UBND

Câu 1: (4,5 điểm)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ LỚP 8
NĂM HỌC 2025-2026
Môn Toán - Thời gian làm bài: 150 phút

1. Rút gọn biểu thức

.

Với :
2. Tìm số nhà của thầy Nam. Biết rằng số nhà là một số chính phương có ba chữ số và
tổng của số nhà đó với các chữ số của nó bằng 695.
3. Cho ba số x,y,z thoả mãn đồng thời
và
Tính
Câu 2: (4,5 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Cho đa thức
Tìm a,b,c,d biết khi chia đa thức lần lượt cho các nhị thức
số dư là 6. Và tại x= -1 thì đa thức nhận giá trị bằng -18 .

đều có

3. Tìm các số nguyên x,y thoả mãn
Câu 3: (3,5 điểm)
1. Người ta gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Xét biến cố E: “Xuất hiện hai mặt
có cùng số chấm” ; Biến cố F: “Tổng số chấm trên hai mặt của hai con xúc xắc khác
nhau và lớn hơn 8”. Hỏi biến cố nào có khả năng xẩy ra cao hơn?
2. Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày
giải phóng miền Nam 30/4. Công ty dự tính nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có
khoảng 200 người tham gia. Nhằm thu hút thêm nhiều người cùng tham gia, công ty
quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng/1tour thì sẽ có thêm 20
người tham gia. Hỏi công ty nên giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour
xuyên Việt trên có lợi nhuận lớn nhất.
Câu 4: (6,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác
B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh : ME // BN.
c) Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho một tam giác đều có cạnh 3cm, lấy 19 điểm nằm trong tam giác đó .Chứng minh rằng
có ít nhất 3 điểm có khoảng cách từng đôi một nhỏ hơn 1cm.
…..………….. Hết ……………….

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2025– 2026
MÔN TOÁN
Câu

Nội dung

Điể
m

Câu 1. (4,5 điểm)
1
1,5đ
0,5
(
0,5
0,5

2.
1,5đ Gọi số nhà của thầy Nam là n = abc
( a , b , c ∈ N ,9 ≥ a ≥1, 9 ≥ b , c ≥ 0) và n là số chính phương.

0,25

Theo bài ra ta có : n+ a+b+c = 695

0,25

Nên n= 695-(a+b+c)

0,25

Vì a+b+c có giá trị nhỏ nhất là 1+0+0=1 và giá trị lớn nhất là 9+9+9=27
Nên n có giá trị lớn nhất là 695-1=694 và giá trị nhỏ nhất là 695-27=668

0,25
0,25

Do đó : 694 ≥ n ≥668
Mà n là số chính phương nên: nếu n= 252=625 <668 ( không thỏa mãn)
Nếu n= 262 =676 ( thỏa mãn)
Nếu n= 272 =729> 694 ( không thỏa mãn)
Thử lại ta có 676 +6+7+6= 695( thỏa mãn đề bài )
3.
1,5đ

Cho ba số x,y,z thoả mãn đồng thời

và

0,25

Tính
Ta có (x+y+z)2 = x2 +y2 +z2 +2(xy+yz+zx) = 0
Vif theo gt

0,5

0,5

và

Nên x2 +y2 +z2 = 0 suy ra x= y=z =0
0,5
Vậy

Câu 2. (4,5 điểm)
1
1,5đ

=1

Đặt x2 +x+4 =t

0,5
0,5

0,5

2
Ta có f(x) - 6 chia hết cho x-1 ; x-2 ; x-3
1,5đ Khi đó f(x) là đa thức bậc ba có dạng
f(x) - 6 = m( x-1 )( x-2)(x-3). m là hằng số
Mà f(-1) = -18
Khi đó thay vào ta có m=1
Vậy f(x) = x3 -6x2 +11x +0 nên hệ số (a, b,c,d ) = (1;-6;11;0)
3
1,5đ Tìm các số nguyên x,y thoả mãn
Hay 9x2 +24xy +16y2 +x2 +8x +16 +y2 -6y +9 -1 < 0
(3x+4y)2+ (x+4)2 +(y-3)2 -1 < 0 (*)
Theo bài ra x, y nguyên và từ (*)ta có tổng các bình phương luôn
không âm.
Khi đó Từ (*) suy ra các bình phương đó đồng thời = 0
Vậy x= -4 và y=3 .
Câu 3. (3,5 điểm)

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

1
Người ta gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Xét biến cố E: “Xuất hiện
1,5đ hai mặt có cùng số chấm” ; Biến cố F: “Tổng số chấm trên hai mặt của hai
con xúc xắc khác nhau và lớn hơn 8”. Hỏi biến cố nào có khả năng xẩy ra cao
hơn?
Số kết quả có khả năng xẩy ra là 6.6 =36
Theo bài ra ta có :
Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố E. Do đó xác suất của biên có E là :

0,25
0,5
0,5

Có 8 kết quả thuận lợi cho biến cố F. Do đó xác suất của biên có F là :

2
2đ

Vậy biến cố F có khả năng xẩy ra cao hơn
Gọi x là số lần giảm giá 100000đồng/1 tour sao cho lợi nhuận thu được
lớn nhất

0,25

0,5

Sau x lần giảm giá thì giá của một tuor là 2000000-100000.x
Sau x lần giảm giá thì số người tham gia là 20.x
Khi đó tổng số người tham gia là 200 +20.x

0,5

Tổng doanh thu sau x lần giảm là:
T = (2000000-100000.x)( 200 +20.x)
T= 2000000(20-x)(10+x)

0,5

T= -2000000.(x-5)2 + 450000000
0,5
T
Dấu = xẩy ra khi x=5
Vậy Giảm 5 lần . Khi đó giá tuor còn lại là 2000000- 100000.5 =
1500000 đồng.

Câu 4. (6,5 điểm)
E

A

B
1

1

a
HS cm được ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)
2,5đ
OE = OM và
Lại có

1
0,5

vì tứ giác ABCD là hình vuông
kết hợp với OE = OM

∆OEM vuông cân tại O .

b
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD
2,0đ
+ AB // CD

AB // CN nên

( Theo ĐL Ta- lét) (*)

Mà BE = CM (gt) và AB = CD suy ra AE = BM thay vào (*)

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

c
2đ

Ta có :
suy ra ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
Gọi H' là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN
( cặp góc so le trong)
Mà
vì ∆OEM vuông cân tại O
∆OMC

Vậy
Mà CH
Câu 5. (1,0 điểm).

0,5

∆BMH' (g.g)
,kết hợp

∆OMB

0,5

( hai góc đối đỉnh)

∆CMH' (c.g.c)
BN ( H

BN)

H

H' hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)

0,5
0,5

Chia tam giác đều thành 9 tam giác đều nhỏ không có điểm chung và có
cạnh là 1cm
Có 19 điểm nằm trong tam giác đều lớn nên phải có ít nhất 3 điểm nằm
trong một tam giác đều cạnh 1cm
Mặt khác 2 điểm bất kỳ trong tam giác đều có cạnh là 1cm thì khoảng
cách giữa chung nhỏ hon 1cm
Vậy có ít nhất 3 điểm có khoảng cách từng đôi một nhỏ hơn 1cm trong 19
điểm nàm trong tam giac đều cạnh 3cm

.............Hết...............

0,25
0,25
0,25
0,25