ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP CỤM TRƯỜNG, NĂM HỌC 2025 – 2026
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề).

Câu 1 (6,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức

với

b) Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 2 (6,0 điểm).
a) Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức C = x3 + 3xy + y3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
là số chính phương.
c) Chứng minh rằng biểu thức D =

chia hết cho 24 với mọi số

nguyên n.
Câu 3 (5,0 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh AE.AC = AF.AB
b) Chứng minh
2

c) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC
Câu 4 (1,0 điểm).
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên BD; M, N lần lượt
là trung điểm của HD, BC. Chứng minh rằng: AM vuông góc với MN.
Câu 5 (2,0 điểm).
a) Cho a, b, c

thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1 và

. Chứng minh

rằng trong 3 số a, b, c có ít nhất một số bằng 1.
b) Một ngọn đèn đặt ở vị trí A, hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H. Người
ta cắm hai chiếc cọc dài 1,6m ở hai vị trí B và C thẳng hàng với H. (H nằm giữa B và
C). Khi đó bóng của chiếc cọc dài 0,4m và 0,6m. Biết khoảng cách hai chiếc cọc là
1,4m. Tính độ cao của ngọn đèn
------- Hết ------Họ và tên:…………………………………..Số báo danh:………………

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu/ý
Câu 1 (6,0 điểm).

Nội dung cần đạt

a) Rút gọn biểu thức

Điểm
, với

b) Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Rút gọn biểu thức
Ta có:
a
(2.0đ)

, với

0,5đ
0,5đ
0.5đ
0,5đ

0,5đ
0.5đ
0,5đ

b
(2,0đ)

0,5đ
Vậy x = 0 hoặc x = -1 thỏa mãn.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta có
c
(2.0đ

0,5đ
0,5đ

Vì
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Do đó Bmin = 2022 đạt khi x = y = 2.
Câu 2 (6,0 điểm).

0,5đ
0.5đ

a) Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức C = x3 + 3xy + y3.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho
là số chính phương
c) Chứng minh rằng biểu thức D =

chia hết cho 24 với mọi số

nguyên n.
Ta có C = x3 + 3xy + y3 = (x3 + y3) + 3xy
a
(2,0đ)

= (x+y)(x2 – xy + y2) + 3xy = x2 – xy + y2 + 3xy vì x + y = 1
= x2 +2xy + y2 = (x + y)2 = 12 = 1
Xét

, nếu

là số chính phương thì

1,0đ
0,5đ
0.5đ

là số chính

phương. Khi đó giả sử
Suy ra

0,5đ

.

0,5đ
b
(2,0đ)
Vì

nên
Do đó

Thử lại thấy
Vậy

c
(2,0đ)

và

.
(thỏa)

thì

0.5đ

0.5đ

là số chính phương.

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

D là tích của bốn số nguyên liên tiếp nên D chia hết cho 3 và D

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

chi hết cho 8, mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên D
chia hết cho 24.

Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh AE.AC = AF.AB
b) Chứng minh

c) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC

2

A

E

Hình

F
H

B

D

Xét
và
chung
a
(2.0đ)

(
Do đó

C

ta có
2,0đ

)
(g –g)

Suy ra
b
(2.0đ)

2.0đ

Từ câu a suy ra
Kết hợp với góc  chung ta có

(c.g.c)

Kẻ đường cao AD

c
(1.0đ)

+ Tam giác

(g –g) nên

+ Tam giác

(g –g) nên

Do đó BH.BE + CH.CF = BC (CD +BD) = BC.BC = BC
Câu 4 (1,0 điểm).

0.5đ

0.5đ

2

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên BD; M, N lần lượt là
trung điểm của HD, BC. Chứng minh rằng: AM vuông góc với MN.

Gọi K là trung điểm của AH. Khi đó MK là đường trung bình
tam giác AHD
Suy ra MK//AD mà AD vuông góc với AB nên MK vuông góc
với AB
Mặt khác AH vuông góc với BD
Nên K là trực tâm của tam giác AMB
Nên BK vuông góc với AM (1)
Ta lại có MK là đường trung bình của tam giác AHD nên
MK//=1/2AD //=BN
Nên BKMN là hình bình hành nên MN//BK (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM vuông góc với MN
Câu 5 (2,0 điểm).
a) Cho a, b, c

thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1 và

0.5đ

0.5đ

. Chứng minh

rằng trong 3 số a, b, c có ít nhất một số bằng 1.
b) Một ngọn đèn đặt ở vị trí A, hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H. Người
ta cắm hai chiếc cọc dài 1,6m ở hai vị trí B và C thẳng hàng với H. (H nằm giữa B và
C). Khi đó bóng của chiếc cọc dài 0,4m và 0,6m. Biết khoảng cách hai chiếc cọc là
1,4m. Tính độ cao của ngọn đèn
Vì

và

Nên
a
(1.0đ)

Biến đổi hệ thức trên được: (a + b)( b +c)(c +a) = 0
Nên a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0
Nếu a + b = 0 thì c = 1
Nếu b + c = 0 thì a = 1
Nếu c + a = 0 thì b = 1
Vậy trong 3 số a, b, c có ít nhất một số bằng 1

0,5đ

0,5đ

A

F

E
x

N

b
(1.0đ)

C

H

Đặt
Gọi đỉnh cọc cắm tại
có độ dài
Xét
có

Xét

có

M

B

và

lần lượt là

, bóng lần lượt
.
(cùng vuông góc với
).

(cùng vuông góc với

0.5đ

).
0.5đ

Mà

Vậy ngọn đèn cao
Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa tương ứng với từng câu hỏi.