Tailieumontoan.com


Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN KNTT 11
(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023

Website: tailieumontoan.com

Mục lục
BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN .............................................................3
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ..............................................................................................3
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP.......................................................................................5
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ..........................................................................................................5
1. Phương pháp ...................................................................................................................................................5
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ...........................................................................................................................6
3. Bài tập trắc nghiệm ........................................................................................................................................9
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .....................................................................................9
1. Phương pháp ...................................................................................................................................................9
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ...........................................................................................................................9
Dạng 3. Thiết diện.................................................................................................................................................12
1. Phương pháp .................................................................................................................................................12
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .........................................................................................................................12
Dạng 4. Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy ..................................................................................14
1. Phương pháp .................................................................................................................................................14
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .........................................................................................................................14
Dạng 5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng. ......................................................................................17
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................................19
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................................22
BÀI 11: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ......................................................................................................45
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................45
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP.....................................................................................46
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy ..........................................................................46
1. Phương pháp .................................................................................................................................................46
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .........................................................................................................................46
Dạng 2. Tìm giao điểm và thiết diện của hình chóp...........................................................................................48
1. Phương pháp .................................................................................................................................................48
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .........................................................................................................................48
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................................51
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................................54
BÀI 12: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ......................................................................................................69
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................69
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP.....................................................................................69
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy ..........................................................................69
1. Phương pháp .................................................................................................................................................69
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .........................................................................................................................69
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng .72
1. Phương pháp .................................................................................................................................................72

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .........................................................................................................................73
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................................75
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................................77
BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ............................................................................................................87
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ............................................................................................87
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP.....................................................................................88
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song .................................................................................................88
1. Phương pháp .................................................................................................................................................88
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .........................................................................................................................89
Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt
phẳng .....................................................................................................................................................................91
1. Phương pháp .................................................................................................................................................91
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .........................................................................................................................91
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ............................................................................................................94
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................................97
BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG ..................................................................................................................112
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ..........................................................................................112
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN .....................................................................................................................113
Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian ............................................................................113
1.

Phương pháp ...........................................................................................................................................113

2.

Các ví dụ ..................................................................................................................................................113

Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song..............................................................................115
1.

Phương pháp ...........................................................................................................................................115

2.

Các ví dụ ..................................................................................................................................................115

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ..........................................................................................................116
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...........................................................................................................................118
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ÔN TẬP CHƯƠNG IV ..........................................................................122
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................................122
PHẦN 2: TỰ LUẬN ...........................................................................................................................................123
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG IV ......................................................................................................................128
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................................128
PHẦN 2: TỰ LUẬN ...........................................................................................................................................151

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

2

Website: tailieumontoan.com

CHƯƠNG IV: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh về một phần của mặt phẳng.
Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

Chú ý
- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của
hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.
- Để kí hiệu mặt phằng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ). Trong Hình
4.1, ta có mặt phẳng ( P) và mặt phằng (α ) .

- Điểm A thuộc mặt phẳng ( P) , kí hiệu A ∈ ( P) .
- Điểm B không thuộc mặt phẳng ( P) , kí hiệu B ∉ ( P) .
Nếu A ∈ ( P) ta còn nói A nằm trên ( P) , hoặc ( P) chứa A , hoặc ( P) đi qua A .
Chú ý. Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó
được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ
những quy tắc sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biều diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt
nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét vẽ liền để biều diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn đề biểu diễn cho đường bị che khuất.
Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.
2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

3

Website: tailieumontoan.com

Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Nhận xét. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó. Ta
kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là ( ABC ) . Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một
mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu khồng có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói
những điểm đó không đồng phẳng.
Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điềm chung của hai mặt
phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
Chú ý. Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt ( P) và (Q) được gọi là giao tuyến
của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là =
d ( P) ∩ (Q) .
Tính chất thừa nhận 5: Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
3. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG
Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng của mặt phẳng,
kí hiệu ( ABC ).
Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A không thuộc

d , kí hiệu ( A, d ).
Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu ( a, b ).
4. HÌNH CHÓP VÀ TỨ DIỆN
Cho đa giác A1 A2 ... An và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh

A1 , A2 ,..., An ta được n miền đa giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn −1 An .
Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1 A2 A3 ... An được gọi là hình chóp S . A1 A2 A3 ... An .
Trong đó:

• Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.
• Đa giác A1 A2 ... An gọi là mặt đáy của hình chóp.

• Các đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 ,..., An −1 An gọi là các cạnh đáy của hình chóp.
• Các đoạn thẳng SA1 , SA2 ,..., SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp.
• Các miền tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn −1 An gọi là các mặt bên của hình chóp.
S

A6

A1

A5
A2

(P)

A3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

A4

4

Website: tailieumontoan.com

Chú ý
Tên của hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình
chóp tứ giác.
- Cho bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC , ACD, ABD và BCD đượ

C gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là ABCD.
ABCD các điểm A, B, C , D được gọi là các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng
AB, BC , CD, DA, AC , BD được gọi là các cạnh của tứ diện, các tam giác ABC , ACD, ABD, BCD được

- Trong hình tứ diện

gọi là các mặt của tứ diện.
- Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một
mặt được gọi là đīnh đối diện với mặt đó.
Nhận xét. Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của hình tứ diện cũng có thể được coi là mặt
đáy.
Chú ý
a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện
đều.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
1. Phương pháp
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung của chúng.
Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến

Chú ý: Điểm chung của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) thường được tìm như sau:
- Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cùng nằm trong một mặt phẳng ( R )
.
- Giao điểm M = a ∩ b chính là điểm chung của mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

5

Website: tailieumontoan.com

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song với nhau. Gọi
M là điểm trên cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
a. (SAC) và (SBD)

b. (SAB) và (SCD)

c. (SBC) và (SAD)

d. (BCM) và (SAD)

e. (CDM) và (SAB)

f. (BDM) và (SAC)
Giải

a. Trong mp (ABCD):

S

AC ∩ BD =
{O}


AC ⊂ ( SAC )  ⇒ O ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD )

BD ⊂ ( SBD ) 


=
SO
Mà S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) nên

M

D

A

( SAC ) ∩ ( SBD ) .
O

b. Trong (ABCD) ta có:
AB ∩ CD =
{F}


AB ⊂ ( SAB )  ⇒ F ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD )

CD ⊂ ( SCD ) 


=
SF
Mà S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) nên

E

C

B

F

( SAB ) ∩ ( SCD ) .

c. Trong (ABCD) ta có:
BC ∩ AD =
{E}


BC ⊂ ( SBC )  ⇒ E ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC )

AD ⊂ ( SAD ) 


=
SE
Mà S ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) nên

( SAD ) ∩ ( SBC ) .

d. Ta có: M ∈ ( MBC ) ∩ ( SAD )
E ∈ BC ∩ AD ⇒ E ∈ ( MBC ) ∩ ( SAD )
=
ME
Nên

( MBC ) ∩ ( SAD ) .

e. Ta có: M ∈ ( MCD ) ∩ ( SAB )
F= AB ∩ CD ⇒ F ∈ ( MCD ) ∩ ( SAB )
=
MF
Vậy

( MCD ) ∩ ( SAB ) .

f. Ta có: M ∈ ( BDM ) ∩ ( SAC )

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

6

Website: tailieumontoan.com

O ∈ ( BDM ) ∩ ( SAC )
=
MO
Do đó

( BDM ) ∩ ( SAC ) .

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, AD. Tìm giao
tuyến của các cặp mặt phẳng:
a. (ABN) và (CDM);

b. (ABN) và (BCP).
Giải

a. Ta có M và N là hai điểm chung của hai mặt phẳng
(ABN) và (CDM), nên giao tuyến của hai mặt phẳng này
chính là đường thẳng MN.
b. Trong mặt phẳng (ACD): AN cắt CP tại K. Do đó K là
điểm chung của hai mặt phẳng (BCP) và (ABN).
Mà B cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên giao
tuyến của chúng là đường thẳng BK.

A

P

M

K
B

D
N
C

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( IBC ) và ( JAD ) .
b) Điểm M nằm trên cạnh AB, điểm N nằm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( IBC )
và ( DMN ) .
Lời giải

a) Ta có: I ∈ AD ⇒ I ∈ ( JAD ) ∩ ( IBC ) .
J ∈ BC ⇒ J ∈ ( JAD ) ∩ ( IBC ) .

Do đó
=
IJ

( IBC ) ∩ ( JAD ) .

b) Trong mặt phẳng ( ABC ) gọi=
E DM ∩ IB suy ra E ∈ ( DMN ) ∩ ( IBC ) .
Trong mặt phẳng ( ACD ) gọi=
F DN ∩ IC suy ra F ∈ ( DMN ) ∩ ( IBC ) .
Do đó
=
EF

( DMN ) ∩ ( IBC ) .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

7

Website: tailieumontoan.com

Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Điểm M nằm bên trong tam giác ABD, điểm N nằm bên trong tam giác
ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) ( AMN ) và ( BCD ) .
b) ( DMN ) và ( ABC ) .
Lời giải
a) Trong mặt phẳng ( ABD ) gọi=
Q AM ∩ BD.
Khi đó Q ∈ ( AMN ) ∩ ( BCD ) .
Tương tự gọi P = AN ∩ CD ⇒ P =
Do vậy
=
PQ

( AMN ) ∩ ( BCD ) .

( AMN ) ∩ ( BCD ) .

b) Trong mặt phẳng ( ABD ) gọi=
E DM ∩ AB suy ra
E ∈ ( DMN ) ∩ ( ABC ) .

trong mặt phẳng ( ACD ) gọi=
F DN ∩ AC suy ra
F ∈ ( DMN ) ∩ ( ABC ) .

Do đó
EF
=

( DMN ) ∩ ( ABC ) .

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của BC, CD và SO. Tìm giao tuyến của
a) Mặt phẳng ( MNP ) và ( SAB ) .
b) Mặt phẳng ( MNP ) và ( SBC ) .
Lời giải

a) Gọi =
H NO ∩ AB , trong mặt phẳng ( SHN ) dựng NP cắt SH tại Q ⇒ Q ∩ ( MNP ) ∩ ( SAB ) .
Gọi F= NM ∩ AB ⇒ F ∈ ( MNP ) ∩ ( SAB ) .
Do đó=
QF

( SAB ) ∩ ( MNP ) .

b) Trong mặt phẳng ( SAB ) , gọi E = QF ∩ SB ⇒ E =

( SBC ) ∩ ( MNP )

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

8

Website: tailieumontoan.com

Do đó
=
ME

( MNP ) ∩ ( SBC ) .

3. Bài tập trắc nghiệm
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
1. Phương pháp
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt phẳng

β

( α ) , ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b nằm

a

trong ( α ) .
b

a∩b=
M 
 ⇒ M = a ∩ (α)
b ⊂ ( α ) 

M

α

Phương pháp:
- Bước 1: Xác định mp ( β ) chứa a.
- Bước 2: Tìm giao tuyến b = ( α ) ∩ ( β ) .
M , mà b ⊂ ( α ) , suy ra M = a ∩ ( α ) .
- Bước 3: Trong ( β ) : a ∩ b =

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng ( α ) . S là điểm
không nằm trên ( α ) .
a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD).
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SD. Tìm giao điểm P của đường thẳng BN với
mặt phẳng (SAC).
c. Gọi Q và R lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng.
Giải
a. * Giao tuyến của mặt mp(SAC) và mp(SBD): Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta
có:

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

9

Website: tailieumontoan.com

S ∈ ( SAC ) 
 ⇒ S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD )
S ∈ ( SBD ) 

S

(1)
Q

Từ (1) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC) và
mp(SBD).


 ⇒ O ∈ ( SAC ) 
AC ⊂ ( SAC ) 

 ⇒ O ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) (2)

O ∈ BD

 ⇒ O ∈ ( SBD ) 
BD ⊂ ( SBD ) 

O ∈ AC

N
R

M
P

T
O

B
C

Từ (2) suy ra O là điểm chung thứ hai của mp(SAC) và
mp(SBD).
=
SO
Vậy

D

A

J

( SAC ) ∩ ( SBD ) .

* Giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD): Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có:
S ∈ ( SAB ) 
 ⇒ S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD )
S ∈ ( SCD ) 

(3)

Từ (3) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAB) và mp(SCD).


 ⇒ E ∈ ( SAB ) 
AB ⊂ ( SAB ) 

 ⇒ E ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD )

E ∈ CD

 ⇒ E ∈ ( SCD ) 
CD ⊂ ( SCD ) 

E ∈ AB

(4)

Từ (4) suy ra E là điểm chung thứ hai của mp(SAB) và mp(SCD).
=
SE
Vậy:

( SAB ) ∩ ( SCD ) .

b. Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt nhau tại P, ta có:
P ∈ BN
⇒ P là giao điểm của BN và (SAC).

P ∈ SO ⊂ ( SAC ) ⇒ P ∈ ( SAC )

Vậy P là giao điểm cần tìm.
c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:
• Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD
nên MN∥CD . Xét tam giác SDE, ta có:

MN∥CD
 ⇒ T là trung điểm của SE.
N laø trung ñieåm cuûa SD 

•

Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên QR∥AB . Xét tam giác SAE, ta có:

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

10

Website: tailieumontoan.com

QR∥AB
 ⇒ QR đi qua trung điểm T của SE.
Q laø trung ñieåm cuûa SA 

Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ nên chúng
đồng phẳng.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng ( α ) , cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc ( α ) , M là điểm nằm trong
tam giác SCD.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD).
b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).
Giải
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD):
Gọi N là giao điểm của SM và CD, gọi E là giao điểm của aN

S

và BD. Rõ ràng mp ( SAM ) ≡ mp ( SAN ) . Ta có:
E ∈ AN ⇒ E ∈ ( SAM ) 
 ⇒ E ∈ ( SAM ) ∩ ( SBD )
E ∈ BD ⇒ E ∈ ( SBD ) 

Mặt khác: S ∈ ( SAM ) ∩ ( SBD )
=
SE
Từ (1) và (2) suy ra:

( 1)
F

(2)

A

D

( SAM ) ∩ ( SBD ) .

E

b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Ta có:

( SAM ) ⊃ AM

( SAM ) ∩ ( SBD=) SE  ⇒ F=

F ∈ AM ∩ SE ⊂ ( SAM ) 

M

N

B
C

AM ∩ ( SBD )

Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M, trên cạnh SC lấy điểm N, sao cho MN không song
song vói AC. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (OMN) với các đường
thẳng AC, BC và AB.
Giải
Trong mp(SAC): MN ∩ AC =
{K} , mà MN ⊂ ( OMN ) nên

{K=}

S

AC ∩ ( OMN ) .

M
N

Trong mp(ABC): OK ∩ BC =
{H} , mà OK ⊂ ( OMN ) nên

{H=}

BC ∩ ( OMN ) .
OK ∩ AB =
{G} ,

Ta

có:

{G=}

AB ∩ ( OMN ) .

C

A

mà

OK ⊂ ( OMN )

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

O

G

nên

K

H

B

11

Website: tailieumontoan.com

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD. Gọi E và F là hai điểm lần lượt nằm trên hai
cạnh SB và CD.
a. Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SAC).
b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng BC và SC.
Giải
a. Ta có EF ⊂ ( SBF ) .
Trong

mp(ABCD):

S

BF ∩ AC =
{O} ,

suy

ra

SO .
( SAC ) ∩ ( SBF ) =

E

Trong mp(SBF): EF ∩ SO =
{K} , mà SO ⊂ ( SAC ) ,
suy ra {K=
} EF ∩ ( SAC ) .
b. Trong

mp(ABCD):

H

K

D

A

AF ∩ BC =
{G} ,

mà

AF ⊂ ( AEF ) , suy ra {G
=
} BC ∩ ( AEF ) .

F

O
B

C

G

Khi đó: ( AEF ) ≡ ( AEG ) .
Trong mp(SBC): EG ∩ SC =
{H} , mà EG ⊂ ( AEF ) , suy ra {H=} SC ∩ ( AEF ) .
Dạng 3. Thiết diện
1. Phương pháp
Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác
phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết diện.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và
AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( MNP ) .
Lời giải

Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi =
Q NP ∩ CD và =
K NP ∩ BC

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

12

Website: tailieumontoan.com

Trong mp ( SBC ) gọi =
F SD ∩ QM .
E SB ∩ KM , trong mp ( SAD ) gọi =
Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( MNP ) là ngũ giác NEMFP.
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a . Kéo dài BD một đoạn
DF = a. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng ( MEF ) .
b) Tính diện tích của thiết diện.
Lời giải
a) Trong mp ( ABC ) : Dựng ME cắt AC tại I.
Trong mp ( ABD ) : Dựng MF cắt AD tại J.
Từ đó thiết diện của tứ diện với mp ( MEF ) là ∆MIJ .
b) Theo cách dựng thì I và J lần lượt là trọng tâm tam
giác ABE và ABF

=
 AI
⇒
 AJ
=


2
2a
=
AC
2a
3
3
⇒ tam giác AIJ đều ⇒ IJ = .
2
2a
3
=
AD
3
3

Mặt khác AI = AJ nên ∆AMI =
MJ .
∆AMJ ⇒ MI =
Trong ∆AMI , MI=

MA2 + IA2 − 2 MA.IA.cos A=

a 13
.
6

2

1
1 2a
= . .2
S ∆MJI=
IJ .MK
2
2 3

 a 13   a 2 a 2
.

 −  =
6
 6  3

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là một điểm trên cạnh SB.
Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD).
Giải
Trong mp(ABCD): AB ∩ CD =
{E} .

S

Trong mp(SAB): AM ∩ SE =
{K} .
K

Do đó mp ( AMD ) ≡ mp ( AKD ) .
Trong mp(SCD): KD ∩ SC =
{N}
=
MN
Do đó

( AMD ) ∩ ( SBC =
) , ND ( AMD ) ∩ ( SCD