PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN
TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 – 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: Toán - Lớp 6

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Gồm có 01 trang)

Tính hợp lí
a) 21.7 - 11.7 + 90.72 + 49.125.16

Câu 1(2,0 điểm):
2

2

c)
Tìm x là số tự nhiên, biết:

Câu 2(6,0 điểm):

a) x : (

-

)=

b)

c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3

=

d)

Câu 3(6,0 điểm):

a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.
b) Tìm các số tự nhiên x, y biết: 2x + 1 . 3y = 12x
c) Cho số
có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu
(*) bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn
chia hết cho 396.
d) Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên:
B=
Câu 4(5,0 điểm):
Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia
AB lấy điểm N sao cho AN = AM.
a) Tính BN khi BM = 2cm.
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay
sao cho

. Tính

.

c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn
nhất.
Câu 5(1,0 điểm):

Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 + 2 + 3 + …….+ n =
.................................... Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ....................
PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN
HƯỚNG DÃN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH

NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn : Toán - Lớp 6

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu

1
(3,0đ)

Nội dung

a) 21.7 - 11.7 + 90.7 + 49.125.16 = 7 (21 – 11 + 90) + 49.125.16
= 49. 100 + 49. 100. 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21
2

2

2

b)

2

=

-

x : 8 =
b)
2
(6,0đ)

=

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

=

a) x : (

Điểm

0.5đ

)=

x=2

.Vậy x = 2

(x + 1) = 16 = ( 4)2

*) x + 1 = 4
x=3
*) x + 1 = - 4
x=-5.
Do x N nên x = 3.
c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3
52x - 3 = 52.3 + 2.52
52x - 3 = 52.5
52x - 3 = 53
2x - 3 = 3
2x = 6
x = 3. Vậy x = 3
d)
*) 2x – 7 = 5
2x =12
x=6
*) 2x – 7 = - 5
2x = 2
x=1
Vậy x
a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.
xy - x + 2y = 3
( xy – x) + (2y – 2) = 1
x( y – 1) + 2( y – 1) = 1

(y – 1)( x + 2) = 1

1.0đ
0.75đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.75đ
0.5đ
0.25đ

0.75đ

*)

3
(6,0đ)

*)
Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0

0.75đ

b) 2x + 1 . 3y = 12x

0.5đ

2x + 1 . 3y = (4.3)x = 22x.3x

Nhận thấy : ( 2, 3) = 1

x–1=y-x=0

0.5đ
0.5đ

x=y=1

c) Ta thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở
hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp
nên tổng của chúng luôn bằng 1+ 2+ 3 = 6.
Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên
ta cần chứng minh
A=
chia hết cho 4 ; 9 và 11.
0.5đ
Thật vậy :
*) A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4
*) A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :
1+ 5+ 5 +7+ 1 + 4 + 1+ 6 + (*+*+*) = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9
*) A
11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số
0.75đ
hàng lẻ là 0, chia hết cho 11.
{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0
0.25đ
Vậy A 396
d) B =
0,5đ

B=
Để B là số tự nhiên thì

0,5đ

là số tự nhiên

11 (n+2)
n+2
Ư(11) =
Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11
n=9
Vậy n = 9 thì B
N
4
(5.0đ)

0,5đ

Vẽ hình
y
x

0.5đ

400

N

)

A

M

B

a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB
AM + 2 = 5
AM = 3 cm
Có AN = AM
AN = 3 cm
1.5đ
Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B
BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm. Vậy BN = 8cm
b) + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: 0.75đ
Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có:
hay

+ Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có

và

là hai

góc kề bù
hay
c) Vì BN = AB + AN = 5 + AN

0.75đ
BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn

nhất
Mà AN = AM
BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất
Có AM AB
AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B.
Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.
Dãy số 1; 2; ………; n có n số hạng

1,5đ

1 + 2 +…+ n =

Mà 1 + 2 + 3+…..+ n =
Suy ra

5
(1.0đ)

=

= a . 111 = a . 3.37

n(n + 1) = 2.3.37.a

Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n
Vì số

có 3 chữ số

+) Với n = 37 thì
+) Với n + 1 = 37 thì

n+1 < 74

37 hoặc n + 1

37

0.5đ

n = 37 hoặc n + 1 = 37

( loại)
( thoả mãn)

Vậy n = 36 và a = 6. Ta có: 1+ 2 + 3+…..+ 36 = 666

0.5đ

Chú ý:
1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.
3. Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không

làm tròn.