Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT Thành phố Hà Nội
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2026 − 2027

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 02 trang)

Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 31/5/2025
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I (1,5 điểm).
1. Kết quả đo chiều cao của 50 học sinh lớp 6 (đơn vị: cm) được thống kê trong bảng tần số ghép
nhóm sau đây:
Chiều cao ( cm) [140; 145)
Số học sinh

10

[145; 150)

[150; 155)

[155; 160)

[160; 165)

18

14

6

2

Xác định tần số và tần số tương đối của nhóm [150; 155).
2. Một hộp đựng 6 quả bóng cùng loại, mỗi quả bóng ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6; hai quả
bóng khác nhau được ghi hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Tính
xác suất của biến cố A : "Số ghi trên quả bóng lấy được là số chẵn".
Câu II (1,5 điểm).

p
x−4
4
x − 7 x − 12
và B = p
+
với x > 0, x ̸= 9.
p
x−9
x
x−3

p

Cho hai biểu thức A =

1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
p

2. Chứng minh B = p

x

x+3

.

3. Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P = A · B có giá trị là số nguyên.
Câu III (2,5 điểm).
1. Một tổ sản xuất lập kế hoạch may áo với số lượng áo mỗi ngày may được là như nhau. Trong
3 ngày đầu, mỗi ngày tổ đã may theo đúng kế hoạch. Trong 7 ngày tiếp theo, nhờ cải tiến kĩ
thuật nên mỗi ngày tổ đã may được nhiều hơn 5 chiếc áo so với kế hoạch. Vì vậy sau 10 ngày,
tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may bao nhiêu
chiếc áo?
2. Một người mua 25 bông hoa gồm hoa hồng và hoa cúc hết tổng số tiền là 180 nghìn đồng. Biết
giá tiền mỗi bông hoa hồng là 8 nghìn đồng, giá tiền mỗi bông hoa cúc là 6 nghìn đồng. Hỏi
người đó đã mua bao nhiêu bông hoa mỗi loại?
3. Biết phương trình bậc hai x2 − 3 x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 , tính giá trị của biểu
thức Q =

3 x2 − 1 3 x1
+
− x1 .
x1
x2

Câu IV (4,0 điểm).
1. Một xô đựng nước dạng hình trụ có chiều cao bằng 25 cm và
bán kính đáy bằng 12 cm. (Lấy π ≈ 3, 14 và coi độ dày của xô
đựng nước không đáng kể ).
a) Tính diện tích xung quanh của xô đựng nước đó.
b) Người ta dùng xô đựng nước trên để múc nước đổ vào một bể
có thể tích 150 lít. Mỗi lần người ta chỉ múc lượng nước bằng
80% thể tích của xô. Lúc đầu bể không có nước, hỏi cần múc ít
nhất bao nhiêu xô để đổ đầy bể? (Biết 1 lít = 1000 cm3 ).
Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

12 cm

25 cm

1

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT Thành phố Hà Nội
2. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính BC . Lấy
điểm H thuộc đoạn thẳng AB sao cho HB > H A (H khác A ). Kẻ đường thẳng qua H vuông góc
với đường thẳng BC tại điểm D và cắt đường thẳng AC tại điểm E .
a) Chứng minh bốn điểm A, H, D, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F . Đường thẳng qua A vuông góc
với đường thẳng ED cắt đường thẳng DF tại điểm M . Chứng minh AE · BC = EH · AB và
à
EMH = 90◦ .
c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (O ) tại điểm thứ hai K . Chứng minh tam giác HK M là
tam giác cân.
Câu V (0,5 điểm)
Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn
hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày.
Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân
1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và
thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công
nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?
——————————— HẾT ———————————
Giám thị không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Họ tên và chữ kí giám thị số 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Họ tên và chữ kí giám thị số 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

2

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT Thành phố Hà Nội
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 - MÔN TOÁN NĂM 2026
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh - Email: vinhtruonghoang216@gmail.com
Câu I (1,5 điểm).
1. Kết quả đo chiều cao của 50 học sinh lớp 6 (đơn vị: cm) được thống kê trong bảng tần số ghép
nhóm sau đây:
Chiều cao ( cm) [140; 145)
Số học sinh

10

[145; 150)

[150; 155)

[155; 160)

[160; 165)

18

14

6

2

Xác định tần số và tần số tương đối của nhóm [150; 155).
2. Một hộp đựng 6 quả bóng cùng loại, mỗi quả bóng ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6; hai quả
bóng khác nhau được ghi hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Tính
xác suất của biến cố A : "Số ghi trên quả bóng lấy được là số chẵn".
Lời giải
1.
− Tần số của nhóm [150; 155) là: 14.
− Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu là: N = 10 + 18 + 14 + 6 + 2 = 50. Suy ra tần số tương đối của mẫu
14
· 100 = 28%
số liệu là: f =
50

2.
− Ta có: n(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6.
− Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 2; 4; 6, suy ra n( A ) = 3.
n( A ) 3 1
Do đó xác suất của biến cố A là: P ( A ) =
= = .
n(Ω) 6 2

Câu II (1,5 điểm).

p

p
4
x − 7 x − 12
x−4
và B = p
+
với x > 0, x ̸= 9.
p
x−9
x
x−3

Cho hai biểu thức A =

1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
p

2. Chứng minh B = p

x

x+3

.

3. Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P = A · B có giá trị là số nguyên.
Lời giải
p
25 − 4 1
1. Thay x = 25 vào biểu thức A ta được: A = p
= .
5
¡p
¢
p 25
p
4 x+3
4
x − 7 x − 12
x − 7 x − 12
¢ ¡p
¢ = ¡p
¢ ¡p
¢ + ¡p
¢ ¡p
¢
2. Với x > 0 và x ̸= 9 ta có: B = p
+ ¡p
x−3
x−3
x+3
x−3
x+3
x−3
x+3
p
p
p
p
4 x + 12 + x − 7 x − 12
x−3 x
x
¡p
¢ ¡p
¢
¢ ¡p
¢=p
=
= ¡p
x+3
x−3
x+3
x−3
x+3

3.
Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

3

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT Thành phố Hà Nội
p
− Ta có: P = A · B =

. ¡p

− P ∈ Z ⇔ 7..

p
p
p
x−4
x
x−4
x+3−7
7
·p
=p
= p
= 1− p
p
x
x+3
x+3
x+3
x+3

¢ ¡p
¢
p
p
x + 3 ⇒ x + 3 ∈ {1, 7} do x + 3 > 3 nên x + 3 = 7 ⇒ x = 16

− Vậy P nguyên khi x = 16.

Câu III (2,5 điểm).
1. Một tổ sản xuất lập kế hoạch may áo với số lượng áo mỗi ngày may được là như nhau. Trong
3 ngày đầu, mỗi ngày tổ đã may theo đúng kế hoạch. Trong 7 ngày tiếp theo, nhờ cải tiến kĩ
thuật nên mỗi ngày tổ đã may được nhiều hơn 5 chiếc áo so với kế hoạch. Vì vậy sau 10 ngày,
tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may bao nhiêu
chiếc áo?
2. Một người mua 25 bông hoa gồm hoa hồng và hoa cúc hết tổng số tiền là 180 nghìn đồng. Biết
giá tiền mỗi bông hoa hồng là 8 nghìn đồng, giá tiền mỗi bông hoa cúc là 6 nghìn đồng. Hỏi
người đó đã mua bao nhiêu bông hoa mỗi loại?
3. Biết phương trình bậc hai x2 − 3 x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 , tính giá trị của biểu
thức Q =

3 x2 − 1 3 x1
+
− x1 .
x1
x2

Lời giải
1.
− Gọi x (chiếc áo/ ngày) là số chiếc áo mỗi ngày tổ sản xuất được theo kế hoạch. Điều kiện: x ∈ N∗ .
− Suy ra số chiếc áo 3 ngày đầu tổ may được là: 3 x (chiếc áo). Vì cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày
tổ may được nhiều hơn 5 áo do đó 7 ngày tiếp theo tổ may được là: 7( x + 5) (chiếc áo).
− Sau 10 ngày, số chiếc áo tổ đã may được 335 chiếc nên ta được phương trình: 3 x + 7( x + 5) =
335 ⇔ x = 30 (Thoả mãn điều kiện).
− Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may được 30 chiếc áo.

2.
− Gọi x (bông) là số hoa hồng suy ra số hoa cúc là: 25 − x (bông). Điều kiện: x ∈ N∗ , x ≤ 25.
− Số tiền phải trả khi mua x hoa hồng là: 8 x (nghìn đồng), còn số tiền phải trả khi mua 25 − x
hoa cúc là: 6(25 − x) = 150 − 6 x (nghìn đồng).
− Theo đề bài ta có phương trình: 8 x + 150 − 6 x = 180 ⇔ x = 15 (Thoả mãn điều kiện).
− Vậy số bông hoa hồng là 15 bông, số bông hoa cúc là 10 bông.

3.
(
− Vì phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

x 1 + x2 = 3
x1 x2 = 1

.

− Ta có:
£
¤
3 x2 − 1 3 x1 − x1 x2 x2 (3 x2 − 1) x1 (3 x1 − 1)
Q=
+
=
+
= 3 x12 + 3 x22 − x1 − x2 = 3 ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 − ( x1 + x2 )
x
x2
x1 x2
x1 x2
¡ 2 1 ¢
= 3 3 − 2 − 3 = 18

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

4

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT Thành phố Hà Nội
Câu IV (4,0 điểm).
1. Một xô đựng nước dạng hình trụ có chiều cao bằng 25 cm và
bán kính đáy bằng 12 cm. (Lấy π ≈ 3, 14 và coi độ dày của xô
đựng nước không đáng kể ).
a) Tính diện tích xung quanh của xô đựng nước đó.
b) Người ta dùng xô đựng nước trên để múc nước đổ vào một bể
có thể tích 150 lít. Mỗi lần người ta chỉ múc lượng nước bằng
80% thể tích của xô. Lúc đầu bể không có nước, hỏi cần múc ít
nhất bao nhiêu xô để đổ đầy bể? (Biết 1 lít = 1000 cm3 ).

12 cm

25 cm

2. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính BC . Lấy
điểm H thuộc đoạn thẳng AB sao cho HB > H A (H khác A ). Kẻ đường thẳng qua H vuông góc
với đường thẳng BC tại điểm D và cắt đường thẳng AC tại điểm E .
a) Chứng minh bốn điểm A, H, D, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F . Đường thẳng qua A vuông góc
với đường thẳng ED cắt đường thẳng DF tại điểm M . Chứng minh AE · BC = EH · AB và
à
EMH = 90◦ .
c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (O ) tại điểm thứ hai K . Chứng minh tam giác HK M là
tam giác cân.
Lời giải
1.
a) Diện tích xung quanh của xô đựng nước đó là: S xq = 2π · 12 · 25 = 600πcm2 .
b)
− Đổi: 150 lít = 150 000cm3
− Lượng nước mỗi lần múc bằng xô đó có thể tích bằng: V = 80% · π · 122 · 25 = 2880πcm3
− Vậy cần múc ít nhất 150 000 : 2880π ≈ 17 (xô) để đổ đầy bể.

2.
a)
ƒ=H
ƒ
− Vì BAC
AC = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra ∆C AH vuông tại A dẫn đến 3
điểm C, A, H cùng thuộc một đường tròn đường kính CH .
ƒ = 90 o (giả thiết) suy ra ∆CDH vuông tại D dẫn đến 3 điểm C, D, H cùng thuộc một
− Vì HDC
đường tròn đường kính CH .
− Vậy 4 điểm A, H, D, C cùng thuộc một đường tròn đường kính CH .

b)
− Vì A, H, D, C cùng thuộc một đường tròn đường kính CH nên AHDC nội tiếp đường tròn đường
ƒ
ƒ)
kính CH . Suy ra: EH
A=ƒ
ACB (cùng bù với AHD
ƒ
ƒ
ƒ = 90 o
Xét ∆EH A và ∆BC A ta có: EH
A=ƒ
ACB và E
AH = BAC
⇒ ∆EH A ∼ ∆BC A ( g.g) ⇒

AE EH
=
⇔ AE · BC = AB · EH
AB BC

ƒI = ƒ
–
− Dễ dàng chứng minh được FBDH nội tiếp nên ta được: MD
FBA (cùng chắn F
H ) mà BF AC
ƒ
ƒ
–
ƒ
ƒ

–)
ƒ
nội tiếp nên HC A = FBA (cùng chắn F A ) nên MD I = HC A mà HC A = ID A (cùng chắn AH

ƒ
ƒI = ID
suy ra MD
A do đó DE là phân giác MD
A mà DE ⊥ M A cho nên DE là trung trực của
M A.

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

5

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT Thành phố Hà Nội
− Vì DE là trung trực của M A nên EM = E A và H ∈ DE nên HM = H A . Xét ∆ HME và ∆ H AE ta
ƒ
có: EM = E A ,HM = H A và HE chung suy ra ∆HME = ∆H AE ( c.c.c) ⇒ à
EMH = H
AE = 90 o .

E
A

M
F
H

K

B

D

O

C

c)
ƒ
− Dễ dàng chứng minh được BK AC nội tiếp nên ta được: MK
A=ƒ
ACD (cùng bù với ƒ
AK B) mà
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ACD = EH A (cùng bù với AHD ) nên MK A = EH A mà △ MH A cân tại H có HE là trung trực
ƒ
ƒ
M A suy ra HE cũng chính là phân giác à
MH A nên à
MH A = 2EH
A = 2 MK
A.
–
− Theo định lý góc nội tiếp thì K phải nằm trên M
A lớn của đường tròn tâm H . Suy ra K, M, A
cùng thuộc đường tròn tâm H do đó MH = K H = H A suy ra △ MHK cân tại H .

Câu V (0,5 điểm)
Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn
hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày.
Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân
1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và
thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công
nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?
Lời giải
− Gọi x (công nhân) là số lượng công nhân công ty dự định điều động. Điều kiện: x ∈ N∗ .
− Gọi y (ngày) là số ngày công ty dự định thuê kho xưởng. Điều kiện: y ∈ N∗ .
− Vì công ty dự định thuê kho xưởng trong y ngày và điều động x công nhân để hoàn thành đơn
600
hàng 1000 sản phẩm nên ta có điều kiện: 5 x y ≥ 1000 ⇔ x y ≥ 200 ⇔ 3 y ≥
.
x

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

6

Đề thi tuyển sinh Sở GD & ĐT Thành phố Hà Nội
− Chi phí thuê kho xưởng trong y ngày là 3 y (triệu đồng) và chi phí thưởng cho x công nhân là
x (triệu đồng). Từ đó ta có biểu thức tổng chi phí là:

T ( x; y) = x + 3 y ≥ x +

600 ( x − 25)( x − 24)
=
+ 49
x
x

( x − 25)( x − 24)

Xét dấu của biểu thức S =
:
x
∗
- Với x ∈ (0; 24] và x ∈ N =⇒ S ≥ 0 =⇒ T ( x; y) ≥ 49.
- Với x ∈ [25; +∞) =⇒ S ≥ 0 =⇒ T ( x; y) ≥ 49.
- Với x ∈ (24; 25), do x ∈ N∗ nên không tồn tại giá trị x thỏa mãn.
Do đó, tổng chi phí luôn thỏa mãn T ( x; y) ≥ 49 với mọi x ∈ N∗ .
− Xét các trường hợp để chi phí đạt giá trị nhỏ nhất:
25
600
=⇒ y ≥
≈ 8, 33. Vì y ∈ N∗ nên:
Trường hợp 1: Nếu x = 24, từ 3 y ≥
x
3

– Với y = 8: x y = 192 < 200 (không thỏa mãn điều kiện x y ≥ 200).
– Với y = 9: x y = 216 ≥ 200 (thỏa mãn), lúc này T (24; 9) = 24 + 3 × 9 = 51 triệu đồng.
600
=⇒ y ≥ 8. Vì y ∈ N∗ nên giá trị nhỏ nhất của y là 8.
x
Khi đó x y = 200 ≥ 200 (thỏa mãn), lúc này T (25; 8) = 25 + 3 × 8 = 49 triệu đồng.

Trường hợp 2: Nếu x = 25, từ 3 y ≥

− Kết luận: Để tổng chi phí nhỏ nhất, công ty nên điều động 25 công nhân và thuê kho xưởng
trong 8 ngày.

Giáo viên: Trương Hoàng Vĩnh

7