Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

NGUYÊN HÀM

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số
xác định trên (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của ).
- Hàm số
được gọi là nguyên hàm của hàm số
trên nếu
- Nếu
là một nguyên hàm của hàm số
trên thì
+ Với mỗi hằng số , hàm số
cũng là một nguyên hàm của
trên
+ Mọi nguyên hàm của
trên đều có dạng
, với là hằng số.

với mọi

.

;

Họ tất cả các nguyên hàm của
trên được kí hiệu
và viết
Chú ý:
a) Mọi hàm số
liên tục trên đều có nguyên hàm trên .
Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên
từng khoảng xác định của hàm số đó.
b) Nếu hàm số
có đạo hàm
liên tục trên thì
.
2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Cho các hàm số
liên tục trên

. Khi đó:

, với

C. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1.Họ nguyên hàm của hàm số
A.
.
B.

là
. C.

Câu 2.Họ nguyên hàm của hàm số
Câu 3.Nguyên hàm của hàm số
Câu 4.Cho hàm số
A.

là:

làA.

. B.

A.

. B.

thoả mãn

.

.

Câu 5.Họ các nguyên hàm của hàm số
B.

Câu 6.

bằng

A.
Câu 7.Nếu

A.

C.

C.

.

.

D.

.

D.

.

D.

.

D.

.

C.

.

là nguyên hàm của hàm số

Câu 8.Cho hàm số

.

.

là

B.

.

.

C.

C.

.

B.

.

D.

. Khẳng định nào sau đây đúng?
B.

A.

.

;

D.

thì A.

C.

.

.
.
.

D.

.

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
.

B.

.

C.
1

.

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 9.Biết

Tài liệu tự học 2026-2027

thì

bằng

A
Câu 10.Nguyên hàm của hàm số

B.

A.

B.

C.
là

.

.

Câu 11.Họ nguyên hàm của hàm số
A.

.

D.

C.

.

D.

là.

B.

.

C.

Câu 12.Nguyên hàm của hàm số

.

làA.

D.

.B.

.

.C.

.D.

.

Câu 13.Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

.

C.

B.

.

.

D.

.

Câu 14.Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
A.

. B.

. C.

Câu 15.Cho hàm số

. D.

.

B.

.

C.
.
D.
Câu 16.Họ tất cả nguyên hàm của hàm số

.
là

A.
.
B.
Câu 17.Một nguyên hàm của hàm số
.

.

B.

.

.

Câu 19.Một nguyên hàm

của hàm số
.

.

.

là A.

.

.

B.

.

C.
làA.

Câu 23.Họ các nguyên hàm của hàm số

Câu 25.Gọi

.

D.

C.

.
.

D.

.

là
.

B.

.

D.

. C.

Câu 22.Nguyên hàm của hàm số

Câu 24.Nguyên hàm của hàm số
A.

D.

là

B.

B.

.

.

Câu 21.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
.

D.

C.

C.

Câu 20.Nguyên hàm của hàm số

.

A.

B.

A.

C.
là

trên

Câu 18.Tìm nguyên hàm của hàm số

A.

.

, trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A.

A.

?

.
.B.

làA.
là:

C.
.B.

C.

là một nguyên hàm của hàm số

.
. D.

.C.

.

. D.

.

D.
thoả mãn

2

D.

. Tính

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
A.
.
B.

.

Câu 26.Nguyên hàm của hàm số
A.
.
B.
Câu 27.Họ các nguyên hàm của hàm số

.

B.

.

.

B.

.

A.

.

.

C.

.

B.

.

.

.

.

.

D.

C.

.

.

D.

và

C.

.

.
. Tính

.

D.

.

là
B.

.

C.

Câu 33.Họ nguyên hàm của hàm số
A.
.
B.
Câu 34.Cho

. D.

D.

.

là một nguyên hàm của hàm số

A.

.

D.

.

.

D.

.

.

D.

là
.

C.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

.

B.

. C.

Câu 35.Nguyên hàm của hàm số
Câu 36.Trên khoảng
A.

là:A.

.

. C.

Câu 40.Cho

. D.

.

C.

.
.

.

C.

.

là một nguyên hàm của hàm số

.

D.

.

Câu 41.Nguyên hàm của hàm số

. C.
là A.

.
. Khẳng định nào sau

.

. B.

Câu 42.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
B.

D.

thỏa mãn

. B.

.

.

.
B.

đây là đúng? A.

.

D.

là
. C.

B.

Câu 39.Tìm nguyên hàm
.

. D.

là:
B.

Câu 38.Nguyên hàm của hàm số
A.
.

. C.

.

là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

. B.

A.

. B.

, hàm số

Câu 37.Nguyên hàm của hàm số

A.

C.

.

là

Câu 32.Nguyên hàm của hàm số

A.

.

C.

B.

Câu 31.Cho

D.

là

Câu 30.Nguyên hàm của hàm số
A.

.

là

Câu 29.Nguyên hàm của hàm số
A.

.

là
.
C.
là A.
. B.

Câu 28.Họ nguyên hàm của hàm số
A.

C.

Tài liệu tự học 2026-2027
D.
.

D.

. C.

.
. D.

.

là
.

C.
3

.

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 43.Nguyên hàm của hàm số
là
A.
.
B.
.
C.
Câu 44.Hàm số
là nguyên hàm của hàm số
A.

.

B.

B.

.

. B.

.

.

là

. B.

C.

.

D.

.

là:
.

C.

. B.

.

D.

. C.

.

Câu 53.Họ nguyên hàm của hàm số

là

A.

. C.

. B.

Câu 54.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
A.
.
B.
Câu 55.Tìm tất cả nguyên hàm

.

.

.

.

B.

Câu 57.Cho hàm số

C.

.

C.

C.

D.

.
trên

. C.

Câu 58.Hàm số

D.

.

. Một nguyên hàm của
. B.

.
.

.
.

A.

.

là:

B.
.

D.

. D.

của hàm số

Câu 56.Tìm nguyên hàm

A.

.

.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

A.

. D.

là A.

B.

.

.

D.

. C.

Câu 51.Nguyên hàm của hàm số

A.

.

D.

C.

. B.

Câu 52.Cho hàm số

D.

.

của hàm số của hàm số

.

.

là:

Câu 50.Họ nguyên hàm của hàm số
A.

.

C.

B.

A.

.D.

là

Câu 48.Nguyên hàm của hàm số

Câu 49.Nguyễn hàm

.

. C.

C.

B.

A.

.

là

Câu 47.Họ các nguyên hàm của hàm số
A.

D.
.D.

là A.

Câu 46.Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
.

.

.C.

Câu 45.Nguyên hàm của hàm số

A.

Tài liệu tự học 2026-2027

.

D.

.

là
. D.

.

là một nguyên hàm của hàm số nào?
. B.

Câu 59.Nguyên hàm của hàm số

. C.
là:

A.

. D.
với

4

là hằng số.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
B.

với

là hằng số.

Tài liệu tự học 2026-2027

C.

với

Câu 60.Nguyên hàm của hàm số

là hằng số.

làA.

D.

. B.

.

Câu 61.Mệnh đề nào sau đây là sai ? A.
B.

.

.
là
.

với

.
.

D.

.

C.

.

D.

.

:
B.

Câu 65.Cho hàm số

C.

D.

. Khẳng định nào dưới đây đúng? A.

B.

.

C.

.

Câu 66.Nguyên hàm của hàm số
.

B.

D.

.

C.

.

là A.

. B.

.

C.

Câu 69.Cho hàm số

.

.

Câu 68.Khẳng định nào dưới đây đúng?
B.

.

là

Câu 67.Nguyên hàm của hàm số

B.

.

A.

C.

A.

A.

D.

D.

là

Câu 63.Họ nguyên hìm của hàm số
A.
.
B.
Câu 64.Tìm

.

.

Câu 62.Họ nguyên hàm của hàm số:
.

C.

là hằng số.

.

C.

B.

với

. Khi đó A.
.

D.

C.

.

. D.

.

A.

.

.

D.

.

.

D.

.

C.

.

Câu 70.Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

B.

C.

D.

Câu 71.Tìm khẳng định sai A.

. B.

C.

.

.

D.

.

Câu 72.Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A.

. B.

. C.

Câu 73.Họ nguyên hàm của hàm số
B.

.

. D.

là. A.
C.

.
.

5

.

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 74.Trên khoảng
A.

Tài liệu tự học 2026-2027

, hàm số
.

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

B.

. C.

Câu 75.Nguyên hàm của hàm số
A.
A.

B.

.

C.

.

.

C.

của hàm số
.

C.

.

B.

.

D.

.

.

.

D.
là:

.
. D.

.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

. B.

. C.

Câu 80.Cho hàm số

. D.

. Tìm mệnh đề đúng?

B.

.

A.

C.

.

D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1.Biết hàm số
thỏa mãn các điều kiện
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hàm số
đồng biến trên khoảng
.
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm
c) Giá trị

là

A.

. C.

Câu 79.Cho hàm số

.

. Khi đó, hàm số

thỏa mãn

Câu 78.Tìm nguyên hàm của hàm số
B.

.

D.

và

B.

A.

A.

.

là nguyên hàm của hàm số

Câu 77.Nguyên hàm

D.

là

.

Câu 76.Hàm số

.

bằng 11.

.

D.

.

và đồ thị hàm số

là

đi qua điểm

.

d)

.

Câu 2.Xét các mệnh đề sau:
a)

.

c)

.

Câu 3.Cho hàm số
a)Hàm số
b)Biết

d)

d)Gọi

.
. Biết

là một nguyên hàm của hàm số
là nguyên hàm của
.

. Khi đó

.

d)

, với

a)

là một nguyên hàm của hàm số

.

.

thoả

Câu 4.Cho hàm số

c)

.

có đạo hàm

c)

b)Gọi

b)

là hằng số.

.
và thỏa mãn

. Khi đó

.

.
là ột nguyên hàm của hàm số
, với

. Biết

và

là các số hữu tỷ. Khi đó
6

. Khi đó tìm được
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 5.Gọi hàm số
a)

.

Tài liệu tự học 2026-2027

là một nguyên hàm của hàm số
b)

.

, với

c)

.

. d)

.

Câu 6.Cho hàm số
có đạo hàm trên . Điểm
thay đổi nhưng luôn thuộc đồ thị của hàm
số
và tiếp tuyến với đồ thị hàm số
tại điểm
có hệ số góc
. Biết
và
là họ nguyên hàm của hàm số
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.
b) Hàm số

.

c)

.

d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm
có phương trình
Câu 7.Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu
chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà
được cho bởi
, với là thời gian kể từ khi
máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 32 giây thì máy bay cất cánh trên
đường băng. Gọi
là quãng đường máy bay di chuyển được
sau giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.
a)

b)

.

.

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 4 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là
mét.
d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là
Câu 8.Một người đang điều khiển xe máy với
vận tốc là
thì phát hiện đèn tín hiệu
giao thông chuyển đỏ cách vị trí xe
m.
Ba giây sau đó, xe máy bắt đầu giảm tốc với
vận tốc được cho bởi
,

mét.

,
trong đó là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi xe bắt đầu giảm tốc. Khi xe máy đến vị trí đèn tín hiệu, đèn
vẫn còn đỏ và xe dừng hẳn. Sau khi đèn chuyển xanh, xe tiếp tục di chuyển với vận tốc được cho bởi
,
, trong đó là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đèn bắt đầu
chuyển xanh. Cuối cùng, xe máy dừng lại tại một quán ăn trên đường. Biết rằng thời gian xe máy đi từ vị trí
đèn tín hiệu đến quán ăn là
giây và vận tốc lớn nhất trên đoạn đường này là
.
a)Quãng đường xe máy đi được từ lúc bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất đến khi dừng hẳn tại vị trí đèn tín hiệu
là
m.
b)Giá trị của hệ số là .
c)Xe máy dừng hẳn tại vị trí đèn tín hiệu sau
giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất.
d)Khoảng cách từ vị trí đèn tín hiệu đến vị trí quán ăn là
m.
Câu 9.Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát
hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
Người lái xe phản ứng một
giây sau đó đạp phanh khẩn cấp. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần
đều với vận tốc
, trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây,
kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Gọi
giây kể từ lúc đạp phanh.
a)Công thức biểu diễn hàm số

là quãng đường ô tô đi được trong
là

.

b)Thời gian kể từ khi ô tô đạp phanh đến khi dừng hẳn bằng 3 giây.
c)Kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn đi chuyển được quãng đường là
d)Xe ô tô không va chạm với chướng ngại vật
7

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 10.Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mặt nước biển) tại thời
điểm là
, trong đó tính bằng phút,
tính bằng mét. Tốc độ bay
của khinh khí cầu được cho bởi hàm số
bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát
m.
a)
.

với

Tài liệu tự học 2026-2027

tính

khinh khí cầu ở độ cao

b)Tại thời điểm
phút độ cao của khinh khí cầu là
m.
c)Độ cao tối đa của khinh khí cầu bay là
m.
d)Sau
phút từ khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi bắt đầu xuất phát.
Câu 11.Một vật đang ở nhiệt độ
thì được đặt vào môi trường
có nhiệt độ
. Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm theo tốc độ
(C/phút), trong đó
là nhiệt độ tính theo
tại
thời điểm phút kể từ khi được đặt trong môi trường
. Khi đó:
a)Nhiệt độ của vật tại thời điểm

phút là

b)Tốc độ giảm nhiệt độ của vật giảm dần theo thời gian.
c)

với

.

d)
.
Câu 12.Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số
gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của
mỗi gian hàng thêm (triệu đồng)
. Tốc độ thay đổi
doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số
, trong đó
tính bằng triệu đồng
(Nguồn: R.Larson anhB.Edwards, Calculus 10e, Cengage).
Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm
10 triệu đồng thì doanh thu là 12 tỷ đồng.
a)Doanh thu của tất cả gian hàng được biểu diễn bởi hàm số
b) Doanh thu của tất cả gian hàng khi người đó tăng giá thêm 12 triệu đồng là 12 tỷ 250 triệu đồng.
c) Doanh thu cao nhất của tất cả gian hàng mà người đó có thể thu về là 12 tỷ 250 triệu đồng.
d) Để doanh thu cao nhất của tất cả gian hàng thì mỗi gian hàng đã tăng giá cho thuê thêm 15 triệu đồng.
Câu 13.Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy
thực phẩm, từng giọt sữa chua âm thầm chuyển mình dưới tác động
của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị
chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa
chua) tại thời điểm (giờ) được kí hiệu là
. Ban đầu (
giờ),
mật độ vi khuẩn đo được là
triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi
về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng)
nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn
(đơn vị: triệu tế bào/ ml
mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức
(triệu tế
bào/ml mỗi giờ) với là thời gian tính bằng giờ (
).
a)
triệu tế bào/ml giờ.
b)
.
c) So với lúc ban đầu (
), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml khi đến thời điểm
d) Tại thời điểm
giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.

8

giờ.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Tài liệu tự học 2026-2027
Câu 14.Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay
đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số
, trong đó tính bằng giờ (
),
tính bằng khách/giờ. Tại thời điểm
giờ đã có
người có mặt.
a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số
.
b) Tại thời điểm
giờ, lượng khách tham quan là
người.
c) Lượng khách tham quan lớn nhất là
người.
d) Tại thời điểm
giờ, lượng khách tham quan là lớn nhất.
Câu 15.Một xe ô tô đang chạy với tốc độ
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên
đường cách đó
mét. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô
tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó là thời gian tính bằng giây
kể từ lúc đạp phanh. Gọi
a)Quãng đường

là quãng đường xe ô tô đi được trong (giây) kể từ lúc đạp phanh.

mà xe ô tô đi được trong thời gian

(giây) là một nguyên hàm của hàm số

.

b)
.
c)Xe ô tô đó va vào chướng ngại vật ở trên đường.
d)Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
Câu 16.Một nhóm kỹ sư đang thử nghiệm một loại khinh khí cầu sử dụng năng lượng mặt trời để bay lên
không trung trong điều kiện không trọng lực tại một khu vực giả lập vũ trụ. Khinh khí cầu bắt đầu bay lên ở
độ cao m tại thời điểm
. Sau khi kích hoạt hệ thống điều khiển, vận tốc bay lên của khinh khí cầu
(tính theo mét/giây) được lập trình theo thời gian như sau:
(m/s). Gọi
là độ cao
của khinh khí cầu (tính theo mét) ở thời điểm .
a)Khinh khí cầu tiếp tục bay lên trong khoảng thời gian

.

b)

, với

.

c)Khinh khí cầu đạt được vận tốc lớn nhất tại thời điểm
s (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
d)Độ cao mà khinh khí cầu có thể bay lên được bằng
m (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 17.Một tên lửa phóng thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu
. Gia tốc của tên lửa (do lực đẩy và trọng lực) phụ thuộc
vào thời gian theo công thức

. Sau thời gian

,

tên lửa hết nhiên liệu và tiếp tục bay với gia tốc
.
a) Tên lửa đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t = 15s (làm tròn kết quả
đến hàng đơn vị).
b) Vận tốc của tên lửa đạt được tại thời điểm t = 10s là 50 m/s.
c) Độ cao của tên lửa đạt được tại thời điểm t = 10s là 660m.
d) Độ cao lớn nhất tên lửa đạt được (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là 766m.
Câu 18.Một bể chứa dầu ban đầu có 50.000 lít dầu. Gọi
là thể tích dầu
(lít) trong bể tại thời điểm trong đó tính theo giờ
Trong quá
trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số
hàm số
với là hằng số dương. Sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích
dầu trong bể đạt 58.000 lít.
a) Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
b)

với

và

là các hằng số.

c) Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được là 148.000 lít
d) Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ 500
lít/giờ, thì tại thời điểm bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là 72.000 lít
Câu 19.Sữachua là một sản phẩm tốt cho sức khỏe, hỗ trợ hệ tiêu hóa, làm đẹp da. Sữa chua được tạotừ sữa
nhờ vi khuẩn lên menlactic. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua của một nhà máy, công đoạn lên men là
công đoạn quyết định chất lượng của sữa chua. Số lượng vi khuẩn lactic trông bồn lên men tại thời điểm
(giờ) được kí hiệu là
. Ban đầu (
giờ), số lượng vi khuẩn
(tỷ tế bào). Do sự thay đổi
9

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Tài liệu tự học 2026-2027
về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm), độ PH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi số lượng vi khuẩn
được mô hình hóa bởi công thức
(tỷ tế bào/giờ) với t là thời gian tính bằng giờ,
. Quá trình lên men kết thúc sau giờ.
b)Số lượng tế bào vi khuẩn lactic tại thời điểm t được xác định bởi công thức
b)Sau h lên men, số lượng vi khuẩn là
tỷ tế bào.
c)So với lúc ban đầu (
) số lượng vi khuẩn ( làm tròn đến hàng phần mười) đã tăng thêm
tỷ tế
bào tại thời điểm
.
d)Tại thời điểm kết thúc quá trình lên men, lượng vi khuẩn trong bồn lên men lớn hơn
tỷ tế bào.
Câu 20.Vi nhựa (microplastics) là các hạt nhựa có kích thước rất nhỏ, có thể xâm nhập vào cơ thể người
qua nhiều con đường như thực phẩm, nước uống và không khí. Nhiều chuyên gia cảnh báo rằng việc phơi
nhiễm vi nhựa kéo dài có thể làm tăng nguy cơ suy giảm sức khỏe và rút ngắn tuổi thọ. Giả sử kể từ thời
điểm người đó tròn 20 tuổi, tốc độ xâm nhập của vi nhựa vào cơ thể (tính theo thời gian sống sau tuổi 20)
được mô hình hóa bởi hàm số
(
,
đơn vị: microgram/năm), trong đó là số năm kể từ khi người đó
tròn 20 tuổi, còn
là tốc độ xâm nhập của vi nhựa vào cơ thể
tại thời điểm .
Gọi
(đơn vị: microgram) là tổng lượng vi nhựa đã tích lũy
trong cơ thể người đó tại thời điểm năm sau 20 tuổi. Biết rằng
và tại thời điểm người đó vừa tròn 20 tuổi cơ thể đã
tích lũy sẵn
microgram vi nhựa.
a)
microgram.
b)

với

.

c)Tại thời điểm người đó tròn 30 tuổi tổng lượng vi nhựa tích lũy khoảng
microgram (làm tròn kết
quả đến hàng đơn vị).
d)Lượng vi nhựa tích lũy trong cơ thể người trong khoảng thời gian từ khi người đó tròn 24 tuổi đến khi
tròn 30 tuổi là 750 microgram (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 21.Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
, trong đó tính bằng giờ
tính bằng khách/giờ. Sau hai giờ,
người đã có mặt tại lễ hội. Gọi
(tính bằng khách) là số lượng khách tới tham dự lễ hội sau
(Nguồn:#A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a)Sau một giờ có
khách đến tham dự lễ hội.
b)
.

giờ

c)Khi
thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội sẽ giảm.
d)Số lượng khách tới tham dự lễ hội lớn nhất là
khách.
Câu 22.Đối với nhành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát
lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng
nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi
nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản,
người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc
tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy
nồng độ thuốc
(đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại
thời điểm ngày

kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn

và
, trong đó là hằng số
khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm
kết quả lần lượt là 2 mg/lít; 1 mg/lít. Cho biết
.

(ngày);

a)

.

với

là một hằng số xác định.

d)Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm

b)

(ngày) nhận được
c)

.

(ngày) kể từ lúc sử dụng thuốc lớn hơn 0,4 mg/lít.
10

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 23.Một chiếc xe đang chuyển động đều với tốc độ
thì gặp chướng ngại vật rồi phanh gấp với gia tốc
không đổi là

. Kí hiệu

là tốc độ của xe,

Tài liệu tự học 2026-2027

là

gia tốc xe,
là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm
giây kể từ lúc phanh xe. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau.
a)
.
b)
.
c) Tính từ lúc phanh xe, sau 4 giây thì xe dừng hẳn.
d) Quãng đường xe đi được tính từ lúc phanh xe đến khi dừng hẳn nằm trong khoảng từ 35 mét đến 40 mét.
Câu 24.Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu
là tổng số lượng vi sinh vật sau giờ.
Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con.
Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ
(con/giờ).
a) Họ nguyên hàm của

là

.

b) Số lượng vi khuẩn tăng liên tục trong khoảng từ 3 giờ đến
10 giờ sau thời điểm làm thí nghiệm.
c) Số lượng vi khuẩn là nhỏ nhất sau 8 giờ tính từ lúc bắt đầu
làm thí nghiệm.
d) Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn là 5 con.
Câu 25.Vào năm
, dân số nước ta khoảng
triệu người.
Giả sử, dân số nước ta sau năm được xác định bởi hàm số
(đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho bởi
với là số năm kể từ năm
,
tính bằng triệu người/ năm.
a)
là một nguyên hàm của
. b)
c)Theo công thức trên, tốc độ tăng dân số nước ta năm
(làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/
năm) khoảng
triệu người/ năm.
d)Theo công thức trên, dân số nước ta năm
(làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) là khoảng
triệu người/ năm.
Câu 26.Mực nước
trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra
(khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên). Sự thay đổi của mực nước trong hồ

chứa được cho bởi hàm số

,

trong đó tính bằng giờ
tính bằng mét/ giờ.
Tại thời điểm
, mực nước trong hồ chứa là 6 m.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Công thức xác định hàm số
là:

b) Mực nước trong hồ chứa cao nhất (làm tròn kết quả đến hàng phằn mười của mét) là 11,1 mét.
c) Mực nước trong hồ chứa thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét) là 0,8 mét.
d) Mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất tại thời điểm
.
Câu 27.Một hồ nước có diện tích
.
Thí nghiệm cho thấy bèo phủ mặt hồ trên theo quy luật: diện tích
bèo tăng thêm tỉ lệ thuận với diện tích đã có, tức là nếu
là diện
tích bèo đã phủ sau ngày thì
. Biết rằng vào
thời điểm ban đầu, diện tích bèo phủ
và sau 5 ngày thì bèo đã
11

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
phủ được
.
a) Hàm số

Tài liệu tự học 2026-2027

là một nguyên hàm của hàm số

.

b) Hàm số
biểu diễn diện tích bèo phủ sau ngày là
c) Giá trị
(làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Sau 9 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị), bèo đã phủ kín mặt hồ.
Câu 28.Nhiệt độ bên trong tủ lạnh được duy trì ổn định ở mức
.
Một cốc nước có nhiệt độ
được cho vào tủ lạnh để làm mát.
Nhiệt độ của cốc nước là
(độ C) và giảm dần với tốc độ
phút.
a) Hàm số

là nguyên hàm của hàm số

.

.

b) Công thức tính cho nhiệt độ của cốc nước sau

phút là

(với

là hằng số

thực).
c) Sau 1 phút, nhiệt độ của cốc nước là
(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).'
d) Bạn An muốn uống một cốc nước mát có nhiệt độ dưới 10 độ C, khi đó sau ít nhất 14 phút (làm tròn đến
hàng đơn vị), bạn An có thể lấy cốc nước ra ngoài.
E. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1.Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa
mãn

. Tìm giá trị của biểu thức

.

Câu 2.Cho

là nguyên hàm của

thỏa mãn

Câu 3.Gọi

là một nguyên hàm của hàm số

, thỏa mãn

có dạng
Câu 4.Cho

. Giá trị

bằng bao nhiêu?
. Giá trị biểu thức

(với

). Tính giá trị

là một nguyên hàm của hàm số

.

?

Tính tổng
.
Câu 5.Một gia đình sản xuất chiếu cói ở Nga Sơn mỗi
ngày sản xuất được chiếc chiếu
Chi phí
biên để sản xuất chiếc chiếu ( tính bằng nghìn đồng)
cho bởi hàm số sau:
. Biết rằng chi
phí cố định ban đầu để sản xuất là
nghìn đồng. Giả
sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá
nghìn đồng / chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn
vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?
Câu 6.Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ độ
cao
với vận tốc tại thời điểm cho bởi công thức
,(
là thời điểm viên đạn
được bắn lên). Tìm độ cao (tính theo
) của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn
đạt độ cao lớn nhất (làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 7.Hai công ty, công ty A và công ty B, cùng ra mắt sản phẩm cạnh tranh thị trường mới vào cùng thời
điểm. Thị phần được đo bằng số lượng khách hàng lũy kế.
Công ty A: Bắt đầu với 0 khách hàng. Trong giai đoạn đầu, chiến dịch marketing hiệu quả giúp tốc độ thu
hút khách hàng mới của họ tăng dần theo thời gian, được mô tả bởi hàm
(nghìn khách
hàng/tháng), với là số tháng kể từ khi ra mắt.
12

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Công ty B: Nhờ có uy tín từ trước, họ bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, h