SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐẮK LẮK

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN THI: TOÁN (CHUYÊN)
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 02/6/2026

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (3,00 điểm)
a) Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
b) Giải phương trình
c) Với x là số thực và

. Tính giá trị các biểu thức sau:

.
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 2. (2,00 điểm)
a) Tìm đa thức bậc ba P(x) với hệ số nguyên, biết đa thức P(x) có nghiệm
và
.
b) Cô giáo mang lên lớp hai chiếc hộp, trong mỗi hộp chỉ có bi màu xanh và bi màu
đỏ, mỗi hộp đựng không quá 20 viên bi. Cô gọi bạn An lên thực nghiệm, An sẽ kiểm
kê số lượng và màu sắc bi trong hộp thứ nhất, rồi tính xác suất bốc được bi xanh khi
bốc ngẫu nhiên 1 viên trong hộp này. Cô cũng gọi bạn Bình lên thực hiện tương tự
đối với hộp thứ hai. Biết rằng hai bạn đều tính đúng và tổng xác suất tính được của
hai bạn là

. Hỏi trong cả hai hộp có bao nhiêu viên bi xanh?

Câu 3. (1,50 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường phân giác
AD. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Gọi I là giao
điểm của DE và BF, K là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng:
a)

.

b) IK song song với BC.

c) AK vuông góc với BF.

Câu 4. (1,50 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O). Hai đường chéo
AC và BD cắt nhau tại K. Trên cung nhỏ BC lấy điểm E (
). Đường thẳng KE
cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABK và CDK lần lượt tại G, H (
)
và cắt đường tròn (O) tại F (
). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ADF đồng dạng với tam giác AEG.
b) EG = HF.
Câu 5. (1,00 điểm) Cho a, b, c là các số nguyên dương, trong đó a, b là hai số nguyên
tố cùng nhau và
chia hết cho ac. Chứng minh rằng số a là lũy thừa
bậc 3 của một số nguyên dương.
Câu 6. (1,00 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
minh rằng:

. Chứng

Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang 1

–––––––––––––––––––––––––––––––––– HẾT ––––––––––––––––––––––––––––––––––

SƠ LƯỢC LỜI GIẢI

Câu 1. (3,00 điểm)
a) Ta có:

b) (ĐKXĐ:

(vì

)

)

Ta có

Mặt khác với
thì
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
c) Vì
, nên A xác định và ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của
(TMĐK).
Vậy
khi
Câu 2. (2,00 điểm)

.

, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.

a) Giả sử

Ta có:

.

.

hay

hay
Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang 2

hay
Do

Vậy

.
, nên suy ra:

.

b) Gọi a, b lần lượt là tổng số viên bi có trong hộp thứ nhất và thứ hai
.
Gọi c, d lần lượt là số viên bi màu xanh có trong hộp thứ nhất và thứ hai
và
.

và

Xác suất bốc được viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất là:
Xác suất bốc được viên bi màu xanh ở hộp thứ hai là:
Theo giả thiết, ta có:
.
Khi đó: a, b là một bội của 143. Lại có: 143 = 11.13
Vì số bi trong mỗi hộp không quá 20 viên bi nên để tích a.b chia hết cho 11.13 thì
một trong hai số a, b phải có một số bằng 11, một số bằng 13.
Do vai trò của hai hộp là như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử: a = 11 và
b = 13.
Khi đó:

.

Do đó: c = 5, nên
.
Vậy trong hai hộp có tổng cộng 12 viên bi màu xanh.
Câu 3. (1,50 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường phân giác
AD. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Gọi I là giao
điểm của DE và BF, K là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng:
Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang 3

a)

.

b) IK song song với BC.

c) AK vuông góc với BF.

a)
Dễ dàng chứng minh được tứ giác AEDF là hình vuông, do đó DF = EA
Xét BEI có BE // DF (BE  AC, DF  AC)
nên
(hệ quả định lý Thales).
b) IK song song với BC
Xét BEI có BE // DF, nên

(hệ quả định lý Thales).

Xét BED và DFC có

,

Do đó BED

.

DFC (g–g) 

.

Xét CFK có CF // DE, nên

(hệ quả định lý Thales).

Từ (1), (2), (3), ta có:

.

Xét BDF có
, nên IK // BC (định lý Thales đảo).
c) AK vuông góc với BF.
Tứ giác AEDF là hình vuông, nên AE = AF = DF
Xét ACE có KF // AE, nên

(hệ quả định lý Thales).

Xét ABC có DF // AB, nên

(hệ quả định lý Thales).

Do đó

.

Xét BAF và AFK, ta có:

(gt),

Vậy BAF

.

AFK (c–g–c) 

(cmt)

Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang 4

Do đó
, nên AK  BF (đpcm)
Câu 4. (1,50 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O). Hai đường chéo
AC và BD cắt nhau tại K. Trên cung nhỏ BC lấy điểm E (
). Đường thẳng KE
cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABK và CDK lần lượt tại G, H (
)
và cắt đường tròn (O) tại F (
). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ADF đồng dạng với tam giác AEG.
b) EG = HF.

a) ADF
AEG.
Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ABK, CDK. Lại có G, H lần lượt
thuộc đường tròn (I), (J) nên các tứ giác ABKG nội tiếp (I), CDKH nội tiếp (J);
Do đó
Mà
chắn cung

(tứ giác AEDF nội tiếp (O)),
của

(góc nội tiếp cùng

)

Nên
Xét AGE và AFD, ta có:

,

(góc nội tiếp

cùng chắn cung
của
)
Vậy ADF
AEG (g–g).
b) EG = HF.
Ta có ADF

AEG (câu a) nên

.

(góc nội tiếp cùng chắn cung
(góc nội tiếp cùng chắn cung

của
của

)
)

Nên
Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang 5

Xét DHF và DEA, ta có:
cùng chắn cung
Vậy DHF

của

,

(góc nội tiếp

)

DEA (g–g) 

.

Từ (1), (2) ta có
(đpcm)
Câu 5. (1,00 điểm) Cho a, b, c là các số nguyên dương, trong đó a, b là hai số nguyên
tố cùng nhau và
chia hết cho ac. Chứng minh rằng số a là lũy thừa
bậc 3 của một số nguyên dương.
Vì

chia hết cho ac nên

Gọi

, ta có

Vì

và

.
(

)

chia hết cho ac, nên có:

(k nguyên dương)
mà
Đặt
(với x là số nguyên dương).
Ta có:
Vì

và

Vì
Vì

và

Mà
Mặt

Vì

khác:

và

mà
do đó
nên
,
.
Vậy số a là lũy thừa bậc 3 của một số nguyên dương.
Câu 6. (1,00 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
minh rằng:

. Chứng

Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang 6

Vì

, nên

Do đó

;

Tương tự có
Ta chứng minh:
Hay
Ta có
Lại có
Tương tự
Do đó

Như vậy ta cần chứng minh

Ta có

Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang 7

Tương tự
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi

.

Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang 8