ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ II
MÔN TOÁN – LỚP 9
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng duy nhất
Câu 1. Giá trị của hàm số y  7 x 2 tại x0  2 là
A. 28.

B. 14.

C. 21.

D. 28.

Câu 2. Cho hàm số y   2m  1 x2 . Giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm

A  2;4  là
A. m  0.

B. m  1.

C. m  2.

D. m  2.

Câu 3. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. y   x 2 .

B. y  x 2 .

C. y  2 x 2 .

D. y  2 x 2 .

Câu 4. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
B. x 2  2 x  8  0.

A. x 2  x  2  0.
C. x 

1
 4  0.
x

D. x 2 

2
 2  0.
x

Câu 5. Cho phương trình ax 2  bx  c  0 với a  0 có biệt thức   b2  4ac . Phương
trình đã cho vô nghiệm khi
A. b2  4ac.

B. b2  4ac.

C. b2  4ac.

D. b2  4ac.

Câu 6. Cho phương trình ax 2  bx  c  0 với a  0 có   0 , khi đó phương trình đã
cho có nghiệm là
A. x1  x2  

b
.
2a

B. x1 

b 
b 
; x2 
.
2a
2a

1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

C. x1 

b  
b  
; x2 
.
2a
2a

D. x1 

b  
b  
; x2 
.
a
a

Câu 7. Tổng các giá trị của m để phương trình 4mx2  x  14m2  0 có nghiệm x  2
là
A.

1
.
7

B.

2
.
7

C.

6
.
7

D.

8
.
7

Câu 8. Các giá trị của m để phương trình x 2  mx  m  0 có nghiệm kép là
A. m  0 , m  4 . B. m  0.

C. m  4.

D. m  0 , m  4.

Câu 9. Điều kiện của tham số m để phương trình x 2  1  m  x  3  0 vô nghiệm là
A. m  0.

B. m  1.

C. m  1.

D. Không tồn tại m .

Câu 10. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y  2 x 2 ?

. B.

A.

C.

.

D.

.

.

2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

1
Câu 11. Đồ thị hàm số y  x 2 đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
3
2
A.  0;   .
3


1
B.  1;   .
3


C.  3;6  .

1
D.  1;  .
 3

Câu 12. Giao điểm của đồ thị hàm số y   x 2 và đường thẳng y  x  2 là
A. M 1; 1 .

B. N  2;0  .

C. P  2; 4  .

D. Q  1; 1 .

Câu 13. Cho đường cong trong hình bên dưới là một parabol y  ax 2 .

Khi đó, hệ số a là
A.

1
.
4

1
B.  .
4

C.

1
.
2

1
D.  .
2

Câu 14. Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm
x1 , x2 . Khi đó

b

 x1  x2   a
A. 
 x .x  c .
 1 2 a

b

 x1  x2  a
B. 
 x .x  c .
 1 2 a

c

x

x

 1 2 a
C. 
 x .x   b .
 1 2
a

b

x

x

 1 2 a
D. 
 x .x   c .
 1 2
a

Câu 15. Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có a  b  c  0 .
Khi đó:

c
A. Phương trình có hai nghiệm là x1  1 và x2  .
a
3

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

c
B. Phương trình có hai nghiệm là x1  1 và x2  .
a
c
C. Phương trình có hai nghiệm là x1  1 và x2   .
a
c
D. Phương trình có hai nghiệm là x1  1 và x2   .
a
Câu 16. Cho hai số có tổng là S và tích là P với S 2  4P . Khi đó hai số đó là nghiệm
của phương trình nào dưới đây?
A. X 2  PX  S  0.

B. X 2  SX  P  0.

C. SX 2  X  P  0.

D. X 2  2SX  P  0.

Câu 17. Tổng hai nghiệm của phương trình x 2  5x  2  0 là
A. 5.

B. 5.

C.

2
.
5

2
D.  .
5

Câu 18. Cho hai số tự nhiên biết rằng số lớn hơn hai lần số bé là 3 và hiệu các bình
phương của chúng bằng 360 . Tìm số bé hơn.
A. 12.

B. 10.

C. 21.

D. 9.

Câu 19. Tích của hai số liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 . Số bé hơn là
A. 12.

B. 13.

C. 32.

D. 11.

Câu 20. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn
A. cắt ba cạnh của tam giác.

B. đi qua ba đỉnh của tam giác.

C. tiếp xúc với hai cạnh của tam giác.

D. tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

Câu 21. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I khi đó đường tròn tâm I
A. cắt ba cạnh của tam giác ABC .

B. nội tiếp tam giác ABC .

C. đi qua ba đỉnh của tam giác ABC .

D. ngoại tiếp tam giác ABC .

Câu 22. Cho tam giác ABC có AB  13 cm , AC  12 cm , BC  5 cm . Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau? Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
A. trung điểm cạnh AB.

B. trung điểm cạnh AC .

C. trung điểm cạnh BC .

D. là giao của ba đường phân giác.

Câu 23. Góc nội tiếp có số đo
A. bằng hai lần số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

4

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

B. bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
C. bằng số đo cung bị chắn.
D. bằng nửa số đo cung bị chắn.
Câu 24. Hình nào dưới đây biểu diễn góc nội tiếp?

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

  45 và AB  a . Bán
Câu 25. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  biết C
kính đường tròn  O  là
A. a 2.

B. a 3.

C.

a 2
.
2

D.

a 3
.
3

Câu 26. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Tứ giác có bốn đỉnh thuộc đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
B. Mỗi hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn.
C. Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
D. Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 27. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối nhau bằng
A. 180.

B. 90.

C. 360.

D. 120.

Câu 28. Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn trong các hình vẽ dưới đây?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 29. Cho các hình: Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, tam giác
cân, tam giác đều, hình bình hành. Có bao nhiêu hình là đa giác đều?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

5

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

Câu 30. Mỗi góc trong của lục giác đều có số đo là
A. 120.

B. 150.

C. 90.

D. 135.

2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d)

ax 2
Câu 31. Cho hàm số  P  : y 
có đồ thị là parabol  P  .
2





a) Để  P  đi qua điểm A  3;6 thì a  4.
b) Với a  4 thì đồ thị  P  lúc này có dạng:
c) Với a  4 thì đồ thị  P  đi qua điểm B  2; 8  .
1 1
d) Với a  4 thì các điểm trên  P  là   ;  ;
 2 2

1 1
 ;   0;0  cách đều hai trục
2 2

tọa độ.
Câu 32. Cho phương trình mx 2  3x  1  0 ( m là tham số).
a) Biệt thức   9  4m .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m 

9
.
4

9
c) Phương trình vô nghiệm khi m  , m  0 .
4
d) Phương trình có nghiệm kép x 

9
2
khi m  .
4
3

Câu 33. Cho phương trình x 2  2  m  1 x  4m  1  0 (1) với m là tham số.
a) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

 x1  x2  2  m  1
b) Hệ thức Viète của phương trình là 
.
x
x

4
m

1
 1 2
c) Chỉ với m  1 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12  x22  10 .
d) Hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m là 2 x1  2 x2  x1 x2  5 .

6

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

Câu 34. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol

 P : y 

1 2
x và đường thẳng  d  : y  x  m ( m là tham số).
2

1
a) Đồ thị hàm số  P  : y  x 2 có dạng:
2
b) Với m  0 thì  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có
hoành độ là 0 và 2 .
c) Với m 

1
thì  d  và  P  không cắt nhau.
2

d) Với m 

1
thì  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt.
2

Câu 35. Một đoàn xe nhận chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành, đoàn có thêm 3 xe
nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn so với dự định. Gọi x (chiếc) là số lượng xe lúc đầu
của đoàn  x   *  .
a) Khối lượng hàng thực tế mà mỗi xe phải chở là
b) Phương trình mô tả bài toán trên là

480
(tấn).
x3

480 480

8.
x
x3

c) Số lượng xe ban đầu của đoàn là 15 chiếc.
d) Ban đầu mỗi xe phải chở 32 tấn hàng.
Câu 36. Một ca nô một khúc sông dài 40 km , rồi ngược dòng khúc sông ấy mất 4 giờ
30 phút. Biết vận tốc của dòng nước là 2 km/h . Gọi vận tốc thực của ca nô là x km/h.
a) Thời gian ca nô xuôi dòng là

40
giờ.
x2

b) Thời gian ca nô ngược dòng là

40
giờ.
x2

c) Vì ca nô xuôi dòng một khúc sông dài 40 km , rồi ngược dòng khúc sông ấy
mất 4 giờ 30 phút nên ta có phương trình

40
40

 4,5 .
x2 x2

d) Vận tốc thực của ca nô là 18 km/h .
7

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

Câu 37. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn  O  đường
kính AM . Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn  O  .
a) 
ACM  90 .

  BAH
.
b) CAM
c) MN ∥ BC .
d) BNMC là hình thang cân.
Câu 38. Cho đường tròn  O; R  và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến

AB, AC của đường tròn  O  với B, C là các tiếp điểm. Gọi M là trung điểm AB và
G là trọng tâm tam giác ACM . Gọi I là trung điểm của AO .
a) Tứ giác ABOC nội tiếp.
b) AM . AB  AI . AO .
c) MG ∥ BC .
d) IG  CM .
Câu 39. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Vẽ các đường
cao AM , CN của tam giác ABC . Gọi H là giao điểm của AM và CN .

.
a) 
ABC  CHM
b) 
ADC  
AHC .

  MCN
.
c) MAC
  90  
d) MAC
ANM .
Câu 40. Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  nội tiếp trong đường tròn tâm O.
Dựng đường thẳng d qua A song song với BC , đường thẳng d  qua C song song với

BA , gọi D là giao điểm của d và d  . Dựng AE vuông góc BD với E nằm trên BD
, F là giao điểm của BD với đường tròn O.
a) Các điểm A, C, E, D cùng thuộc một đường tròn.

8

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

.
AOF  CAE
b) 
c) AECF là hình bình hành.
d) DF.DB  AB2 .
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. Đại số
Dạng 1. Hàm số và đồ thị hàm số y  ax 2  a  0  .
Bài 1. Cho đồ thị hàm số y  x 2 có đồ thị  P  .
a) Vẽ đồ thị  P  .
b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng 16.
c) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) các đều hai trục của tọa độ.
Bài 2. Cho hàm số y  ax 2 có đồ thị hàm số  P  .
a) Xác định a biết  P  đi qua điểm A 1; 2  .
b) Vẽ đồ thị  P  .
c) Tìm điểm thuộc  P  có hoành độ bằng 2 .
Bài 3. Cho hàm số y  ax 2 với a  0 .
1. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm A  1;2  .
2. Với giá trị a vừa xác định được, hãy:
a) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
b) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4 .
c) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục tọa độ.
Bài 4. Cho hàm số y   m 2  1 x 2 với m là tham số. Tìm m để:
1
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A  ;2  .
2 

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm  x0 ; y0  biết  x0 ; y0  là nghiệm của hệ phương trình

3 x  2 y  3
.

2
x

y

1

c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được ở trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
9

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

Bài 5. Cho hàm số y  ax 2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A  2;4  .
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng 8 .
c) Tìm m sao cho B  m; m 3  thuộc parabol.
d) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
Dạng 2. Ứng dụng thực tế của đồ thị hàm số y  ax 2  a  0 
Bài 1. Một hòn đá rơi xuống một cái hang, khoảng cách rơi xuống được cho bởi công
thức h  4,9t 2 m , trong đó t là thời gian tính bằng giây.
a) Hãy tính độ sâu của hang nếu mất 3s để hòn đá chạm đáy.
b) Nếu hang sâu 122,5 m thì phải mất bao lâu để hòn đá chạm tới đáy.
Bài 2. Một cây cầu treo tháp đôi cao 75 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m.
Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y  ax 2 và được treo trên các đỉnh tháp như
hình vẽ.

a) Tính độ dài đoạn CH của dây cáp, biết điểm H cách tâm O của cây cầu là 100 m.
(giả sử mặt cầu của cây cầu bằng phẳng)
b) Nếu có đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm E  0;27  và đồng thời cắt
parabol hai điểm M , N (như hình vẽ) thì khoảng cách hai điểm M , N lần lượt đến
tâm O là bao nhiêu?

10

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

Bài 3. Thiết diện một hồ nước là hình parabol y  ax 2 (chọn hệ trục tọa độ vuông góc
với Oxy như hình vẽ), biết rằng bề ngang của thiết diện là AB  8 m , bề sâu của thiết
diện OC  4 m .

a) Xác định hệ số a .
b) Vẽ đồ thị hàm số với hệ số a vừa tìm được trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
Bài 4. Đường đi của quả bóng theo quỹ đạo là một parabol y  ax 2 . Một cầu thủ ở vị
trí A (hình minh họa), đá một quả bóng bay bổng lên cao đến vị trí O cách mặt đất

15 m và rơi xuống vị trí B cách A 30 m .

11

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

Xác định tọa độ các điểm A và B trong hệ trục Oxy này và tìm giá trị của hệ số a .
Bài 5. Quãng đường đi (đơn vị là mét) của một xe ô tô đi được trong thời gian t giây
được cho bởi công thức y  at 2 . Giả sử ô tô trên đi được quãng đường 225 m sau
khoảng thời gian 5 giây.
a) Xác định hệ số a .
b) Hỏi xe ô tô đi trong bao lâu thì được quãng đường 3,6 km so với vị trí ban đầu?
Dạng 3. Giải phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 5x2  7 x  0 ;

b) 3x2  9  0 ;

c)  3x 2  7 x  0 ;

3
7
d)  x 2   0 ;
5
2

2

2

e)  x  1  4 ;

f)  x  5   11  0 ;

g)  x 2  7 x  6  0 ;

h) x 2  3x  2  0 ;

i) 9 x 2  12 x  4  0 ;

k) x 2  6 x  8  0 ;

l) 2 x 2  6 x  3  0 ;

m) x 2  3x  3  0 .

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) x 2  8 x  2 ;

b) x 2  2 2 x  2  0 ;

c) 2 x 2  2 11x  7  0 ;

d) 3x 2  2 3x  1  0 ;

e)





3x 2  1  3 x  1  0 ;

g) 3 x 2  4 x  2 x 2  2 ;

f) 3x 2  4 6 x  4  0 ;
h) x 2  2 x  2 2 .

Bài 3. Giải các phương trình sau:
2

a)  x  1  4  x 2  2 x  1  0 ;

b) x 2  7 x  3  x  x  1  1 ;

c) 2 x 2  5 x  3   x  1 x  1  3 ;

d) 5 x 2  x  3  2 x  x  1  1  x 2 .

Dạng 4. Xác định số nghiệm của phương trình chứa tham số.
Bài 1. Cho phương trình mx 2  2  m  1 x  3  0 với m là tham số. Tìm m để phương
trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có nghiệm kép.
12

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

c) Vô nghiệm.
d) Có đúng một nghiệm.
Bài 2. Cho phương trình  2m  3 x 2  2  m  2  x  1  0 với m là tham số.
a) Giải phương trình với m  2 .
b) Chứng minh rằng với mọi m   , phương trình luôn có nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình  m  2  x 2  2  m  1 x  m  0 với m là tham số. Tìm các giá
trị của m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có nghiệm kép.
c) Vô nghiệm.
d) Có đúng một nghiệm.
e) Có nghiệm.
Bài 4. Cho phương trình: x 2  2  m  2  x  m 2  3m  5  0 .
a) Giải phương trình với m  3 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng 4 .
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x 2  2  m  2  x  m  7  0 ;

b) x 2  4mx 2  4m  2  0 .

Dạng 5. Sự tương giao đồ thị
Bài 1. Cho parabol  P  : y 

x2
và đường thẳng  d  : y  x  4 .
2

a) Vẽ  P  và  d  trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của  P  và  d  .
Bài 2. Cho parabol  P  : y   x 2 và đường thẳng  d  : y  5 x  6 .
a) Vẽ đồ thị  P  .
b) Tìm tọa độ của các giao điểm của  P  và đường thẳng  d  .
Bài 3. Cho đường thẳng  d  : y  2mx  2m  3 và parabol  P  : y  x 2 .

13

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

a) Tìm m để đường thẳng  d  đi qua A 1;5  .
b) Tìm m để đường thẳng  d  tiếp xúc với parabol  P  .
Bài 4. Cho parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng  d  : y  3mx  1  m 2 ( m là tham số).
a) Tìm m để  d  đi qua điểm A 1; 9  .
b) Tìm m để  d  cắt

 P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn

x1  x2  2 x1 x2 .

Bài 5. Cho parabol  P  : y  2 x 2 và đường thẳng  d  : y  2 x  m ( m là tham số). Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hoành độ
x1 ; x2 thỏa mãn  x1  3 x2  3  5 .

Dạng 6. Định lí Viète và ứng dụng
Bài 1. Cho phương trình x 2  5x  4  0 . Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức Q  x12  x22  6 x1 x2 .
Bài 2. Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  5x  1  0 . Không giải phương
trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A  x12  x22  x1  x2 ;

b) B  x14  x24 ;

1 1
 ;
x13 x23

d) D  x1  x2 .

c) C 

Bài 3. Cho phương trình x 2  2  m  2  x  2m  5  0 ( m là tham số).
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 .
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào tham số m .
Bài 4. Cho phương trình x 2  5x  m  0 (1) với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi m  3 .
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt thỏa mãn 9 x1  2 x2  18.
Bài 5. Cho phương trình x 2  2  m  2  x  m 2  3m  2  0 (1) với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi m  3 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho

14

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

biểu thức A  2018  3 x1 x2  x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6. Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m 2  4m  3  0 (với m là tham số).
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
c) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.
e) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
Bài 7. Tìm hai số x và y biết:
a) x  y  18 và xy  77 ;

b) x  y  3 và xy  5 ;

c) x  y  2 3 và xy  1 ;

d) x 2  y 2  34 và xy  15 .

Dạng 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 1. Một tổ công nhân dự định làm 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm thêm được 10 sản
phẩm so với dự định. Do đó mỗi tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày.
Hỏi khi thực thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 2. Một người đi xe máy từ huyện Ba Vì đến huyện Mỹ Đức cách nhau 100 km .
Khi về người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h so với lúc đi, do đó thời gian về ít hơn
thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi của xe máy.
Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 6 m . Diện tích của
khu vườn là 216 m 2 . Tính chiều rộng và chiều dài mảnh vườn đó.
Bài 4. Bai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 6 giờ
40 phút. Nếu họ làm riêng thì công nhân thứ nhất hoàn thành công việc đó ít hơn công
nhân thứ hai 3 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao lâu thì
xong công việc?
Bài 5. Một đội xe cần vận chuyển 160 tấn gạo với khối lượng mỗi xe chở bằng nhau.
Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm 4 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc
đầu là 2 tấn gạo (khối lượng mỗi xe chở vẫn bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao
nhiêu chiếc?

15

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

2. Hình học
Dạng 1. Tính góc nội tiếp đường tròn
Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O  , biết
  30, BCA
  40 như hình vẽ dưới đây.
BAC

Tính số đo các góc 
ABC , 
ADC , 
AOC .

.
Bài 2. Cho hình vẽ dưới đây. Tính số đo góc BAC

Bài 3. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB và S là một điểm nằm ngoài đường
tròn. Các đường thẳng SA, SB lần lượt cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai M , N . Gọi

H là giao điểm của AN với BM . Chứng minh rằng:
a) SH  AB .
b) HM .HB  HN .HA .
Bài 4. Cho  O  và điểm M cố định. Qua M kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ
nhất cắt đường tròn  O  tại A và B , đường thẳng thứ hai cắt đường tròn tại C và D.
Chứng minh rằng MA.MB  MC.MD.
Bài 5. Cho tam giác ABC có góc A nhọn nội tiếp đường tròn  O; R  . Chứng minh

.
rằng BC  2 R sin BAC
Dạng 2. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  4a và đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC có bán kính R 

5a
. Tính cạnh AC theo a .
2

Bài 2. Đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có bán kính bằng 4 dm .
16

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

a) Tính diện tích tam giác ABC .
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có bán kính bằng R 

4a 3
.
3

a) Tính các cạnh của tam giác ABC theo a .
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của ABC theo a .
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB  5 cm , AC  12 cm , BC  13 cm .
a) Tính diện tích tam giác ABC .
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB  6 cm và AC  8 cm ngoại tiếp đường
tròn I bán kính r . Tính r .
Dạng 3. Tứ giác nội tiếp

  135.
Bài 1. Dựa vào hình vẽ sau, hãy tính số đo các góc của tứ giác ABCD , biết DCx

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác

ABC . Gọi H là giao điểm của BD và CE .
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh BCDE là tứ giác nội tiếp.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH và phân giác trong AD
của góc HAC . Phân giác trong của 
ABC cắt AH , AD lần lượt tại M , N . Chứng minh
rằng: MHDN là tứ giác nội tiếp.
Dạng 4. Bài tập tổng hợp về đường tròn.
Bài 1. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB , dây CD vuông góc với AB tại F .
Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M khác B, C ), hai đường thẳng AM và CD
17

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

cắt nhau E .
a) Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp.

.
b) Chứng minh tia MA là phân giác của góc CMD
c) Chứng minh AC 2  AE.AM .
Bài 2. Cho đường tròn O đường kính AB . Dây cung MN vuông góc với AB ,

 AM  BM  . Hai đường thẳng BM

và NA cắt nhau tại K . Gọi H là chân đường

vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng AB .
a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp trong một đường tròn.
b) Chứng minh rằng NB.HK  AN .HB.
c) Chứng minh HM là tiếp tuyến của đường tròn O .
Bài 3. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O . Vẽ tiếp tuyến MA, MB của đường
tròn với A, B là các tiếp điểm. Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O ( C nằm giữa

M và D ); OM cắt AB và  O  lần lượt tại H , I . Gọi E là trung điểm của DC .
a) Chứng minh: MAOB, ABOE nội tiếp.

  MDO
.
b) Chứng minh MC.MD  MA2 và MHC
c) Chứng minh: OH .OM  MC.MD  MO2 .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp  O  . Từ một điểm D trên cạnh BC
kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại F và cắt tia đối của tia AB tại E . Gọi

H là giao điểm của BF và CE , tia HD cắt  O  tại K .
a) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp.
b) Chứng minh BF .BH  BD.BC và AK  BC .
c) Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh OI  AH .
Bài 5. Cho đường tròn  O  có dây cung AB cố định. Kẻ đường kính IK vuông góc
với AB tại N ( I thuộc cung lớn AB ). Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB , MK cắt

AB tại D . Hai đường thẳng IM và AB cắt nhau tại C .
a) Chứng minh rằng INDM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh ND.NC  NI .NK .
c) Gọi E là giao điểm của đường thẳng ID và CK . Chứng minh E   O  .

18

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

d) Xác định vị trí của M trên cung lớn AB để tích DM .DK đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 5. Đa giác đều
Bài 1. Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD như hình vẽ. Tính các
góc của tam giác ABC .

Bài 2. Cho ngũ giác đều ABCDE . Gọi I là giao điểm của AD và BE . Chứng minh
rằng:
a) DIBC là hình bình hành;
b) DI 2  AI .AD.
Bài 3. Đường tròn tâm O nội tiếp hình vuông ABCD , tiếp điểm trên AB là M . Một
tiếp tuyến với  O  cắt các cạnh BC , CD lần lượt ở E, F . Chứng minh rằng
a) Các tam giác DFO và BOE đồng dạng.
b) ME ∥ AF .
3. Một số bài toán khác
Bài 1. Cho các số a, b, c dương thỏa mãn 2ab  c  a  b   6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 

2a  2b  c
4a 2  12  4b 2  12  c 2  12

.

Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức A 

ab
bc
ca


.
c  ab
a  bc
b  ca

Bài 3. Một gia đình muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp với chiều dài x  m  ,
chiều rộng x  m  và chiều cao h  m  có thể tích bằng 4 m 3 . Để xây dựng bể chứa

19

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 TOÁN 9

nước này, gia đình đó cần phải trả 500 000 đồng cho mỗi mét vuông để xây hai mặt
đáy của bể và 1 000 000 đồng cho mỗi mét vuông để xây bốn mặt bể. Tính chi phí tối
thiểu gia đình đó phải trả để xây bể chứa nước.
Bài 4. Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 600 m
để xây dụng một vườn hoa. Với chiều rộng x của khu vườn, tìm x để diện tích vườn
hoa xây được là lớn nhất.
Bài 5. Nhận dịp Tết Trung Thu, câu lạc bộ sinh viên muốn kinh doanh đèn ông sao.
Chi phí để hoàn thiện mỗi chiếc đèn ông sao là 7 nghìn đồng. Với giá bán 25 nghìn
đồng cho mỗi chiếc đèn ông sao, câu lạc bộ bán được 200 chiếc đèn. Để bán được
nhiều đèn ông sao, câu lạc bộ sinh viên dự định giảm giá bán và ước tính rằng theo tỉ
lệ cứ giảm giá 1 nghìn đồng mỗi chiếc đèn thì số lượng bán ra tăng thêm 20 chiếc.
Vậy câu lạc bộ nên bán mỗi chiếc đèn với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá thu được
lợi nhuận cao nhất?
Bài 6. Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với
nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối
lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như
trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm? Trong trường hợp
nào giá kim cương ban đầu giảm nhiều nhất?
------HẾT------

20