 = 1 thay vào hệ thức ta được:
2m – 3 = 3 => 2m = 6 => m = 3 (tm)



Vậy với m ∈ 3 ;

5
 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa
3

mãn: x1 = 3x2
Vẽ hình đúng đến câu a

0,25

C
B
H
4
(3đ)

a

1,5đ

A

O
K

D

0,25

 = 900 ; ACD
 = 900
• Vì AD là đường kính của (O) nên : ABD
Xét tứ giác ABHK có:
 + AKD
 = 1800
ABD
Mà hai góc ở vị trí đối diện
 Tứ giác ABHK nội tiếp
• Xét ∆ AKH và ∆ ACD có:
 = ACD
 = 900 (cm trên)
AKH
 là góc chung
A
⇒ ∆ AKH ∽ ∆ ACD (g-g)

⇒

b

0,75

AK
AH
=
=> AH.AC = AK.AD
AC
AD

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

Vì tứ giác ABHK nội tiếp nên
 = HBK
 ( Góc nội tiếp cùng chắn HK
)
HAK
 ( Góc nội tiếp cùng chắn CD
 = CBD
)
Xét trong (O) có: CAD
 = CBD

 HBK
 BD là tia phân giác của góc CBK

0,25
0,25
0,25

C
B
H

A
P

c

0,75

K O
I

Q
M

D

F

 = BQF
 = PBQ
 = 900
*Tứ giác BPFQ có BPF
Nên BPFQ là hình chữ nhật.
Gọi I là giao điểm của BF với PQ
 = QBI
 . Mà CBD
 = QBI
 (phần b)
⇒ BQI

 = CBD
 => PQ // BC (hai góc SLT bằng nhau)
⇒ BQI
*Vì tứ giác ABHK nội tiếp
)
 = ABK
 ( Góc nội tiếp cùng chắn AK
⇒ AHK
)
 = ABF
 ( Góc nội tiếp cùng chắn AF
Xét trong (O) ta có: ACF

0,25

 = ACF
 => CF // AH => CF
⇒ AHK

⊥

AD

Gọi M là giao điểm của AD và CF => M là trung điểm CF
Gọi M' là giao điểm của PQ với CF
Xét tam giác BFC có: I là trung điểm BF (t/c hình chữ nhật)
IM' // BC (do PQ // BC)
 M' là trung điểm của CF => M' ≡ M
Vậy ba đường thẳng: AD, PQ, CF đồng quy tại M

x 2 - 6x +

(x

2

+ 3) ( x + 2 ) = 0 Đkxđ: x ≥ -2

( x + 3) ( x + 2 ) = 0
+ 3 - 6 ( x + 2 ) + ( x + 3) ( x + 2 ) = 0

⇔ x 2 + 3 - 6x - 12+

2

2

x2 + 3 = a ; x + 2 = b
(a > 0 ; b ≥ 0)
2
2
Pt ⇔ a - 6b + ab = 0
⇔ ( a - 2b )( a + 3b ) = 0
⇔ a – 2b = 0 ( vì a + 3b > 0)
⇔ a = 2b
Thay ẩn ta được: x 2 + 3 = 2 x + 2
⇔ x2 + 3 = 4(x + 2)
⇔ x2 – 4x – 5 = 0
∆'= 4 + 5 = 9
x1 = 2 + 3 = 5 (tm)
x2 = 2 – 3 = -1 (tm)
Vậy tập nghiệm của pt là: S = {-1 ; 5}
Đặt:

5

(0,5)

0,25

x 3 + 2x 2 + 3x + 6 = 9

⇔ x 2 - 6x - 9 +

⇔ x2

0.25

Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng chấm điểm tương đương.

0,25

0,25