ĐỀ THI KIỂM TRA KHẢO SÁT THÁNG 8
Môn: Toán (lớp 9)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. TRẮC NGHIỆM: Khoanh tròn vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng:
2024
Câu 1: Điều kiện xác định của biểu thức:
là:
√ 2025−2026 x+ 1
2025
2025
A. x ≤
B. x ≥
2026
2026
C. x ≤

2025
1012
và x ≠
2026
1013

D. x ≥

2025
1012
và x ≠
2026
1013

Câu 2: Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Hỏi thực hiện phép quay thuận chiều tâm O một
góc bao nhiêu độ để hình mới vẫn là hình cũ ban đầu?
A. 108o

B. 72o

C. 180o

D. 36o

Câu 3: Em có hai hộp bi, hộp 1 chứa 3 viên bi xanh và 2 viên bi vàng, hộp 2 chứa 2 viên bi
xanh và 3 viên bi vàng. Em bốc ngẫu nhiên cả hai hộp, mỗi hộp 1 viên bi. Xác suất để biến cố
M: “Hai viên bi bốc ra là cùng màu” là:
1
2
A.
B.
5
5

C.

12
25

D.

13
25

⏜
Câu 4: Cho (O, 3 cm) và ba điểm A, B, C trên (O) sao cho ^
BAC = 60o . Tính độ dài cung BC .

A. π

B. 2 π

C. 1,5 π

D. 3 π

Câu 5: Một trường THPT tuyển sinh 400 học sinh. Dưới đây là bảng số liệu về số lượng học
sinh đỗ cấp 3 của trường trong năm học 2024 - 2025:
Khoảng điểm thi

[33; 36,5)

[36,5; 40)

[40; 43,5)

Số học sinh

195

149

54

[43,5; 47)

Tần suất mà trường tuyển sinh được những học sinh trong khoảng điểm [43,5; 47) là:
1
199
1
1
A.
B.
C.
D.
200
200
199
4
Câu 6: Thực hiện dự án dựng đứng cây, người ta đã dựng cột xung quanh cây để giúp cây
đứng vững, không bị đổ. Quan sát hình dưới, hãy tính chiều cao của cây?

5 √3
2

A.

5 √6
4

5
2

cm

B.

cm

C.

5 √3

cm

D.

cm

Câu 7: Biết phương trình x2 – 2mx + m = 0 có hai nghiệm kép dương x1 và x2. Tìm m?
A. m = 0

B. m = -1

C. m = 2

D. m = 1

Câu 8: Xoay hình tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, BC = 5 cm quanh trục AC cố
định ta được 1 hình nón. Thể tích hình nón đó là:
A. 15 π

B. 16 π

C. 12 π

D. 20 π

II. TỰ LUẬN:
Câu 9: (1 điểm). Cho biểu thức A =

√ x +3 − 2 + 3
x−1 √ x−1 √ x+1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

{

2

Câu 10: (2 điểm) Cho hệ phương trình: x + y=3 m+1 ( I )
y−mx=m−3
a) Với m = 2, giải hệ phương trình (I).
b) Tìm m để hệ phương trình (I) có hai nghiệm (x1, y1), (x2, y2) thỏa mãn y1 + y2 = –3x1x2 – 18
Câu 11: (1 điểm) Cửa hàng A có bán cốc giấy với giá không đổi. Hiện tại, cửa hàng có
khuyến mãi: Cứ mua được 10 cái cốc giấy thì sẽ tặng thêm 2 cái cốc nữa. Hôm ấy, em và bạn
em phải mang về 48 cái cốc để chuẩn bị cho tiệc tổ chức ở lớp. Nếu em và bạn em phân ra để
mua thì cả hai đều được tặng cốc, do đó sẽ chỉ mất 210000 đồng, còn nếu mua chung thì số
tiền giảm đi 10000 đồng.
a) Hỏi giá tiền của một cốc là bao nhiêu?
b) Em và bạn tổng cộng được tặng bao nhiêu cái cốc?
⏜

Câu 12: (3 điểm) Cho (O, R) có dây cung BC cố định, điểm A di động trên cung lớn BC của
(O). Kẻ đường kính AK của (O). Trong tam giác ABC, kẻ đường cao BD. Kẻ đường thẳng
vuông góc với AO qua D cắt AO tại F, cắt AB tại E, KE cắt (O) tại G.
a) Chứng minh tứ giác AGEF nội tiếp.
b) Chứng minh ^
AGF= ^
ACB và CE là đường cao của tam giác ABC.
⏜
c) Chứng minh ^
BAC không đổi khi A di chuyển trên cung lớn BC của (O). Tìm vị trí của
điểm A để KE. KG đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo BC, R và ^
BAC .

Câu 13: (0,5 điểm) Bên trong ống đụng bóng tennis chứa vừa khít 15 quả bóng tennis có
đường kính 6 cm và đường kính đáy của ống đựng bóng bằng đường kính quả bóng tennis.
Bây giờ, người ta cần phủ một lớp sơn xung quanh ống đựng. Hỏi cần phủ lớp sơn có diện
tích bao nhiêu cm2? (bài không cần vẽ hình, kết quả không làm tròn)
Câu 14: (0,5 điểm) Cho ba số thực không âm x, y, k thỏa mãn: x + y + k ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ
nhất và lớn nhất của: (x + k)(y + k)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THAM KHẢO KIỂM TRA KHẢO SÁT
Môn: Toán (lớp 9)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu
học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.

- Trong mỗi bài, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được
điểm.
- Bài hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình thì mới chấm điểm, nếu không có hình vẽ đúng ở
phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình của phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,125 điểm và không làm tròn.
I. TRẮC NGHIỆM: (2 điểm). Khoanh tròn vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng:
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

Đáp án

A

B

C

B

A

D

D

C

(Mỗi câu làm sai trừ 0,25 điểm)
II. TỰ LUẬN:
Câu 9: (1 điểm). Cho biểu thức: A =

√ x +3 − 2 + 3 (ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1) (0,25
x−1 √ x−1 √ x+1

điểm)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn chung
a) A =

Điểm
0,25

2 ( √ x+ 1 )
3 ( √ x−1 )
x−2 √ x−2+3 √ x−3
2 √ x−2
2
√ x +3
−
+
=√
=
=
( √ x −1 )( √ x +1 ) ( √ x−1 )( √ x +1 ) ( √ x−1 ) ( √ x +1 )
( √ x−1 ) ( √ x+ 1 )
( √ x−1 )( √ x +1 ) √ x +1

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì A =

2
.
√ x +1

2
(ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1)
√ x +1
2
Để A có giá trị nguyên thì
có giá trị nguyên nên √ x+1 ∈ Ư ( 2 )={ ± 1;± 2 }
√ x +1
Ta tìm được x = 0 (Thỏa mãn ĐKXĐ) và x = 1 (Không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy x = 0 thì biểu thức A có giá trị nguyên.

b) Ta có: A =

Câu 10: (2 điểm) Cho hệ phương trình:

{

0,5

2

x + y =3 m+1( 3) (I )
y−mx=m−3 (4)

a) Với m = 2, giải hệ phương trình (I).
b) Tìm m để hệ phương trình (I) có hai nghiệm (x1, y1), (x2, y2) thỏa mãn y1 + y2 = –3x1x2 – 18
Hướng dẫn chung
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình (I), ta được:

{

{

Điểm
0,25

2

x2 + y =3.2+1 hay x + y=7 (1)
y−2 x=2−3
y−2 x=−1(2)

Từ phương trình (2), ta được: y = 2x – 1 (*).
Trừ từng vế của (1) cho (2), ta được:
(x2 + y) – (y – 2x) = 7 – (-1)
hay x2 + 2x = 8
x2 + 2x – 8 = 0 (**)

0,25

Ta có: ∆ ' =12−1. (−8 )=9>0

0,25

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: x1 =

−1+ √ 9
−1−√ 9
= 2, x2 =
1
1

= -4
Thay x1 = 2 vào (*), ta được: y = 2. 2 – 1 = 3
Thay x2 = -4 vào (*), ta được: y = 2. (-4) – 1 = -9
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2, 3) và (-4, -9).

0,25

b) Từ phương trình (4), ta được: y = mx + m – 3 (***)
Thay (***) vào (3), ta được:
x2 + mx + m – 3 = 3m + 1
hay x2 + mx – 2m – 4 = 0 (3)

0,25

Ta có: ∆=m2−4.1. (−2 m−4 )=m2 +8 m+16=( m+ 4 )2 ≥ 0 với mọi m

0,25

Do đó, phương trình (3) có hai nghiệm với mọi m.
Vì vậy, hệ phương trình (I) luôn có hai nghiệm (x1, y1) và (x2, y2) với mọi m.

{

−m
=−m
1
( II)
Theo hệ thức Vietè, ta có:
−2m−4
x1 x 2=
=−2m−4
1
x 1+ x2 =

Vì (x1, y1) là nghiệm của hệ phương trình (I) nên cũng là nghiệm của phương
trình (***). Do đó, ta có: y1 = mx1 + m – 3 (5).
Tương tự, ta cũng có: y2 = mx2 + m – 3 (6).
Theo bài ra ta có: y1 + y2 = -3x1x2 – 18
Kết hợp với hệ phương trình (II), (5) và (6), ta được:
mx1 + m – 3 + mx2 + m – 3 = -3(-2m – 4) – 18
m(x1 + x2) + 2m – 6 = 6m + 12 – 18
m(-m) + 2m – 6 – 6m – 12 + 18 = 0
-m2 – 4m = 0
-m(m + 4) = 0
Khi đó, m = 0 (Thỏa mãn điều kiện) hoặc m + 4 = 0
Ta có: m + 4 = 0 hay m = -4 (Thỏa mãn điều kiện)

0,25

Vậy với m = 0 hoặc m - -4 thì hệ phương trình (I) có hai nghiệm (x1, y1) và (x2,
y2) thỏa mãn y1 + y2 = -3x1x2 – 18

0,25

Câu 11: (1 điểm) Cửa hàng A có bán cốc giấy với giá không đổi. Hiện tại, cửa hàng có
khuyến mãi: Cứ mua được 10 cái cốc giấy thì sẽ tặng thêm 2 cái cốc nữa. Hôm ấy, em và bạn
em phải mang về 48 cái cốc để chuẩn bị cho tiệc tổ chức ở lớp. Nếu em và bạn em phân ra để
mua thì cả hai đều được tặng cốc, do đó sẽ chỉ mất 210000 đồng, còn nếu mua chung thì số
tiền giảm đi 10000 đồng.
a) Hỏi giá tiền của một cốc là bao nhiêu?
b) Em và bạn tổng cộng được tặng bao nhiêu cái cốc?
Hướng dẫn chung
a) Gọi giá tiền của một cốc là x (đồng) (0 < x < 210000)

Điểm
0,25

Vì khi mua chung, số tiền giảm đi 10000 đồng nên số tiền mua chung là: 210000 –
10000 = 200000 (đồng)
Vì cứ mua 10 cốc thì được tặng 2 cốc nên nếu mang về 12 cốc thì được miễn phí 2
cốc, còn nếu mua ít hơn 12 cốc thì không được miễn phí.
Do đó, nếu mang về 48 cốc thì số cốc miễn phí là: 48 : 12. 2 = 8 (cốc)
Do đó, số cốc cần trả tiền là: 48 – 8 = 40 (cốc)
Vì nếu mua chung cần trả 200000 đồng nên ta có phương trình:
40x = 200000
hay x = 5000 (thỏa mãn)
Vậy giá tiền của một cốc nước là 5000 đồng.

0,25

b) Gọi số cốc được tặng của em và bạn em là y (cốc) (y > 0)

0,25

Nếu như không được tặng thì cả hai cần trả: 5000. 48 = 240000 (đồng)
Do được tặng cốc nên số tiền trả chỉ còn: 240000 – 5000y (đồng)
Do số tiền cần trả là 210000 đồng nên ta có phương trình:
240000 – 5000y = 210000
hay y = 6 (thỏa mãn)
Vậy em và bạn được tặng tổng cộng 6 cái cốc.

0,25

⏜

Câu 12: (3 điểm) Cho (O, R) có dây cung BC cố định, điểm A di động trên cung lớn BC của
(O). Kẻ đường kính AK của (O). Trong tam giác ABC, kẻ đường cao BD. Kẻ đường thẳng
vuông góc với AO qua D cắt AO tại F, cắt AB tại E, KE cắt (O) tại G.
a) Chứng minh tứ giác AGEF nội tiếp.
b) Chứng minh ^
AGF= ^
ACB và CE là đường cao của tam giác ABC.
⏜
c) Chứng minh ^
BAC không đổi khi A di chuyển trên cung lớn BC của (O). Tìm vị trí của
^.
điểm A để KE. KG đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo BC, R và BAC

Hướng dẫn chấm

Điểm
0,5

a)
Xét (O) có ^
AGK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
o
=> ^
AGK=90 (hệ quả của góc nội tiếp)
^
AGE+ ^
AFE=90o +90 o=180o
Xét tứ giác AGEF, ta có: ^ ^
AGE và AFE là hai góc đối nhau

}

0,5

=> Tứ giác AGEF nội tiếp.
⏜
b) Xét (O) có ^
ACB và ^
AKB là hai góc nội tiếp cùng chắn AB
=> ^
ACB=^
AKB (hệ quả của góc nội tiếp)
Xét (O) có ^
ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
o
=> ^
ABK =90 (hệ quả của góc nội tiếp)
o
o
^ ^
Ta có: KAB+
AEF= ^
AKB
BKA =90 và ^
EAF + ^
AEF=90 => ^
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AGEF, ta có ^
AGF , ^
AEF là hai góc nội tiếp cùng

0,25

0,25

⏜

chắn AF => ^
AGF= ^
AEF (hệ quả của góc nội tiếp)
Do đó: ^
AGF= ^
ACB
Xét tứ giác BEDC có ^
AED=^
ACB (góc trong bằng góc đối ngoài, phải chứng
o
minh) => Tứ giác BEDC nội tiếp => ^
BEC= ^
BDC=90 => CE là đường cao.
⏜
1
BAC= ^
BOC (không đổi do O, B,
c) Xét (O) có ^
BAC là góc nội tiếp chắn BC => ^
2

0,5
0,25

C cố định)
Vì tứ giác AGEF nội tiếp => KE. KG = KF. KA

0,25

Kẻ đường cao AI. Gọi J là trung điểm của BC, OJ cắt cung lớn BC của (O) tại L.
Ta có: AI ≤ AJ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) ≤ AO + OJ (bất
đẳng thức tam giác). Do đó: AI ≤ R +OJ (không đổi do O, B, C, J cố định, R không
đổi) hay AI ≤ LJ.
Bên cạnh đó: ^
AED=^
ACB , ^
DAE chung => ∆ AED ∆ ACB (g.g)

0,5

DE AE
=
=cos ^
BAC => DE = BC. cos ^
BAC
BC AC
S ADE DE 2
=
=cos ^
BAC => SADE = SABC. cos ^
Mặt khác,
BAC .
S ABC
BC

=>

( )

Ta lại có: SABC =
Do đó: SADE ≤

1
1
. AI . BC ≤ . LJ . BC .
2
2

1
. LJ . BC . cos ^
BAC
2

1
. LJ . BC .cos ⁡^
BAC
S ADE
≥ AK - 2
Ta thấy: KF = AK – AF = AK 2 DE
^
2. BC . cos B
AC
LJ
Hay KF ≥ AK 4
LJ
Do đó: KE. KG = KF. KA ≥ AK −
4

Mặt khác, ta có: OB = OC (= R) nên tam giác OBC cân, mà OJ là trung tuyến
=> OJ là đường cao, đồng thời là phân giác.
1
BOJ = ^
BOC= ^
BAC
=> ^
2

1
BAC
Vì vậy: LJ = LO + OJ = R + BJ. cot ^
BOJ = R + BC .cot ^
2
1
^
R + . BC . cot B
AC
14 R2−R . BC . cot ^
BAC
2
Do đó: KF. KA ≥ 2R. (2R )=
4
4
⏜

Dấu “=” xảy ra  A là điểm chính giữa của cung lớn BC .
⏜

Vậy khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC thì KF. KG đạt giá trị nhỏ nhất là:
14 R2−R . BC . cot ^
BAC
4
Câu 13: (0,5 điểm) Bên trong ống đụng bóng tennis chứa vừa khít 15 quả bóng tennis có
đường kính 6 cm và đường kính đáy của ống đựng bóng bằng đường kính quả bóng tennis.
Bây giờ, người ta cần phủ một lớp sơn xung quanh ống đựng. Hỏi cần phủ lớp sơn có diện
tích bao nhiêu cm2? (bài không cần vẽ hình, kết quả không làm tròn)
Hướng dẫn chấm

Điểm

Chiều cao của ống đựng là: 6. 15 = 90 (cm)
Bán kính đáy cảu ống đựng là: 6 : 2 = 3 (cm)

0,25

Lớp sơn đó có diện tích là: V = 2 πRh = 2 π .3 .90=540 π (cm2)
Vậy cần phủ lớp sơn có diện tích 540 π cm2

0,25

Câu 14: (0,5 điểm) Cho ba số thực không âm x, y, k thỏa mãn: x + y + k ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ
nhất và lớn nhất của: (x + k)(y + k)
Hướng dẫn chấm

Điểm

Vì x, y, k là các số không âm nên x, y, k ≥ 0. Do đó: x + k ≥ 0 và y + k ≥ 0.
Do đó: (x + k)(y + k) ≥ (0 + 0)(y + 0) = 0.
Dấu “=” xảy ra  x = k = 0 và y ∈ R, 0 ≤ y ≤ 4 .
* Tùy cách giải mà sẽ đưa ra kết quả của “Dấu “=” xảy ra” khác nhau.

0,25

Vì x, y, k ≥ 0 và x + y + k ≤ 4 => 0 ≤ k ≤ 4.

0,25

2

2

2

( x+ y +2 k ) ( 4 +k ) ( 4+ 4 )
= 16.
≤
≤
4
4
4
Dấu “=” xảy ra  x = y = 0 và k = 4.
Ta có: (x + k)(y + k) ≤