https://thuviensach.vn

BÍ MẬT TOÁN HỌC
Biên dịch : Tuấn Minh
Nhà xuất bản Lao Động 2007
Khổ 13 x 19. Số trang : 187
Thực hiện ebook : hoi_ls
(www.thuvien-ebook.com)
LỜI MỞ ĐẦU
Bạn có biết nguồn gốc của cách đếm không?
Ý nghĩa của số 0 có phải l không có?
Số nguyên tố là gì?
Số chẵn và số nguyên số nào nhiều hơn?
Số thân thiết là gì
Làm sao đoán được một số có thể chia hết cho 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11
Đuôi của một cấp số nhân có bao nhiêu số 0?
Các cặp số nguyên tố sinh đôi có phải là vô cùng không?
Bạn có biết số ngược là gì không?
Tại sao các ống khói nhà máy đều được làm theo hình tháp tròn?
Tại sao những tấm thiệp năm mới giá khác nhau khi ghép lại bán lại bị ít đi một đồng?
Mức nước bình quân của hồ ao là 1,2 m. Bạn có biết điều đó có ý nghĩa gì không?
Khi tăng số điện thoại từ 7 con số đến 8 con số thì chúng ta đã tăng được bao nhiêu thuê bao?
Bạn có thể tính được các vận động viên chạy 200m ở điểm xuất phát vòng ngoài về trước điểm xuất
phát vòng trong bao nhiêu không?
Từ tấm bia mộ bạn có thể tính ra được tuổi của nhà toán học không?
Khi bắt thăm thì bắt thăm trước hay sau lợi hơn?
Quân trinh sát đã làm như thế nào để đo được chiều cao của các cây lớn?
Tại sao dựa vào mã vạch trên sản phẩm người ta lại có thể biết được giá của sản phẩm?
Trong một ngày đêm, kim phút và kim giờ của đồng hồ trùng nhau bao nhiêu lần?
Trên bản vẽ hàng hải, tuyến đường thẳng có phải là tuyến đường ngắn nhất hay không?
Tại sao trần nhà hát lại có hình Elip?
Cánh của máy bay có đối xứng không?
Vì sao khi tính điểm hát Karaoke phải bỏ điểm cao nhất và thấp nhất?
Dù chia thế nào vẫn còn số táo thừa, vậy tổng số có báo nhiêu quả?
Em có tính được số trận đấu của một giải bóng đá loại vòng tròn không?
Tỉ lệ tăng thể tích khi nước đóng băng lớn hơn tỉ lệ giảm thể tích khi băng tan?
Khi đánh cờ, liệu có xuất hiện cuộc cờ hoàn toà?
Em có thể trước tính được số cá trong ao không?
Thời gian di chuyển qua lại của thuyền khi nước tĩnh và. nước động có bằng nhau không?
Làm thế nào để chia đều 8 lít dầu trong thùng dầu?
Sức nâng của phao bơi lớn đến mức nào?
Quả cầu lăn từ máng nghiêng xuống theo đường nào mất ít thời gian nhất?
https://thuviensach.vn

Làm sao tính nhanh ra một ngày bất kỳ là ngày thứ mấy?
Tại sao lại có năm nhuận và tháng nhuận?
Khi cửa hàng nhập hàng để đảm bảo chất lượng của sản phẩm có phải kiểm tra tất cả các loại hàng hoá
hay không?
Găng tay sạch đảm bảo cho bác sỹ và bệnh nhân không truyền bệnh lẫn nhau nên có mấy chiếc?
Ý nghĩa của việc gieo đồng tiền xu
Đông Đông đi từ nhà đến trường, đi xe buýt số 1 hoặc số 4, nhưng tại sao Đông Đông luôn luôn cảm
thấy lúc đi xe số 1 nhiều hơn nhỉ?
Có bao nhiêu cách kết hợp các đồng 1 xu, 2 xu, và 5 xu thành 1 hào?
Làm sao để 1000 chiếc đĩa vào trong 10 chiếc hộp?
Với một chiếc dây thừng có thể tính được đường kính của cây không?
Nhà thám hiểm đi theo hình vuông, tại sao lại biến thành hình tam giác?
Bạn có thể ngay lập tức biết được trong số 10 thùng bi thép thùng nào là thứ phẩm không?
Một chồng ống thép xếp thành hình tam giác, tại sao chỉ cần đếm số lượng hàng cuối cùng là có thể tính
ra được tổng số lượng?
Bạn có biết nguyên lý toán học của câu nói “tam nhân đồng hành, tất hựu ngã sư”?
Không di chuyển cây ở bốn góc của ao hồ, làm thế nào để sau khi diện tích của ao hồ hình vuông tăng
gấp đôi thì ao hồ vẫn là hình vuông?
Số vô nghĩa được phát hiện như thế nào?
Thế nào là số ảo?
Bạn có biết thế nào là xác suất?
Tại sao lại nói ở đâu cũng thấy thống kê?
Thế nào là vấn đề thừa khuyết?
Thế nào là mô hình toán học?
Bộ sách toán học đầu tiên ở Trung Quốc?
Bạn có biết về giải thưởng Feirzi không?
Số Arập có phải là do người Arập sáng tạo ra?
Ai là người đâu tiên tìm ra hệ đếm theo 60?
Tại sao người Babylon lại sử dụng hệ đếm 60 nhỉ? Về vấn đề này có hai cách lý giải hoàn toàn khác
nhau?
Bạn có biết về “số 7 cô đơn” không?
Bạn có biết ý nghĩa của các chữ số La Mã X, XX, XXI, XV, V, VI.... không?
Bạn có biết “thiên can địa chi” là gì không?
Thỏ trắng nấp ở trong những cái hang nào thì cáo mới không tìm ra được?
Bạn có biết nhà toán học nào trong giới động vật không?
Bạn có biết về vòng Macbius kỳ diệu không?
Làm thế nào để nhanh chóng thu hẹp phạm vi?
Sự kỳ diệu của đường gấp khúc bông hoa là ở đâu?
Thất xảo bản được chơi như thế nào?
Cửu liên hoàn kỳ diệu ở chỗ nào?
Bạn có biết về trò chơi ru-bíc không?
Bạn có biết về trò chơi “Hoa dung đạo” của Trung Quốc không?
Bạn có biết góc nhìn một độ lớn
https://thuviensach.vn

Bạn có thể tính toán cho rõ ràng khoản sổ sách lằng nhằng sau không?
Bạn có biết mẹo đoán số không?
Làm sao để lấy được vòng bạc?
Lấy đồng xu có mẹo không?
Lễ duyệt binh đã gây ra vấn đề gì?
Sói, Dê, rau bắp cải qua sông thế nào?
Trong tình huống không có bất kỳ một thiết bị đo nào trong tay, bạn có thể đoán ra khoảng cách giữa bạn
và người đi trên bờ bên kia?
Sáng tạo toán học từ con nhện giăng tơ
Làm thế nào để phán đoán ai đang nói dối?
Ai là gián điệp quốc tế
Vì sao quốc vương không đủ gạo để thưởng?
Điền Kỷ đua ngựa vì sao mà thắng?
“Búa một thước, mỗi ngày lấy đi một nửa, muôn đời không hết” câu nói này có ý nghĩa gì?
Sao gọi là “điều luật cắt tóc” sai?
Bạn có biết kiến thức số học từ việc con kiến mang được vật nặng không?
Thực nghiệm ném kim thế nào để tìm ra được giá trị của P
Số pi cuối cùng bằng bao nhiêu?
Bạn có biết câu hỏi gà thỏ cùng lồng không?
“Nguyên tắc ngăn kéo” là gì?
quá trình chứng minh “Định lý Féc-ma” không?
Từ màu sắc của bản đồ đã gây ra vấn đề gì?
Đường cao tốc thông tin là gì?
Công cụ tính toán ngày xưa của con người có những loại nào?
Có phải máy tính chỉ chuyên dùng để tính toán?
Vì sao máy tính chứng minh được định lí số học?
Vì sao máy tính sử dụng hệ số nhị phân
Chuyển đổi như thế nào giữa hệ số thập phân và hệ số nhị phân?
Bạn có hiểu thế nào là hệ số bát phân, hệ số thập lục phân không?
Mã ASCII là gì?
Tại sao máy tính bị “tràn” dữ liệu trong tính toán?
Cài mật mã và giải mật mã là thế nào?
Vì sao cần học tốt số học?
Tại sao khi dòng nước chảy gợn sóng lại không bị biến dạng?
“Ngắn 3, dài 4, huyền 5” có nghĩa là gì?


https://thuviensach.vn

LỜI MỞ ĐẦU
Thế kỷ XX là thế kỷ của sự phát minh mạnh mẽ về khoa học kỹ thuật. Việc phát minh ra máy bay, sản
xuất ôtô công nghiệp hóa với quy mô lớn và xây dựng đường cao tốc đã rút ngắn khoảng cách giữa các
khu vực và tác quốc gia; việc phát minh ra Pênêxilin, tiêm chủng phổ biến các loại vắc xin phòng dịch,
làm cho con người thoát khỏi những loại bệnh truyền nhiễm đã uy hiếp nhân loại hàng vạn năm nay;
việc phát minh ra và phổ cập máy điều hoà, máy giặt, tủ lạnh, truyền hình... đã rất tiện lợi và cải thiện
cuộc sống vật chất của con người; việc phát minh ra quang tuyến và điện thoại di động, sự xuất hiện
của mạng Internet đã nhanh chóng nối liền con người trên khắp thế giới với nhau nhanh chóng; việc
hoàn thành công trình “tổ gien” đã mở rộng nhận thức của con người những tầng sâu của sinh mệnh;
việc xây dựng và phát triển của ngành hàng không đã đưa tầm mắt của loài người vươn tới nơi sâu
th̕m của vũ trụ. Tất cả những điều đó không những đã làm thay đổi phương thức sản xuất, cơ cấu kinh
tế và phương thức sinh sống của con người, nó cũng làm thay đổi nhận thức của con người đối với thế
giới khách quan, xây dựng các quan điểm khoa học hoàn toàn mới. Nhờ đó, sự phát triển khoa học kỹ
thuật và sản xuất trong 100 năm của thế kỷ XX đã vượt qua tổng hợp mấy nghìn năm phát triển từ khi
lịch sử loài người có văn tự đến nay, nhưng đồng thời cũng gây ra một loạt những hậu quả tai hại như
phá hoại môi trường sinh thái, nhiều loài sinh vật bị tuyệt chủng... Con người cuối cùng cũng đã nhận
thức được, việc khai thác mang tính “cướp bóc” đối với đại tự nhiên sẽ chịu sự trừng phạt nghiêm
khắc. Chỉ có sống hài hoà với tự nhiên mới có thể đạt được mục tiêu phát triển bền vững, vừa không
làm hại tự nhiên và môi trường vừa không uy hiếp sự sinh tồn của nhân loại và sự phát triển của thế
hệ tương lai.
Thế kỷ XXI sẽ là thế kỷ mà khoa học kỹ thuật phát triển như vũ bão và toàn cầu hoá kinh tế tri thức.
Dựa trên nền tảng của công nghệ cao, công nghệ thông tin, công nghệ sinh học và công nghệ gien sẽ
có sự đột phá và phát triển mới.
Chúng ta đã tiến hành thành công công cuộc đối mới và đã đạt được những thành tựu hết sức to lớn
và rực rỡ. Nhưng so sánh với thế giới và khu vực thì còn những khoảng cách rất lớn, đặc biệt là với
các nước phát triển trên thế giới. Đảng và Nhà nước ta đã coi giáo dục và đào tạo, khoa học và công
nghệ là chính sách hàng đầu, nhằm thực hiện mục tiêu dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân
chủ, văn minh, đi lên chủ nghĩa xã hội. Đó là ý tưởng và sự nghiệp to lớn mà mỗi người dân Việt Nam
phải ra sức nỗ lực thực hiện thành công. Đặc biệt, thế hệ tương lai mới là những chủ nhân tương lai
của đất nước. “Trẻ em hôm nay, Thế giới ngày mai” .
Với ý nghĩa đó, trong thanh thiếu niên, chúng ta cần hướng dẫn và giúp đỡ họ có hứng thú và chí
hướng tìm tòi, học hỏi các tri thức khoa học, phổ cập những kiến thức mới nhất, bồi dưỡng tinh thần
khoa học nắm vững phương pháp khoa học. Đây không chỉ là nội dung và nhiệm vụ quan trọng của
giáo dục nhà trường mà toàn xã hội bao gồm giới khoa học, giới xuất bản phải hết sức quan tâm.
Sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật hiện đại đặt ra yêu cầu rất cao đối với ngành giáo
dục. Mục đích của giáo dục hiện đại là truyền thụ những tri thức và kỹ năng cần thiết cho công việc và
cuộc sống, quan trọng hơn là làm cho con người có đủ các quan điểm khoa học và tinh thần khoa học,
nắm vững và vận dụng các phương pháp khoa học. Để đi sâu tìm hiểu và nhận thức một cách toàn diện
thế giới đã biết và chưa biết, con người cần có các tri thức khoa học rộng về nhiều phương diện.
Chính vì vậy, để tăng cường tố chất toàn diện cung cấp những tri thức, kiến giải mới cho thanh
thiếu niên, chúng tôi đã biên dịch bộ sách Khám phá thế giới khoa học từ nhiều nguồn tư liệu của
nước ngoài mà chủ yếu là từ cuốn Những vấn đề khoa học kỳ thú của NXB Khoa học kỹ thuật Thiên
Tân, Trung Quốc - 2004. Hy vọng rằng, với nội dung có thể gọi là phong phú chính xác, dễ hiểu, bộ
sách sẽ giành được sự yêu thích của đông đảo bạn đọc.
NGƯỜI BIÊN DỊCH


https://thuviensach.vn

Bạn có biết nguồn gốc của cách đếm không?
Bạn có biết cách đếm 1, 2, 3.... như chúng ta hiện nay ra đời như thế nào không? Nó ra đời từ khi nào?
Bởi vì thời kỳ nó ra đời đã rất lâu rồi, nên cơ bản không có cách nào khảo chứng chính xác được. Thế
nhưng có một điểm có thể khẳng định, đó là : khái niệm về cách đếm và phương pháp đếm số đã ra đời và
phát triển từ trước khi chữ viết ra đời. Các nhà khảo cố đã chứng minh rằng, từ 5 vạn năm trước, con
người đã sử dụng một số phương pháp đếm để thực hiện cách đếm số.
Con người ở thời kỳ nguyên thuỷ, hàng ngày phải đi săn bắn và hái lượm những quả dại để duy trì sự
sinh tồn. Có khi họ thu hoạch được rất nhiều sau mỗi lần như vậy, thế nhưng nhiều khi cũng tay không trở
về, thực phẩm mang về cũng có khi thì ăn không hết, có khi thì không đủ no. Những thay đối về số và lượng
như vậy trong cuộc sống khiến cho con người dần dần sản sinh ý thức về sự đếm. Họ muốn hiểu được sự
khác biệt giữa “có” và “không”, giữa “nhiều và “ít” và sự khác biết giữa “một” và “nhiều”. Hơn nữa cùng
với sự phát triển của xã hội, phương pháp đếm giản đơn cũng không thể không ra đời, ví dụ một bộ lạc
muốn biết họ có bao nhiêu thành viên hoặc có bao nhiêu kẻ thù, ngay cả một cá nhân cùng muốn biết số dê
trong chuồng có đủ hay thiếu...
Vậy con người của các dân tộc, các khu vực khác nhau đếm như thế nào? Khảo cổ học cho thấy, con
người khi đếm, mặc dù không hề có liên hệ với nhau nhưng người t đều dùng phương pháp “đối ứng một một”. Ví dụ, người Anh Điêng ở châu Mỹ tính số lượng kẻ thù họ giết được bằng cách thu thập từng cái
đầu của kẻ bị giết; người nguyên thuỷ châu Phi thì đếm số lượng thú họ săn được bằng cách đếm số răng
thú mà họ tích luỹ được; có thiếu nữ ở những bộ lạc thì quen đeo thêm những chiếc vòng đồng trên cổ để
tính tuổi mình. Các phương pháp này đều là dùng cái nọ để đếm cái kia “đối ứng một - một”.
Cùng với nhu cầu giao lưu của xã hội, đã xuất hiện hiện tượng dùng ngôn ngữ để biểu đạt số lượng nhất
định, người ta dùng ký hiệu để ghi lại kết quả tính toán, gọi là ghi số. Hơn 3000 năm trước vào thời
Thương ở Trung Quốc đã có các ký hiệu để ghi số, ví dụ số 1 dùng một vạch biểu thị, số 2 dùng hai vạch,
số 3 dùng ba vạch, số 4 dùng bốn vạch... để biểu thị. Những ký hiệu này về sau dần biến thành những chữ
số trong tiếng Hán. Một ví dụ khác, người ở một bộ lạc Nam Mỹ dùng “ngón tay giữa” để biểu thị số 3, họ
nói “ngày thứ ba” thành “ngày ngón giữa”.
Ngày nay chúng ta sử dụng các số Arập 1, 2, 3, 4.... do người Ấn Độ phát minh ra khoảng thế kỷ thứ 3
trước công nguyên, những con số này truyền đến các nước Arập, người Arập lại truyền tới Châu Âu. Trải
qua quá trình thay đổi, cuối cùng có hình dạng như chúng ta sử dụng ngày nay.


https://thuviensach.vn

Ý nghĩa của số 0 có phải l không có?
Khi đi học, điều mà chúng ta học đầu tiên là những bài học về phép tính, làm quen với số 0. Và có lẽ nó
là con số nhỏ nhất mà bạn biết được lúc đó. Số 0 có nghĩa là gì? Nếu như bạn dùng tay để đếm số bút trong
hộp bút, 1 biểu thị có một chiếc bút, 2 là có hai chiếc bút. Vậy 0 nghĩa là chẳng có chiếc bút nào, ý nghĩa
của 0 là không có. Nếu như bạn học phép tính trừ thì 10 trừ 10 sẽ bằng 0, cũng tức là nó trừ hết sạch rồi,
giống như có 10 quả táo mà bị một cậu bạn ăn hết, cuối cùng chẳng còn một quả nào. Xem ra thì 0 đúng là
chẳng có gì.
Thông thường 0 biểu thị không có, thế nhưng ý nghĩa của nó không chỉ biểu thị sự không có, mà nó còn
có những ý nghĩa khác nữa.
Trong cuộc sống thường ngày, sự nóng lạnh của thời tiết sẽ được biểu thị bằng nhiệt độ, nó sẽ thay đổi
cùng với sự chuyển đổi mùa. Và ta thấy 00C (độ C là đơn vị của nhiệt độ) thì có nghĩa là gì? Nó biểu thị
nhiệt độ của môi trường khi nước đóng băng. Từ 00C trở lên gọi là độ dương, ví dụ 17 độ dương đến 22
độ dương là nhiệt độ thích hợp nhất cho cuộc sống của chúng ta. Còn từ 00C trở xuống gọi là độ âm, càng
xuống thấp thì càng lạnh.
Lại ví dụ như số 0 và 1 sử dụng trong lĩnh vực máy tính thì cũng không còn là 0 và 1 trong các phép tính
toán thông thường nữa. Nó biểu thị trạng thái cao thấp của điện áp, 1 là mức điện áp cao, 0 là mức điện áp
thấp, hoặc ngược lại. Lúc này 0 không phải mang nghĩa “không có”, mà là một khái niệm trong điện tử học.
Còn có rất nhiều ví dụ khác nói lên số 0 mang rất nhiều ý nghĩa trong cuộc sống, không chỉ biểu thị sự
không có trong phép tính toán. Kỳ thực, bản thân số 0 cũng chứa đầy mâu thuẫn. Ví dụ, bất kỳ số n cộng với
0 thì đều giữ nguyên giá trị ban đầu, thế nhưng rất nhiều số nhân với nhau, nhưng chỉ cần trong đó có một
số 0, thì kết quả cũng chỉ là 0 mà thôi. Như vậy chúng ta có thể thấy số 0 lợi hại như thế nào. Để giải quyết
những mâu thuẫn như vậy, chúng ta phải hiểu rằng những khái niệm trong số học chỉ là tương đối, không
phải là bất biến, số 0 cũng như vậy.
Số 0 trong toán học là một con số rất quan trọng, sự chuyển từ 0 đến 1 thể hiện một quá trình từ “không”
đến “có”, trong khi từ 1 đến 100, 1000, 10000 thì chỉ thể hiện sự nhiều lên. Mặc dù 0 biểu thị “không có”,
nhưng nó lại làm nền, làm cơ sở cho “có”. Trong cuộc sống thì số 0 biểu thị một kiểu trạng thái nhiều hơn
là một con số, trạng thái từ 0 trở xuống và trạng thái từ 0 trở lên là một tiêu chuẩn để chúng ta đối chiếu, ý
nghĩa của nó thì từ “không có” chưa thể giải thích hết được.


https://thuviensach.vn

Số nguyên tố là gì?
Chúng ta đều biết, một số nguyên lớn hơn một, nếu như ngoài bản thân nó và 1 ra, nó không chia hết cho
số nào khác nữa thì nó là số nguyên tố. Ví dụ như 2, 3, 5, 7, 11...
Vậy làm sao chúng ta có thể tìm ra được các số nguyên tố trong số các số nguyên dương (hay số tự
nhiên dương)? Trong tập hợp các số tự nhiên, có bao nhiêu số nguyên tố? Cho đến nay, người ta vẫn chưa
biết được, bởi vì quy luật của nất khó tìm, giống như là một đứa trẻ bướng bỉnh vậy, nó nấp phía đông,
chạy phía tây, trêu tức các nhà toán học.
Có lẽ bạn cũng đã từng nghe đến phương pháp sàng lọc của nhà toán học Eratosthenes, dùng phương
pháp này có thể tìm ra các số nguyên tố rất tiện lợi. Nó giống như là sàng lấy sỏi trong cát, sàng lọc lấy
những số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên, bảng các số nguyên tố chính là được làm theo phương pháp
này.
Thế nhưng, các nhà toán học không hề thoả mãn với việc dùng phương pháp này để tìm ra số nguyên tố,
bởi vì nó có chút mò mẫm nhất định, bạn không thể biết trước được số nguyên tố sẽ “sàng” ra là số nào.
Điều mà các nhà toán học cần là tìm ra quy luật của số nguyên tố, để tiện nghiên cứu về nó.
Từ trong bảng các số nguyên tố, chúng ta có thể thấy chúng được phân bố như sau : từ 1 đến 1000 có
168 số nguyên tố; từ 1000 đến 2000 có 135 số; từ 2000 đến 3000 có 127 số; từ 3000 đến 4000 có 120 số;
từ 4000 đến 5000 có 119 số. Khi số các số tự nhiên càng lớn thì tỉ lệ phân bố các số nguyên tố càng thưa.
Số nguyên tố đã “hoá trang” cho mình rồi lẩn khuất trong các số tự nhiên, khiến cho chúng ta rất khó
nhìn ra được. Ví dụ, 101, 401, 601, 701 đều là số nguyên tố, nhưng 301 và 901 thì lại không phải. Có
người thử tính như thế này : 12 + 1 + 41 = 43, 22 + 2 + 41 = 47, 32 + 3 + 41 = 53,..., 392 + 39 + 41 = 1601.
Có 39 số từ 43 cho đến 1601 đều là số nguyên tố, thế nhưng tiếp sau đó : 402 + 40 + 41 = 1681 = 41 x 41
thì lại là một hợp số.
Nhà toán học người Pháp Ferma từng nghiên cứu lâu đài về số nguyên tố, ông từng đưa ra một suy đoán
thế này : số (22n + 1 ) (với n là số nguyên) thì nhất định là số nguyên tố. Ferma đã thử 5 “số Ferma” đầu
thì đều là số nguyên tố, nhưng đến số “Ferma” thứ sáu tại là hợp số, hơn nữa từ số “Ferma thứ 6” trở đi,
không thể phát hiện thấy số nguyên tố nào nữa, toàn là hợp số. Xem ra, số nguyên tố đã cố tình trêu đùa
Ferma.
Năm 1644, nhà toán học người Pháp Mason đã đưa ra “số Mason”, hình thức của nó là (2p - l). Khi
ông còn sống, ông tìm ra 11p để cho (2p - 1) là số nguyên tố, người ta tiến hành kiểm chứng đối với 8p,
chúng đều là số nguyên tố. 250 năm sau, năm 1903, các nhà toán học tìm ra số Mason thứ 9 không phải là
số nguyên tố mà là hợp số. Mặc dù Mason cũng không thực sự tìm ra quy luật của số nguyên tố, nhưng dùng
phương pháp của ông, người ta tìm được nhiều số nguyên tố hơn. Trong đó, số nguyên tố Mason thứ 33
được tìm ra nhờ máy tính điện tử, nó có 378632 số hạng, là số nguyên tố lớn nhất mà loài người tìm được
đến nay.


https://thuviensach.vn

Số chẵn và số nguyên số nào nhiều hơn?
Đọc câu hỏi này, có lẽ bạn chẳng cần phải suy nghĩ nhiều mà trả lời ngay rằng số nguyên nhiều hơn số
chẵn, cái bộ phận thì làm sao có thể lớn hơn cái toàn thể. Số chẵn là các số nguyên có thể chia hết cho 2,
nó chỉ là một bộ phận trong tập hợp các số tự nhiên, ngoài số chẵn ra, số tự nhiên còn bao gồm số lẻ. Xem
ra như vậy thì số chẵn sẽ không thể nhiều hơn số tự nhiên được.
Tuy nhiên, thực chất của vấn đề là muốn hỏi mối quan hệ lớn nhỏ giữa hai tập hợp số tự số chẵn. Tập
hợp xét về mặt toán học là tên gọi chung của những cá thể cùng loại. Chúng ta gom mọi số tự nhiên lại thì
gọi là tập hợp các số tự nhiên, mọi số chẵn thì gọi là tập hợp số chẵn. Vậy làm sao so sánh được sự lớn
nhỏ của hai tập hợp? Đối với những tập hợp hữu hạn thì số lượng các phần tử trong tập hợp sẽ quyết định
độ lớn nhỏ của tập hợp đó, ví dụ tập hợp học sinh của một trường sẽ lớn hơn tập hợp học sinh của một lớp.
Chỉnh thể luôn lớn hơn 1 bộ phận của nó. Thế nhưng đối với tập hợp vô hạn thì có như vậy không?
Số lượng các phần tử trong tập hợp vô hạn là vô hạn, không thể đếm hết được. Ví dụ tập hợp số tự
nhiên, tập hợp số chẵn... là những tập hợp vô hạn. Với những tập hợp vô hạn, chúng ta không thể sử dụng
các phương pháp tính toán đối với tập hợp hữu hạn để so sánh lớn nhỏ. Người ta cho rằng, nếu giữa hai
tập hợp vô hạn có thể tìm được mối quan hệ đối ứng 1 - 1 (tức là ứng với mỗi phần tử ở tập hợp này, ta có
thể tìm được một phần tử ở tập hợp kia) thì chúng ta nói hai tập hợp đó bằng nhau. Đó chính là “ lý luận về
độ lớn” đối với tập hợp vô hạn.
Với 2 tập hợp số tự nhiên và số chẵn, chúng ta có thể lập ra quan hệ đối ứng như sau :
Số nguyên : ... -n ... -3 -2 -1 0 1 2 3...m ...
Số chẵn : ... -2n... -6 -4 -2 0 2 4 6...2m ...
Bạn thấy rằng, bất kỳ một số k nào trong tập hợp số nguyên ta cũng tìm được một số 2k tương ứng trong
tập hợp số chẵn. Như vậy ta có mối quan hệ đối ứng 1-1 giữa hai tập hợp này.
Như vậy theo nguyên tắc so sánh độ lớn giữa hai tập hợp vô hạn, hai tập hợp số nguyên và số chẵn là
bằng nhau. Kết luận này có vẻ khó hiểu đối với thói quen của chúng ta, thế nhưng quả thật nó là như vậy.
Kỳ thực không chỉ có tập hợp số nguyên và tập hợp số chẵn là bằng nhau mà có nhiều tập hợp số khác
nữa cũng bằng nhau.


https://thuviensach.vn

Số thân thiết là gì
Giữa bạn bè với nhau có tình hữu nghị và bạn có biết rằng giữa các con số với nhau cũng có “sự thân
thiết”. Một nhà toán học từng nói : “Ai là bạn tốt của tôi thì chúng tôi sẽ giống như hai con số “220 và
284”. Vậy tại.sao 220 và 284 lại tượng trưng cho những người bạn thân thiết?
Thì ra, 220 ngoài bản thân nó ra, nó còn có 11 ước số là 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55 và 110. Tổng của
11 ước số này vừa đúng bằng 284. Cũng vậy, 284 ngoài bản thân nó, nó còn 5 ước số khác là : 1, 2, 4, 71,
142, tổng của chúng cũng vừa đúng bằng 220. Cụ thể, 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 =
284 và 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Hai số này, trong anh có tôi, trong tôi có anh, gắn bó thân thiết, không tách rời nhau. Các nhà toán học
cổ Hy Lạp gọi những cặp số có tính chất như vậy là “số thân thiết”.
220 và 284 là cặp “số thân thiết” nhỏ nhất. Thế kỷ 17 toán học Pháp Fecma tìm ra cặp “số thân thiết”
thứ hai là : 17296 và 18416. Cùng thời điểm ấy, một nhà toán học Pháp khác tìm ra cặp số thứ ba là :
9363544 và 9437056. Điều khiến người ta kinh ngạc nhất là nhà toán học Thuỵ Sỹ nổi tiếng Ơ-le vào năm
1750 đã công bố một lúc 60 cặp số thân thiết. Giới toán học được một phen kinh hoàng, họ cho rằng “Ơ-le
đã tìm ra hết cả rồi”.
Nhưng không ngờ, một thế kỷ sau, một thanh niên nước Ý mới 16 tuổi tên là Baconi đã công bố một cặp
số thân thiết vào năm 1866, nó chỉ lớn hơn 220 và 284 một chút, đó là cặp số 1184 và 1210. Những nhà
toán học lớn trước đó đã tìm ra chúng, để cho cặp số chẳng mấy lớn này dễ dàng qua mặt.
Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các nhà toán học bằng máy tính đã kiểm tra tất cả các số
trong phạm vi 1.000.000, tổng cộng tìm được 42 cập số thân thiết.
Hiện nay, lượng cặp số thân thiết được tìm thấy đã vượt quá con số 1000. Thế nhưng liệu có phải số
thân thiết là nhiều vô hạn? Chúng phân bố có quy luật không? Những vấn đ