Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2026 − 2027
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 02 trang)

Câu 1 (1,5 điểm).
a) Một trang trại trồng cà rốt và thử nghiệm một loại phân bón mới. Khi thu hoạch người ta đo
chiều dài các củ cà rốt và thu được kết quả sau:
Chiều dài (cm)

[15; 16)

[16; 17)

[17; 18)

[18; 19)

[19; 20)

[20; 21)

Số củ cà rốt

8

17

30

26

14

5

Xác định tần số và tính tần số tương đối của nhóm [17; 18).
b) Một hộp chứa 5 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4; 5 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số). Bạn An rút ngẫu
nhiên 1 tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất để An rút được tấm thẻ ghi số chẵn.
Câu 2 (2,0 điểm).
p

p

p

p

a) Tính giá trị của biểu thức A = 4 + 3 · 12 − 49.
¶ p
2 x−4
1
b) Rút gọn biểu thức B = p
· p
−
, với x ≥ 0, x ̸= 4.
x−2 x−4
x+1
µ

1

c) Cho hàm số y = ax2 . Tìm giá trị của a để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm M (2; 6).
Câu 3 (2,5 điểm).
a) Có hai nhóm học sinh cùng đến một cửa hàng để mua hoa quả. Nhóm thứ nhất mua 3 kg táo
và 5 kg cam, tổng số tiền phải trả là 225 nghìn đồng. Nhóm thứ hai mua 4 kg táo và 2 kg cam,
tổng số tiền phải trả là 160 nghìn đồng. Hãy tính giá tiền 1 kg táo và giá tiền 1 kg cam.
b) Một ô tô tải khởi hành từ thành phố A để đi đến thành phố B. Sau đó 36 phút, một ô tô con
cũng xuất phát từ thành phố A để đi đến thành phố B trên cùng một tuyến đường với vận tốc
lớn hơn vận tốc của ô tô tải là 15 km/h. Do vận tốc lớn hơn nên ô tô con đã đuổi kịp và đến
thành phố B cùng lúc với ô tô tải. Giả thiết rằng vận tốc của mỗi xe là không đổi trên cả tuyến
đường. Hãy tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường giữa hai thành phố A và B là 154 km.
c) Cho phương trình x2 − 5 x + 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Không giải phương trình, tính giá trị
1

biểu thức P =
2+

q

23 x12 − 1

+

3 x22 + 7
5 x2 + 1

.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) và nội tiếp đường tròn (O ). Các
đường cao AD , BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC , đường
kính AL của đường tròn (O) cắt ME tại N .
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
ƒ = LAC
 và AE · AB = 2 AN · OM .
b) Chứng minh BAD

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

1

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An
c) Tia AM cắt EF tại K . Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BC . Đường tròn ngoại
tiếp tam giác AD I cắt AB và AC tương ứng tại P và Q (P,Q khác A ). Chứng minh K là trực
tâm của tam giác APQ .
Câu 5 (1,0 điểm).
a) Quả bóng bàn sử dụng trong thi đấu quốc tế là loại bóng nhựa Poly cao cấp, thân thiện với
môi trường, độ bền cao và có dạng hình cầu (hình vẽ). Biết rằng đường kính quả bóng bàn là
4 cm. Tính thể tích quả bóng bàn đó.

b) Người ta thiết kế một vật trang trí hình trụ bằng một loại chất liệu trong suốt, bên trong có
một hình nón màu sắc rực rỡ. Biết rằng đỉnh hình nón là tâm đáy trên của hình trụ, đáy hình
nón trùng với đáy dưới của hình trụ và đường sinh hình nón bằng 6 cm (tham khảo hình vẽ).
Hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích vật trang trí đó.

................. Hết .................

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

2

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 - MÔN TOÁN NĂM 2026
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN
Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh - Email: vinhtruonghoang216@gmail.com
Câu 1 (1,5 điểm).
a) Một trang trại trồng cả rốt và thử nghiệm một loại phân bón mới. Khi thu hoạch người ta đo
chiều dài các củ cả rốt và thu được kết quả sau:
Chiều dài (cm)

[15; 16)

[16; 17)

[17; 18)

[18; 19)

[19; 20)

[20; 21)

Số củ cà rốt

8

17

30

26

14

5

Xác định tần số và tính tần số tương đối của nhóm [17; 18).
b) Một hộp chứa 5 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4; 5 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số). Bạn An rút ngẫu
nhiên 1 tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất để An rút được tấm thẻ ghi số chẫn.
Lời giải
a)
− Tần số của nhóm [17; 18) là: 30.
− Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu là: N = 8 + 17 + 30 + 26 + 14 + 5 = 100 suy ra tần số tương đối của
30
· 100 = 30%.
nhóm [17; 18) là: f =
100

b)
− Ta có: Ω = {1; 2; 3; 4; 5} suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 5.
− Gọi A là biến cố "An rút được tấm thẻ ghi số chẵn". Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là 2; 4.
Suy ra n( A ) = 2.
− Vậy xác suất của biến cố A là: P =

n( A ) 2
= .
n(Ω) 5

Câu 2 (2,0 điểm).
p

p

p

p

a) Tính giá trị của biểu thức A = 4 + 3 · 12 − 49.
¶ p
1
2 x−4
b) Rút gọn biểu thức B = p
−
· p
, với x ≥ 0, x ̸= 4.
x−2 x−4
x+1
µ

1

c) Cho hàm số y = ax2 . Tìm giá trị của a để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm M (2; 6).
Lời giải
p

p

p

p

p

a) Ta có: A = 4 + 3 · 12 − 49 = 2 + 36 − 7 = 2 + 6 − 7 = 1.
b) Với
x ≥ 0, x ̸= 4 ta được:
¢
µ
¶ ¡p
2 x−2
1
1
¢ ¡p
¢ · p
B= p
− ¡p
x−2
x+1
x−2
x+2
¢
p
µ
¶ ¡p
2 x−2
x+2
1
¢ ¡p
¢ − ¡p
¢ ¡p
¢ · p
B = ¡p
x+1
x−2
x + 2 ¡p x − 2¢
x+2
p
2 x−2
x+1
¢ ¡p
¢· p
B = ¡p
x+1
x−2
x+2
2
B= p
x+2

3
2

c) Vì M (2; 6) thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 nên ta được: 6 = a · 22 ⇒ a = .
Câu 3 (2,5 điểm).
Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

3

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An
a) Có hai nhóm học sinh cùng đến một cửa hàng để mua hoa quả. Nhóm thứ nhất mua 3 kg táo
và 5 kg cam, tổng số tiền phải trả là 225 nghìn đồng. Nhóm thứ hai mua 4 kg táo và 2 kg cam,
tổng số tiền phải trả là 160 nghìn đồng. Hãy tính giá tiền 1 kg táo và giá tiền 1 kg cam.
b) Một ô tô tải khởi hành từ thành phố A để đi đến thành phố B. Sau đó 36 phút, một ô tô con
cũng xuất phát từ thành phố A để đi đến thành phố B trên cùng một tuyến đường với vận tốc
lớn hơn vận tốc của ô tô tải là 15 km/h. Do vận tốc lớn hơn nên ô tô con đã đuổi kịp và đến
thành phố B cùng lúc với ô tô tải. Giả thiết rằng vận tốc của mỗi xe là không đổi trên cả tuyến
đường. Hãy tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường giữa hai thành phố A và B là 154 km.
c) Cho phương trình x2 − 5 x + 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Không giải phương trình, tính giá trị
1

biểu thức P =
2+

q

23 x12 − 1

+

3 x22 + 7
5 x2 + 1

.

Lời giải
a)
− Gọi x, y (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền 1 kg táo và giá tiền 1 kg cam. Điều kiện: x ∈ N∗ , y ∈ N∗ .
− Vì nhóm thứ nhất mua 3kg táo, 5kg cam nên ta có số tiền phải trả là: 3 x + 5 y (nghìn đồng). Vì
nhóm thứ hai mua 4kg táo, 2kg cam nên ta có số tiền phải trả là: 4 x + 2 y (nghìn đồng).
(
(
3 x + 5 y = 225
x = 25( N )
− Vì vậy, ta được hệ phương trình:
⇔
.
4 x + 2 y = 160
y = 30( N )
− Vậy giá tiền 1kg táo là 25 nghìn đồng, giá tiền 1 kg cam là 30 nghìn đồng.

b)
− Đổi: 36 phút =

36 3
= (giờ).
60 5

− Gọi x (km/ giờ) là vận tốc của xe ô tô tải nên vận tốc của ô tô con là x + 15 (km/ giờ). Điều kiện:
x > 0.
− Thời gian đi hết quãng đường của ô tô tải là:

con là:

154
(giờ).
x + 15

154
(giờ). Thời gian đi hết quãng đường của ô tô
x

154
154
3
− Theo đề bài ta có phương trình:
−
= ⇔ 770( x + 15) − 770 x = 3 x( x + 15)
x
x + 15 5

x = 55 ( N )
⇔ 3 x2 + 45 x − 11550 = 0 ⇔ 
x = −70 (L)
− Vậy vận tốc của ô tô tải là 55 km/giờ và vận tốc ô tô con là 70 km/giờ.

c)
(
− Vì phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta được:

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

x1 + x2 = 5
x1 x2 = 1

.

4

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An
1

− Ta có: P =

2+
=

q

(25 − 2) x12 − 1

+

3 x22 + 7
5 x2 + 1

3 x22 + 7
1
+
q£
¤
5 x2 + 1
2+
( x1 + x2 )2 − 2 x12 − 1
1

=

2+

q¡

¢
x12 + x22 + 2 x1 x2 − 2 x12 − 1

+

3 x22 + 7
5 x2 + 1

1

=

2+

q

x14 + x12 x22 − 1

+

3 x22 + 7
5 x2 + 1

=

1

+
2

2 + x1

3 x22 + 7
5 x2 + 1

Vì x1 là nghiệm của phương trình nên x12 − 5 x1 + 1 = 0 ⇔ x12 + 2 = 5 x1 + 1

3 x22 + 7
1
Ta tiếp tục được: P =
+
¡ 25 x1 +¢ 1 5 x2 + 1
5 x2 + 1 + (5 x1 + 1) 3 x2 + 7
5 x2 + 1 + 15 x1 x22 + 35 x1 + 3 x22 + 7 3 x22 − 15 x2 + 35 x2 + 35 x1 + 8
=
=
=
25 x1 x2 + 5 x1 + 5 x2 + 1
51
51
2
2
Vì x2 là nghiệm của phương trình nên x2 − 5 x2 + 1 = 0 ⇔ 3 x2 − 15 x2 = −3
− Suy ra P =

−3 + 35.5 + 8 60
=
.
51
17

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) và nội tiếp đường tròn (O ). Các
đường cao AD , BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC , đường
kính AL của đường tròn (O) cắt ME tại N .
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
ƒ = LAC
 và AE · AB = 2 AN · OM .
b) Chứng minh BAD

c) Tia AM cắt EF tại K . Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BC . Đường tròn ngoại
tiếp tam giác AD I cắt AB và AC tương ứng tại P và Q (P,Q khác A ). Chứng minh K là trực
tâm của tam giác APQ .
Lời giải

A

E
F
H O
N
B

D

M

C
L

a)
ƒ
− Vì AF
H = 90 o nên △ AF H vuông tại F suy ra 3 điểm A, F, H cùng thuộc một đường tròn đường
kính AH .
ƒ = 90 o nên △ AEH vuông tại E suy ra 3 điểm A, E, H cùng thuộc một đường tròn
− Lại có, AEH
đường kính AH .

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

5

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An
− Suy ra 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn đường kính AH . Vậy tứ giác AEHF nội

tiếp.
b)
ƒ = CBL
 (cùng phụ với ƒ
− Ta có ƒ
ABC = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BAD
ABD ) mà


–
ƒ

LAC = CBL (cùng chắn CL) suy ra BAD = LAC

− Vì LC
A = 90 o nên CL⊥ AC mà BH ⊥ AC suy ra BH //CL và BL⊥ AB mà CH ⊥ AB suy ra BL//CH
do đó BHCL là hình bình hành mà M là trung điểm BC dẫn đến M là trung điểm HL. Xét
△ AHL có O A = OL và MH = ML suy ra AH = 2OM (theo tính chất đường trung bình).
ƒ (cùng chắn BF
ƒ = HCD
– ). Lại dễ dàng
− Dễ dàng chứng minh được BFEC nội tiếp nên FEH
ƒ = HED
ƒ (cùng chắn HD
– ). Do đó FEH
ƒ = HED
ƒ suy
chứng minh được CDHE nội tiếp nên HCD
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ra FED = 2HCM mà F MD = 2HCM suy ra FED = F MD do đó FDME nội tiếp.
ƒ (cùng chắn AF
– ) và FEM
ƒ = FDB
ƒ (do tứ giác FDME nội tiếp) mà FDB
ƒ=F
ƒ
− Ta có: ƒ
AEF = AHF
HB
ƒ
ƒ
(do tứ giác BF HD nội tiếp) nên FEM = F HB.
ƒ =ƒ
ƒ = AHF
ƒ +F
ƒ mà BAD
ƒ = LAC
 (chứng minh trên)
ƒ = AEN
ƒ
Suy ra AEN
AEF + FEM
HB = AHB
ƒ
ƒ
hay BAD = N AE suy ra △ AHB ∼ △ AEN (g.g)
AB
AH
=
⇔ AH · AN = AE · AB ⇐ AE · AB = 2OM · AN .
⇒
AE AN

c)
A

E
K

T

Q

F

O

H
P
B

D

I

M

C

− Kẻ MT ⊥FE với T ∈ EF . Vì △F ME cân tại M cho nên MT là trung tuyến suy ra T là trung
điểm của EF .
AF AE EF 2TE
TE
TF
Vì BFEC nội tiếp ta được △ AFE △ ACB suy ra
=
=
=
=
=
AC AB CB 2BM BM CM
AF
TF
ƒ
Xét △ ATF và △ AMC ta có:
=
và ƒ
AFT = ACM
AC CM
ƒ mà T I MK nội tiếp nên ta được K

Suy ra △ ATF ∼ △ AMC (c.g.c) dẫn đến ƒ
ATF = AMC
TI =
ƒ (cùng bù với K
 =K
ƒ
ƒ

AMC
M I ) suy ra ƒ
ATF = K
T I suy ra A, T, I thẳng hàng do đó BAI
AE .
 =K
ƒ
ƒ
Xét △ ABI và △ AEK ta có: BAI
AE và ƒ
AEK = ABM
BI
AI
Nên △ ABI ∼ △ AEK (g.g) suy ra
=
(1).
EK AK

ƒ
 +ƒ
ƒ
− Ta có: C
AI = E
AK + ƒ
M AI = BAI
M AI = F
AK

ƒ

Xét △C AI và △F AK ta có: C
AI = F
AK và ƒ
AFK = ACI
AI
CI
Suy ra △C AI ∼ △F AK (g.g) ⇒
=
(2).
AK FK

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

6

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT tỉnh Nghệ An
BI
CI
BI EK
=
⇔
=
(3).
EK FK
CI FK
I = 90 o ⇒ P I ⊥ AB mà CF ⊥ AB
Vì AP

− Từ (1),(2) suy ra

Suy ra P I //CF do đó theo hệ định lí Thales ta được:
− Từ (3),(4) suy ra

BI BP
=
(4).
CI FP

EK BP
=
suy ra PK //BE (theo định lí Thales đảo) vậy nên PK ⊥ AQ (I).
FK FP

I = 90 o ⇒ IQ ⊥ AC mà BE ⊥ AC suy ra IQ //BE
− Vì AQ
BI EQ
Nên theo định lí Thales ta được:
=
(5).
CI CQ
EK EQ
Từ (3),(5) ta được:
=
do đó KQ //CF (theo định lí Thales đảo) vậy nên KQ ⊥ AP (II).
FK CQ
− Từ (I),(II) mà PK, KQ đồng quy tại điểm K do đó K là trực tâm của △ APQ .

Câu 5 (1,0 điểm).
a) Quả bóng bàn sử dụng trong thi đấu quốc tế là loại
bóng nhựa Poly cao cấp, thân thiện với môi trường,
độ bền cao và có dạng hình cầu (hình vẽ). Biết rằng
đường kính quả bóng bàn là 4 cm. Tính thể tích quả
bóng bàn đó.
b) Người ta thiết kế một vật trang trí hình trụ bằng
một loại chất liệu trong suốt, bên trong có một hình
nón màu sắc rực rỡ. Biết rằng đỉnh hình nón là tâm
đáy trên của hình trụ, đáy hình nón trùng với đáy
dưới của hình trụ và đường sinh hình nón bằng 6 cm
(tham khảo hình vẽ). Hãy tìm giá trị lớn nhất của
thể tích vật trang trí đó.
Lời giải
32π

4

a) Thể tích quả bóng bàn là: V = π23 =
≈ 33, 51cm3 .
3
3
b)
− Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy của hình trụ, chiều cao của hình trụ và đường sinh hình
nón bên trong. Điều kiện: 0 < r < l, 0 < h < l .
− Ta có: r 2 + h2 = l 2 = 36 (do hình nón và hình trụ có cùng chiều cao và bán kính đáy) ⇔ r 2 = 36 − h2
Suy ra thể tích của hình trụ là: V = π r2 h = π(36 − h2 )h cm3
2
2
− Ta có: V 2 = π2 · (36 − h2 )(36 − h2 ) h2 ⇔ 2V 2 = π2 µ· (36 − h2 )(36
¶3 − h ) · 2 h
a+b+c
(với a, b, c không âm) ta được:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng abc ≤
3

36 − h2 + 36 − h2 + 2 h2
2V = π · (36 − h )(36 − h ) · 2 h ≤ π ·
3
2

2

2

2

2

2

µ

¶3

= 243 π2

s

p
p
243 π2
= 48 6π ⇒ VM A X = 48 6π
2
p
p
− Dấu " = " xảy ra ⇔ 36 − h2 = 2 h2 ⇒ h = 12 = 2 3cm thoả mãn điều kiện.
p
− Vậy thể tích lớn nhất của vật trang trí là VM A X = 48 6π cm3 .
⇒V ≤

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

7