NGUYỄN QUỐC BẢO

TUYỂN CHỌN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9
NĂM HỌC 2022-2023
✓Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 9
✓ Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán

20192020

∶ 19

2𝑝 − 1

NHÀ XUẤT BẢN TÀI LIỆU TOÁN HỌC

NGUYỄN QUỐC BẢO

TUYỂN CHỌN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9
NĂM HỌC 2022-2023
✓Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 9
✓Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán

NHÀ XUẤT BẢN TÀI LIỆU TOÁN HỌC

19 ( 03 )
GD - 23

86 / 68 - QB

ĐHSG CT 22-23

Lêi giíi thiÖu
Bạn đọc thân mến!
Những năm gần đây, đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 đã có nhiều thay đổi về các
dạng bài tập toán và cách thức ra đề. Vì vậy cấu trúc đề thi, nội dung thi học sinh giỏi
lớp 9 môn Toán cũng khó và đa dạng hơn. Để đáp ứng nhu cầu cho các đối tượng học
sinh ôn luyện kiến thức và rèn kĩ năng giải các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp
tỉnh, chuẩn bị thi vào khối 10 chuyên, tác giả đã tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán cấp
tỉnh trên phạm vi toàn quốc năm học 2022-2023 tập hợp thành cuốn: Tuyển tập đề thi
bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 năm học 2022-2023.
Bố cục cuốn sách được chia làm ba phần:
Phần 1. Tuyển chọn đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9
Phần này tác giả giới thiệu đến các thầy/cô giáo đang ôn luyện đội tuyển cùng tất
cả các em học sinh yêu thích môn Toán đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh trên phạm vi
toàn quốc trong năm học 2022-2023. Hi vọng qua sự phong phú và đa dạng đề thi
của các địa phương khác nhau, các em học sinh sẽ tìm thấy những điểm thú vị và
niềm đam mê đối với môn Toán.
Phần 2. Đáp án và hướng dẫn giải chi tiết
Mục đích của phần này nhằm giúp các em có sự so sánh và đối chiếu kết quả sau khi đã
tư mình bấm thời gian và giải quyết đề thi. Một số bài toán tác giả đưa ra thêm một hoặc
hai cách giải để các em học sinh tham khảo, nhưng không hẳn là những cách giải hay
nhất, ngắn gọn nhất. Mong muốn qua mỗi bài toán các em sẽ tìm được cho mình những
lời giải khác hay hơn, sáng tạo hơn.
Trong quá trình biên soạn, mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng, song cuốn sách khó tránh
khỏi những sai sót, chúng tôi rất mong được tiếp nhận những ý kiến đóng góp chân thành
của bạn đọc để lần tái bản sau chất lượng sách tốt hơn.
Phần 3: Một số đề tư luyện
Sau những đề có lời giải, chúng tôi có giới thiệu thêm một số đề để các em tự giải thử
sức mình.Với số lượng lớn đề thi được tuyển chọn cùng nhiều bài toán hay, hi vọng
cuốn sách sẽ mang đến nhiều điều bổ ích cho các em học sinh giỏi, đồng thời là tài liệu
tham khảo hữu ích cho các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc yêu thích môn Toán trên mọi
miền đất nước.

Trong quá trình biên soạn, mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng, song cuốn sách khó tránh
khỏi những sai sót, chúng tôi rất mong được tiếp nhận những ý kiến đóng góp chân
thành của bạn đọc để lần tái bản sau chất lượng sách tốt hơn.
Mọi đóng góp xin gửi về:
Điện thoại: 039.373.2038

Zalo: 039.373.2038

Gmail: tailieumontoan.com@gmai.com

Website: tailieumontoan.com

Xin trân trọng cảm ơn!
TÁC GIẢ

PHẦN 1
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 1
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Nam Định 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1. (3,0 điểm)
1) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn

1 1 1
1
+ + = . Chứng minh
a b c abc

bc + 1 ac + 1 ba + 1
+
+
=
3
a 2 + 1 b2 + 1 c2 + 1

2) Cho đa thức P ( x ) =
( x + 1)( x + 2 )( x + 3) ... ( x + 2022 ) . Khi khai triển đa thức P ( x ) ta
được P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2021 x 2021 + a2022 x 2022 . Tính giá trị của biểu thức

=
S

a1 + a3 + a5 + ... + a2021
a0
−
a0 + a2 + a4 + ... + a2022 2 ( a1 + a3 + a5 + ... + a2021 )

Câu 2. (5,0 điểm)

(

)

1) Giải phương trình ( x + 1) 3 x + x + 1 −=
3 4 x3 − 2
3
 x ( y + 1) + y =
2) Giải hệ phương trình 
2 2
2
 5 − 2 ( x + y ) + 2 − x y =

Câu 3. (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho p 4 − q 2 ( p 2 + q 2 + 1) =

(q

2

+ 1)

2

2) Cho m, n, p, q là các số nguyên thoả mãn ( m + n + p + q ) 30 . Chứng minh rằng

(m

5

+ n5 + p 5 + q 5 ) 30

Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn ( O ) . Gọi BH và CQ
là hai đường cao của tam giác ABC . Tiếp tuyến tại B và tại C của đường tròn ( O ) cắt nhau tại
M . Đoạn thẳng OM cắt BC và cắt đường tròn ( O ) lần lượt tại N và D . Tia AD cắt BC tại F ;
AM cắt BC tại E và cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là K (K khác A ).

1) Chứng minh rằng: AB.KC = AC.KB và 
ABM = 
AHN .
+
2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN . Chứng minh IOM
ADN =
1800 .

3) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt QH tại G. Chứng minh ba điểm
A, G, N thẳng hàng.

Câu 5. (2,0 điểm)
1) Lấy 2018 điểm phân biệt ở miền trong của một ngũ giác lồi cùng với 5 đỉnh của ngũ giác đó
ta được 2023 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của ngũ giác
là 1 đơn vị. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2023 điểm đã cho có diện tích
không vượt quá

1
đơn vị.
4039

2) Xét a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≥ 3 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
Q=

1
1
1
+
+
2
a + b + c a + b + c a + b + c2
2

ĐỀ SỐ 2
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Phú Thọ 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1: Nếu a, b là các số tự nhiên sao cho
A. 25.

7 + 48 = a + b thì a 2 + b 2 bằng

B. 37.

C. 29.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức P =

D. 40.

x +1
1
nhận giá trị
:
x − x x x +x+ x
2

nguyên?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 3: Một chiếc xe khách khởi hành từ Hà Nội và một chiếc xe tải khởi hành từ Vinh cùng một
lúc và đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe khách chạy thêm 2 giờ thì đến Vinh, còn xe tải
chạy thêm 4 giờ 30 phút thì đến Hà Nội. Biết Hà Nội cách Vinh là 300 km, hai xe đi cùng tuyến
đường. Vận tốc của xe khách bằng
A. 60 km/h.

B. 40 km/h.

C. 50 km/h.

D. 80 km/h.

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đa giác OABCDE có tọa độ các đỉnh

A ( 3;0 ) , B ( 3;3) , C (1;3) , D (1;5 ) , E ( 0;5 ) . Đường thẳng y = ax chia đa giác thành hai phần có diện
tích bằng nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 0 < a < 1.

B. 1 < a < 2.

C. 2 < a < 3.

D. −1 < a < 0.

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng d : y = ( m − 3) x − 2m + 1 cắt hai trục tọa độ tại
hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân. Khi đó, số giá trị của m thỏa mãn là
A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

1
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y = − x 2 . Có bao nhiêu điểm A thuộc
2

( P)

sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành gấp 4 lần khoảng cách từ A đến trục tung?

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 7: Cho phương trình x 2 − 30 x + a =
0 ( a là tham số), có hai nghiệm đều dương và một nghiệm
là bình phương của nghiệm kia. Gọi hai nghiệm của phương trình là u , v với u > v. Giá trị của
u − v + a bằng
B. 115.

A. 100.

C. 130.

D. 145.

b 2 ( m + 1)
a +=
Câu 8: Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện 
. Gọi m0 là giá trị của m để tổng
2
a.b = m − m + 2
a 2 + b 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. −2 < m0 < 0.

B. 0 < m0 < 1.

C. −3 < m0 < −2.

D. 1 < m0 < 3.

Câu 9: Khi tính toán thể tích căn phòng hình hộp chữ nhật, bạn An đã nhập sai chiều cao vào máy
tính, An đã nhập số liệu lớn hơn
nhưng không sao, lại trừ bớt đi

1
chiều cao thật. Sau khi có kết quả, An nói: “Mình đã nhầm,
3

1
kết quả này thì sẽ cho kết quả đúng thôi”. Bạn Bình, người đã
3

tính đúng kết quả nói rằng: “Kết quả đó vẫn chưa đúng, An phải tiếp tục cộng thêm 8 m3 nữa mới đúng”.
Thể tích căn phòng bằng
A. 24 m3 .

B. 72 m3 .

C. 48 m3 .

D. 64 m3 .

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao =
cm 2 ; S AHC 8, 64 cm 2 .
=
AH , biết S ABH 15,36
Độ dài của AH bằng
A. 4,8 cm.

B. 9, 6 cm.

C. 2, 4 cm.

D. 6, 4 cm.

Câu 11: Trong hình bên, ABCD là hình thang có hai đáy
=
AB 2;=
CD 5, AX song song với BC , BY song song với
AD; BY lần lượt cắt AX , AC tại Z, W . Khi đó tỉ số diện tích

của tam giác AZW và hình thang ABCD bằng
A.

8
.
105

B.

7
.
105

C.

9
.
105

D.

10
.
105

Câu 12: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau
tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. Khi
PQ = a thì giá trị của

A.

1
.
a

1
1
bằng
+
AB CD

B.

2
.
a

C.

a
.
3

D.

a
.
2

Câu 13: Cho tam giác ABC đều, có cạnh bằng 6 cm. Trên đoạn BC lấy điểm D sao cho
BD = 2 cm. Đường trung trực của đoạn AD cắt AB tại E. Độ dài của DE bằng

A. 2,8 cm.

B. 5, 2 cm.

C. 3, 6 cm.

D. 3 cm.

Câu 14: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) , đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại
Q, đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại P. Từ P, Q lần lượt kẻ các tiếp tuyến PM , QN với

(O )

( M , N là các tiếp điểm). Biết =
PM u=
, QN v. Độ dài của PQ bằng

A.

u+v
.
2

B.

uv
.
2

u 2 + v2 .

C.

D.

uv .

Câu 15: Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm ( O; R ) . D là điểm di động trên cạnh
BC , đường thẳng AD cắt đường tròn ( O ) tại E , ( E khác A ). Gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính của

đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBD, ECD. Giá trị lớn nhất của R1.R2 bằng
A.

3R 2
.
4

B.

R2
.
4

C.

3R 2
.
4

D.

3R 2
.
2

Câu 16: Một đoàn học sinh đi trải nghiệm ở công viên Văn Lang thành phố Việt Trì bằng ô tô. Nếu
mỗi ô tô chở 22 học sinh thì thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh được chia đều cho
các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chở không quá 30 học sinh, số học sinh của đoàn tham quan là
A. 506.

B. 528.

C. 507.

D. 529.

B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Bài 1 (3,0 điểm).
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: 3 ( x 2 + y 2 ) + 2 ( xy − 1) =
662.
m 2 + n 2 mn
2. Cho các số nguyên dương a, b, m, n thỏa mãn ( a, b ) = 1 và
.
=
a
b
Chứng minh rằng:

a + 2b + a − 2b là số nguyên.

Bài 2 (4,0 điểm).
1. Cho a, b, x, y

 x4 y 4
1
=
 +
là các số thực thỏa mãn  a
b a+b .
2
 2
1
x + y =

Chứng minh rằng:

x10 y10
2
+ 5 = 5.
5
a
b
(a + b)
2. Giải phương trình: ( x + 1) 5 x 2 + 2 x − 3 = 5 x 2 + 4 x − 5.

(

)

 x ( x + y ) +=
x+ y
2 y 2 y3 + 1

3. Giải hệ phương trình: 
.
 2 x + 3. 3 y + 5 = y 2 + x − 6

Bài 3 (4,0 điểm).
 < 900 ). Một đường tròn tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại
Cho tam giác ABC cân tại A ( BAC
B, C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy điểm M ( M khác B, C ). Gọi I , H , K lần lượt

là hình chiếu của M trên BC , CA, AB. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MB và IK , Q là
giao điểm của hai đường thẳng MC và IH , T là giao điểm của hai đường thẳng HK và MI .
a) Chứng minh TK .MH = MK .TH .
b) Chứng minh PQ song song với BC.
c) Gọi ( O1 ) và ( O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MPK và MQH , N là giao
điểm thứ hai của ( O1 ) và ( O2 ) ( N khác M ). Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ BC thì
đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4 (1,0 điểm).
Cho x, y, z , t là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 =
2023. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
S=

x
y
z
t
+
+
+
.
2023 2023 + yzt 2023 2023 + xzt 2023 2023 + txy 2023 2023 + xyz

ĐỀ SỐ 3
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1.

(4,0 điểm).
1. Cho biểu thức=
P


⋅ 1 +
x +3 

2 x


9 x + 14
với x ≥ 0 .
+
x +2 x+3 x +2

1

Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị là số tự nhiên.
2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời a 2 +=
2 b 4 ; b 2 +=
2 c 4 ; c 2 +=
2 a4 .
Tính giá trị biểu thức B = a 2 + b 2 + c 2 + a 2 b 2 c 2 − ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 2022 .
Câu 2.

(4,0 điểm).
3 15 x + 9 .
1. Giải phương trình 4 x 3 + 13 x 2 − 14 x =−

 x 3 + 3 xy 2 + 49 =
0
2. Giải hệ phương trình  2
.
2
 x − 8 xy + y = 8 y − 17 x
Câu 3.

(4,0 điểm).
1. Tìm tất cả các bộ số nguyên ( m, p, q ) thỏa mãn: 2m ⋅ p 2 + 1 =
q 5 trong đó m > 0; p, q
là hai số nguyên tố.
2. Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn a khác b và ab ( a + b ) chia hết cho a 2 + ab + b 2 .
Chứng minh rằng a − b > 2 ab .

Câu 4.

(6,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . Đường tròn
tâm I đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N . Các tia BN và

CM cắt nhau tại H . Gọi K là giao điềm của IH với MN . Qua I kẻ đường thẳng song

song với MN cắt các đường thẳng CM và BN lần lượt ở E và Q .

 = ECI
.
1. Chứng minh ∆ANM đồng dạng với ∆ABC và BQI
2

KN  HN 
2. Chứng minh IQ.IE = IC và
=
 .
KM  HM 
2

3. Gọi D la giao điểm của AH với BC . Chứng minh rằng
1
1
1
4
+
+
≤
. 
AD ⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD 3( R − OH ) 2

Câu 5.

(2,0 điểm) Cho ba số a, b, c ≥ 1 thỏa mãn 16abc + 4 ( ab + bc + ca ) = 81 + 24 ( a + b + c ) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
a

(

1
a2 − 1 + a

+

) b(

1
b2 − 1 + b

+

) c(

1
c2 − 1 + c

)

ĐỀ SỐ 4
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 Thành phố Hồ Chí Minh 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1. (3 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa mãn các điều kiện

1
1
1
1
1 1
.
+
−
=
1 và
+ =
a +1 b +1 a + b 2
a b

Tính giá trị của biểu thức P
= a 4 +b 4 .
Câu 2. (4 điểm) Cho phương trình x3 + mx 2 − x + m − m 2 =
0 (*) với tham số m.
a) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có một nghiệm x = 1 – m với mọi giá trị của tham số m.
b) Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 sao
cho x12 + x22 + x32 =
3.
Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD; AM là
đường kính của đường tròn (O); K là hình chiếu của B lên AM. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng BD và CM.
a) Chứng minh rằng DK vuông góc AC.
b) Chứng minh rằng AEFC là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi H là trực tâm của tam giác AEC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFC. Chứng
minh rằng HE = 2IO.
Câu 4. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức dưới đây:
a)
b)

( a + 1)

2

a2 + 1

≤ 2.

1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤
+
+
.
2
2
2
2
2
2
a + b + 2 b + c + 2 c + a + 2 ( a + 1)
( b + 1) ( c + 1)
2

 . Chứng minh rằng=
Câu 5. (3 điểm) Cho tam giác ABC có 
BC 2 AB. AC + AC 2 .
A = 2B
x
Câu 6. (3 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y và số nguyên tố p sao cho p=
y 4 + 64 .

ĐỀ SỐ 5
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức P =

x2
y2
x2 y 2
.
−
−
( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x ) (1 + x )(1 − y )

a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn P = 2.
Câu 2. (2, 0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng

( d 2 ) : y =x − m2 − m

( d1 ) : y = 2 x − m2 + 1,

và ( d3 ) : y = 3 x − m 2 − m + 2. Biết ( d1 ) cắt ( d 2 ) và ( d3 ) lần lượt tại A( x1 ; y1 )

và B( x2 ; y2 ).
Tìm m để ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 320.
Câu 3. (2, 0 điểm) Cho đa thức P ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c. Biết P( x) chia hết cho ( x − 2 ) và P ( x )
chia cho ( x 2 − 1) thì dư là 2 x. Tính P ( 3) .
Câu 4. (2, 0 điểm) Giải phương trình

2 x − 3 + 5 − 2 x= 3 x 2 − 12 x + 14 .

 x 3 + 7 y = ( x + y )2 + x 2 y + 7 x + 4
Câu 5. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 
( x, y ∈  ) .
2
2
3
8
4
8
x
+
y
+
y
+
=
x

Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao là AH . Gọi I , K lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính chu vi tam giác IHK =
biết BH 18
=
cm, CH 32cm.
Câu 7. (2, 0 điểm) Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN cắt nhau tại điểm G.
Gọi K là một điểm trên cạnh BC , đường thẳng (d1 ) đi qua K và song song với CN cắt AB tại
D, đường thẳng (d 2 ) đi qua K và song song với BM cắt AC tại E. Gọi I là giao điểm của hai

đường thẳng KG và DE. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Câu 8. (2, 0 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ là AB và BC = BD. Gọi H là trung điểm
của đoạn thẳng CD. Đường thẳng (d ) đi qua điểm H cắt các đường thẳng AC , AD lần lượt tại

 = EBC
.
E , F sao cho D nằm giữa A và F . Chứng minh rằng DBF
Câu 9. (2,0 điểm) Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng với giá bán mỗi quả là 50000 đồng. Với giá
bán này thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 40 quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu
cửa hàng cứ giảm mỗi quả 1000 đồng thì số bưởi bán tăng thêm được là 10 quả mỗi ngày. Xác định
giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi quả bưởi là
30000 đồng.
Câu 10. (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 =
1. Chứng minh

a3
b3 + c 3
+
> 2.
b 2 − bc + c 2
a2

ĐỀ SỐ 6
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Nghệ An Bảng A 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (3,5 diểm).

(

)

a) Cho m, n là các số nguyên. Chưng minh rằng mn m 2 − n 2 chia hết cho 6 .
b) Tỉm tất cả các số nguyên tố p, q, r thỏa mãn p 2 + 14q 2 + 2r 2 =
6pqr .
Câu 2 (6,5 điểm).
a) Giai phương trình (13 x + 1) 2 x − 1=

( 7 x − 1)

8x + 1 − 4 .

 x 4 + 2 x3 y + x 2 y 2 =
7x + 9
b) Giải hệ phương trình 
3
 x ( y − x + 1) =
Câu 3 (1,5 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x 2 − y 2 + z 2 = xy + 3 yz + zx .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu=
thức P

x
1
.
−
2
xy ( y + 2 z )
(2 y + z )

Câu 4 (7,0 điểm). Cho nửa đường tròn ( O ) , đường kính BC = 2R và một điểm A thay đổi trên
nửa đường tròn đó ( A không trùng với B và C ). Vẽ AH vuông góc với BC tại H . Gọi 1,  J lần
lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC . Đường thằng IJ cắt AB, AC theo thứ
tự tại M và N .
a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân.
b) Gọi P là giao điểm của BI và CJ . Chứng minh

PA 2
PB2
PC2
+
+
=
1.
CA ⋅ AB AB ⋅ BC BC ⋅ CA

c) Tim giá trị lớn nhất của chu vi tam giác HIJ theo R.
Câu 5 (1,5 điểm). Trên một khu đất hình chữ nhật kích thước 100 m × 120 m . Người ta muốn xây
một sân bóng nhân tạo có nền đất là hình chữ nhật kích thước 25 m × 35 m và 9 bồn hoa hình tròn
đường kính 5 m . Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở các vị trí như thế nào thì trên phần đất
còn lại luôn tìm được một nền đất kích thước 25 m × 35 m để xây sân bóng.

ĐỀ SỐ 7
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1. (4,0 điểm)
1) Tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 14 là các số nguyên tố.
2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình x 2 + xy − 2 x − 3 y − 4 =
0.
3) Cho ba số a, b, c ∈ Z thoả mãn a + b + c =
20222023. Chứng minh a 3 + b3 + c 3 chia hết cho 6.
Bài 2. (4,0 điểm)

 2 x  1

2 x
1) Cho biểu thức: M =
−
1 −
 : 
 , với x ≥ 0 .
x + 1   1 + x x x + x + x + 1 


Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của biểu thức M khi
=
x 2023 − 2 2022 .
2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =
1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

x
y
z
+
+
.
x +1 y +1 z +1

Bài 3. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình

x + 3 + 2 x x + 1 = 2 x + x 2 + 4 x + 3.

 2
1
1
4
 x + x + 1 +  =
y
y

2) Giải hệ phương trình 
2
 x3 + x + x + 1 =4 ⋅

y y3
y2


Bài 4. (7,0 điểm)
1) Một học sinh có tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 20 cm. Em muốn cắt tấm bìa này thành
bốn hình tam giác vuông bằng nhau và phần còn lại là hình vuông MNPQ thỏa mãn M , N , P, Q lần
lượt thuộc các cạnh AB, BC , CD, DA. Hãy xác định vị trí các điểm M , N , P, Q để diện tích hình
vuông MNPQ là nhỏ nhất.
2) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R. Điểm M di động trên đoạn OA ( M khác A ),
vẽ đường tròn tâm K đường kính MB. Gọi I là trung điểm của đoạn MA, đường thẳng đi qua
I vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D. Đường thẳng CB cắt đường tròn (K) tại P.

a) Chứng minh rằng ba điểm P, M , D thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng PI là tiếp tuyến của đường tròn (K).
c) Tìm vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IPK lớn nhất.
Bài 5. (1,0 điểm)
Người ta làm một cái hộp hình vuông để đựng được 5 cái bánh hình tròn có đường kính
6cm, sao cho không có bất kì hai cái bánh nào được chồng lên nhau. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của

cái hộp.

ĐỀ SỐ 8
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Bắc Ninh 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (4,0 điểm).
 1
1   2x + x − 1 2x x + x − x 
1) Cho biểu thức P =
−
+


:
x   1 − x
1+ x x
1− x

x ≠ 1, x ≠

1
7
. Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị của x để P = .
4
3

với x ≥ 0,

và

2) Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng d : y =− x + 2 với parabol ( P ) : y = x 2 . Tính
diện tích tam giác OAB ( O là gốc tọa độ).
Câu 2 (4,0 điểm).
2 x 2 + 3 xy − 2 y 2 − 5 ( 2 x − y ) =
0
1) Giải hệ phương trình  2
2
0.
 x − 2 xy − 3 y + 15 =
2) Giải phương trình 3 4 x + 1 + 4 x 3 x − 2= 3 x 2 + 4 x + 5 .
Câu 3 (3,0 điểm).
1) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn y ( x − 1) = x 2 + 2 .
2) Với mỗi số nguyên a , gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x 2 + 2ax − 1 =
0 . Chứng
minh

(x

2n
1

− x22 n )( x14 n − x24 n ) chia hết cho 48 với mọi số tự nhiên n .

Câu 4 (6,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , D là điểm bất kì thuộc cạnh BC ( D khác
B và C ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Đường thẳng MN cắt

đường tròn ( O ) tại P , Q sao cho M nằm giữa P và N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP
cắt AB tại I (khác B ). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K .
 = PAC
 . Từ đó suy ra 4 điểm A , I , P , K cùng thuộc một đường tròn.
a) Chứng minh PID
b) Chứng minh  PBD đồng dạng với  PAK và

QA PD
.
=
QB PK

c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P ). Đường thẳng IG
cắt đường thẳng BC tại E . Chứng minh khi D di chuyển trên đoạn BC thì tỉ số

CD
không đổi.
CE

2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD . Chứng minh AB ⋅ CD + AD ⋅ BC = AC ⋅ BD .
Câu 5 (3,0 điểm).
1) Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn 1 ≤ a ≤ 3;1 ≤ b ≤ 3;1 ≤ c ≤ 3 và a + b + c =
6. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức F = a 2 + b 2 + c 2 .
2) Cho đa giác lồi A1 A2  A2024 . Tại mỗi đỉnh Ak ( k = 1, 2,..., 2024 ), người ta ghi một số thực
ak sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau bằng một số nguyên dương không

lớn hơn 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp
đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau.

ĐỀ SỐ 9
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Gia Lai 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng:

1 1
1
1
( Với k > 0 ).
+ 2+
=+
1
2
2
1 k
(k + 1)
k (k + 1)

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

S=

1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 +
+
+
.
2
2
2
1 2 3
1 3 4
1 2022 2023
2023

b) Tìm tất cả các cặp số ( x; y ) nguyên thỏa mãn: x 2 − xy + x + y + 5 =
0.
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Cho hàm số y= (m 2 − m + 2) x + 2m − 8 có đồ thị là đường thẳng d . Tìm tất cả các giá trị
của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ ).
b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3
giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi thứ
nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy
vào bằng

8
bồn. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ?
9

Câu 3 (2,0 điểm).
Cho x =+
1 3 3 + 3 9 . Chứng tỏ x3 − 3 x 2 − 6 x + 21 là số chia hết cho 5 .
Câu 4 (5,0 điểm).
Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2 R và điểm A thay đổi trên (O) (điểm A không trùng
với B, C ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại K . Hạ AH vuông
góc với BC .
a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH 2 + KH 2 luôn không đổi. Tính góc B của tam

3
R.
2
b) Đặt AH = x . Tìm x sao cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn nhất.

giác ABC biết AH =

Câu 5 (2,0 điểm).

AB 3,=
AC 4 và AH là đường cao. Gọi I ∈ AB sao cho
Cho ∆ABC vuông tại A biết=

AI = 2 BI , CI cắt AH tại E . Tính CE.
Câu 6 (2,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
(a 2 + bc)(b + c)
(b 2 + ca )(c + a )
(c 2 + ab)(a + b)
+
+
≥3 2.
a (b 2 + c 2 )
b (c 2 + a 2 )
c(a 2 + b 2 )

ĐỀ SỐ 10
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Thái Bình 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
 2
5 x
1 
x −1
Câu 1 (2.0 điểm): Cho biểu thức A
= 
−
+
 :
 2 x + 1 4x − 1 2 x − 1  2 x + 1

(

a) Rút gọn biểu thức A.

)

2

.

b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 .
Câu 2 (2.0 điểm):
a) Giải phương trình: x 2 − x − 4= 2 x − 1 (1 − x ) .
12
3 x + ( m − 1) y =
b) Cho hệ phương trình: 
(với m là tham số).
−
+
=
m
x
y
1
12
24
(
)

Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất ( x; y ) thỏa điều
kiện x + y > 1.
Câu 3 (1.5 điểm): Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =
2023 .
Chứng minh rằng: x.

2023
yz
zx
xy
.
+ y.
+ z.
≤
y + 2022 z
z + 2022 x
x + 2022 y
3

Câu 4 (3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Điểm E di động trên cạnh CD (khác C,
D). M là giao điểm của AE với BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt