Ôn tập Toán 9 GKII năm 2023 – Trường THCS Cao Bá Quát
ĐẠI SỐ:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG 1: Giải hệ phương trình
Bài 1: Giải hệ phương trình:
a)

b)

c)

d)

DẠNG 2: Hệ phương trình chứa tham số m.
Bài 2: Tìm giá trị của a và b để hệ phương trình

có nghiệm là (2; -3).

Bài 3: Tìm giá trị của m để:
a) Hệ phương trình

có nghiệm duy nhất

b) Hệ phương trình

vô nghiệm.

Bài 4: Tìm m để hệ phương trình

có nghiệm x > 0; y < 0.

DẠNG 3: Giải bài toán bằng lập HPT
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì
vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung trong 12h sẽ hoàn thành xong công việc đã định .Họ làm chung
với nhau trong 4h thì sau đó tổ 1 được điều đi làm việc khác tổ thứ 2 làm nốt công việc trong 10h thì
xong công việc .Hỏi mỗi tổ làm một mình thì sau bao lâu xong công việc ?
Bài 6: Một trạm bơm cho chạy 5 máy bơm lớn và 4 máy bơm nhỏ, tiêu thụ hết 920 lít dầu. Biết mỗi
máy bơm lớn tiêu thụ nhiều hơn mỗi máy bơm nhỏ là 40 lít. Tính số dầu mỗi máy bơm từng loại đã
tiêu thụ.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Để tìm tọa độ giao điểm của (P):
giao điểm của (P) và (d): ax2 =mx + n

và (d): y = mx + n ta lập và giải phương trình hoành độ

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN : ax2+bx+c=0
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
 = b2 – 4ac
' = (b')2 – ac ( b' = b/2)
 > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
' > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
;
 = 0:

P.trình có nghiệm kép

 < 0: Phương trình vô nghiệm

;
' = 0: P.trình có nghiệm kép x1 x 2 
' < 0: Phương trình vô nghiệm

b'
a

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm :
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm :
1

Ôn tập Toán 9 GKII năm 2023 – Trường THCS Cao Bá Quát
DẠNG 1: Giải phương trình bậc hai
Bài 1: Giải các phương trình sau
a.
b.
c.
d.

f. 2x2 – 8 = 0
g.
h.
k.

e)

m)

;

;

DẠNG 2: Phương trình bậc hai chứa tham số m.
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
a.
b.
c.
d.
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép :
a.
b.
c.
d.
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau vô nghiêm:
a.
b.
c.
d.
DẠNG 3: Bài toán về đồ thị.
Bài 1: Cho hàm số: y = -x2 có đồ thị (P).
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = -2x – 3
Bài 2: Biết đồ thị (P) của hàm số y = ax2 đi qua điểm A(3; 3)
a) Xác định hệ số a.
b) Vẽ đồ thị (P) của hàm số với a vừa tìm được.
c) Hãy tìm trên đồ thị một điểm khác điểm A cách đều hai trục toạ độ.
HÌNH HỌC
Lý thuyết cơ bản

GÓC Ở TÂM . SỐ ĐO CUNG :
Số đo cung: Số đo số đo cung bằng số đo của của góc ở tâm chắn cung đó
LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
Định lí: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại.
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngươc lại
GÓC NỘI TIẾP
Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Hệ quûa: Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c) Góc nội tiếp (≤90o) bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
2

Ôn tập Toán 9 GKII năm 2023 – Trường THCS Cao Bá Quát
GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
Định lí: Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì bằng nhau.
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG; BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN.
Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
QŨY TÍCH CUNG CHỨA GÓC
Định lí: Quỹ tích những điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB (cố định) dưới một góc chung  là hai cung
tròn chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB”
Hệ quả: Quỹ tích những điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB (cố định) dưới một góc vuông là đường tròn
đường kính AB
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Có 4 cách chứng minh tứ giác nội tiếp thường dùng:
- Bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm (ít gặp)
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới một góc chung
Chú ý: A thuộc đường tròn đường kính BC  ΔABC vuông tại A
BÀI TOÁN
Bài 1: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB vơi đường tròn
(O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O). Đường
thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.
1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh
3) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K.
Chứng minh HK // DC.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn AO (C khác A, C khác
O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên
cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D.
Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.
1) Chứng minh ACMD là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh
3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung
điểm của DH.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R)
(M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt
tại các điểm Q, P.
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F. Chứng
minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
Bài 4: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn
(O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (
, d không đi qua tâm O)
3

Ôn tập Toán 9 GKII năm 2023 – Trường THCS Cao Bá Quát
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp
2) Chứng minh
. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi
3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng
minh MT // AC.
4) Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
Bài 5: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AN, M là điểm bất kì
trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hifnhc hiếu của H trên AB.
1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác
vuông cân tại C.
--- Hết ---

“ Trên con đường đến thành công không có dấu chân của
kẻ lười biếng “

4