ĐỀ 1

ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025-2026
MÔN: TOÁN 12

PHẦN I (3,0 diểm): Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ
A.

.

B.

, cho vectơ

.

Câu 2. Cho hàm số

và

C.

. Tính tích vô hướng

.

D.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

C.

D.

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số
A.

là

B.

Câu 4. Trong không gian
A.

.

, mặt phẳng

.

B.

đi qua điểm nào dưới đây?

.

C.

.

D.

Câu 5. Tính tích phân
A.

.

B.

Câu 6. Cho hàm số

C.

.

C.

.

.

.

D.

, cho đường thẳng

:

.

.Vecctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ

?

A.

B.

C.

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ
.

B.

D.

, cho đường thẳng

vectơ sau, đâu khôngphải là vectơ chỉ phương của
.

Câu 9. Một ô tô đang chạy với tốc độ
đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

Trang1

D.

B.

Câu 7. Trong không gian

A.

.

. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A.

phương của

.

. Hỏi trong các

?
C.

.

D.

.

thì gặp chướng ngại vật, người lái đạp phanh, từ thời điểm
, trong đó

là khoảng thời gian

tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao
nhiêu mét

A.

?

.

B.

.

Câu 10. Trong không gian
A.

.

C.

, tọa độ một vectơ
B.

Câu 11. Biết
A.28.

.

.

vuông góc với cả hai vectơ
C.

, cho điểm

thẳng đi qua

và vuông góc với

A.

.

.
,

.

là một nguyên hàm của hàm số
B.22.
C.20.

Câu 12. Trong không gian

D.

là

D.

trên

. Giá trị của

.
bằng

D.26.

và mặt phẳng

. Đường

có phương trình là:

B.

.

C.

.

D.

.

PHẦN II ( 2,0 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a),
b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a)
c)

.

b)

.

d)

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ
hay sai?

.

, cho

và

. Các mệnh đề sau đây đúng

a)
.
b)
.
c).
d)
PHẦN III (2,0 điểm). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4
Câu 1. Trong không gian
mặt phẳng đi qua điểm

và

, cho điểm

đường thẳng

và song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa

Tính khoảng cách từ điểm
Câu 2. Một ô tô đang chạy với vận tốc

đến mặt phẳng

.

. Gọi
và

là

lớn nhất.

(kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh. Từ thời

điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó
là khoảng thời
gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường (đơn vị mét) ô tô di chuyển được trong
giây cuối cùng.

Trang2

Câu 3. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
mặt phẳng vuông góc với trục

tại điểm có hoành độ

tại

. Khi cắt một vật thể bởi
, mặt cắt là tam giác vuông có một

góc
và độ dài một cạnh góc vuông là
. Tính thể tích vật thể trên (kết quả làm tròn đến hàng
phần trăm).
Câu 4. Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong
) giới hạn bởi các đường
và trục hoành trong hình vẽ phía dưới (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

PHẦN IV (3,0 điểm). Phần tự luận. Thí sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3
Câu 1. Cho hàm số

. Giả sử

Tính giá trị của
Câu 2. Cho tích phân
P a 2  b 2  c 2 .

3

I 2 x  4 dx a 
0

b
c ln 2

đến đường thẳng
I. Phần trắc nghiệm
1
2
3
4
5
6

Trang3

A
C
A
D
C
A

thỏa mãn

và mặt phẳng

đi qua

là nhỏ nhất. Đường thẳng

trên

b
với a, b, c   và c là phân số tối giản. Tính

Câu 3.Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
. Đường thẳng

là nguyên hàm của

, song song với mặt phẳng

sao cho khoảng cách từ

có một véc-tơ chỉ phương là
----HẾT--ĐÁP ÁN
10
11
12
13
14
15

. Tính

C
A
A
SĐĐĐ
ĐSSĐ
11,2

.

7
8
9

C
B
D

16
17
18

55
1,83
0,83

II. Phần tự luận
Câu

1

Thang
điểm

Nội dung

Cho hàm số

. Giả sử

là nguyên hàm của

trên

thỏa mãn

Tính giá trị của

là nguyên hàm của

trên

Ta có:
Do

nên

0,25

.

.
liên tục tại

0,25

nên

0,25
0,25
Do đó
2

. Suy ra

3

Cho tích phân

I 2 x  4 dx a 
0

b
c ln 2

P a 2  b 2  c 2 .

Nhận xét :

.

b
với a, b, c   và c là phân số tối giản. Tính

2 x  4  0  x  2.  f ( x)  0x   2;3 ; f ( x)  0x   0; 2 
2

0,25

3

1 x 2  1 x

3
I 4  2  dx  2 x  4  dx  4 x 
2  
2  4x 
ln 2  0  ln 2

2
0
2
Vậy :
x

0,25

3   4
1


 8 
 4  4 
 
ln 2   ln 2
ln 2


 P a 2  b 2  c 2 42  12  12 18

0,25
0,25

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
3

và mặt phẳng

. Đường thẳng
khoảng cách từ

đến đường thẳng

đi qua

, song song với mặt phẳng

là nhỏ nhất. Đường thẳng

sao cho

có một véc-tơ chỉ phương là

. Tính .
Thay tọa độ các điểm A và B lần lượt vào vế trái phương trình mặt phẳng (P) ta được
VT ( A)=−6<0 ,VT (B)=4> 0 ⇒ A , B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với (P)⇒ d ⊂(Q) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q)⇒ d (B , d) ≥ BH .
Vậy khoảng cách từ B dến đường thẳng d nhỏ nhất khi d đi qua A và H ⇒ H là hình chiếu vuông
góc của B lên d. Gọi Δ là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (P). Phương trình

{

x=1+t
Δ : y=−1−2 t .
z=3+ 2t
Phương trình mặt phẳng (Q) là x−2 y +2 z +1=0.
Có H= Δ∩(Q)⇒ H ∈ Δ⇒ H (1+t ;−1−2t ; 3+2t ).

Trang4

0,25

0,25

0,25

𝐻 ∈ ሺ𝑄ሻ⇒ 1 + 𝑡 − 2ሺ− 1 − 2𝑡 ሻ+ 2ሺ3 + 2𝑡 ሻ+ 1 = 0 ⇔ 9𝑡 + 10 = 0 ⇔ 𝑡 = −
1 11 7
26 11
2
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ= ൬ ; ; − ൰⇒ 𝑢ሬ
; ; ൰⇒ 𝐴𝐻
Ԧ1 = (26; 11; − 2)
9 9 9
9 9
9
11
2
𝑏 11 26
11
⇒ 𝑢ሬ
Ԧ= ൬1; ; − ൰⇒ =
⋅
= −
.
26
26
𝑐 26 − 2
2

10
.
9

Suy ra 𝐻 ൬−

ĐỀ 2

0,25

ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025-2026
MÔN: TOÁN 12

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi
thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Nếu

là một nguyên hàm của hàm số

trên đoạn

thì

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
A.
.
C.
.

là
B.
D.

.
.

Câu 3. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường
xoay tạo thành khi quay quanh trục
bằng

,

A.
.
B.
.
C.
Câu 4.Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bằng

A.

.

B.

Câu 5. Nếu
A. 9.
A.

Câu 7. Cho
Trang5

C.

thì
B. 7.

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số

C.

.

bằng

,

và

.

D.

.

D.

bằng
C.

.

D. 6.

là

.

B.

.

.

D.
và

. Thể tích của khối tròn

khi đó

.
bằng

.

.

A.

.

B.

.

C.

.

D. .

Câu 8. Cho hàm số
A. .

liên tục trên
. Tích phân
bằng
B.
.
C. .
D. .
Câu 9. Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục O x
x a, x b a  b 
tại các điểm
có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục O x tại điểm có hoành
x a  x b  S  x 
độ
là
.
b

A.

V S  x  dx
a

b

.

B.

b

C.

V  2 S  x  dx
a

Câu 10.Hàm số

V  S 2  x  dx
a

.

b

.

D.

là một nguyên hàm của hàm số

V  S  x dx
a

.

trên khoảng

nếu

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 11.Gọi
là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
nào dưới đây đúng?
A.

.

Câu 12.

bằng

B.

.

C.

,

.

,

D.

,

. Mệnh đề

.

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c),d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1.Cho hàm số

. Gọi

là nguyên hàm của

.

a) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
tung và đường thẳng

quanh trục hoành bằng

b)

.

c)
d)

, với

là hằng số.

Câu 2.Cho hàm số
a) Nguyên hàm của hàm số

là

với

là hằng số.

b)
c) Biết
Trang6

là một nguyên hàm của hàm số

thoả mãn

, khi đó là

, trục hoành, trục

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

,

và hai đường thẳng

bằng
.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho

liên tục trên đoạn

thỏa mãn

;

. Khi đó giá trị của

bằng bao nhiêu?
Câu 2.Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu
. Một ô tô

đang chạy với vận tốc

bỗng gặp ô tô

đang dừng đèn đỏ nên ô tô

hãm phanh

và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức
(đơn vị tính bằng
), thời gian tính bằng giây. Để có ô tô
và đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô
phải
hãm phanh khi cách ô tô một khoảng ít nhất là bao nhiêu mét?
Câu 3. Cho vật thể

được giới hạn bởi hai mặt phẳng

ý vuông góc với trục

tại điểm có hoành độ

. Thể tích của vật thể
Câu 4.Cho hàm số

và

. Cắt vật thể bởi một mặt phẳng tùy

ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng

bằng bao nhiêu?
Biết

Trong đó

. Tính

?

PHẦN IV. TỰ LUẬN. Thí sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 1. Tìm hàm số
Câu 2. Tính tích phân

, biết rằng

và

.

.

Câu 3. Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao
vẽ bên dưới). Người ta căng hai sợi dây trang trí
,

, chiều rộng chân đế
(tham khảo hình
nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi

Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau . Tính tỉ số

1
2
3
4
5
6

Trang7

---------- HẾT ---------ĐÁP ÁN
C
D
B
C
A
C

.

10
11
12
1
2
1

B
D
D
Đ-S-Đ-Đ
Đ-Đ-S-S
10

7
8
9

B
B
A

33
36
-3

PHẦN IV (3 ĐIỂM):
Nội dung

Câu
Câu 1. Tìm hàm số

Câu 1
(1,0đ)

2
3
4

, biết rằng

Điểm
và

Lời giải

Ta có:

.
0,5đ

.

Mà:

.

Vậy

0,5đ

.

Câu 2. Tính tích phân

0,5đ

Lời giải

Câu 2
(1,0đ)
Ta có:

.
0,5đ

Câu 3
(1,0đ)

Câu 3.

Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao

. Người ta căng hai sợi dây trang trí

,

, chiều rộng chân đế

nằm ngang đồng thời chia hình

giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau . Tính tỉ số

Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ

Trang8

như hình vẽ.

.

0,25đ

Phương trình Parabol có dạng

.

đi qua điểm có tọa độ

suy ra:

Suy ra phương trình
Từ hình vẽ ta có:

0,25đ

.
.

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng

là
.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng

Từ giả thiết suy ra

0,25đ
:

là 

.

0,25đ

Vậy
---------- HẾT ---------ĐỀ 3

ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025-2026
MÔN: TOÁN 12

Phần I. Câu trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn(3,0 điểm). Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một
phương án.
Câu 1.Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
Trang9

với mọi hàm

có đạo hàm trên

.

B.

với mọi hàm

C.

với mọi hằng số

với mọi hàm

Câu 2.Nguyên hàm của hàm số
A.
.

là
.

B.

C.

xác định trên

A.

,

.

B.

C.

,

.

D.

.

A.

.

C.

D.

và

là một nguyên hàm của
,
,

.

D.

.

liên tục trên khoảng

và

.
.

. Mệnh đề nào sau đây sai?
B.

D.

.

.

là một nguyên hàm của hàm số
B.

Câu 9.Cho hàm số

.

.

Câu 7.Cho hàm số

.

.

B.
.

C.

. Khẳng định nào

là:

C.

A.

trên

.

D.

.

.

.

Câu 6.Họ các nguyên hàm của hàm số

A.

.

.

.

.

Câu 8.Cho

có đạo hàm trên

B.

A.

.

.

D.

Câu 4.Cho hàm số
dưới đây đúng?

Câu 5.Tìm

,

B.
.

.

có đạo hàm trên

C.

Câu 3.Tìm họ nguyên hàm của hàm số
.

có đạo hàm trên

và với mọi hàm số

D.

A.

,

.

. Khi đó hiệu số
C.

có đạo hàm liên tục trên đoạn

bằng
.

D.

thỏa mãn

.
và

. Tính

.
A.

.

Câu 10.Cho hàm số

B.

liên tục trên

, trục hoành và hai đường thẳng
Trang10

.

C.

.

. Diện tích hình phẳng

D.

.

giới hạn bởi đồ thị hàm số

được tính theo công thức

A.

.

B.

.

C.

.

Câu 11.Kí hiệu
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
(như hình bên). Hỏi khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.

.

B.

.

C.

D.

.

,

, đường thẳng

.

D.
.
Câu 12.Viết công thức tính thể tích
tại các điểm

,

của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục

có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

điểm có hoành độ

là

tại

.

A.
.
B.
.
C.
. D.
.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai(2,0 điểm).Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng
hoặc sai.
Câu 1.Biết

là một nguyên hàm của hàm số

a)

trên khoảng

.

b)

cũng là một nguyên hàm của hàm số

c)

.

.

d) Biết

, khi đó

.

Câu 2.Cho hàm số
a) Gọi

. Gọi

thì ta có

b)

.

c)

.

;

.

.

d)
. Khi đó
.
Phần III. Câu trả lời ngắn(2,0 điểm).Học sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1:

Trang11

Biết

. Tính tổng

?

.

Câu 2:

Cho các hàm số

phân thứ 2)

và

liên tục trên

. Khi đó,

. Giả sử

và

bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập

Câu 3: Cho hàm số
. Tích phân
bằng bao nhiêu?
Câu 4: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa Cẩm Tú Cầu (phần
được gạch chéo trên hình vẽ).

Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng giới hạn bởi parabol

và nửa trên của đường tròn

. Tính số tiền (nghìn đồng) tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết rằng để trồng
mỗi
hoa cần ít nhất là
nghìn đồng. (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)
Phần IV. Câu hỏi tự luận (3,0 điểm).
Câu 1. Tính
Câu 2.Cho

.
là một nguyên hàm của hàm số

?
Câu 3. Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là
một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là

. Giao của

mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng
. Thiết diện
của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại
là một hình tam giác vuông cong

với

,

và cạnh cong
nằm trên một đường parabol có
trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí
là trung điểm
của
thì tường cong có độ cao
(xem hình minh họa bên).
Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.
------------------- HẾT -----------------ĐÁP ÁN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm).Mỗi câu đúng 0,25 điểm
Câu
1
2
3
4
5
Trang12

Đáp án
C
B
C
B
B

. Tính tổng

6
B
7
A
8
D
9
B
10
D
11
B
12
D
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm). Mỗi câu đúng 0,25 điểm
Câu
1
2

a
S
S

b
Đ
S

c
S
S

d
Đ
Đ

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm).Mỗi câu đúng 0,5 điểm

PHẦN IV. Tự luận (3,0 điểm)
Câu

Câu
1
2
3
4

Trả lời
0
3,14
17,5
2985

Nội dung

Điểm
0,25

1

0,5
0,25
0,25
là một nguyên hàm của hàm số

nên

0,25

2
0,25

3

0,25

Vậy

0,25

Chọn hệ trục
cạnh cong

như hình vẽ sao cho
nằm trên parabol

đi qua các điểm

Trang13

,

và

0,25
nên

Câu

Nội dung

Điểm
0,25

Khi đó diện tích tam giác cong

có diện tích

.

Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là

0,25

.

* Mọi cách giải khác nếu đúng, căn cứ vào điểm thành phần của hướng dẫn chấm đánh giá điểm tối đa.

ĐỀ 4

ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025-2026
MÔN: TOÁN 12
PHẦN I. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Trong không gian

, phương trình nào sau đây không là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A.

B.

C.

D.

Câu 2.Trong không gian

, cho mặt phẳng

trong các điểm sau không thuộc mặt phẳng
A.
.
B.
Câu 3.Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu

và

có phương trình

. Điểm nào

?
.

C.

đều là nguyên hàm của hàm số

.

D.

.

thì

B.
C.

(

là hằng số và

)

D.
Câu 4.Trong không gian với hệ tọa độ
đây song song với

, cho mặt phẳng

. Mặt phẳng nào sau

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 5.Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng
, trục

và hai đường thẳng

A.

,

B.

Câu 6. Nếu

thì

A.

B.

Trang14

.

.

C.

D.

C.

D.

bằng

Câu 7.Cho mặt phẳng
A.

xung quanh trục

được giới hạn bởi các đường

. Khi đó, một véctơ pháp tuyến của
B.

.

C.

.

D.

?
.

Câu 8.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
thức nào dưới đây?

,

A.

B.

C.

D.

Câu 9. Biết
là một nguyên hàm của
A. .
B.
.
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây đúng.

thỏa mãn
C.

A.

B.

C.

D.

Câu 11. Tìm nguyên hàm
A.

.

và

được tính theo công

. Tính
D.

.

.
.

.
B.

Câu 12.Cho
A. .

,

.

C.
. Tính

B.

.

.

D.

.

.
C.

.

D.

.

PHẦN II. (4,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b),
c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1.Trong không gian

cho hình chóp

có

là hình chữ nhật với

.

a) Phương trình mặt phẳng
b) Mặt phẳng

là

có vectơ pháp tuyến là

c) Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

d) Mặt phẳng đi qua điểm

(làm tròn đến hàng đơn vị) là

và song song với mặt phẳng

.
Câu 2.Cho hai hàm số
Trang15

và

.

có phương trình là

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của
như hình vẽ trên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Diện tích phần hình phẳng

và

b) Diện tích phần hình phẳng

và

bao gồm hai phần

.

được tính theo công thức

c) Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
ta được khối tròn xoay có thể tích

; với

, trục

.
và hai đường thẳng

quanh trục

.

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của

, trục hoành và hai đường thẳng

bằng

.
Câu 3.Cho hàm số

.

a)

.

b)

.

c) Gọi

là một nguyên hàm của hàm số

d) Gọi

là một nguyên hàm của hàm số

. Biết
và thỏa mãn

, khi đó
. Khi đó

Câu 4.Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên
đường cách đó
Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
b) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
c) Quãng đường

mà xe ô tô đi được trong thời gian

trong đó

(giây) kể từ lúc đạp phanh là

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường.
PHẦN III. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trang16

là thời gian tính

Câu 1.Trên thiết kế đồ hoạ 2D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian
trên mặt phẳng

, một tấm pin nằm

, một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng

và song song với mặt phẳng
. Khi đó giá trị

đi qua điểm

. Biết rằng phương trình mặt phẳng

có dạng

bằng

Câu 2.Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa hình vuông cạnh bằng
bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình vẽ bên. Biết
cm,
tích của bề mặt hoa văn đó (đơn vị: cm ). Tính

cm bằng cách khoét đi
cm. Gọi
là diện

(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Câu 3.Khi gắn hệ trục tọa độ
(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet) vào một ngôi nhà 1 tầng, người
ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục
. Biết rằng các vị
trí
,
lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính
bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao
nhiêu decimet?
Câu 4.Tại một nhà máy, gọi

là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất

tấn sản phẩm Z trong

một tháng. Khi đó, đạo hàm
, gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản
phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi
công thức

với

.

Biết rằng
triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất
phẩm Z trong tháng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 5.Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm
phút,
Trang17

tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số

là

trong đó

tấn sản

tính bằng
, với

tính bằng phút,
tính bằng mét/phút. 5 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu ở độ cao 530 m. (Nguồn:
Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là
bao nhiêu mét?
Câu 6.Một ô tô đang chạy với tốc độ với tốc độ

thì tăng tốc với gia tốc

.

Tính quãng đường ô tô đi được trong vòng
giờ kể từ khi tăng tốc (Làm tròn kết quả đến hàng phần
mười, giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).
-------------- HẾT --------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN
I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
1

2

3

4

A
D
B
B
II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
1

2

3

5

6

7

8

9

10

11

12

D

D

B

A

A

A

C

C

4

DDDS DSSD SDDD SSDD
III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
1

12

2

15,8

3

2

4

395

5

540

6

16,9
ĐỀ 5

ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025-2026
MÔN: TOÁN 12

PHẦN I. ( 3 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi
câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.Tính thể tích

của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng

phẳng vuông góc với trục
A.

tại điểm có hoành độ
B.

là một tam giác đều có cạnh bằng
C.

.

.

Câu 3.Nguyên hàm
Trang18

B.

của hàm số

.

C.

.

D.

Câu 2.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục
quanh trục
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng
A.

, có thiết diện bị cắt bởi mặt

và các đường thẳng

.

thỏa mãn

D.

là

quay

.

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Câu 4.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
A.

.

B.

Câu 5.Biết
A. .

.

C.

. Khi đó
B.

Câu 6.Cho hàm số
trên ?

và

bằng

.

bằng
C. .

.

.

B.

.

C.

.

D.

.

A.

B.

.

.

D.

.

bằng
B.

.

D.

thỏa mãn

.

Câu 8.Giá trị của
A.

của hàm số
.

C.

.

. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của

A.

Câu 7.Nguyên hàm

D.

C.

.

D.

.

Câu 9.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
thức nào sau đây?
A.

B.

C.

D.

Câu 10.Cho hàm số
A.

.

Câu 11.Cho hàm số
A. 25.

Trang19

được tính bởi công

thì
B.

.

.

bằng
C.

.

là một nguyên hàm của hàm số
B. 625.
C. 125.

D.
. Tính

.
D. 5.

.

Câu 12.Một ô tô đang chạy với tốc độ

thì gặp chướng ngại vật, người lái đạp phanh, từ thời điểm

đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó là khoảng thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao
nhiêu mét ( )?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

PHẦN II. (4 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c),
d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1.Gọi
là một nguyên hàm của hàm
các khẳng định sau:
a)
c)

.
.
liên tục trên

khi đó

d)

là một nguyên hàm của

. Xét tính đúng sai

.
.

.

Câu 3.Cho

và

a)

. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
.

b) Nếu

và

c)

Trang20

.

.

b) Hàm số có một nguyên hàm là

d)

,

. Xét tính đúng sai của

.

d)

a)

thoả mãn

b)

Câu 2.Cho hàm số
của các khẳng định sau:

c) Biết

trên

.
.

thì

.

Câu 4.Cho hình phẳng

được tô màu trong hình bên dưới.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hình phẳng

có diện tích bằng

b) Hình phẳng
c) Thể tích

(đvdt).

được giới hạn bởi đồ thị hàm số

,

,

,

.

của khối tròn xoay sinh ra bởi

khi quay

quanh trục

được tính bằng công thức

của khối tròn xoay sinh ra bởi

khi quay

quanh trục

bằng

.
d) Thể tích

(đvtt).

PHẦN III. ( 3 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1.Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ
được cho bởi hàm số

thời điểm

phút

thời điểm
nhiệt là

là một nguyên hàm của hàm số
. Nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền
. Khi đó có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 2.Cho hàm số

. Biết

(

. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại

phút . Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại

là một nguyên hàm của

và

. Tính

.
Câu 3.Diện tích
thẳng

của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
là

Câu 4.Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình vẽ dưới đây:

Trang21

, trục hoành và hai đường

Quãng đường vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên là

mét. Khi đó

Câu 5.Tính thể tích
của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
hình vuông có độ dài cạnh bằng

.

Câu 6.Cho

. Khi đó

có giá trị bằng bao nhiêu?
và

(

, biết rằng khi cắt vật thể
) thì được thiết diện là một

bằng bao nhiêu?

------ HẾT -----ĐÁP ÁN
PHẦN I. ( 3 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
1.C

2.B

3.C

4.B

5.B

6.B

7.D

8.A

9.C

10.B

11.B

12.D

PHẦN II. ( 4 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu

1

2

3

4

a)

Đúng

Đúng

Đúng

Sai

b)

Đúng

Đúng

Sai

Đúng

c)

Đúng

Sai

Đúng

Sai

d)

Sai

Đúng

Sai

Đúng

Mỗi câu trả lời đúng 1 ý được 0,1 điểm , đúng 2 ý được 0,25 điểm , đúng 3 ý được 0,5 điểm và đúng 4 ý
được 1 điểm.
PHẦN III. ( 1 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1
28

Câu 2
110

ĐỀ 6

Câu 3
6

Câu 4
3

Câu 5
18

Câu 6
10,5

ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025-2026
MÔN: TOÁN 12

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM:(7 điểm)
PHẦN I. Câu trắc nghi