ĐỀ THI THỬ HSG LẦN 1

Câu 1: (4,0 điểm).
1) Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
2) Cho
và
là các số tự nhiên thỏa mãn

Chứng minh rằng:
và
là các số chính phương.
Câu 2: (5,0 điểm).
1) Tìm x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0.
2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x4 +4 b) x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 1
c)
.
3) Cho
là các số tự nhiên có tổng cộng bằng

Chứng minh rằng:
chia hết cho 3.
Câu 3. (5,0 điểm).
1) Chứng minh rằng:


2) Cho
Tìm tất cả các số tự nhiên
để
là số nguyên tố.
3) Cho
và
Chứng minh rằng

Câu 4: (5,0 điểm): Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N.
1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh.
2/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi.
3/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Câu 1: (4,0 điểm).
1) Gọi hai số lần lượt là
và

Theo đề bài ra ta có:


=
là một số chính phương lẻ vì
là số chẵn


là số lẻ

2) Từ
có

Cũng có :
Suy ra

Gọi
. Chứng minh được


là số chính phương
là số chính phương (đpcm)

Câu 2: (5,0 điểm).
1) Đưa về :


và
và


và
và

2) a) (

b)


c)
3) Dễ thấy
là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu


chia hết cho 3
Mà
là các số tự nhiên có tổng bằng

Do vậy
chia hết cho 3.

Câu 3. (5,0 điểm).
1)


( 7 số nguyên liên tiếp ) chia hết cho 7
2) Ta có:


Vì n là số tự nhiên nên
. Như vậy muốn
là số nguyên tố thì phải có
hay

Khi đó
là số nguyên tố.

3) Cho
và
Chứng minh rằng

a) Ta có


b) Từ

Do đó:


Suy ra :




(do
)
Suy ra


Câu 4


1) Chỉ ra tam giác NIM = tam giác EIK
=>MN = KE
Chỉ ra MN // KE => Tứ giác MNKE là hình bình hành
+ Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE
KM
+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên MNKE là hình thoi.
2)
+ Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nên EK = MB + ED.
+ Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của MK do đó ME = EK.
+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a
+ KL:
3)
+ Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó

=
.
+ Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó AK2 . AG2 = KG2 . AD2.
+ Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có
AK2 . AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay
, suy ra
=