TT 17 QUANG TRUNG TPCT

ThS Phạm Quang Hưng

02923.751,929

1

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929

NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F'(x) = f (x) , x  K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
 f (x)dx = F(x) + C , C  R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
•  f '(x)dx = f (x) + C

 f (x)  g(x)dx =  f (x)dx   g(x)dx
•  kf (x)dx = k  f (x)dx (k  0)
•

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 k.dx = k.x + C

1)

1

1
dx = − + C
x

3)

x

5)

 (ax + b)

2

1

1
+ C;
a(n − 1)(ax + b)n −1
 sin x.dx = − cos x + C

7)

n

dx = −

1

9)

 sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

11)

 cos

1

1

 sin

2

x

2

x

dx =  (1 +tg 2 x).dx = tgx + C

x n +1
+C
n +1

2)

n
 x dx =

4)

 x dx = ln x + C

6)

1

1

1

 (ax + b) dx = a ln ax + b + C

8)

 cos x.dx = sin x + C

10)

 cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

1

12)

dx =  (1 + cot g 2 x ) dx = − cot gx + C

1

1

1

1

13)

 cos (ax + b) dx = a tg(ax + b) + C

14)

 sin (ax + b) dx = − a cot g(ax + b) + C

15)

 e dx = e

16)

e

17)
19)
21)
23)
25)

2

x

x

+C

1 (ax +b)
 e dx = a e + C
ax
x
a
dx
=
+C

ln a
1
1 x −1
 x 2 − 1 dx = 2 ln x + 1 + C
1
1
x −a
 x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
1
x
 a 2 − x 2 dx = arcsin a + C
(ax + b)

ThS Phạm Quang Hưng

18)
20)
22)
24)
26)

2

2

−x

dx = −e − x + C

1 (ax + b)n +1
 (ax + b) .dx = a . n + 1 + C (n  1)
1
 x 2 + 1 dx = arctgx + C
1
1
x
 x 2 + a 2 dx = a arctg a + C
1
 1 − x 2 dx = arcsin x + C
1
2
 x 2  1 dx = ln x + x  1 + C
n

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929



27)



1

dx = ln x + x 2  a 2 + C

28)
x a
x 2
a2
x
a 2 − x 2 dx =
a − x 2 + arcsin + C
2
2
a
2
x 2 2 a
29)  x 2  a 2 dx =
x  a  ln x + x 2  a 2 + C
2
2
2

2

B – BÀI TẬP

Câu 1: Nguyên hàm của 2x (1 + 3x 3 ) là:
A. x ( x + x ) + C
2

B. x (1 + 3x

3

2

Câu 2: Nguyên hàm của
A. −

x4 + x2 + 3
+C
3x

2

)+C

1
1
− x 2 − là:
2
x
3
x3 1 x
B. − + − + C
3 x 3

 6x 3 
D. x 1 +
+C
5 


C. 2x ( x + x ) + C

2

3

C.

−x 4 + x 2 + 3
+C
3x

1 x3
D. − − + C
x 3

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x là:
A. F ( x ) =

33 x2
+C
4

B. F ( x ) =

3x 3 x
+C
4

là:
x x
2
B. F ( x ) = −
+C
x

2
+C
x

4x
+C
33 x

C. F ( x ) =

x
+C
2

D. F ( x ) =

4x
33 x2

+C

1

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

C. F ( x ) =

D. F ( x ) = −

x
+C
2

5

Câu 5:   + x 3  dx bằng:
x

2 5
2 5
2 5
2 5
A. 5ln x −
x + C B. −5ln x +
x + C C. −5ln x −
x + C D. 5ln x +
x +C
5
5
5
5
dx
Câu 6: 
bằng:
2 − 3x
1
3
1
1
A.
B. −
C. ln 2 − 3x + C
D. − ln 3x − 2 + C
+C
+C
2
2
3
3
( 2 − 3x )
( 2 − 3x )

Câu 7: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

2 ( x − 1)

x x+ x
là:
x2

+C

x
2−3 x
+C
C. F ( x ) =
x
Câu 8: Tìm nguyên hàm:
A.

(

3

) +C

x +1

2

D. F ( x ) =

1+ 2 x
+C
x

x

2

4
x 2 + )dx
x

53 5
x + 4ln x + C
3

ThS Phạm Quang Hưng

(

B. F ( x ) =

B. −

3

33 5
x + 4ln x + C
5

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
3
D. 3 x 5 + 4ln x + C
5

3
C. 3 x 5 − 4ln x + C
5
Câu 9: Tìm nguyên hàm:

 (x

2

+

3
− 2 x )dx
x

x3
4 3
+ 3ln x +
x +C
3
3
x3
4 3
C.
− 3ln x −
x +C
3
3

x3
4 3
+ 3ln X −
x
3
3
x3
4 3
D.
+ 3ln x −
x +C
3
3

A.

B.

5 1 3
+
x )dx
x2 2
5 1 5
5 1 5
A. − +
B. −
x +C
x +C
x 5
x 5
2
Câu 11: Tìm nguyên hàm:  (x 3 − + x )dx
x
1
2 3
A. x 4 + 2ln x −
x +C
4
3
1
2 3
C. x 4 + 2ln x +
x +C
4
3
dx
Câu 12: Tính 
, kết quả là:
1− x
C
A.
B. −2 1 − x + C
1− x
Câu 10: Tìm nguyên hàm:  (

5 4 5
C. − +
x +C
x 5

D.

5 1 5
+
x +C
x 5

1 4
2 3
x − 2ln x −
x +C
4
3
1
2 3
D. x 4 − 2ln x +
x +C
4
3
B.

2
+C
1− x

C.

D. C 1 − x

2

 x2 +1 
Câu 13: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 
 là hàm số nào trong các hàm số sau?
 x 
x3 1
x3 1
A. F(x) = − + 2x + C
B. F(x) = + + 2x + C
3 x
3 x
3
3
x
 x3

+x
 +x
C. F(x) = 3 2 + C
D. F(x) =  3 2  + C
x
 x 


2
 2 
x(2 + x)
Câu 14: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) =
(x + 1)2
x 2 − x −1
x 2 + x −1
x2 + x +1
x2
A.
B.
C.
D.
x +1
x +1
x +1
x +1
Câu 15: Kết quả nào sai trong các kết quả sao?

2x +1 − 5x −1
1
2
 10x dx = 5.2x.ln 2 + 5x.ln 5 + C
x2
1 x +1
dx = ln
−x+C
C. 
2
1− x
2 x −1
A.

Câu 16: 
A.

x 4 + x −4 + 2
1
dx = ln x − 4 + C
3
x
4x

B.



D.

 tan

B.

x2
+ x + ln x + 1 + C
2

2

xdx = tan x − x + C

x 2 + 2x + 3
dx bằng:
x +1

x2
+ x + 2ln x + 1 + C
2

ThS Phạm Quang Hưng

4

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
2

C.

x
+ x + 2ln x − 1 + C
2

Câu 17: 

D. x + 2 ln x + 1 + C

x2 − x + 3
dx bằng:
x +1

A. x + 5ln x + 1 + C
C.

B.

x2
− 2x − 5ln x − 1 + C
2

x2
− 2x + 5ln x + 1 + C
2

D. 2x + 5ln x + 1 + C

20x 2 − 30x + 7
3
; F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2x − 3 với x  . Để hàm
2
2x − 3
số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì giá trị của a, b, c là:
A. a = 4; b = 2;c = 1
B. a = 4; b = −2;c = −1 C. a = 4; b = −2;c = 1 . D. a = 4; b = 2;c = −1
Câu 18: Cho các hàm số: f (x) =

Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 – 3x +

x 3 3x 2
A. F(x) =
−
− ln x + C
3
2
x 3 3x 2
C. F(x) =
−
+ ln x + C
3
2
2x
Câu 20: Cho f ( x ) = 2
. Khi đó:
x +1
A.  f ( x )dx = 2 ln (1 + x 2 ) + C

1
là
x

x 3 3x 2
B. F(x) =
−
+ ln x + C
3
2
x 3 3x 2
D. F(x) =
+
+ ln x + C
3
2
B.  f ( x )dx = 3ln (1 + x 2 ) + C

C.  f ( x )dx = 4 ln (1 + x 2 ) + C

D.  f ( x )dx = ln (1 + x 2 ) + C

x 3 + 3x 2 + 3x − 1
1
biết F(1) =
2
x + 2x + 1
3
2
2
13
A. F(x) = x 2 + x +
B. F(x) = x 2 + x +
−6
−
x +1
x +1 6
x2
2
13
x2
2
C. F(x) =
D. F(x) =
+x+
−
+x+
−6
2
x +1 6
2
x +1
1

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số y = 3x − 1 trên  ; +  là:
3

3 2
3 2
2
2
3
3
x −x+C
x −x +C
A.
B.
C.
D.
( 3x −1) + C
( 3x −1) + C
2
2
9
9
Câu 23: Tìm hàm số F(x) biết rằng F'(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3
A. F(x) = x4 – x3 - 2x -3
B. F(x) = x4 – x3 - 2x + 3
4
3
C. F(x) = x – x + 2x + 3
D. F(x) = x4 + x3 + 2x + 3
Câu 21: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =

Câu 24: Một nguyên hàm của f (x) =

(

(

x ln x + x 2 + 1

)

x2 +1

) là:

(

)

A. x ln x + x 2 + 1 − x + C

B. ln x + x 2 + 1 − x + C

C. x ln x 2 + 1 − x + C

D.

Câu 25: Nguyên hàm của hàm số y =
ThS Phạm Quang Hưng

2x 4 + 3
là:
x2
5

(

)

x 2 + 1ln x + x 2 + 1 − x + C

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
3

A.

2x 3
− +C
3 x

B. −3x 3

02923.751,929
2x 3 3
C.
+ +C
3 x

3
+C
x

D.

x3 3
− +C
3 x

Câu 26: Cho  f (x)dx = F(x) + C. Khi đó với a  0, ta có  f (a x + b)dx bằng:
A.

1
F(a x + b) + C
2a

B. F(a x + b) + C

C.

1
+C
x−2

C. F(x) =

B. Đáp số khác

Câu 28: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =

D. F(a x + b) + C

−1
là:
(x − 2)2

Câu 27: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
A. F(x) =

1
F(a x + b) + C
a

−1
+C
x−2

D. F(x) =

−1
+C
(x − 2)3

x2 − x +1
là
x −1

x2
+ ln | x − 1| +C
2
1
C. F(x) = x +
+C
x −1

B. F(x) = x 2 + ln | x − 1| +C

A. F(x) =

D. Đáp số khác

Câu 29: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2x 2 + x 3 − 4 thỏa mãn điều kiện F ( 0 ) = 0 là
B. 2x 3 − 4x 4

A. 4

C.

Câu 30: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 trên
A.

x4
+x+C
4

Câu 31: Tính

B. 3x 2 + C

2 3 x4
x + − 4x
3
4

D. x 3 − x 4 + 2x

là
C. 3x 2 + x + C

D.

x4
+C
4

x5 + 1
 x3 dx ta được kết quả nào sau đây?
3

A. Một kết quả khác

x6
+x
6
+C
C.
x4
4

2

x x
B.
+ +C
3 2

Câu 32: Một nguyên hàm F(x) của f (x) = 3x 2 + 1 thỏa F(1) = 0 là:
A. x 3 − 1
B. x 3 + x − 2
C. x 3 − 4

x3
1
D.
− 2 +C
3 2x

D. 2x 3 − 2

Câu 33: Hàm số f ( x ) có nguyên hàm trên K nếu
A. f ( x ) xác định trên K

B. f ( x ) có giá trị lớn nhất trên K

C. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất trên K

D. f ( x ) liên tục trên K

Câu 34: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + 3 x + 4 x ?

2 32 3 43 4 54
x + x + x +C
3
4
5
2
4
2 3 4 3 5 54
C. F(x) = x + x + x + C
3
3
4

2 23 3 43 4 54
x + x + x +C
3
4
5
1
3
2 2 1 3 4 54
D. F(x) = x + x + x + C
3
3
5

A. F(x) =

B. F(x) =

Câu 35: Cho hàm số f (x) = x 3 − x 2 + 2x − 1 . Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), biết rằng F(1) = 4
thì
x 4 x3
49
x 4 x3
A. F(x) = − + x 2 − x +
B. F(x) =
− + x2 − x +1
4 3
12
4 3
ThS Phạm Quang Hưng

6

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
C. F(x) =

4

3

x x
− + x2 − x + 2
4 3

D. F(x) =

x 4 x3
− + x2 − x
4 3

Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số y = (2x + 1)5 là:
1
1
1
A.
B. (2x + 1)6 + C
C. (2x + 1)6 + C .
D. 10(2x + 1)4 + C
(2x + 1)6 + C
12
6
2
1
Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x) =
x +9 − x
2
3
A.
B. Đáp án khác
( x + 9) − x3 + C
27
2
2
3
C.
D.
+C
x + 9) + x3 + C
(
3
27
3( ( x + 9 ) − x 3 )

(

)

(

)

Câu 38: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên ( a; b ) và C là hằng số thì  f (x)dx = F(x) + C .
B. Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b  .

C. F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên  a; b   F(x) = f (x), x  a; b .
D.

(  f (x)dx ) = f (x)

Câu 39: Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 − x 2 biết F ( 2 ) =

7
3

x3 1
x3
x3
19
B. F ( x ) = 2x − x 3 +
C. F ( x ) = 2x − + 1 D. F ( x ) = 2x − + 3
+
3 3
3
3
3
Câu 40: Cho hai hàm số f (x), g(x) là hàm số liên tục,có F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của
f (x), g(x) . Xét các mệnh đề sau:
(I): F(x) + G(x) là một nguyên hàm của f (x) + g(x)
(II): k.F ( x ) là một nguyên hàm của kf ( x ) ( k  R )
A. F ( x ) = 2x −

(III): F(x).G(x) là một nguyên hàm của f (x).g(x)
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?
A. I
B. I và II

C. I,II,III

2
:
(x + 1) 2
−2
C.
x +1

D. II

Câu 41: Hàm nào không phải nguyên hàm của hàm số y =

−x + 1
2x
B.
x +1
x +1
Câu 42: Tìm công thức sai:
A.

C.  cos xdx = sin x + C
Câu 43: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
sin 3 x
2
(I) :  sin x dx =
+C
3
4x + 2
(II) :  2
dx = 2ln ( x 2 + x + 3) + C
x + x +3

ThS Phạm Quang Hưng

x −1
x +1

ax
+ C ( 0  a  1)
ln a
D.  sin xdx = cos x + C
B.  a x dx =

A.  e x dx = e x + C

(III) :  3x ( 2x + 3− x ) dx =

D.

6x
+x+C
ln 6
7

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
A. (III)

B. (I)

02923.751,929
C. Cả 3 đều sai.

Câu 44: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y =

D. (II)

1
và F(2) = 1 thì F(3) bằng
x −1

1
3
B. ln
C. ln 2
D. ln 2 + 1
2
2
Câu 45: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
x +1
dx
A. 
B.  x  dx =
+ C (   −1)
= ln x + C
 +1
x
ax
dx
C.  a x dx =
D. 
+ C ( 0  a  1)
= tan x + C
ln a
cos x
Câu 46: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
F ( x ) = 1 + tan x
f ( x ) = 1 + tan 2 x
A.
là một nguyên hàm của hàm số
A.

B. Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng

F(x) + C

(C là hằng số)
u '( x )
 u ( x ) dx = lg u ( x ) + C
C.
F ( x ) = 5 − cos x
f ( x ) = sin x
D.
là một nguyên hàm của
Câu 47: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
x4 x2
1
3
A.  ( x − x ) dx =
B.  e2x dx = ex + C
− +C
4 2
2
2
dx
4
= ln
C.  sin xdx = cos x + C
D.  2
x +x
3
1
Câu 48: Trong các khẳng định sau, khăng định nào sai?
( f ( x ) + f 2 ( x ) ) dx =  f1 ( x ) dx +  f 2 ( x ) dx
A.  1
F(x)
G ( x ) đều là nguyên hàm cùa hàm số f ( x ) thì F ( x ) − G ( x ) = C là hằng số
B. Nếu
và
f (x) = 2 x
F(x) = x
là một nguyên hàm của
C.
F( x ) = x2
f ( x ) = 2x
D.
là một nguyên hàm của
Câu 49: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
F ( x ) = 7 + sin 2 x
f ( x ) = sin 2x
A.
là một nguyên hàm của hàm số
F(x)
G (x)
( F ( x ) − G ( x ) ) dx có dạng
B. Nếu
và
đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì 
h ( x ) = Cx + D (C,D là các hằng số, C  0 )
u '( x )
 u (x) = u (x) + C
C.
f ( t ) dt = F ( t ) + C
f ( u ( x ) ) dt = F ( u ( x ) ) + C
D. Nếu 
thì 

5 + 2x 4
Câu 50: Cho hàm số f (x) =
. Khi đó:
x2
2x 3 5
A.  f (x)dx =
− +C
3
x
ThS Phạm Quang Hưng

8

B.  f (x)dx = 2x 3 −

5
+C
x

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
C.  f (x)dx =

3

2x 5
+ +C
3
x

D.  f (x)dx =

(

)

2x 3
+ 5lnx 2 + C
.
3

Câu 51: Cho hàm số f ( x ) = x x 2 + 1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x); đồ thị hàm số y = F ( x ) đi
4

qua điểm M (1;6 ) . Nguyên hàm F(x) là.

(x
A. F ( x ) =
(x
C. F ( x ) =

2

+ 1)

2
−
5

4
2

+ 1)

5

(x
B. F ( x ) =

4

2

(x
D. F ( x ) =

5

2
+
5

+ 1)

5

5
2

+ 1)

4

−

2
5

+

2
5

4

x3 −1
biết F(1) = 0
x2
x2 1 3
x2 1 1
B. F(x) =
C. F(x) =
+ +
− −
2 x 2
2 x 2

Câu 52: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của f (x) =
A. F(x) =

x2 1 1
− +
2 x 2

D. F(x) =

Câu 53: Một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 − 2x là:
3
3
1
A. (2x − 1) 1 − 2x
B. (2x − 1) 1 − 2x
C. − (1 − 2x) 1 − 2x
4
2
3

D.

x2 1 3
+ −
2 x 2

3
(1 − 2x) 1 − 2x
4

1

Câu 54: Cho f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên

. Khi đó giá trị tích phân

 f (x)dx

là:

−1

A. 2

B. 0

C. 1

D. -2

Câu 55: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn y ' = x .y và f(-1)=1 thì f(2) bằng bao nhiêu:
2

A. e3

B. e2

C. 2e

Câu 56: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số
A. ln 2 + 1

B.

1
2

Câu 57: Nguyên hàm của hàm số
A.

1
+C
2 − 4x

B.

1

( 2x − 1)
−1

( 2x − 1)

3

2

D. e + 1

1
và F(2)=1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:
x −1
3
C. ln
D. ln 2
2

là

+C

C.

1
+C
4x − 2

D.

−1
+C
2x − 1

Câu 58: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 4x 3 − 3x 2 + 2x − 2 thỏa mãn F(1) = 9 là:
A. F(x) = x 4 − x 3 + x 2 − 2
B. F(x) = x 4 − x 3 + x 2 + 10
C. F(x) = x 4 − x 3 + x 2 − 2x
D. F(x) = x 4 − x 3 + x 2 − 2x + 10
Câu 59: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A.  0dx = C ( C là hằng số)
C.

x



dx =

B.

1 +1
x + C ( C là hằng số)
 +1

Câu 60: Một nguyên hàm của f ( x ) =

D.  dx = x + C ( C là hằng số)

x 2 − 2x + 3
là
x +1

x2
x2
A.
+ 3x − 6ln x + 1 B.
− 3x-6ln x + 1
2
2
Câu 61: Cho  f (x)dx = x 2 − x + C
ThS Phạm Quang Hưng

1

 x dx = ln x + C ( C là hằng số)

9

x2
C.
− 3x+6ln x + 1
2

x2
D.
+ 3x+6ln x + 1
2

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
Vậy  f (x )dx = ?
2

A.

x5 x3
− +C
5 3

B. x 4 − x 2 + C

C.

2 3
x −x+C
3

D. Không được tính

Câu 62: Hãy xác định hàm số f(x) từ đẳng thức: x 2 + xy + C =  f (y)dy
A. 2x

B. x

C. 2x + 1

D. Không tính được

Câu 63: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: eu + e v + C =  f (v)dv
C. −e v
4 1
Câu 64: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: 3 − 2 + C =  f (y)dy
x y
1
3
2
A. − 3
B. + 3
C. + 3
y
y
y
A. e v

B. eu

D. −eu

D. Một kết quả khác.

Câu 65: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: sin u.cos v + C =  f (u)du
A. 2cosucosv

B. -cosucosv

C. cosu + cosv

D. cosucosv

x 3 + 3x 2 + 3x − 7
với F(0) = 8 là:
(x + 1)2
x2
8
x2
8
x2
8
A.
B.
C.
D. Một kết quả khác
+x+
+x−
−x+
2
x +1
2
x +1
2
x +1

Câu 67: Tìm nguyên hàm của: y = sin x.sin 7x với F   = 0 là:
2
sin 6x sin 8x
sin 6x sin 8x
sin 6x sin 8x
 sin 6x sin 8x 
A.
B. −
C.
D. − 
+
+
+
−
16 
12
16
12
16
12
16
 12
2x − 3
Câu 68: Cho hai hàm số F(x) = ln(x 2 + 2mx + 4) vaø f (x) = 2
. Định m để F(x) là một
x − 3x + 4
nguyên hàm của f(x)
3
3
2
2
A.
B. −
C.
D. −
2
3
2
3
1
Câu 69:  2
dx bằng:
sin x.cos 2 x
A. 2 tan 2x + C
B. -4 cot 2x + C
C. 4 cot 2x + C
D. 2 cot 2x + C
Câu 66: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =

Câu 70:  ( sin 2x − cos2x ) dx bằng:
2

A.

( sin 2x − cos2x )

3

3

2

+C

1
C. x − sin 2x + C
2
2x
Câu 71:  cos2
dx bằng:
3
3
2x
1
2x
A. cos4
B. cos4
+C
+C
2
3
2
3

1
 1

B.  − cos2x + sin 2x  + C
2
 2

1
D. x + cos4x + C
4

x 3
4x
x 4
4x
D. − cos
+ sin
+C
+C
2 8
3
2 3
3
1
Câu 72: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = −
và F ( 0 ) = 1 . Khi đó, ta có F ( x ) là:
cos2 x
A. − tan x
B. − tan x + 1
C. tan x + 1
D. tan x −1

ThS Phạm Quang Hưng

10

C.

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
Câu 73: Hàm số F(x) = ln sin x − 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau
đây:

cos x + 3sin x
sin x − 3cos x
− cos x − 3sin x
C. f (x) =
sin x − 3cos x
A. f (x) =

B. f (x) = cos x + 3sin x
D. f (x) =

sin x − 3cos x
cos x + 3sin x

Câu 74: Tìm nguyên hàm:  (1 + sin x) 2 dx

2
1
3
1
B. x − 2cos x + sin 2x + C ;
x + 2cos x − sin 2x + C ;
3
4
2
4
2
1
3
1
C. x − 2cos 2x − sin 2x + C ;
D. x − 2cos x − sin 2x + C ;
3
4
2
4
4m
Câu 75: Cho f (x) =
+ sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và

 
F  =
4 8
A.

A. m = −

4
3

B. m =

3
4

C. m = −

3
4

D. m =

3
4

Câu 76: Cho hàm f ( x ) = sin 4 2x . Khi đó:
1
1

A.  f ( x ) dx =  3x + sin 4x + sin 8x  + C
8
8

1
1

C.  f ( x ) dx =  3x + cos 4x + sin 8x  + C
8
8


1
1

B.  f ( x ) dx =  3x − cos 4x + sin 8x  + C
8
8

1
1

D.  f ( x ) dx =  3x − sin 4x + sin 8x  + C
8
8


Câu 77: Một nguyên hàm của hàm số y = sin 3x
1
1
A. − cos3x
B. −3cos3x
C. 3cos3x
D. cos3x
3
3
1
Câu 78: Cho hàm y = 2 . Nếu F ( x ) là nguyên hàm của hàm số và đồ thị hàm số y = F ( x ) đi qua
sin x
 
điểm M  ;0  thì F ( x ) là:
6 
3
3
−
+ cot x
A.
C. − 3 + cot x
− cot x
3
B.
D. 3 − cot x
3
Câu 79: Nguyên hàm của hàm số f (x) = tan 3 x là:
A. Đáp án khác
tan 4 x
C.
+C
4

B. tan 2 x + 1
1
D. tan 2 x + ln cos x + C
2

Câu 80: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = sin 2 x là
1
A. F(x) = (2x − sin 2x) + C
B. Cả (A), (B) và (C) đều đúng
4
1
1
sin 2x
C. F(x) = (x − sinx.cosx) + C
D. F(x) = (x −
)+C
2
2
2
Câu 81: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
1
A. sin 2x và cos2 x
B. tan x 2 và
C. e x và e− x
D. sin 2 x và sin 2 x
2 2
cos x
ThS Phạm Quang Hưng

11

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
Câu 82: Gọi F1(x) là nguyên hàm của hàm số f1 (x) = sin 2 x thỏa mãn F1(0) =0 và F2(x) là nguyên hàm
của hàm số f2 (x) = cos2 x thỏa mãn F2(0)=0.
Khi đó phương trình F1(x) = F2(x) có nghiệm là:

k
2
3
Câu 83: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin 4 ( 2x ) thỏa mãn điều kiện F ( 0 ) = là
8
3
1
1
3
3
1
1
A. x − sin 2x + sin 4x +
B. x − sin 4x + sin 8x
8
8
64
8
8
8
64
3
1
1
3
C. ( x + 1) − sin 4x + sin 8x
D. x − sin 4x + sin 6 x +
8
8
64
8
4
Câu 84: Một nguyên hàm của hàm số f (x) =
là:
cos2 x
4x
4
A.
B. 4 tan x
C. 4 + tan x
D. 4x + tan 3 x
2
sin x
3
A. x = k2

B. x = k

C. x =


+ k
2

D. x =

Câu 85: Biểu thức nào sau đây bằng với  sin 2 3xdx ?

1
1
(x − sin 3x) + C
2
3
 14
Câu 86: Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và F ( ) = thì
2
3
1
13
A. F ( x) = sin 3x +
3
3
B.
A.

1
1
(x + sin 6x) + C
2
6

B.

1
1
(x − sin 6x) + C
2
6

C.

1
1
(x + sin 3x) + C
2
3

D.

1
3

C. F ( x) = sin 3x + 5

1
3

D. F ( x) = − sin 3x +

13
3

Câu 87: Một nguyên hàm của f (x) = cos3x cos 2x bằng
1
1
1
1
1
1
A. sin x + sin 5x
B. sin x + sin 5x
C. cos x + cos5c
2
2
2
10
2
10

D.

1
sin 3x sin 2x
6

Câu 88: Tính  cos3 xdx ta được kết quả là:

cos 4 x
A.
+C
x
cos4 x.sin x
C.
+C
4

1
3sin x
sin 3x −
+C
12
4
1  sin 3x

D. 
+ 3sin x  + C
4 3

B.

Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x) = tan 2 x
A.

tan 3 x
+C
3

B. Đáp án khác

C. Tanx-1+C

Câu 90: Hàm số nào là nguyên hàm của f(x) =
 x 
A. F(x) = 1 + cot  + 
2 4

ThS Phạm Quang Hưng

D.

1
:
1 + sin x
B. F(x) = −

2
1 + tan

12

x
2

sin x − x cos x
+C
cos x

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
C. F(x) = ln(1 + sinx)

D. F(x) = 2tan

x
2

Câu 91: Họ nguyên hàm của f(x) = sin 3 x
cos3 x
cos3 x
1
A. cos x −
B. − cos x +
+C
+ C C. − cos x +
+c
3
3
cos x
x
Câu 92: Cho hàm số f ( x ) = 2sin 2 Khi đó  f (x)dx bằng ?
2
A. x + sin x + C
B. x − sin x + C
C. x + cos x + C

D.

sin 4 x
+C
4

D. x − cos x + C

Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2sin x + cos x là:
A. 2cos x − sinx + C

B. 2cos x + sinx + C

Câu 94: Họ nguyên hàm của sin x là:
1
sin 2x 
1
A. ( x + 2cos 2x ) + C B.  x −

2
2 
2

C. −2cos x − sinx + C

D. −2cos x + sinx + C

2

C.

x sin 2x
−
+C
2
4

D.

1
( x − 2cos 2x ) + C
2

Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2x là

1
A. F ( x ) = − cos 2x + C
B. F ( x ) = cos 2x + C
2
1
C. F ( x ) = cos 2x + C
D. F ( x ) = − cos 2x + C
2
Câu 96: Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x. cosx là:
A. F(x) = cos6x
B. F(x) = sin6x
1  sin 6x sin 4x 
11
1

C. − 
D.  sin 6x + sin 4x 
+

2 6
4 
26
4

Câu 97: Tính  cos 5x.cos 3xdx

1
1
sin 8x + sin 2x + C
8
2
1
1
C.
sin 8x + sin 2x
16
4

1
1
sin 8x + sin 2x
2
2
−1
1
D.
sin 8x − sin 2x
16
4

A.

B.

Câu 98: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x là:

x cos 2x
x cos 2x
x sin 2x
x sin 2x
B. −
C. +
D. −
+
+C
+C
+C
+C
2
4
2
4
2
4
2
4
dx
Câu 99: Tính: 
1 + cos x
x
x
1
x
1
x
A. 2 tan + C
B. tan + C
C. tan + C
D. tan + C
2
2
2
2
4
2
Câu 100: Cho f (x) = 3 − 5sin x và f (0) = 7 . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
   3
A. f (x) = 3x + 5cos x + 2
B. f   =
2 2
C. f (  ) = 3
D. f ( x ) = 3x − 5cos x
A.

Câu 101:  ( cos4x.cos x − sin 4x.sin x )dx bằng:

1
sin 5x + C
5
1
1
C. sin 4x + cos4x + C
4
4

1
sin 3x + C
3
1
D. ( sin 4x − cos4x ) + C
4

A.

ThS Phạm Quang Hưng

B.

13

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
Câu 102:  cos8x.sin xdx bằng:

1
sin 8x.cosx + C
8
1
1
C.
cos7x − cos9x + C
14
18

1
B. − sin 8x.cosx + C
8
1
1
D.
cos9x − cos7x + C
18
14

A.

Câu 103:  sin 2 2xdx bằng:

1
1
1
1
1
1
1
B. sin 3 2x + C
C. x − sin 4x + C
D. x − sin 4x + C
x + sin 4x + C
2
8
3
2
8
2
4
Câu 104: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x + sin x thỏa mãn F(0) = 19 là:
A.

x2
2
2
x
C. F(x) = cosx + + 20
2

x2
+2
2
x2
D. F(x) = −cosx + + 20
2

A. F(x) = −cosx +

B. F(x) = −cosx +

Câu 105: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện:

f ( x ) = 2x − 3cos x, F   = 3
2
2
2
A. F(x) = x − 3sin x + 6 +
4
2

C. F(x) = x 2 − 3sin x +
4

2
B. F(x) = x − 3sin x −
4
2

D. F(x) = x 2 − 3sin x + 6 −

Câu 106: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 2x +
A. F(x) = −cotx + x 2 −

2
4

C. F(x) = −cotx + x 2

2
4

1

thỏa mãn F( ) = −1 là:
2
sin x
4
2
B. F(x) = cotx − x 2 +
16
2
2
D. F(x) = −cotx + x −
16

Câu 107: Cho hàm số f ( x ) = cos 3x.cos x . Nguyên hàm của hàm số f ( x ) bằng 0 khi x = 0 là hàm số
nào trong các hàm số sau ?
A. 3sin 3x + sin x

B.

sin 4x sin 2x
+
8
4

C.

sin 4x sin 2x
+
2
4

D.

cos 4x cos 2x
+
8
4

Câu 108: Họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cot 2 x là:
A. cot x − x + C

B. − cot x − x + C

C. cot x + x + C

D. tan x + x + C

Câu 109: Tính nguyên hàm I = 

dx
x  
được kết quả I = ln tan  + 2  + C với a; b;c  . Giá trị của
cosx
a b 

a 2 − b là:
A. 8

C. 0 D. 2

B. 4

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 110: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e1−3x là:
A. F ( x ) =

3
1−3x

e

+C

ThS Phạm Quang Hưng

e1−3x
B. F ( x ) =
+C
3
14

C. F ( x ) = −

3e
+C
e3x

D. F ( x ) = −

e
+C
3e3x

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
1
Câu 111: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2−5x là:
e
e2−5x
5
5
A. F ( x ) = 2−5x + C
B. F ( x ) = − 2−5x + C
C. F ( x ) = −
+C
5
e
e

D. F ( x ) =

Câu 112:  ( 3x + 4x )dx bằng:
A.

3x
4x
+
+C
ln 3 ln 4

(

B.

)

3x
4x
+
+C
ln 4 ln 3

C.

4x
3x
+
+C
ln 3 ln 4

D.

C.

2x
2 3
+
x +C
3.ln 2 3

D. 3.

e5x
+C
5e2

3x
4x
−
+C
ln 3 ln 4

Câu 113:  3.2x + x dx bằng:
A.

2x 2 3
+
x +C
ln 2 3

B. 3.

2x 2 3
+
x +C
ln 2 3

2x
+ x3 + C
ln 2

Câu 114: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 23x.32x là:

23x 32x
.
+C
3ln 2 2ln 3
23x.32x
C. F ( x ) =
+C
ln 6

72
+C
ln 72
ln 72
D. F ( x ) =
+C
72

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

Câu 115: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
x

4
 
3
A. F ( x ) = 3   + C
3
ln
4

3x +1
là:
4x
x

x

3
 
4
B. F ( x ) =   + C
3
ln
4

C. F ( x ) =

22x.3x.7x
+C
ln 4.ln 3.ln 7

C. 84x + C

x
+C
2

3
 
4
D. F ( x ) = 3   + C
3
ln
4

Câu 116:  22x.3x.7 x dx là
A.

84x
+C
ln 84

B.

D. 84x ln 84 + C

Câu 117: Hàm số F(x) = e x + e− x + x là nguyên hàm của hàm số

1
B. f (x) = ex − e− x + x 2
2
1
D. f (x) = ex + e− x + x 2
2

A. f (x) = e− x + e x + 1
C. f (x) = e x − e − x + 1

e x − e− x
Câu 118: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = − x x
e +e
1
A. ln e x + e − x + C
B. x − x + C
e −e

C. ln e x − e − x + C

D.

1
+C
e + e− x
x

1

Câu 119: Một nguyên hàm của f ( x ) = ( 2x − 1) e x là
1

1

B. ( x 2 − 1) e x

A. x.e x

1

1

C. x 2 e x

D. e x

Câu 120: Xác định a,b,c để hàm số F(x) = (ax 2 + bx + c)e − x là một nguyên hàm của hàm số
f (x) = (x 2 − 3x + 2)e − x
A. a = 1, b = 1,c = −1
B. a = −1, b = 1,c = 1
C. a = −1, b = 1, c = −1 D. a = 1, b = 1, c = 1
Câu 121:

Cho hàm số f (x) =

ThS Phạm Quang Hưng

2x +1 − 5x −1
. Khi đó:
10x
15

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929

2
1
A.  f (x).dx = − x
+ x
+C.
5 .ln 5 5.2 .ln 2
5x
5.2x
C.  f (x).dx =
−
+C
2ln 5 ln 2

2
1
− x
+C
5 ln 5 5.2 .ln 2
5x
5.2x
D.  f (x).dx = −
+
+C
2ln 5 ln 2
B.  f (x).dx =

x

Câu 122: Nếu  f (x) dx = e x − sin 2 x + C thì f (x) bằng:
A. e x + 2sin x

B. ex + sin 2x

C. ex + cos 2 x

D. e x − 2sin x

Câu 123: Nếu  f (x)dx = e x + sin 2 x + C thì f (x) là hàm nào ?
A. ex + cos 2 x

B. ex − sin 2x

C. ex + cos 2x

D. e x + 2sin x

1
x

Câu 124: Một nguyên hàm của f (x) = (2x − 1).e là:
1

A. F(x) = x.e x

1

1

B. F(x) = e x

C. F(x) = x 2 .e x

1

D. F(x) = ( x 2 − 1) .e x

Câu 125: Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f (x) = e x (1 − e − x ) và F(0) = 3 thì F(x) là ?
B. e x − x + 2

A. e x − x

Câu 126: Một nguyên hàm của f (x) =

C. ex − x + C

D. e x − x + 1

e3x + 1
là:
ex + 1

1
A. F(x) = e2x + e x + x
2
1
C. F(x) = e2x + ex
2

1
B. F(x) = e2x − ex
2
1
D. F(x) = e2x − ex + 1
2

Câu 127: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ex (2 +
A. F ( x ) = 2e x + tanx
C. F ( x ) = 2e x + tanx + C

e− x
) là:
cos2 x
B. F ( x ) = 2e x - tanx + C
D. Đáp án khác

Câu 128: Tìm nguyên hàm:  (2 + e3x ) 2 dx

4
1
A. 3x + e3x + e6x + C
3
6
4 3x 1 6x
C. 4x + e − e + C
3
6
ln 2
Câu 129: Tính  2 x
dx , kết quả sai là:
x

(

A. 2 2

x

)

−1 + C

B. 2

x

+C

4
5
B. 4x + e3x + e6x + C
3
6
4 3x 1 6x
D. 4x + e + e + C
3
6

C. 2

x +1

(

+C

D. 2 2

x

)

+1 + C

Câu 130: Hàm số F(x) = e x là nguyên hàm của hàm số
2

2

A. f (x) = 2xe

x2

B. f (x) = e

ex
C. f (x) =
2x

2x

D. f (x) = x 2e x − 1
2

Câu 131:  2x +1 dx bằng
A.

2x +1
ln 2

B. 2x +1 + C

C.

Câu 132: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 31− 2x.23x là:

ThS Phạm Quang Hưng

16

2x +1
+C
ln 2

D. 2x +1.ln 2 + C

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
x

8
 
9
A. F ( x ) =   + C
8
ln
9

x

9
 
8
B. F ( x ) = 3   + C
8
ln
9

x

8
 
9
C. F ( x ) = 3   + C
8
ln
9

x

8
 
9
D. F ( x ) = 3   + C
9
ln
8

Câu 133: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3x .3x là:

( 3.e ) + C
A. F ( x ) =
ln ( 3.e )
3 x

B. F ( x ) = 3.

3

C. F ( x ) =

( 3.e )

e3x
+C
ln ( 3.e3 )

( 3.e )
D. F ( x ) =

3 x

x

ln ( 3.e3 )

+C

+C

ln 3

2

1

Câu 134:   3x − x  dx bằng:
3 

2

3

 3x ln 3 
A. 
− x  +C
 ln 3 3 
9x
1
C.
− x
− 2x + C
2ln 3 2.9 ln 3

1  3x
1 
B. 
− x
 +C
3  ln 3 3 ln 3 
D.

1  x 1
9 + x
2 ln 3 
9


 − 2x + C


Câu 135: Gọi  2008x dx = F ( x ) + C , với C là hằng số. Khi đó hàm số F ( x ) bằng
A. 2008x ln 2008

B. 2008x +1

C. 2008x

Câu 136: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
8x
ln
+C
ln12 1 + 8x
1
8x
C. F ( x ) =
ln
+C
ln 8 1 + 8x

1
là
1 + 8x

1
8x
ln
+C
12 1 + 8x
8x
D. F ( x ) = ln
+C
1 + 8x

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

Câu 137: Nguyên hàm của hàm số f (x) = e x (1 − 3e −2x ) bằng:
A. F(x) = e x − 3e − x + C
B. F(x) = e x − 3e −3x + C
C. F(x) = e x + 3e −2x + C
D. F(x) = e x + 3e − x + C
Câu 138: Hàm số F(x) = e x + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
1
A. f (x) = e x − 2
B. Đáp án khác
sin x

e− x 
1
C. f (x) = e x + 2
D. f (x) = e x 1 +

2
sin x
 cos x 

cosxesinx ; x  0

Câu 139: Cho f ( x ) =  1
. Nhận xét nào sau đây đúng?
;

x

0

 1+ x
cosx

; x  0
e
A. F ( x ) = 
là một nguyên hàm của f ( x )

2 1 + x − 1 ; x  0
sinx

; x  0
e
B. F ( x ) = 
là một nguyên hàm của f ( x )

2 1 + x ; x  0

ThS Phạm Quang Hưng

D.

17

2008x
ln 2008

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929


; x  0
e
C. F ( x ) = 
là một nguyên hàm của f ( x )
2
1
+
x
;

x

0


esinx
; x  0

D. F ( x ) = 
là một nguyên hàm của f ( x )
2
1
+
x
−
1
;

x

0


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
Câu 140: 
dx bằng:
2x + 5
3
3
A. 2 ln 2x + 5 + C
B. ln 2x + 5 + C
C. 3ln 2x + 5 + C
D. ln 2x − 5 + C
2
2
1
Câu 141: 
dx bằng:
2
( 5x − 3)
cosx

A. −

1
+C
5 ( 5x − 3)

B.

1
+C
5 ( 5x − 3)

3x − 1
dx bằng:
x+2
A. 3x + 7 ln x + 2 + C
B. 3x − ln x + 2 + C

C. −

1
+C
( 5x − 3)

D. −

1
+C
5 ( 5x + 3)

Câu 142: 

Câu 143: 

1

( x + 1)( x + 2 )

C. 3x + ln x + 2 + C

D. 3x − 7 ln x + 2 + C

dx bằng:

C. ln x + 1 + C

x +1
+C
x+2
D. ln x + 2 + C

x +1
dx bằng:
x − 3x + 2
A. 3ln x − 2 − 2 ln x − 1 + C

B. 3ln x − 2 + 2 ln x − 1 + C

C. 2 ln x − 2 − 3ln x − 1 + C

D. 2 ln x − 2 + 3ln x − 1 + C

A. ln x + 1 + ln x + 2 + C

Câu 144: 

B. ln

2

1
dx bằng:
x − 4x − 5
x −5
x −5
A. ln
B. 6 ln
+C
+C
x +1
x +1

Câu 145: 

2

Câu 146: Tìm nguyên hàm:
A.

1
x
ln
+C
3 x −3

Câu 147: 

1 x −5
ln
+C
6 x +1

1 x −5
D. − ln
+C
6 x +1

C.

1
x
ln
+C
3 x +3

D.

1 x −3
ln
+C
3
x

1
+C
x −3

D.

1
+C
3− x

1

 x(x − 3)dx .
B.

1 x +3
ln
+C
3
x

1
dx bằng:
x + 6x + 9
2

1
+C
x −3
1
Câu 148: Cho hàm f ( x ) = 2
. Khi đó:
x − 3x + 2
x +1
A.  f ( x ) dx = ln
+C
x+2
A. −

C.

1
+C
x +3

ThS Phạm Quang Hưng

B.

18

C. −

B.  f ( x ) dx = ln

x −1
+C
x−2

TT 17 QUANG TRUNG TPCT
02923.751,929
C.  f ( x ) dx = ln

x+2
+C
x +1

D.  f ( x ) dx = ln

x−2
+C
x −1

1
là
x − 4x + 3
1
x −3
1
x −1
A. F(x) = ln |
B. F(x) = ln |
| +C
| +C
2
x −1
2
x −3
x −3
C. F(x) = ln | x 2 − 4x + 3 | +C
D. F(x) = ln |
| +C
x −1
1
Câu 150: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = 2
thỏa mãn F(3/2) =0. Khi đó F(3)
x − 3x + 2
bằng:
A. 2ln2
B. ln2
C. -2ln2
D. –ln2
2x + 3
Câu 151: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x) = 2
x + 4x + 3
2
x + 3x
A. −
B. (2x + 3) ln x 2 + 4x + 3 + C
+C
2
( x 2 + 4x + 3)
Câu 149: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =

C.

x 2 + 3x
+C
x 2 + 4x + 3

Câu 152: Tính
A.

x

2

2

D.

1
( ln x + 1 + 3ln x + 3 ) + C
2

C.

1 x +3
ln
+C
4 x −1

dx
+ 2x − 3

−1 x − 1
ln
+C
4
x +3

B.

−1 x + 3
ln
+C
4
x −1

Câu 153: Họ nguyên hàm của f(x) =
x +1
+C
x
1
x
C. F(x) = ln
+C
2 x +1

B. F(x) = ln

x
+C
x +1

D. F(x) = ln x(x + 1) + C

x −3
, F(0) = 0 thì hằng số C bằng
x + 2x − 3
2
3
C. ln 3
D. − ln 3
2
3

Câu 154: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f (x) =
B.

3
ln 3
2

Câu 155: Nguyên hàm của hàm số: y =

a

2

2

dx
là:
− x2

1
a+x
1 x −a
1 x+a
+C
C. ln
+C
D. ln
+C
ln
2a a − x
a x+a
a x −a
dx
Câu 156: Nguyên hàm của hàm số: y =  2 2 là:
x −a
1
x −a
1
x+a
1 x −a
1 x+a
A.
+C
B.
+C
C. ln
+C
D. ln
+C
ln
ln
2a x + a
2a x − a
a x+a
a x −a
1
Câu 157: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) = 2
. Một học sinh trình bày như sau:
x − 6x + 5
1
1
1 1
1 
(I) f (x) = 2
=
= 
−

x − 6x + 5 (x − 1)(x − 5) 4  x − 5 x − 1 
A.

1
a−x
+C
ln
2a a + x

1 x −1
ln
+C
4 x +3

1
là:
x(x + 1)

A. F(x) = ln

2
A. − ln 3
3

D.

ThS Phạm Quang Hưng

...