Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

26 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023

Website: tailieumontoan.com
Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Chuyên đề 1. PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC
A.Kiến thức cần nhớ
1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích
với nhau.

A. ( B + C ) = AB + AC
2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa
thức kia rồi cộng các tích với nhau.

( A + B )( C + D ) =

AC + AD + BC + BD

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính :
b) B =
( 5x 2 − 3 y )( 4 x 2 + 2 y )

2x
a) A =
− (15 x − 6 y )
3

Giải
a ) A =−

2x
 2x 
.15 x +  −  ( −6 y )
3
 3 

b) B =20 x 4 + 10 x 2 y − 12 x 2 y − 6 y 2
B = 20 x 4 − 2 x 2 y − 6 y 2

A=
−10 x 2 + 4 xy
Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức sau:

a) A =

( 5 x − 7 )( 2 x + 3) − ( 7 x + 2 ) tại

x=

1
2

b) B = ( x − 2 )( y − 2 x ) + ( x + 2 y )( y + 2 x ) tại x = 2; y = −2
Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của biến vào biểu thức thì ta được số rất phức tạp. Khi thực hiện sẽ gặp khó
khăn, dễ dẫn tới sai lầm. Do vậy chúng ta cần thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức. Cuối
cùng mới thay số.
Trình bày lời giải
a) Ta có:

A=
=

( 5 x − 7 )( 2 x + 3) − ( 7 x + 2 )( x − 4 )

(10 x

2

+ 15 x − 14 x − 21) − ( 7 x 2 − 28 x + 2 x − 8 )

= 10 x 2 + 15 x − 14 x − 21 − 7 x 2 + 28 x − 2 x + 8
= 3 x 2 + 27 x − 13
2

1
1
5
1
Thay x = vào biểu thức, ta có:=
A 3.   + 27. −=
13
2
2
4
2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com

Vậy với x =

1
5
thì giá trị biểu thức A =
4
2

b) Ta có:

B = ( x − 2 y )( y − 2 x ) + ( x + 2 y )( y + 2 x )
= xy − 2 x 2 − 2 y 2 + 4 xy + xy + 2 x 2 + 2 y 2 + 4 xy
= 10xy

10.2. ( −2 ) =
−40
Thay x = 2; y = −2 vào biểu thức ta có: B =
Vậy với x = 2; y = −2 thì giá trị biểu thức B = −40
Ví dụ 3: Tìm x, biết:

a )4 x ( x − 5 ) − ( x − 1)( 4 x − 3) =
23

b) ( x − 5 )( x − 4 ) − ( x + 1)( x − 2 ) =
7
Giải

Tìm cách giải. Để tìm x, trong vế trái có thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức .Vì
vậy ta khai triển và rút gọn vế trái ấy, sau đó tìm x.
Trình bày lời giải
a )4 x ( x − 5 ) − ( x − 1)( 4 x − 3) =
23
4 x 2 − 20 x − 4 x 2 + 3 x + 4 x − 3 =
23
23
−13 x − 3 =
−13 x =23 + 3

x = −2

b) ( x − 5 )( x − 4 ) − ( x + 1)( x − 2 ) =
7
x 2 − 4 x − 5 x + 20 − x 2 + 2 x − x + 2 =
7
−8 x + 22 =
7
−8 x =
−15

x=

15
8

Ví dụ 4: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a )=
A x ( 2 x + 1) − x 2 ( x + 2 ) + ( x3 − x + 5 )
) B x ( 3 x 2 − x + 5 ) − ( 2 x3 + 3 x − 16 ) − x ( x 2 − x + 2 )
b=

Giải
Tìm cách giải. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức là sau khi rút gọn kết quả
thì biểu thức không chứa biến x. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

2

Website: tailieumontoan.com
đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến x, suy ra điều phải
chứng minh.
Trình bày lời giải
a) Biến đổi biểu thức A, ta có :
=
A x ( 2 x + 1) − x 2 ( x + 2 ) + ( x 3 − x + 5 )
A= 2 x 2 + x − x3 − 2 x 2 + x3 − x + 5
A=6

Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x
b) Biến đổi biểu thức B, ta có :
=
B x ( 3 x 2 − x + 5 ) − ( 2 x3 + 3 x − 16 ) − x ( x 2 − x + 2 )
B = 3 x 3 − x 2 + 5 x − 2 x3 − 3 x + 16 − x 3 + x 2 − 2 x
B = 3 x 3 − 3 x 3 + x 2 − x 2 + 5 x − 5 x + 16
B = 16

Suy ra giá trị của B không phụ thuộc vào x.
Ví dụ 5: Tính nhanh
=
a) A 4

7
1
4
2
1
1
−
+
+
.
.1.
5741 3759 3741 5741 3759 3759.5741

=
b) B 2

1
3
1
6516
4
6
−
+
−
.
3
3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517

Giải
Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tính bài toán dễ dẫn đến sai lầm; ta
nhận thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ. Sau đó biến đổi
biểu thức chứa chữ đó. Cách giải như vậy gọi là phương pháp đại số
Trình bày lời giải
a)=
Đặt x

1
1
khi đó biểu thức có dạng:
=
;y
5741
3749

A = ( 4 + 7 x ) y − 4 y (1 + 2 x ) + y + xy
A = 4 y + 7 xy − 4 y − 8 xy + y + xy
A= y

1
⇒ A=
3759

b)=
Đặt x

1
1
khi đó biểu thức có dạng:
=
;y
3150
6517

B = ( 2 + x ) 3 y − 3 x ( 4 − y ) + 12 x − 6 xy

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

3

Website: tailieumontoan.com
B =6 y + 3 xy − 12 x + 2 xy + 12 x − 6 xy
B = 6y

1
6
⇒
=
B 6. =
6517 6517

C. Bài tập vận dụng
1.1. Rút gọn các biểu thức sau:

a ) A=

( 4 x − 1)( 3x + 1) − 5 x ( x − 3) − ( x − 4 )( x − 3)

b) B=

( 5 x − 2 )( x + 1) − 3x ( x 2 − x − 3) − 2 x ( x − 5)( x − 4 )
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có:
A= 12 x 2 + 4 x − 3 x − 1 − 5 x 2 + 15 x − x 2 + 3 x + 4 x − 12
= 6 x 2 + 23 x − 13

b) Ta có:

( 5 x − 2 )( x + 1) − 3x ( x 2 − x − 3) − 2 x ( x − 5)( x − 4 )

B=

= 5 x 2 + 5 x − 2 x − 2 − 3 x3 + 3 x 2 + 9 x − 2 x ( x 2 − 5 x − 4 x + 20 )
=−3 x 3 + 8 x 2 + 12 x − 2 − 2 x 3 + 18 x 2 − 40 x

=
−5 x 3 + 26 x 2 − 28 x − 2

1.2. Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x:
a ) ( x 2 + x + 1) ( x − 3)

b) ( x 2 − 3 x + 1) ( 2 − 4 x )

c) ( x 2 + 3x − 2 ) ( 3 + x − 2 x )

Hướng dẫn giải – đáp số
a ) ( x 2 + x + 1) ( x − 3)
= x3 + x 2 + x − 3x 2 − 3x − 3 = x3 − 2 x 2 − 2 x − 3

b) ( x 2 − 3 x + 1) ( 2 − 4 x )
=−
2 x 2 6 x + 2 − 4 x 3 + 12 x 2 − 4 x =
−4 x 3 + 14 x 2 − 10 x + 2

c) ( x 2 + 3x − 2 ) ( 3 + x − 2 x )
=

(x

2

+ 3 x − 2 ) ( 3 − x )= 3 x 2 + 9 x − 6 − x3 − 3 x 2 + 2 x

=3 x 2 + 9 x − 6 − x 3 − 3 x 2 + 2 x =− x 3 + 11x − 6

1.3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a )C =

( 5 x − 2 )( x + 1) − ( x − 3)( 5 x + 1) − 17 ( x + 3)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

4

Website: tailieumontoan.com

b) D =

( 6 x − 5)( x + 8) − ( 3x − 1)( 2 x + 3) − 9 ( 4 x − 3)
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có :
C= 5 x 2 + 5 x − 2 x − 2 − 5 x 2 − x + 15 x + 3 − 17 x − 51
⇒C =
−50

Vậy biểu thức C = −50 không phụ thuộc vào x.
b) D = 6 x 2 + 48 x − 5 x − 40 − 6 x 2 − 9 x + 2 x + 3 − 36 x + 27
⇒D=
−13

Vậy giá trị biểu thức D = −13 không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
1.4. Tìm x, biết :
a )5 ( x − 3)( x − 7 ) − ( 5 x + 1)( x − 2 ) =
25

b)3 ( x − 7 )( x + 5 ) − ( x − 1)( 3 x + 2 ) =
−13
Hướng dẫn giải – đáp số
a )5 x 2 − 35 x − 15 x + 105 − 5 x 2 + 10 x − x + 2 =
25
25
−41x + 107 =
−41x =
−82

x=2

b)3 x 2 + 15 x − 21x − 105 − 3 x 2 + 3 x + 2 =−13
−5 x − 103 =
−13

−5 x =
90
x = −18

1.5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

a ) A = ( 4 − 5 x )( 3 x − 2 ) + ( 3 − 2 x )( x − 2 ) tại x = −2
1
1
b) B = 5 x ( x − 4 y ) − 4 y ( y − 5 x ) tại x =
− ;y =
−
5
2

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :
A= 12 x − 8 − 15 x 2 + 10 x + 3 x − 6 − 2 x 2 + 4 x
=
−17 x 2 + 29 x − 14

Với x = −2 , thay vào biểu thức ta có :
A=
−17 ( −2 ) + 29 ( −2 ) − 14
2

=
−68 − 58 − 14

= −140
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

5

Website: tailieumontoan.com
b) Ta có :

B = 5x ( x − 4 y ) − 4 y ( y − 5x )
= 5 x 2 − 20 xy − 4 y 2 + 20 xy
= 5x2 − 4 y 2
1
1
Thay x =
− ;y =
− vào biểu thức ta có ;
5
2
2

2

1
1 6
 1
 1
B =5  −  + 4.  −  =5. + 4. =
25
4 5
 5
 2

1.6. Tính giá trị biểu thức:
a) A =
x 6 − 2021x 5 + 2021x 4 − 2021x 3 + 2021x 2 − 2021x + 2021 tại x = 2020
b) B = x10 + 20 x 9 + 20 x8 + ... + 20 x 2 + 20 x + 20 với x = −19
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Với x = 2020 nên ta thay 2021= x + 1 vào biểu thức , ta có :
A = x 6 − ( x + 1) x5 + ( x + 1) x 4 − ( x + 1) x3 + ( x + 1) x 2 − ( x + 1) x + x + 1
= x 6 − x 6 − x5 + x5 + x 4 − x 4 − x3 + x3 + x 2 − x 2 − x + x + 1 = 1

b) Với x = −19 nên ta thay 20 =− x + 1 vào biểu thức, ta có :

B= x10 + ( − x + 1) x9 + ( − x + 1) x8 + ... + ( − x + 1) x 2 + ( − x + 1) x + ( − x + 1)
= x10 − x10 + x 9 − x 9 + x8 − x8 + ... + x 2 − x 2 + x − x + 1
=1

1.7. Tìm các hệ số a, b, c biết:
a )2 x 2 ( ax 2 + 2bx + 4c ) = 6 x 4 − 20 x3 + 8 x 2 đúng với mọi x;
b) ( ax + b ) ( x 2 − cx + 2 ) = x 3 + x 2 − 2 đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải – đáp số
a )2 x 2 ( ax 2 + 2bx + 4c ) = 6 x 4 − 20 x 3 + 8 x 2

⇔ 2ax 4 + 4bx3 + 8cx 2 =6 x 4 − 20 x3 + 8 x 2 (1)
(1) đúng với mọi x

=
2a 6=
a 3


⇔ 4b =
−20 ⇔ b =
−5


=
8c 8=
c 1
b) ( ax + b ) ( x 2 − cx + 2 ) = x 3 + x 2 − 2
⇔ ax 3 + bx 2 − acx 2 − bcx + 2b + 2ax = x3 + x 2 − 2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

6

Website: tailieumontoan.com

⇔ ax3 + ( b − ac ) x 2 + ( 2a − bc ) x + 2b = x3 + x 2 − 2 ( 2 )
(2) đúng với mọi x
a = 1
a = 1
a = 1
b = −1
2b = −2



⇔
⇔
⇔ b =
−1
−
−
=
c
1
1.
1
−
=
b
ac
1


c = −2

2a − bc =
2 − ( −1) c =0
0


1.8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
A = ( 2 − n ) ( n 2 − 3n + 1) + n ( n 2 + 12 ) + 8 chia hết cho 5
Hướng dẫn giải – đáp số
Biến đổi đa thức, ta có :
A = ( 2 − n ) ( n 2 − 3n + 1) = n. ( n 2 + 12 ) + 8
= 2n 2 − n3 − 6n + 3n 2 − n + 2 + n3 + 12n + 8

= 5n 2 + 5n + 10 5
1.9. Đặt 2x = a + b + c . Chứng minh rằng:

( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) =

ab + bc + ca − x 2

Hướng dẫn giải – đáp số
Xét vế trái:

( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a )
= x 2 − ax − bx + ab + x 2 − bx − cx + bc + x 2 − ax − cx + ca

= ab + bc + ca + 3 x 2 − 2 x ( a + b + c )
= ab + bc + ca + 3 x 2 − 2 x.2 x

= ab + bc + ca − x 2

Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh.
1.10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab + bc + ca =
abc và a + b + c =
1
Chứng minh rằng : ( a − 1)( b − 1)( c − 1) =
0
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có ( a − 1)( b − 1)( c − 1) =

( a − 1)( bc − b − c + 1)

= abc − ab − ac + a − bc + b + c − 1
= abc − ab − bc − ca + a + b + c − 1

= abc − ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) − 1
= abc − abc + 1 − 1= 0

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

7

Website: tailieumontoan.com
Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Chuyên đề 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. Kiến thức cần nhớ
•

( A + B)

2

=A2 + 2 AB + B 2

(1)

•

( A − B)

2

=A2 − 2 AB + B 2

(2)

•

A2 − B 2 = ( A + B )( A − B )

(3)

•

( A + B)

•

( A − B)

•

A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )

(6)

•

A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )

(7)

3

A3 + 3 A2 B + 3B 2 A + B 3 =
A3 + B 3 + 3 AB ( A + B )
=

(4)

3

= A3 − 3 A2 B + 3 AB 3 − B 3 = A3 − B 3 − 3 AB ( A − B )

(5)

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :
a ) A = ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 )( x − 2 ) + ( x − 4 )
2

2

b) B=

( 3x

2

c)C =

(x

− 5 x + 2 ) + 2.( 5 x − 2 ) ( x 2 − 5 x + 2 ) + ( 5 x − 2 )

2

− 2 x + 1)( 3 x 2 + 2 x + 1) − ( 3 x 2 + 1)
2

2

2

Giải
Tìm cách giải. Rút gọn biểu thức là biến đổi viết biểu thức ấy dưới dạng đơn giản hơn. Trong mỗi biểu thức
đều ẩn chứa hẳng đẳng thức, vì vậy chúng ta dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn các đơn thức
đồng dạng.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
A = ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 )( x − 2 ) + ( x − 4 )
2

2

= x 2 + 4 x + 4 + 4 ( x 2 − 4 ) + x 2 − 8 x + 16
= 6x2 − 4x + 4

b) Ta có :

( 3x

B=
=

2

( 3x

2

− 2 x + 1)( 3 x 2 + 2 x + 1) − ( 3 x 2 + 1)
+ 1) − ( 2 x ) − ( 3 x 2 + 1)
2

2

2

2

=
− ( 2x) =
−4 x 2
2

c) Ta có :
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com
C=

(x

2

− 5 x + 2 ) + 2.( 5 x − 2 ) ( x 2 − 5 x + 2 ) + ( 5 x − 2 )
2

= ( x 2 − 5 x + 2 ) + ( 5 x − 2 ) 
=

x )
(=
2 2

2

2

x4

Ví dụ 2: Cho x + y =
−7 và x 2 + y 2 =
11 . Tính x3 + y 3 ?
Giải
Tìm cách giải. Sử dụng hằng đẳng thức (1) và giả thiết ta có thể tính được tích xy. Mặt khác phân tích kết
luận bằng hằng đẳng thức (4), ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong. Từ đó ta có lời giải sau.
Trình bày lời giải
Từ x + y =−7 ⇒ x 2 + 2 xy + y 2 =49
Mà x 2 + y 2 = 11 ⇒ 11 + 2 xy = 49 ⇒ xy = 12
Ta có : x3 + y 3 =
( 7 ) − 3.12 ( −7 )
( x + y ) − 3xy ( x + y ) =−
3

3

⇒ x3 + y 3 =
−91
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức :
b) B = x 3 − 3 x 2 + 3 x + 1 tại x = 21

a ) A =x 2 + 10 x + 26 tại x = 95

Giải
Tìm cách giải.Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng của hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta nên
vận dụng đưa về hằng đẳng thức. Sau đó thay số vào để tính, bài toán sẽ đơn giản hơn.
Trình bày lời giải
a) Ta có :
A =x 2 + 10 x + 26

= x 2 + 10 x + 25 + 1 =

( x + 5)

2

+1

b) Ta có :
B = x3 − 3x 2 + 3x + 1
= x3 − 3x 2 + 3x − 1 + 2

= ( x − 1) + 2
3

Với x = 21 ⇒ B =

( 21 − 1)

3

+ 2 = 8000 + 2 = 8002

Ví dụ 4: Tính nhanh:
a) A =

20203 + 1
20202 − 2019

b) B =

20203 − 1
20202 + 2021

Giải

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

2

Website: tailieumontoan.com
Tìm cách giải. Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy mỗi phân số đều ẩn chứa hằng đẳng thức. Do vậy, việc dùng
hằng đẳng thức để phân tích ra thừa số là suy luận tự nhiên.
Trình bày lời giải
20203 + 1
=
a) A =
20202 − 2019
20203 − 1
=
20202 + 2021

=
b) B

( 2020 + 1) ( 20202 − 2020 + 1)

= 2021
20202 − 2020 + 1

( 2020 − 1) ( 20202 + 2020 + 1)

= 2019
20202 + 2020 + 1

Ví dụ 5: Cho x − y =.
2 Tính giá trị A = 2 ( x 3 − y 3 ) − 3.( x + y )

2

Giải
Tìm cách giải. Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:
• Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện x − y để thay bằng số 2.
• Từ giả thiết, suy ra x= y + 2 thay vào kết luận, ta được biểu thức chỉ chứa biến y. Sau đó rút gọn biểu
thức.
Trình bày lời giải
Cách 1. Ta có :

A = 2 ( x3 − y 3 ) − 3 ( x + y )

2

2
= 2 ( x − y ) ( x 2 + y 2 + xy ) − 3 ( x − y ) + 4 xy 



= 4 ( x 2 + y 2 − 2 xy + 3 xy ) − 3 ( x − y ) − 12 xy
2

=4 ( x − y ) − 3 ( x − y ) + 12 xy − 12 xy =( x − y ) =4
2

2

2

Cách 2. Từ giả thiết, suy ra x= y + 2 thay vào biểu thức A ta có :

(

)

=
A 2 ( y + 2) − y3 − 3( y + 2 + y )
3

2

= 2 ( y 3 + 6 y 2 + 12 y + 8 − y 3 ) − 3 ( 2 y + 2 )

2

= 12 y 2 + 24 y + 16 − 12 y 2 − 12 y − 12= 4
Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn x 2 + 26 y 2 − 10 xy + 14 x − 76 y + 58 =
0
Giải
Tìm cách giải. Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai bằng 0, chúng ta định hướng biến đổi
đưa đa thức đó thành tổng bình phương của hai biểu thức. Sau đó áp dụng A2 + B 2 =
0 khi và chỉ khi A = 0
và B = 0 . Từ đó tìm được x, y.
Trình bày lời giải
Ta có :

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

3

Website: tailieumontoan.com
x 2 + 26 y 2 − 10 xy + 14 x − 76 y + 58 =
0

⇔ x 2 − 10 xy + 25 y 2 + 14 ( x − 5 y ) + 49 + y 2 − 6 y + 9 =
0
⇔ ( x − 5y )2 − 14( x − 5y ) + 49 + ( y − 3)2 =
0

0
⇔ ( x − 5 y − 7 ) + ( y − 3) =
2

2

−7 0 =
 x − 5 y=
 x 22
⇔
⇔
=
y −3 0 =
y 3
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 + xy + y 2 − 2 x − 3 y + 2015
Giải
Tìm cách giải. Để tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc hai, chúng ta dùng hằng đẳng thức (1) và (2) để
biến đổi đa thức thành tổng các bình phương cộng với một số. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi và
chỉ khi tổng các bình phương bằng 0.
Trình bày lời giải
Ta có :
2

y  3y2

P = x+  +
− 2 x − 3 y + 2015
2
4

2

y
y
3y2


=  x +  − 2 x +  +1+
− 2 y + 2014
2
2
4


2

8
16 
2
y  3

=  x + − 1 +  y 2 − y +  + 2012
2  4
3
9
3

2

2

y  3
4
2
2

=  x + − 1 +  y −  + 2012 ≥ 2012
2  4
3
3
3


1
y


x=
x + − 1 =0


2


3
2
=
⇔
2012 ⇔ 
3
y − 4 =
y = 4
0
3
3


Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2012

2
1
4
khi và chỉ khi=
x =
;y
3
3
3

Ví dụ 8: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời a + b + c =
12 . Tính giá trị của biểu thức :
6 và a 2 + b 2 + c 2 =
P=
( a − 3)

2020

+ ( b − 3)

2020

+ ( c − 3)

2020

Giải
Tìm cách giải. Giả thiết cho hai hằng đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trò như nhau. Do vậy chúng
ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a= b= c và từ giả thiết suy ra a= b= c= 2 . Để tìm ra được kết quả này,

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

4

Website: tailieumontoan.com
chúng ta vận dụng tổng các bình phương bằng 0. Do đó nên bắt đầu từ ( a − 2 ) + ( b − 2 ) + ( c − 2 ) =
0 và
2

2

2

biến đổi tương đương để ra giả thiết. Khi trình bày thì lại bắt đầu từ giả thiết.
Trình bày lời giải
Ta có :
a 2 + b 2 + c 2 = 12 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − 12 = 0

⇔ a 2 + b 2 + c 2 − 24 + 12 =0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 − 4 ( a + b + c ) + 12 =0
⇔ a 2 − 4a + 4 + b 2 − 4b + 4 + c 2 − 4c + 4 =
0

0
⇔ ( a − 2) + (b − 2) + ( c − 2) =
2

2

2

Dấu bằng xảy ra khi a= b= c= 2
⇒ P = ( −1)

2020

+ ( −1)

2020

+ ( −1)

2020

=3

Ví dụ 9: Cho a 2 − b 2 =
4c 2 . Chứng minh rằng:

( 5a − 3b − 8c )( 5a − 3b + 8c ) = ( 3a − 5b )

2

Giải
Tìm cách giải . Quan sát đẳng thức cần chứng minh, chúng ta nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải không
2
chứa c. Do vậy chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức, sau đó khử c bằng cách thay 4c=
a 2 − b 2 từ giả

thiết. Để thực hiện nhanh và chính xác, chúng ta nhận thấy vế trái có dạng hằng đẳng thức (3).
Trình bày lời giải
Biến đổi vế trái :

( 5a − 3b − 8c )( 5a − 3b + 8c )
=( 5a − 3b ) − 64c 2 =( 25a 2 − 30ab + 9b 2 ) − 64c 2
2

=
( 25a 2 − 30ab + 9b2 ) − 16 ( a 2 − b2 )( do 4c 2 =a 2 − b2 )
=9a 2 − 30ab + 25b 2 =( 3a − 5b )

2

Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 10: Phân tích số 27000001 ra thừa số nguyên tố.
Tính tổng các ước số nguyên tố của nó.
Giải
Tìm cách giải . Chúng ta có thể vận dụng hằng đẳng thức để phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Trình bày lời giải
Ta có:
27000001
= 3003 +=
1

( 300 + 1) ( 3002 − 300 + 1)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

5

Website: tailieumontoan.com

301 ( 300 + 1) −=
302  301( 300 + 1 − 30 )( 300 + 1 + 30 )


2

= 301.271.331
= 7.43.271.331

Tổng các ước số nguyên tố của nó là : 7 + 43 + 271 + 331 =
652
Ví dụ 11: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 4; x8 + x 4 y 4 + y 8 = 8
hãy tính giá trị biểu thức A =x12 + x 2 y 2 + y12
Giải
Ta có :

(x

4

+ x 2 y 2 + y 4 )( x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) = ( x 4 + y 4 ) − x 4 y 4
2

=x8 + x 4 y 4 + y 8 =8 ⇒ x 4 − x 2 y 2 + y 4 =2
Kết hợp với giả thiết suy ra x 4 + y 4 =
3 và x 2 y 2 = 1
Ta có : A = x12 + x 2 y 2 + y12 = ( x 4 ) + ( y 4 ) + x 2 y 2
3

3

= 3 ( x 4 + y 4 )( x8 − x 4 y 4 + y 8 )  + x 2 y 2
2
= 3 ( x 4 + y 4 ) − 3 x 4 y 4  + 1



= 3. 32 − 3 +
=
1 19

C. Bài tập vận dụng
2.1. Tìm hệ số x 2 của đa thức sau khi khai triển :
a ) A = ( x − 2 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ( 3 x + 1)
2

b) B =

( 2 x − 1)

2

2

3

3

+ ( x − 2 ) + ( x − 3) + ( 3 x − 1)
2

2

3

Hướng dẫn giải – đáp số
a ) A = x 2 − 4 x + 4 + x 2 + 4 x + 4 + x3 + 9 x 2 + 27 x + 27 + 27 x3 + 27 x 2 + 9 x + 1
= 28 x3 + 38 x 2 + 36 x + 36

Vậy hệ số của x 2 là 38.
b) B = 4 x 2 − 4 x + 1 + x 2 − 4 x + 4 + x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 + 27 x 3 − 27 x 2 + 9 x − 1
= 28 x 3 − 31x 2 + 28 x − 23

Vậy hệ số của x 2 là -31.
2.2. Tính giá trị biểu thức
a) A =
x 2 + 0, 2 x + 0, 01 tại x = 0,9 .
b) B = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2 tại x = 19 .
8
c)C = x 4 − 2 x3 + 3 x 2 − 2 x + 2 tại x 2 − x =
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

6

Website: tailieumontoan.com
Hướng dẫn giải – đáp số
a ) Ta có :
A=
x 2 + 0, 2 x + 0, 01
=
x 2 + 0, 2 x + ( 0,1)

( x + 0,1)

=

2

2

Với x = 0,9 ⇒ A =

( 0,9 + 0,1)

2

= 1

b) Ta có:
B = x3 + 3x 2 + 3x + 2

= x3 + 3x 2 + 3x + 1 + 1 =

Với x = 19 thì B=

(19 + 1)

( x + 1)
3

3

+1

+ 1= 8000 + 1= 8001

c) Ta có :
C = x 4 − 2 x3 + 3x 2 − 2 x + 2
= x 4 − 2 x3 + x 2 + 2 x 2 − 2 x + 2

=

(x

2

− x ) + 2. ( x 2 − x ) + 1 + 1

=

(x

2

− x + 1) + 1

2

2

Với x 2 − x = 8 ⇒ C = ( 8 + 1) + 1 = 81 + 1 = 82 .
2

2.3. Tính hợp lý :
a) A =

3562 − 1442
2562 − 2442

b) B =2532 + 94.253 + 47 2

c)C =
1632 − 92.136 + 462

d )=
D

(100

2

+ 982 + ... + 22 ) − ( 992 + 97 2 + ... + 12 )

Hướng dẫn giải – đáp số

3562 − 1442
=
2562 − 2442

a) A
=

( 356 + 144 )( 356 − 144 )
=
( 256 + 244 )( 256 − 244 )

500.212 53
=
500.12
3

b) B = 2532 + 94.253 + 47 2 = 2532 + 2.47.253 + 47 2 =

( 253 + 47 )

2

= 3002 = 90000

c)C = 1362 − 92.136 + 462 = 1362 − 2.46.136 + 462 = (136 − 46 ) = 902 = 8100
2

(100

d )=
D

=

=

2

(100

2

+ 982 + ... + 22 ) − ( 992 + 97 2 + ... + 12 )

− 992 ) + ( 982 − 97 2 ) + ... + ( 22 − 12 )

(100 − 99 )(100 + 99 ) + ( 98 − 97 )( 98 + 97 ) + ... + ( 2 − 1)( 2 + 1)

= 1. (100 + 99 ) + 1. ( 98 + 97 ) + ... + 1. ( 2 + 1)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

7

Website: tailieumontoan.com

= 100 + 99 + ... + 1=

(100 + 1) + ( 99 + 2 ) + ... + ( 51 + 50 )

= 101 + 101 + ... + 101= 101.50 = 5050

2.4. Tính giá trị biểu thức :
2
2
20212 ( 2020 − 2019 ) 2019 ( 2020 + 2021)
.
A=
20203 − 1
( 2020 − 1) ( 20203 + 1)

Hướng dẫn giải – đáp số

20212 ( 20202 − 2019 ) 20192 ( 2020 + 2021)
A=
.
20203 − 1
( 20202 − 1)( 20203 + 1)
=

=

20212 ( 20202 − 2020 + 1)

.

20192 ( 20202 + 2020 + 1)

( 2020 + 1)( 2020 − 1)( 2020 + 1) ( 20202 − 2020 + 1) ( 2020 − 1) ( 20202 + 2020 + 1)
1
.2019 1
=
2019

2.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a ) A = 5 x 2 + 5 y 2 + 8 xy + 2 y − 2 x + 2020
b) M= 5 x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 xy − z − 1

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :
A= 4 x 2 + 8 xy + 4 y 2 + x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 + 2018
= 4 ( x + y ) + ( x − 1) + ( y + 1) + 2018 ≥ 2018
2

2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 2018 tại x = 1; y = −1
b) Ta có :
B = 4 x 2 + 4 xy + y 2 + x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 4 y + 4 + 2015
=

( 2x + y )

2

+ ( x − 1) + ( y + 2 ) + 2015 ≥ 2015
2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2015 tại x = 1; y = −2 .
c) M = x 2 − 2 xy + y 2 + 4 x 2 − 4 x + 1 + z 2 − z +

=

( x + y)

1
1
−2
4
4

2

2

1
1
1

+ ( 2 x − 1) +  z −  − 2. ≥ −2
2
4
2

2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

8

Website: tailieumontoan.com

x − y =
0

1

Dấu bằng xảy ra khi 2 x − 1 = 0 ⇒ x = y = z =
2

1

0
 z − 2 =
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là −2

1
1
khi x= y= z=
4
4

2.6. Tìm x, biết :
a ) ( x + 2 ) + ( x + 3) − 2 ( x − 2 )( x − 3) =
19
2

2

b) ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 ) − x ( x 2 − 5 ) =
15

c) ( x − 1) + ( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x 2 ) + 3 x ( x + 2 ) =
17
3

Hướng dẫn giải – đáp số
a ) ( x + 2 ) + ( x + 3) − 2. ( x − 2 )( x − 3) =
19
2

2

⇔ ( x − 2 ) + 8 x + ( x − 3) + 12 x − 2 ( x − 2 )( x − 3) =
19
2

2

⇔ 20 x + ( x − 2 ) − ( x − 3)  =
19
2

⇔ 20 x + 1 =
19

⇔ 20 x = 18 ⇔ x =

9
10

b) ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 ) − x ( x 2 − 5 ) =
15
⇔ x3 + 8 − x3 + 5 x =
15

⇔ 5 x + 8 = 15 ⇔ 5 x = 7 ⇔ x =

7
5

c) ( x − 1) + ( 2 − x ) ( 4 − 2 x + x 2 ) + 3 x ( x + 2 ) =
17
3

⇔ ( x − 1) + 8 − x 3 + 3 x 2 + 6 x =
17
3

⇔ x3 − 3x 2 + 3x − 1 + 8 − x3 + 6 x =
17
⇔ 9x + 7 =
17

⇔ 9 x = 10 ⇔ x =

10
9

2.7. Biết xy = 11 và x 2 y + xy 2 + x + y =
2016 . Hãy tính giá trị : x 2 + y 2
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: x 2 y + xy 2 + x + y =
2016

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

9

Website: tailieumontoan.com

xy ( x + y ) + x = y = 2016
11( x + y ) + ( x + y ) =
2016

12 ( x + y=
y 168
) 2016 ⇒ x + =
Mà x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy =1682 − 2.11 = 28202
2

2.8. Cho a − b =
7 . Tính giá trị biểu thức :
A
= a 2 ( a + 1) − b 2 ( b − 1) − 3ab ( a − b + 1) + ab
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có : A = a 3 + a 2 − b3 + b 2 − 3ab ( a − b ) − 3ab + ab

= a 3 − 3ab ( a − b ) − b3 + a 2 + b 2 − 2ab
= ( a − b ) + ( a − b ) = 73 + 7 2 = 392
3

2

2.9. Chứng minh rằng với mọi x ta có :

a ) x ( x − 6 ) + 10 > 0

b) ( x − 3)( x − 5 ) + 3 > 0

c) x 2 + x + 1 > 0
Hướng dẫn giải – đáp số

a ) x ( x − 6 ) + 10 > 0
⇔ x2 − 6x + 9 + 1 > 0

⇔ ( x − 3) + 1 > 0 (luôn đúng )
2

b) ( x − 3)( x − 5 ) + 3 > 0
⇔ x 2 − 8 x + 18 > 0

⇔ x 2 − 8 x + 16 + 2 > 0

⇔ ( x − 4 ) + 2 > 0 (luôn đúng)
2

c) x 2 + x + 1 > 0
2

1 3
1 3

⇔ x + x + + > 0 ⇔  x +  + > 0 (luôn đúng )
4 4
2 4

2

2.10. Tìm x, y biết :
a) x 2 − 2 x + 5 + y 2 − 4 y =
0

b)4 x 2 + y 2 − 20 x − 2 y + 26 =
0

c)9 x 2 + 4 y 2 + 4 y − 12 x + 5 =
0
Hướng dẫn giải – đáp số
a) x 2 − 2 x + 5 + y 2 − 4 y =
0

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

10

Website: tailieumontoan.com
⇔ ( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 − 4 y + 4 ) =
0
⇔ ( x − 1) + ( y − 2 ) =
0
2

2

⇔ ( x − 1) = 0; ( y − 2 ) = 0 (vì ( x − 1) , ( y − 2 ) ≥ 0 )
2

2

2

2

⇔ x = 1; y = 2

b)4 x 2 + y 2 − 20 x − 2 y + 26 =
0
⇔ ( 4 x 2 − 20 x + 25 ) + ( y 2 − 2 y + 1) =
0
0
⇔ ( 2 x − 5 ) + ( y − 1) =
2

2

⇔ ( 2 x − 5) =
0 và ( y − 1) =
0 (vì ( 2 x − 5 ) , ( y − 1) ≥ 0 )
2

⇔ x=

2

2

2

5
; y= 1
2

c)9 x 2 + 4 y 2 + 4 y − 12 x + 5 =
0
⇔ ( 9 x 2 − 12 x + 4 ) + ( 4 y 2 + 4 y + 1) =
0
⇔ ( 3 x − 2 ) + ( 2 y + 1) =
0
2

2

⇔ ( 3x − 2 ) =
0 và ( 2 y + 1) =
0 (vì ( 3 x − 2 ) , ( 2 y + 1) ≥ 0 )
2

2

2

2

2
1
⇔ x =;y =
−
3
2

2.11. Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:
a ) x 2 + 4 y 2 + 4 x − 4 y + 10 =
0

b)3 x 2 + y 2 + 10 x − 2 xy + 29 =
0

c)4 x 2 + 2 y 2 + 2 y − 4 xy + 5 =
0
Hướng dẫn giải – đáp số
a ) x 2 + 4 y 2 + 4 x − 4 y + 10 =
0
⇔ x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 − 4 y + 1 + 5 =0
⇔ ( x + 2 ) + ( 2 y − 1) + 5 =
0
2

2

Mà ( x + 2 ) + ( 2 y − 1) + 5 ≥ 5 > 0
2

2

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.
b)3 x 2 + y 2 + 10 x − 2 xy + 29 =
0
⇔ x 2 − 2 xy + y 2 + 2 x 2 + 10 x + 29 =
0
⇔ ( x − y ) + 2 ( x + 2,5 ) + 16,5 =
0
2

2

Mà ( x − y ) + 2 ( x + 2,5 ) + 16,5 ≥ 16,5 > 0
2

2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

11

Website: tailieumontoan.com
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.
c)4 x 2 + 2 y 2 + 2 y − 4 xy + 5 =
0
⇔ ( 4 x 2 − 4 xy + y 2 ) + ( y 2 + 2 y + 1) + 4 =
0
⇔ ( 2 x − y ) + ( y + 1) + 4 =
0
2

2

Mà ( 2 x − y ) + ( y + 1) + 4 ≥ 4 > 0
2

2

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.
2.12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
b) B = 4 x − x 2 + 2

a ) A = 15 − 8 x − x 2
c)C = x 2 − y 2 + 4 x − 4 y + 2

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có : A = 15 − 8 x − x 2 = 31 − (16 + 8 x + x 2 ) = 31 − ( 4 + x ) ≤ 31
2

Vậy giá trị lớn nhất của A là 31 khi x = −4
b) Ta có B =6 − ( 4 − 4 x + x 2 ) =6 − ( 2 − x ) ≤ 6
2

Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi x = 2
c) Ta có : C = 10 − ( x 2 − 4 x + 4 )