CHƯƠNG 2. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU
I. LÝ THUYẾT.
1) Hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: Khi thực hiện phép nhân

ta được

Như vậy đẳng thức
là đẳng thức đúng và khi thay
bởi các giá trị
khác nhau thì hai vế của đẳng thức luôn nhận giá trị bằng nhau.
Kết luận:
 Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong
hằng đẳng thức bằng các số tùy ý.
2) Hiệu hai bình phương.
Ví dụ 2: Thực hiện phép nhân

ta được

Như vậy
Tổng quát:
 Với

gọi là hẳng đẳng thức hiệu hai bình phương.
là hai biểu thức tùy ý ta có

Ví dụ 3: Tính nhanh
Ví dụ 4: Viết thành tích
3) Bình phương của một tổng.
Ví dụ 5: Khi ta thức hiện phép tính
Như vậy
Tổng quát:
 Với

gọi là hẳng đẳng thức bình phương của một tổng
là hai biểu thức tùy ý ta có

Ví dụ 6: Tính nhanh
Ví dụ 7: Viết gọn

thành bình phương của một tổng

4) Bình phương của một hiệu.
Ví dụ 8: Khi ta thực hiện phép tính
Như vậy

gọi là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.

Ví dụ 9: Tính nhanh
Ví dụ 10: Viết gọn

thành bình phương của một hiệu

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức
1)

2)

3)

4)

1

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)
22)
23)
Bài 2: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức

24)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

14)

15)

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

13)
Bài 2: Thực hiện phép tính

2

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
Bài 3: Thu gọn về hằng đẳng thức:

14)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)
8)
Bài 4: Thu gọn về hằng đẳng thức:

9)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)
Bài 5: Tính

8)

1)
2)
3)
4)
5)
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau
1)

tại

2)

tại

3)
4)
Bài 7: Tìm

tại
biết

tại

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3

7)

8)

9)

11)

12)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

8)

9)

10)
Bài 8: Tìm

7)
Bài 9: Tìm

biết

biết

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
Bài 10: Tìm

14)
biết

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi

thì

8)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)
Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

12)

1)

2)

3)

4)

4

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)
Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

12)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)
Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

10)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)
Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

5

Bài 2. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU.
I. LÝ THUYẾT.
1) Lập phương của một tổng.
Ví dụ 1: Khi tính
Đẳng thức
tổng.

gọi là hằng đẳng thức lập phương của một

Ví dụ 2: Khai triển theo hằng đẳng thức
Ví dụ 3: Thu gọn
Kết luận:
 Với hai biểu thức

và

tùy ý, ta có

 Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng
2) Lập phương của một hiệu.
Ví dụ 4: Khi tính
Đẳng thức
hiệu.

gọi là hằng đẳng thức lập phương của một

Ví dụ 5: Khai triển theo hằng đẳng thức
Ví dụ 6: Thu gọn
Kết luận:
 Với hai biểu thức

và

tùy ý, ta có

 Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

6

LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU.
Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
14)
15)
Bài 2: Viết gọn lại thành lập phương của một tổng hoặc một hiệu

16)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)
8)
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

9)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

8)

9)

7)
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức
1)
3)
Bài 6: Tìm

8)
tại

.

tại
biết

2)

tại

4)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

.
tại

TỔNG VÀ HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG.

Bài 1: Khai triển theo hằng đẳng thức
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

11)

12)

9)
10)
Bài 2: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức
1)

2)

3)

7

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)
11)
Bài 3: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức

12)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Bài 4: Thực hiện phép tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)
Bài 5: Thực hiện phép tính:
1)
2)
3)
4)
Bài 6: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức

.
b) Tính giá trị của biểu thức A tại

.

Bài 7: Cho biểu thức
a) Chứng minh rằng biểu thức
không phụ thuộc vào giá trị của biến
b) Tính giá trị của biểu thức
khi
.

.

Bài 8: Cho biểu thức
a) Chứng minh rằng biểu thức
không phụ thuộc vào giá trị của biến
b) Tính giá trị của biểu thức
khi
.
Bài 9: Tìm biết:

.

1)

2)

8

3)

4)

5)

9

Bài 3. TỔNG VÀ HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG.
I. LÝ THUYẾT.
1) Tổng hai lập phương.
Ví dụ 1: Khi ta tính tích

với

Đẳng thức
Tổng quát:
 Với

ta được
gọi là hẳng đẳng thức tổng hai lập phương.

là hai biểu thức tùy ý, ta có

 Biểu thức

còn gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

Ví dụ 2: Khai triển theo hằng đẳng thức
2) Hiệu hai lập phương.
Ví dụ 3: Khi ta tính tích

với

Đẳng thức
Tổng quát:
 Với
 Biểu thức

ta được
gọi là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương.

là hai biểu thức tùy ý, ta có
còn gọi là bình phương thiếu của một tổng

Ví dụ 4: Khai triển theo hằng đẳng thức
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

10

TỔNG VÀ HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG.

Bài 1: Khai triển theo hằng đẳng thức
13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

23)

24)

21)
22)
Bài 2: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức
13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)
23)
Bài 3: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức

24)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Bài 4: Thực hiện phép tính
10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)
Bài 5: Thực hiện phép tính:
5)
6)
7)
8)
Bài 6: Cho biểu thức
b) Rút gọn biểu thức

.
b) Tính giá trị của biểu thức A tại

Bài 7: Cho biểu thức
c) Chứng minh rằng biểu thức

.
.

không phụ thuộc vào giá trị của biến

11

d) Tính giá trị của biểu thức

khi

.

Bài 8: Cho biểu thức
c) Chứng minh rằng biểu thức
không phụ thuộc vào giá trị của biến
d) Tính giá trị của biểu thức
khi
.
Bài 9: Tìm biết:

6)

7)

8)

9)

.

10)

12

Bài 4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.
I. LÝ THUYẾT.
1) Phân tích bằng cách đặt nhân tử chung.
 Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Ví dụ 1: Với đa thức
Khi đó

ta thấy có chung

nên ta làm như sau

gọi là nhân tử chung.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức
Chú ý:
 Đưa dấu
ra ngoài để có nhân tử chung
2) Phân tích bằng cách nhóm hạng tử.
Ví dụ 3: Với đa thức
ta có thể làm như sau
Ví dụ 4: Với đa thức
nhau.

ta sẽ nhóm hai hạng tử

và

lại với nhau,

và

lại với

3) Phân tích bằng cách dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 5: Với đa thức

ta thấy nó là một hằng đẳng thức nên ta sẽ làm như sau

Ví dụ 6: Với đa thức
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

13

Bài 1: Phân tích thành nhân tử (Đặt nhân tử chung)
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

9)

10)

11)

8)
12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)
34)
35)
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung)

36)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
14)
Bài 3: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung)
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

29)
28)
Bài 4: Phân tích thành nhân tử (Đặt nhân tử chung)
1)

2)

4)
5)
Bài 5: Phân tích thành nhân tử (Nhóm hạng tử)

3)
6)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

14

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)
17)
Bài 6: Phân tích thành nhân tử (Nhóm hạng tử)

18)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)
35)
Bài 7: Phân tích thành nhân tử (Nhóm hạng tử)
1)

2)

3)

4)
6)

5)
7)

8)

9)
Bài 8: Phân tích thành nhân tử (Hằng đẳng thức)
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)
23)
Bài 9: Phân tích thành nhân tử (Hằng đẳng thức)

24)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

15

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
14)
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử

15)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)
17)
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử

18)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)
20)
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử

21)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)
23)
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)

2)

3)

4)
5)
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)

2)

3)

4)

16

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử

12)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)
20)
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử

21)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Bài 17: Tìm

biết:

Dạng 2. Tìm

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

20)

21)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

19)
Bài 18: Tìm

biết:

17

22)

23)

24)

25)

26)

27)

29)

30)

28)
Bài 19: Tìm

biết:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

20)

21)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)
Bài 20: Tìm

biết:

18

Bài 1:

CHƯƠNG 2. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)
Bài 2:

23)

24)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)
Bài 3:

29)

30)

1)

2)

4)

5)

3)
6)

7)

8)

10)

11)

13)
Bài 4:
1)
3)

14)

5)
7)

9)
12)
15)
2)
4)
6)
8)

19

10)

9)
11)

12)
14)

13)
Bài 5:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

8)

9)

7)
Bài 6:
1)
3)

2)
4)

5)
7)

6)
8)

Bài 7:
1)
…..

2)

…..

3)
…..

4)
…..

5)
…..

20

Bài 8:
1)
2)
3)

tại

thì

tại

thì

tại

thì

4)
Bài 9:

tại

thì

1)

2)

3)

4)

5)

6)

8)

7)
10)
Bài 10:
1)

11)

12)

2)

3)

4)

5)

7)
Bài 11:

8)

1)
5)
9)
13)
Bài 12:

9)

6)
9)

2)

3)

6)

7)

10)

11)

4)
8)
12)

14)

1)

2)

3)

4)

21

5)

6)

7)

8)

Bài 13:
1)

2)
Ta có

3)

Ta có

4)
Ta có

5)

Ta có

6)
Ta có

7)

Ta có
8)

Ta có

Ta có

9)
Ta có

Bài 14:
1)

2)

22

Ta có

Dấu
Vậy

Ta có

xảy ra khi

.

Dấu

đạt được khi

3)

Vậy

đạt được khi

4)
Ta có
Dấu
Vậy

Ta có
xảy ra khi
đạt được khi
Dấu
Vậy

5)

xảy ra khi
đạt được khi

6)
Ta có
Dấu
Vậy

Ta có
xảy ra khi
đạt được khi
Dấu
Vậy

7)

xảy ra khi
đạt được khi

8)
Ta có

Dấu
Vậy

Ta có

xảy ra khi
đạt được khi

Dấu
Vậy

9)

xảy ra khi

xảy ra khi
đạt được khi

10)

23

Ta có

Dấu
Vậy

Ta có

xảy ra khi
đạt được khi

Dấu
Vậy

11)

xảy ra khi
đạt được khi

12)
Ta có

Dấu
Vậy

Ta có

xảy ra khi
đạt được khi

Dấu
Vậy

Bài 15:
1)

xảy ra khi
đạt được khi

2)
Ta có

Vậy

Ta có

đạt được khi

3)

Vậy

đạt được khi

Vậy

đạt được khi

4)

Vậy

đạt được khi

5)

6)
Vậy

đạt được khi
Vậy

đạt được khi

24

7)

8)
Vậy

đạt được khi

9)

đạt được khi

10)

Vậy

đạt được khi

11)

Vậy

đạt được khi

12)

Vậy
Bài 16:

đạt được khi

1)

Vậy

đạt được khi

Vậy

đạt được khi

2)

Vậy

đạt được khi

3)

4)

Vậy

đạt được khi

5)

Vậy

đạt được khi

Vậy

đạt được khi

6)

Vậy
7)

Vậy

đạt được khi
8)

25

Vậy

đạt được khi

9)

Vậy

đạt được khi

Vậy

đạt được khi

10)

Vậy
Bài 17:

đạt được khi

1)

2)

Vậy

đạt được khi

Vậy

đạt được khi

4)

3)

Vậy

Vậy

đạt được khi

5)

đạt được khi

6)

Vậy

đạt được khi

Vậy

đạt được khi

7)

. Vậy

Bài 18:
1)

đạt được khi
2)

Vậy

đạt được khi
Vậy

đạt được khi

26

3)

4)

Vậy

đạt được khi

Vậy

đạt được khi

6)

5)

Vậy
Vậy

đạt được khi

đạt được khi

27

Bài 2. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU.

Bài 1:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)
Bài 2:

16)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

8)

9)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

8)

9)

7)
Bài 3:

7)
Bài 4:
1)
3)

2)

5)

6)

4)

7)
Bài 5:

8)

1)

2)

Tại

Tại

3)

.

4)

Tại

Tại

thì

thì

Bài 6:
1)

2)

28

3)

4)

5)

6)

29

Bài 3. TỔNG VÀ HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG.

Bài 1:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)
Bài 2:

12)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

10)

11)

12)

2)

3)

4)

6)

7)

8)

9)
Bài 3:
1)
5)
Bài 4:
1)

2)

4)

3)
6)

5)
8)

7)
10)
Bài 5: Thực hiện phép tính:
1)
2)

9)

3)

Bài 6:

4)

a) Ta có
b) Tại
Bài 7:
a) Ta có
b) Khi
Bài 8:

1)

không phụ thuộc vào biến

. Vậy biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của biến

thì

a) Ta có
b) Khi
Bài 9:

. Vậy giá trị của

thì
2)

30

3)

4)

5)

31

Bài 1:

Bài 4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)
Bài 2:

26)

27)

28)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
Bài 3:

14)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)
Bài 4:

29)

1)

2)

3)

5)

6)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

4)
Bài 5:

32

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)
Bài 6:

17)

18)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)
Bài 7:

35)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)
Bài 8:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

33

22)
Bài 9:

23)

24)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)
Bài 10:
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)
Bài 11:

18)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)
Bài 12:

18)

1)

2)

3)

4)

34

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)
Bài 13:
1)

2)

4)
Bài 14:

5)

3)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)
Bài 15:

12)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)
Bài 16:

35

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Dạng 2. Tìm

Bài 17:
1)
4)
7)

2)

3)

5)

6)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

17)

18)

20)

21)

16)
19)
Bài 18:
1)
4)
7)
10)
13)
16)
19)
22)
25)

2)
5)
8)
11)
14)

3)
6)
9)
12)
15)

17)

18)

20)

21)

23)
26)

24)
27)

36

28)
Bài 19:

29)

30)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

14)

15)

13)
16)

17)

18)

20)

21)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

16)

17)

19)
Bài 20:

15)
18)

37