ĐỊNH LÍ THALES VÀ ỨNG DỤNG
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIAC
I. Định lí Thales
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai c ạnh còn lại
thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
A
N

M

C

B
MN // BC

2.

Định lí Thales đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và đ ịnh ra trên hai c ạnh này
những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song v ới c ạnh còn l ại c ủa
tam giác.
A

Nếu

hoặc

hoặc

N

M

C

B

thì:

3. Hệ quả định lí Thales
Nếu 1 đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và c ắt hai c ạnh còn l ại thì
nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã
cho.
A

N

M

C

B
MN // BC

*Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng
MN song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại:
M

N

A

d

A

C

B
M

d

MN // BC

N

B

MN // BC

C

4. Hệ quả định lí Thales
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn
thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
A

là phân giác trong của
B

C

D

 Bài 1. Cho hình sau biết

. Tính  Bài 2. Cho hình sau biết

. Tính

độ dài

độ dài
A
4cm

N

5cm

D

7,5cm

A

E

C

B

3cm

C

 Bài 2. Cho hình thang

có

chéo,
là giao điểm của
Chứng minh rằng:

và

a)
HD:

b)

. Gọi
. Đường thẳng

a) Áp dụng định lí Thales vào các tam giác
ta có

ta có:

B

5cm

là giao điểm của hai đường

cắt

theo thứ tự ở

c)
với

K

A

với

M

B
O

(2)
D

Từ (2) suy ra được

2,2cm

(1)

b) Áp dụng định lí Thales vào các tam giác

c) Từ (1) suy ra được

M

;

N

C

Do đó
thay vào (1) ta được
Nhận xét: Từ bài tập 2 ta thấy
Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đ ường th ẳng đi qua giao đi ểm c ủa các
đường chéo và đi qua giao điểm của các đường th ẳng ch ứa hai c ạnh bên thì đi qua trung
điểm của hai cạnh đáy.
Tính chất này có nhiều ứng dụng quan trọng, được gọi là bổ đề hình thang.
 Bài 3. Gọi

là giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên

. Đường thẳng đi qua
tự ở

và song song với

của hình thang

cắt các đường thẳng

theo thứ

. Chứng minh rằng

HD: Vì

nên ta có

O

N

(1)
Xét

có

M

A

nên:

B

D

Từ

và

C

suy ra

 Bài 4. Cho hình bình hành
sao cho

, diểm

thuộc cạnh

. Các đường thẳng

, điểm

cắt

thuộc tia đối của tia

theo thứ tự ở

. Chứng minh

rằng
HD:Có

.

Xét tứ giác

có:

Tứ giác
là hình bình hành ( tứ giác có
một cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau)

Xét

có

(hệ quả của định lí Thales).

Xét

có

(hệ quả của định lí Thales).

Từ

và

suy ra

 Bài 5. Cho tam giác

.
nhọn, các đường cao

cắt nhau tại trực tâm

theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ

đến

a) Chứng minh

.

A
E
N
F

H

M

.Gọi

I
B

C

D

Ta có:
Suy ra

(1)

b) Chứng minh bốn điểm
Tương tự ta có

thẳng hàng.
(2)

Do

nên ta có

Từ (1), (2), (3)

thẳng hàng.

 Bài 6. Tính độ dài

 Bài 7. Cho
Từ

(3)

trong hình vẽ sau:

vuông tại

phân giác

vẽ đường thẳng vuông góc với

cắt

tạ i

, đường thẳng này cắt

tại
a) Chứng minh
b) Chứng minh
HD:
a)

có

là đường phân giác nên

b) Từ
b)

(*)
có

vì cùng vuông góc với
(**)

Từ (*) và (**)
 Bài 8. Cho tam giác
tại

với đường trung tuyến

, tia phân giác góc

cắt cạnh

tại

. Tia phân giác góc
. Chứng minh

cắt cạnh
.

HD: Vì
Vì

là tia phân giác của

nên

là tia phân giác của
Mà

nên

nên

*BÀI TẬP VỀ NHÀ
 Bài 1. Cho hình vẽ sau, biết

;

. Tính độ dài

và

A
6cm

4cm
D

F

2cm
B

P
12cm

 Bài 2. Cho hình thang
là trung điểm của
minh
HD:

là trung điểm của

Ta có

C

có hai đáy là

là giao điểm của

và

cắt

tạ i

và
. Chứng

.

, từ đó chỉ ra các tỉ số:

Ta có
Do đó
Hay

là trung điểm của

.

 Bài 3. Cho hình thang
và
a) Chứng minh

là trung điểm của

là giao điểm của

và

.

. (Dùng Thales đảo)

. Gọi

là giao điểm của

b) Đường thẳng
HD:
a) Vì

cắt

theo thứ tự tại

. Chứng minh
A

nên theo định lí Thales ta có

B

E
I

vì
Do đó theo định lí Thales đảo ta có

.

D

K

M

F

C

Vì

nên theo hệ quả định lí Thales ta có:
mà

Tương tự ta có

. Vậy

 Bài 4. Cho tam giác
song với

.

, điểm
, vẽ

nên

thuộc canh

, điểm

song song với

thuộc cạnh

. Chứng minh

. Vẽ

song

song song với

.
a) Chứng minh rằng
A

Có
b) Chứng minh rằng

K

I

Có
Từ (1), (2) suy ra

 Bài 5. Tính độ dài

tại

.

trong hình vẽ sau:

 Bài 5. Cho hình bình hành
cắt cạnh
HD:

, tia phân giác góc

. Chứng minh:

.

có

là đường phân giác của

nên

có

là đường phân giác của

nên

là hình bình hành nên
.

C

B

.

Do đó theo định lí Thales đảo ta có

Mà

M

N

cắt cạnh

tại

, tia phân giác góc