Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 2
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
+ Biểu diễn các đại lượng liên quan theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
 Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên.
 Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán
(thoả mãn điều kiện ở bước 1) và kết luận.

DẠNG 1
TOÁN VỀ QUAN HỆ CÁC SÓ

Phương pháp
Ta phải chú ý tới cấu tạo của một số có hai chữ số , ba chữ số …viết trong hệ thập phân. điều kiện của
các chữ số .
 Biểu diễn số có hai chữ số:

với

 Biểu diễn số có ba chữ số:

với

Bài 1. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2021 và hiệu của số lớn và số bé bằng 15.
Lời giải
Gọi số lớn là

, số bé là

.

Tổng của hai số là 2021 nên ta có phương trình:
Hiệu của số lớn và số bé bằng 15 nên ta có phương trình:
Từ

,

ta có hệ phương trình:

Vậy số lớn là 1018, số bé là 1003.
Bài 2. Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được
cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?
Lời giải
Gọi chữ số hàng chục là
Gọi chữ số hàng đơn vị là

(

)
(

)
Trang 1

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Vì tổng hai chữ số là 9 nên:
Số cần tìm là:
Ta có:
Từ

và

ta có:

Vậy số cần tìm là
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 3. Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ hai cộng với 5 lần số thứ nhất bằng 18040, và 3 lần số thứ nhất
hơn 2 lần số thứ hai là 2002.
Lời giải
- gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y
- theo bài ra, ta có :
Bài 4. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng
chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Lời giải
Gọi số có hai chữ số là:

Vậy số tự nhiên cần tìm là
Bài 5. Tìm hai số tự nhiên hơn kém nhau 12 đơn vị biết tích của chúng bằng 20 lần số lớn cộng với 6 lần
số bé.
Lời giải
Cách 1: giải bằng cách lập hệ phương trình
Gọi số lớn là 
Gọi số bé là  (
Ta có hệ phương trình 
Cách 2: giải bằng cách lập phương trình
Gọi số bé là 
Trang 2

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Khi đó số lớn là 
Vì tích của chúng bằng 20 lần số lớn cộng với 6 lần số bé nên ta có phương trình:
Vậy số bé là 24; số lớn là 36.
Bài 6. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ số của nó. Nếu viết hai
chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì đc số mới lớn hơn số ban đầu 36 đơn vị.
Lời giải
gọi số tự nhiên cần tìm có dạng:
theo bài ra, ta có:
Bài 7. Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì được một số có ba
chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 18 đơn vị.
Lời giải
gọi số tự nhiên cần tìm có dạng:
theo bài ra, ta có:

Bài 8. Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới lớn hơn số đã cho là
63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.
Lời giải
Gọi số có hai chữ số là:
Số ngược lại là:
Theo bài ta có:
Vậy số cần tìm là
Bài 9. Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì được 405. Nếu lấy số được viết
bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số của nó thì được 486. Hãy tìm số
có hai chữ số đó.
Lời giải
Gọi chữ số hàng chục là

, chữ số hàng đơn vị là

(

Vậy số cần tìm là

Trang 3

)

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Bài 10. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ
các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm 99 đơn vị.
Lời giải
Gọi số cần tìm là:
Vậy số tự nhiên cần tìm là
Bài 11. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục
là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34.
Lời giải
Gọi chữ số phải tìm là:
Vậy số cần tìm là 86.
Bài 12. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó bằng 85
Lời giải
Gọi số bé là

.

Gọi số lớn là
Theo bài ra ta có:

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là

và

Bài 13.Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào
tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm.
Lời giải
gọi số tự nhiên cần tìm có dạng:
theo bài ra, ta có:

vậy số cần tìm là : 54

Trang 4

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

DẠNG 2
TOÁN LIÊN QUAN HÌNH HỌC

Phương pháp:
 Ghi nhớ công thức tính chu vi của các loại hình sau
+ Chu vi tam giác: Bằng tổng độ dài ba cạnh
+ Chu vi hình chữ nhật:
 Ghi nhớ diện tích các hình: Tam giác, hình chữ nhật, tam giác vuông, hình vuông, hình thang
Bài 14. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính diện tích thửa ruộng,
biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.
Lời giải
Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x (m), chiều dài của thửa ruộng là y (m). ( x> 0, y > 0).
 y  x 45
 x 15

Khi đó ta có hệ phương trình  
y  
2( x  y ) 2(3x  2 )  y 60

 Diện tích của thửa ruộng là : 900 m2.
Bài 15. Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280 người ta làm đường đi xung quanh rộng 2m nên diện
tích phần còn lại để trồng vườn là 4256m2. Tính kích thước ban đầu của khu vườn.
Lời giải
Gọi chiều rộng khu vườn là x (m) đ/k x >0
chiều dài khu vườn là y (m) đ/k y>0
Nửa chu vi là 280:2 =140 (m)
theo bài ra ta có Pt

(1)

Khi bớt chiều rộng đi 4 mlà

(m)

khi bớt chiều dài đi 4 (m) là

(m) ta có PT

Theo bài ra ta có HPT :
Giải ra được chiều rộng là 60m ,chiều dài là 80m

Trang 5

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 16. Một hình thang có diện tích là 140cm 2, chiều cao 8cm. Tính độ dài các đáy của hình thang, biết
chúng hơn kém nhau 5cm
Lời giải
Ta có:
Vậy độ dài hai đáy của hình thang lần lượt là 20 và 15cm.
Bài 17. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 34m. Nếu tăng thêm chiều dài 3m và chiều rộng
2m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn?
Lời giải
Gọi chiều dài mảnh vườn là 
Gọi chiều rộng là 
Theo bài ra ta có hệ phương trình
Vậy chiều dài là 12 (m); chiều rộng là 5(m)
Bài 18. Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 16 mét. Hai lần chiều dài kém 5 lần
chiều rộng 28 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường?
Lời giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của sân trường hình chữ nhật lần lượt là
Theo bài ra ta có hệ
Vậy chiều dài là 

và chiều rộng là

.

Bài 19. Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m, diện tích bằng 2430 m 2 . Tính chiều dài và
chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đó cho.
Lời giải
Gọi x (m) là chiều dài và y (m) là chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật, với ( 0  y  x  99 ).
Theo bài ra thửa đất có :
Chu vi :

2(x + y) = 198 (m)

Diện tich :
Ta có hệ phương trình :

xy = 2430 (m2)
 2( x  y ) 198


 xy 2430

 x  y 99

 xy 2430

Vậy chiều dài và chiều rộng thửa đất hình chữ nhật là : x = 54 (m) và y = 45 (m).
Trang 6

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Bài 20. Một hình chữ nhật có chu vi là 70 m ,nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài 5m thì diện
tích như cũ .Hãy tìm chiều rộng và chiều dài ?
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS Toán 9 có lời giải đầy
đủ do mình biên soạn. Thầy, cô cần file Word có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc
facebook https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình
biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Lời giải
Gọi chiều rộng là x (m), chiều dài là y (m) đ/k x,y>0
Nửa chu vi là

70

Khi chiều rộng tăng và chiều giảm ta có
Theo bài ra ta HPT :
Vậy chiều rộng là 15m và chiều dài là 20m.
Bài 21. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 168 m 2. Nếu giảm chiều dài đi 1m và tăng chiều
rộng thêm 1m thì mảnh vườn đó trở thành hình vuông. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn
Lời giải
Gọi chiều dài và chiều rộng lần lượt là
Diện tích mảnh vườn là
Giảm chiều dài 1m và tăng chều rộng 1m thì mảnh vườn là hình vuông nên ta có

Thế 2 vào 1 ta được:
Vậy chiều dài là 14m, chiều rộng là 12m.
Bài 22. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m.
Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.
Lời giải
Gọi chiều dài của mảnh đất đó là
Khi đó ta có hệ phương trình
Giải hệ ta được

và chiều rộng của mảnh đất đó là
.

. Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.

Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 5m và chiều dài là 12m.
Trang 7

(m,

)

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Bài 23. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10. Tính
chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó.
Lời giải
Gọi chiều dài là 
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là
Chu vi của hình chữ nhật là 28m nên
Đường chéo của hình chữ nhật là 10m nên 
Vậy ta có hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta nhận được
Bài 24. Nhà bạn Minh Hiền được ông bà Nội cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Nam đến nhà bạn
Hiền chơi, Hiền đố Nam tìm ra kích thước của mảnh đất khi cho biết: mảnh đất đó có chiều dài gấp bốn
lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích mảnh đất đó sẽ tăng
thêm 20m2. Các em hãy giúp Nam tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất nhà bạn Hiền
Lời giải
Cách 1: Giải bằng cách lập hệ phương trình
Gọi chiều dài là
Gọi chiều rộng là

Diện tích mới là:
Vậy chiều rộng là

; chiều dài là

.

Cách 2: Giải bằng cách lập phương trình
Gọi chiều rộng của mảnh đất là
Vậy chiều dài là:
Diện tích mảnh đất là:
Diện tích mảnh đất sau khi giảm chiều rộng

và tăng chiều dài lên gấp đôi là:

Theo bài ra ta có phương trình:
Vậy chiều rộng là

; chiều dài là

Trang 8

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

DẠNG 3
TOÁN CHUYỂN ĐỘNG BỘ

Phương pháp: Áp dụng công thức:
Chú ý:
 Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được:
 Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng
quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
 Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển
động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A
với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB
Bài 25. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự định. Nếu ô tô tăng vận tốc
thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời
gian đi tăng hơn 3 giờ so với dự định. tính độ dài quãng đường AB.
Lời giải
Gọi vận tốc dự định của ô tô là
Khi đó quãng đường từ A đến B dài

(km/h,

) và thời gian dự định đi từ A đến B là

(giờ,

).

(km).

Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì vận tốc lúc đó là

(km/h). khi đó thời gian đi sẽ là:

(giờ).
Ta có phương trình:

(1)

Tương tự nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ nên ta có phương trình:
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải hệ ta được

. Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.

Vậy quãng đường AB dài là:

(km).

Bài 26. Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau
gặp nhau sau

, đi ngược chiều và

giờ. Tìm vận tốc của ô tô và xe máy, biết rằng nếu vận tốc của ô tô tăng thêm

vận tốc của xe máy giảm đi

thì vận tốc của ô tô bằng
Trang 9

lần vận tốc của xe máy.

và

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Lời giải

Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là
Sau

giờ ô tô đi được quãng đường là:

Sau

giờ xe máy đi được quãng đường là:

Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau

(ĐK:

)

, đi ngược chiều và gặp nhau sau

giờ

nên ta có phương trình:
Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm

thì vận tốc mới của ô tô là:

Nếu vận tốc của xe máy giảm đi

thì vận tốc mới của xe máy là:

Vì vận tốc của ô tô tăng thêm

và vận tốc của xe máy giảm đi

thì vận tốc của ô tô bằng

lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình:
Từ

và

ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc của ô tô là

và vận tốc của xe máy là

Bài 27. Trên quãng đường

dài

và một ôt ô khởi hành từ

đi về

2 giờ 15 phút nữa thì đến

.

m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ
. Sau khi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến

đến

và ô tô đi tiếp

. Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường.

Tính vận tốc của xe máy và ô tô.
Lời giải
Gọi vận tốc xe máy là
Gọi vận tốc ô tô là

(km/h) Điều kiện

(k,/h). Điều kiện

Thời gian xe máy dự định đi từ

đến

.
.
là:

giờ. Thời gian ô tô dự định đi từ

giờ.
Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến

là :

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến

là :

(km).
(km).

Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

Từ phương trình (1) ta suy ra

.

Trang 10

đến

là:

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Thay vào phương trình (2) ta thu được:
Vậy vận tốc xe máy là

Chân Trời Sáng Tạo

,

.

km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 28. Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm

và

cách nhau 180km, khởi hành cùng một lúc đi

ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10km/h.
Tính vận tốc của mỗi xe?
Lời giải
Gọi vận tốc của ô tô là

(

)

Gọi vận tốc của xe máy là

(

)

Ta có phương trình:
Sau 2 giờ ô tô đi được:
Sau 2 giờ ô tô đi được:
Theo đầu bài ta có phương trình
Từ (1)(2) ta được

.

Bài 29. Một ô tô đi quãng đường

với vận tốc 50km/h rồi đi tiếp quãng đường

45km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165km và thời gian ô tô đi trên quãng đường
gian đi trên quãng đường

với vận tốc
ít hơn thời

là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên môi quãng đường?
Lời giải

Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường

là

Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường

là

Bài 30. Quãng đường
người đi xe đạp từ

gồm một đoạn lên dốc dài
đến

hết

giờ

phút và đi từ

và một đoạn xuống dốc dài
về

hết

giờ

phút (vận tốc lên dốc,

xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc, lúc xuống dốc của người đi xe đạp.
Lời giải
Đổi

giờ

phút

,

giờ

phút

.

Gọi vận tốc lên dốc và xuống dốc của người đó lần lượt là
Lúc đi: Thời gian lên dốc là

, xuống dốc là
Trang 11

và

. Một

với

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Tổng thời gian đi hết

giờ

phút nên ta có phương trình:

Lúc về: Thời gian lên dốc là
Tổng thời gian đi hết

giờ

Chân Trời Sáng Tạo

(1)

, xuống dốc là
phút nên ta có phương trình:

(2)

Từ (1) và (2), ta lập hệ phương trình:

Đặt

và

với

,

, ta được:

(Nhận)

Từ đây ta suy ra

(Nhận)

Vậy vận tốc lúc lên dốc là

và vận tốc xuống dốc là

.

Bài 31. Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tằng 20km/h thì đến sớm 1 giờ,
nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính quãng đường AB.
Lời giải
Để tính quãng đường AB ta tính đại lượng là vận tốc dự định và thời gian dự định.
Gọi vận tốc dự định là
Quãng đường AB dài là

giờ, thời gian dự định là

km/h

).

(km)

Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thì đến sớm 1 giờ, quãng đường được tính bằng công thức:
(km)
Nếu giảm vận tốc đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ, quãng đường đi được tính bằng công thức
(km)
Ta có hệ:

Trang 12

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

So sánh với điều kiện ta thấy giá trị

Chân Trời Sáng Tạo

thỏa mãn

Vậy vận tốc dự định là 40km/h, thời gian dự định là 3 giờ. Quãng đường AB dài là:

km.

Bài 32. Hằng ngày, Nam đạp xe đi học với vận tốc không đổi trên quãng đường dài 10km. Nam tính toán
và thấy rằng nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút so với đạp xe với vận
tốc hằng ngày. Tuy nhiên, thực tế sang nay lại khác dự kiến. Nam chỉ đạp xe với vận tốc lớn nhất trên
nửa quãng đường (dài 5km), nửa quãng đường còn lại đường phố đông đúc nên Nam đã đạp xe với vận
tốc hằng ngày. Vì vậy, thời gian đạp xe đi học sáng nay của Nam là 35 phút. Hãy tính vận tốc đạp xe
hằng ngày và vận tốc xe đạp lớn nhất của Nam (lấy đơn vị vận tốc là km/h).
Lời giải
Gọi vận tốc đạp xe hằng ngày của Nam là
Vận tốc xe đạp lớn nhất của Nam là
Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là
Thời gian Nam đi học nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất là
Thời gian đạp xe đến trường theo dự kiến ít hơn thời gian đạp xe đến trường hằng ngày là 10 phút
nên ta có:

-

=

Thời gian đạp xe thực tế hôm nay là 35 phút

nên ta có:

Ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc đạp xe hằng ngày là 15 (km/h)
Vận tốc đạp xe lớn nhất là 20 (km/h)
Bài 33. Một ô tô và một mô tô cùng đi từ A đến B dài 120km. Xe ô tô đến sớm hơn xe mô tô là 1 giờ.
Lúc trở về xe mô tô tăng vận tốc thêm 5km/h mỗi giờ, xe ô tô vẫn giữ nguyên vận tốc nhưng dừng lại
nghỉ ở một địa điểm trên đường hết 40 phút, sau đó về đến A cùng một lúc với xe mô tô. Tính vận tốc
ban đầu của mỗi xe, biết khi đi hay về hai xe đều xuất phát cùng một lúc
Lời giải
Gọi vận tốc xe ô tô và mô tô lần lượt là

và

(

Lại có tiếp:
Từ (1)(2) ta có
Trang 13

)

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

DẠNG 4
TOÁN CHUYỂN ĐỘNG TRÊN SÔNG

Phương pháp: Nắm vững công thức sau
 Nếu gọi quãng đường là

; Vận tốc là

 Gọi vận tốc thực của canô là

; Thời gian là , ta có các công thức sau:

; vận tốc dòng nước là

, khi đó ta có:

+ Vận tốc canô xuôi dòng là
+ Vận tốc canô ngược dòng là
Từ đó ta có

.

Bài 34. Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài
hết tất cả

. Nếu ca nô chạy xuôi dòng

, rồi chạy ngược dòng khúc sông ấy
rồi chạy ngược dòng

cũng hết

.

Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của nước.
Lời giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô là
Gọi vận tốc của nước là
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là
Vận tốc ca nô khi ngược dòng là

Ta có hệ phương trình

Vậy vận tốc riêng của canô là

và vận tốc của dòng nước là

Bài 35. Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Biết thời
gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian ngược dòng 4km. Tính vận tốc của dòng nước?
Trang 14

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Lời giải

Gọi

là vận tốc của thuyền trong nước yên lặng (

là vận tốc của dòng nước (

)

)

Thời gian xuôi dòng 40km là

và ngược dòng là

Vậy vận tốc của dòng nước là

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 36. Hai ca nô cùng khởi hành từ

đến

cách nhau

và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40

phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc
ca nô đi ngược dòng nước là

. (vận tốc thật của ca nô không đổi).
Lời giải

Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là 
Vận tốc thật của ca nô đi ngược dòng là 
Vận tốc ca nô xuôi dòng là
Vận tốc ca nô ngược dòng là
Quãng đường ca nô xuôi dòng là
Quãng đường ca nô ngược dòng là
Từ
Bài 37. Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận tốc dự định. nếu ca nô xuôi
13 km và ngược dong 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và
vận tốc dòng nước.
Lời giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô là
Và vận tốc của dòng nước là
Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc

(km/h,

)

(km/h,
(km/h). Đi đoạn đường 78 km nên thời gian đi là

Trang 15

(giờ).

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Ca nô đi ngược dòng với vận tốc

Chân Trời Sáng Tạo

(km/h). Đi đoạn đường 44 km nên thời gian đi là

(giờ).

Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta có phương trình:
(1).
Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình:
(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

.

Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Bài 38. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng
có vận tốc của dòng nước là

. Sau đó chạy xuôi dòng

trên cùng một dòng song

. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian

xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.
Lời giải
Cách 1:
Gọi thời gian tàu chạy xuôi dòng là
Gọi thời gian tàu chạy ngược dòng là
Gọi V là vận tốc của tàu khi nước yên lặng, ta có:
Vận tốc xuôi dòng là:
Vận tốc ngược dòng là:
Ta có:

Cách 2:
Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là

Trang 16

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Vận tốc xuôi dòng là

Chân Trời Sáng Tạo

thời gian xuôi dòng là

Vận tốc ngược dòng là

thời gian ngược dòng là

Theo đầu bài ta có phương trình:

(thỏa mãn)

Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là
Bài 39. Một ca nô chạy trên song trong 8 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105 km. Một lần khác
cũng chạy trên khúc song đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km. Hãy
tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước và vận tốc riêng của ca
nô không đổi
Lời giải
Gọi

là vận tốc xuôi dòng (

Gọi

là vận tốc ngược dòng (

Ta có hệ phương trình

)
)

(thỏa mãn).

Trang 17

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

DẠNG 5
TOÁN CÔNG VIỆC

Có rất nhiều cách phân tích đề bài nhưng ở đây dùng cách phân tích bằng cách lập bảng, như sau:
Thời gian hoàn thành công

Năng suất làm việc trong 1 ngày (1 giờ..)

việc
Hai đội

a

(2 vòi ..)
Đội 1

x

(vòi 1 ..)
Đội 2

y

(vòi 2 ..)

 Nếu một đội (người) làm xong công việc trong
vị thời gian đội (người) đó làm được

công việc (xem toàn bộ công việc là )

 Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong
gian vòi nước đó chảy được

(đơn vị thời gian: Ngày, giờ, phút,...) thì một đơn

(đơn vị thời gian: Ngày, giừo, phút,...) thì một đơn vị thời

(bể)

 Ta thường xem toàn bộ công việc là 1
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS Toán 9 có lời giải đầy
đủ do mình biên soạn. Thầy, cô cần file Word có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc
facebook https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình
biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Trang 18

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Bài 40. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy một
mình trong 20 phút rồi khóa lại, mở tiếp vòi 2 chảy trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được

bể. Tính

thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Lời giải
Gọi thời gian để vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là:
Gọi thời gian để vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là:
Một giờ vòi 1 chảy được:

(bể)

Một giờ vòi 2 chảy được:

(bể)

Một giờ cả hai vòi chảy được:

(bể)

Theo đề bài ta có:

Vậy vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là:

Vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là:

Bài 41. Hai ban An và Bình cùng may khẩu trang để ủng hộ đia phương đang có dịch bệnh Covid-19, thì
mất hai ngày mới hoàn thành công việc. Nếu chì có một mình bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghi và
bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi mỗi người làm riêng một mình thì sau
bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Lời giải
Gọi thời gian An làm riêng một mình thì hoàn thành công việc là
Gọi thời gian Bình làm riêng một mình thì hoàn thành công việc là

(ngày,

)

(ngày,

)

Theo bài dễ dàng ta có hệ phương trình:

Bài 42. Một đội công nhân
làm chung được 8 ngày thì đội

và

làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Khi
được điều động đi làm việc khác, đội

Kể từ khi làm một mình, do cải tiến cách làm nên năng suất của đội
thành phần việc còn lại trong

tiếp tục làm phần việc còn lại.

tăng gấp đôi, do đó đội

đã hoàn

ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ

hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Lời giải
Trang 19

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Gọi thời gian đội

và đội

làm một mình xong công việc lần lượt là

(ngày).

Chân Trời Sáng Tạo

ĐK
Mỗi ngày, đội

làm được

công việc

Mỗi ngày, đội

làm được

công việc

Mỗi ngày, hai đội làm được

công việc

Ta có phương trình:
Trong

ngày làm chung, hai đội làm được

công việc

Trong

ngày tiếp theo, do tăng năng suất gấp đôi nên đội

làm được

công việc

Ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy thời gian đội

và đội

làm một mình xong công việc lần lượt là

(ngày).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 43. Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì
thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ.
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu?
Lời giải
Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là

(giờ,

).

Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là

(giờ,

)

Mỗi giờ tổ một làm được

(phần công việc)

Mỗi giờ tổ hai làm được

(phần công việc)

Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta có phương trình:

Trang 20

.

(1).

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Thực tế để hoàn thành công việc này thì tổ hai làm trong 2 giờ và tổ một làm trong
có phương trình:

(giờ), ta

(2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ ta được:

Chân Trời Sáng Tạo

.

thỏa mãn điều kiện.

Nếu làm riêng thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ.
Bài 44. Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu A làm một
mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình
xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày.
Lời giải
Gọi thời gian A,B làm riêng xong công việc lần lượt là
Mỗi ngày đội A làm riêng được

công việc.

Mỗi ngày đội B làm riêng được

công việc.

(ngày),

.

Ta có hệ phương trình:

Vì A làm 9 ngày xong nên 3 ngày làm được

công việc.

Vì B làm 18 ngày xong nên 3 ngày B làm được

công việc, số ngày làm xong

công việc còn lại là

ngày.
Bài 45. Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm
trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được
mình thì trong bao lâu xong công việc
Lời giải
Gọi thời gian người thứ nhất làm xong công việc là
Gọi thời gian người thứ hai làm xong công việc là
Trong 1(h) người thứ nhất làm được

công việc

Trang 21

công việc. Hỏi mỗi công nhân làm một

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Trong 1(h) người thứ hai làm được

Chân Trời Sáng Tạo

công việc

Ta có hệ phương trình

Vậy thời gian người thứ nhất hoàn làm xong công việc là
thời gian người thứ hai hoàn làm xong công việc là

.

Bài 46. Hai tổ công nhân cùng làm chung một công việc và dự định hoàn thành công việc trong 6 giờ.
Nhưng khi làm chung được 5 giờ thì tổ 2 được điều động đi làm việc khác. Do cải tiến cách làm năng
suất của tổ 1 tăng 1,5 lần nên tổ 1 đã hoàn thành nốt phần công việc còn lại trong 2 giờ. Hỏi với năng suất
ban đầu, nếu mỗi tổ làm một mình thì sau bao lâu mới xong công việc?
Lời giải
Gọi thời gian để một minh tổ 1 làm xong công việc là
Thời gian một mình tổ 2 làm xong công việc là
Trong 1 giờ tổ 1 làm được

công việc

Trong 1(h) người thứ hai làm được

công việc

Trong 5 giờ cùng làm cả hai tổ làm được
Trong 2(h) tổ 1 làm với năng suất 1,5 lần nên được:

công việc

Vậy thời gian tổ một một mình làm xong công việc là
Vậy thời gian tổ một một mình làm xong công việc là
Bài 47. Hưởng ứng chiến dịch tình nguyện “ Mùa hè xanh” để giúp học sinh vùng cao đến trường thuận
lợi hơn, hai tổ thanh niên A và B tham gia sửa một đoạn đường. Nếu hai tổ cùng làm thì trong 8 giờ xong
việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của tổ A ít hơn tổ B là 12 giờ. Hỏi nếu làm riêng
thì mỗi tổ sửa xong đoạn đường đó trong bao lâu?
Lời giải
Gọi x (giờ) là thời gian tổ thanh niên A sửa xong đoạn đường đó một mình.
Gọi y (giờ) là thời gian tổ thanh niên B sửa xong đoạn đường đó một mình.
Điều kiện:

.
Trang 22

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Trong 1 giờ, tổ thanh niên A làm riêng sửa được

Chân Trời Sáng Tạo

đoạn đường và tổ thanh niên B làm riêng sửa được

đoạn đường.
Nếu hai tổ cùng làm thì trong 8 giờ là xong việc nên ta có phương trình

.

Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của tổ A ít hơn tổ B là 12 giờ nên ta có phương trình

Từ

và

ta có hệ phương trình

.

Xét phương trình

Vậy: Thời gian tổ thanh niên A sửa xong đoạn đường đó một mình là 12 giờ.
Thời gian tổ thanh niên B sửa xong đoạn đường đó một mình là 24 giờ.

Bài 48. Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được

cánh đồng trong 15 giờ. Nếu

máy 1 cày trong 12 giờ, máy 2 cày trong 20 giờ thì cả hai máy cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi
máy làm việc riêng thì sẽ cày xong cánh đồng trong bao lâu?
Lời giải
Gọi

,

là thời gian để máy thứ nhất, thứ hai cày xong cánh đồng

Ta có hệ phương trình

Bài 49. Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở để chảy vào bể này thì sẽ đầy
bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời
gian vòi hai chảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Lời giải
Đổi 4 giờ 48 phút =

giờ =

giờ

Trang 23

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình – Tự luận có lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Gọi thời gian vòi một chảy một mình ...