Së GD&§T
B¾c giang



Bµi 1: (2,5 ®iÓm).
a) TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc M=
BiÕt r»ng 2a2+2b2=5ab vµ b>a>0.
b) Cho a, b lµ c¸c nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:
4a + 5b = 7
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 5
Bµi 2 : (2,5 ®iÓm)
a) Cho f(x) lµ ®a thøc cã c¸c hÖ sè nguyªn kh«ng ©m vµ nhá h¬n hay b»ng 8. L¹i biÕt r»ng f(9) = 19970. H·y x¸c ®Þnh ®a thøc f(x).
b) Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× ®a thøc :
x2n - xn + 1 kh«ng thÓ chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1.
Bµi 3 : (3 ®iÓm)
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã AC lµ ®­êng chÐo lín. Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ C xuèng AB vµ AD. Chøng minh r»ng :
AB.AE+AD.AF=AC2
Bµi 4 : (2 ®iÓm)
Cho P = 2n + 3n
Q =2n+2+3n+2
T×m ­íc chung lín nhÊt cña P vµ Q






Së GD&§T
B¾c giang



Bµi 1: (2 ®iÓm).
a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö:
x4 + x3 - 2x2 + 3x -1
b) T×m x, y sao cho biÓu thøc :
A = 2x2 +9y2 - 6xy - 6x -12y + 2026
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 2 : (2 ®iÓm)
a) T×m th­¬ng vµ phÇn d­ trong phÐp chia ®a thøc:
f(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x1997 cho x2 + 1.
b) §a thøc f(x) khi chia cho (x -3) th× d­ 10, khi chia cho (x + 5) th× d­ 2, cßn khi chia cho (x - 3)(x +5) th× ®­îc th­¬ng lµ (x2 + 1) vµ cßn d­. T×m ®a thøc f(x).
Bµi 3 : (1,5 ®iÓm)
T×m sè tù nhiªn x sao cho (x1999 + x1997 + 1) cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè.
Bµi 4 : (2,5 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm M trªn ®­êng chÐo AC. Tõ M h¹ MH, MK thø tù vu«ng gãc víi AB vµ BC.
a) Chøng minh r»ng AK, CH, DM ®ång quy.
b) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c DHK nÕu biÕt diÖn tÝch cña tam gi¸c ®ã b»ng (HK2 + KD2).
Bµi 5 : (2 ®iÓm)
T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:

Së GD&§T
B¾c giang



Bµi 1: (2 ®iÓm).
a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö:
x4 + 4
b) T×m sè nguyªn a ®Ó biÓu thøc P= nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2 : (2 ®iÓm)
§a thøc P(x) khi chia cho (x-3) d­ 7 , khi chia cho (x+5) th× d­ -9, cßn khi chia cho ( x2-5x+6) th× ®­îc th­¬ng lµ: x2 +1 vµ cßn d­. T×m ®a thøc P(x).
Bµi 3 : (3 ®iÓm)
a) BiÕt x lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ;

b) Rót gän biÓu thøc : M=
Bµi 4 : (3 ®iÓm)
a) Trªn tia Ox cña gãc xOy cho tr­íc lÊy 1 ®iÓm A. H·y t×m trªn tia Oy cña gãc ®ã 1 ®iÓm B sao cho: OB+BA=d (víi d lµ ®é dµi cho tr­íc)
b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ tõ C lµ BE vµ CF. Chøng minh r»ng BE vu«ng gãc víi CF khi vµ chØ khi AC2+AB2=5BC2





Së GD&§T
B¾c giang



Bµi 1: (2 ®iÓm).
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
A= x3(x2-7)2-36x
b) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 210.
Bµi 2 : (3,5 ®iÓm)
a ) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n nµo ®Ó:
(2n3-3n2+n+3) chia hÕt cho (n2-n).
b) T×m x biÕt:
1)
2)
Bµi 3 : (1,5 ®iÓm).
Cã 7 c¸i b¸nh chia ®Òu cho 12 em. Chia nh­ thÕ nµo ®Ó kh«ng chia bÊt cø c¸i b¸nh nµo thµnh 12 phÇn b»ng nhau c¶.
Bµi 4 : (3 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn AD lÊy ®iÓm E, trªn tia ®èi cña tia CD lÊy ®iÓm K sao cho AE=CK.
a) Chøng minh r»ng: BE vu«ng gãc víi BK
b) BiÕt OK=a, DE=b. TÝnh diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c: DEK, BEK vµ tÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD.




Së GD&§T
B¾c giang




Bµi 1: (2 ®iÓm).
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
x4 + x2 + 1
b) Rót gän ph©n thøc:
P =

Bµi 2 : (2 ®iÓm)
Cho a, b lµ c¸c sè tù nhiªn tho¶ m·n : 2a2+a=3b2+b
Chøng minh r»ng: a - b; 2a + 2b + 1 ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng
Bµi 3 : (2 ®iÓm)
a) TÝnh :
P=
b) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:
2x2 + 5xy + 3y2 = 3
Bµi 4 : (4 ®iÓm)
a) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB=AC). M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét ®iÓm D thay ®æi trªn c¹nh AB. LÊy mét ®iÓm E trªn c¹nh AC sao cho CE=. Chøng minh r»ng:
1) Tam gi¸c DME ®ång d¹ng víi tam gi¸c DBM
2) Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®o¹n th¼ng DE kh«ng ®æi.
b) Cho gãc nhän xOy. I lµ ®iÓm thuéc miÒn trong gãc xOy. H·y dùng ®o¹n th¼ng AB, A thuéc Ox, B thuéc Oy sao cho I lµ trung ®iÓm cña AB.
Së GD&§T
B¾c giang



Bµi 1: (2 ®iÓm). Cho biÓu thøc :
M=
a) Rót gän M.
b) T×m x ®Ó M>0.
Bµi 2 : (2 ®iÓm)
Ng­êi ta ®Æt mét vßi n­íc ch¶y vµo mét bÓ vµ mét vßi n­íc ch¶y ra ë l­ng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy n­íc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra, më vßi ch¶y vµo th× sau 1 giê r­ìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp hai lÇn vßi ch¶y ra.
a) TÝnh thêi gian n­íc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc n­íc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra.
b) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2 m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu.
Bµi 3 : (1 ®iÓm).
T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:
x2 + 2xy + y2+ x + 4y = 0
Bµi 4 : (3 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh cã ®é dµi c¹nh lµ a. E chuyÓn ®éng trªn c¹nh CD (E kh¸c D). §­êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t CD t¹i K.
a) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK
b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: JA=JB=JF=JI
c) §Æt DE=x . TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x
d) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt.
Bµi 5: ( 2 ®iÓm).
a) Cho . TÝnh N =
b) Kh«ng dïng m¸y tÝnh, h·y sè trÞ cña biÓu thøc:
P=(0,2345)4+(0,7655)4-(1,2345)3-(0,7655)2-(1,2345)2.(0,7655)3+4,938.3052

Së GD&§T
B¾c giang


Bµi 1: (2 ®iÓm). Rót gän ph©n thøc
a) b)
Bµi 2 : (2 ®iÓm)
a) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d­ 2 vµ b chia cho 13 d­ 3 th× (a2+b2) chia hÕt cho 13.
b) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n a.b.c=1.
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A=
c) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
Bµi 3 : (2 ®iÓm)
§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp §oµn TNCS HCM. Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®­îc giao lµm mét khèi l­îng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ 1 lµm trong 5 giê , tæ hai lµm trong 3 giê th× hoµn thµnh 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®­îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó hoµn thµnh.
Bµi 4 : (3 ®iÓm)
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC>BD). Gäi E, F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña B, D trªn AC; H, K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD.
a) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g×? V× sao.
b) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA.
c) Chøng minh AC2=AB.AH+AD.AK
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
Së GD&§T
B¾c giang

Bµi 1: (2 ®iÓm).
a) Rót gän ph©n thøc: P =
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
Bµi 2 : (2 ®iÓm)
a) T×m c¸c nghiÖm nguyªn x, y, z cña bÊt ph­¬ng tr×nh:
x2+y2+z2 xy+3y+2z-4.
b) Chøng minh r»ng víi mäi nN* ta lu«n cã :

Bµi 3 : (2 ®iÓm) Hai « t« cïng xuÊt ph¸t mét lóc tõ hai ®Þa ®iÓm A vµ B. ¤ t« thø nhÊt xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B råi quay l¹i A ngay, « t« thø hai xuÊt ph¸t tõ B ®Õn A råi quay l¹i B ngay. Hai « t« gÆp nhau lÇn hai t¹i mét ®Þa ®iÓm C c¸ch A lµ 20 km. TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng AB, biÕt r»ng vËn tèc cña « t« thø nhÊt vµ vËn tèc cña « t« thø hai tû lÖ víi vµ vËn tèc cña hai « t« tõ lóc xuÊt ph¸t ®Õn lóc gÆp nhau lÇn hai lµ kh«ng ®æi.
Bµi 4 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn AM. Tia ph©n gi¸c cña gãc AMB c¾t c¹nh AB ë E, tia ph©n gi¸c cña gãc AMC c¾t c¹nh AC ë D.
a) Chøng minh DE//BC.
b) Cho MC=8 cm vµ 3AD=5CD. TÝnh DE.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho biÓu thøc P=(b2+c2-a2)2-4b2c2. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c th× P<0.


Së GD&§T
B¾c giang



Bµi 1: (2,5 ®iÓm).
Chøng minh r»ng:
a) [x2-z2+(2x+y)y] chia hÕt cho (x+y+z) víi x, y, z lµ c¸c sè tù nhiªn
b) (x8n+x4n+1) chia hÕt cho (x2n+xn+1) víi n lµ sè tù nhiªn
Bµi 2 : (2,5 ®iÓm)
a ) Cho ®a thøc f(x)=ax2+bx+c. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng: 2a, 2b lµ c¸c sè nguyªn.
b) T×m sè tù nhiªn A nhá nhÊt biÕt r»ng :
A chia cho 91 d­ 23
A chia cho 93 d­ 32
Bµi 3 : (1,5 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc :
víi n lµ sè tù nhiªn.
Bµi 4 : (2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng trong mét tø gi¸c låi chu vi lín h¬n tæng ®é dµi c¸c ®­êng chÐo nh­ng l¹i nhá h¬n hai lÇn tæng ®é dµi c¸c ®­êng chÐo.
Bµi 5: ( 1,5 ®iÓm)
Cã 5 ng­êi A, B, C, D, E xÕp hµng mua vÐ xem phim. BiÕt r»ng A mua vÐ tr­íc B nh­ng sau E; C vµ E kh«ng ®øng kÒ nhau. D kh«ng ®øng kÒ víi E, C, A. T×m thø tù xÕp hµng cña 5 ng­êi ®ã.







SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (4,5 điểm)
1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: .
2) Cho . Tính giá trị biểu thức .
Câu 2. (4,5 điểm)
1) Cho biểu thức: . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức.
2) Giải phương trình sau: .
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh chia hết cho 24.
2) Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.
Câu 4. (6,0 điểm)
1) Cho hình thang vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và .
a. Tính diện tích hình thang theo .
b. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh .
2) Cho tam giác có . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là . Chứng minh rằng:

Câu 5. (1,0 điểm)
Cho hai số không âm và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

---------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 30 /3/2013
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang

Câu 1
Hướng dẫn giải
(4.5 điểm)
1
(2.5 điểm)
Ta có
0,5


0.5



0.5


0.5


Kết luận
0.5

2
(2.0 điểm)
Ta có
0.5


0.5


0.5

Vậy
0.5

Câu 2

(4.5 điểm)
1
(2.5 điểm)
Ta có
ĐK:

0.5


0.5

Khi đó:


0.5


0.5

Vậy xác định khi và
0.5

2
(2 điểm)
+ Nếu , phương trình đã cho trở thành

0.5




0.5

Nếu , phương trình đã cho trở thành




0.5




vô nghiệm
0.25

KL: Phương trình có một nghiệm .
0.25

Câu 3

(4 điểm)
1
(2 điểm)
Ta có
0.5

Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3. Do đó (1)
0.5

Vì là số tự nhiên lẻ nên và là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó (2)
0.5

Vì và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra (đpcm)
0.5

2
(2 điểm)
+ Giả sử
+ Suy ra

0.5

+ Mặt khác và nên có các trường hợp sau xảy ra:
• TH1:
0.5


• TH1:
• TH3:
0.5

Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2.
0.5

Câu 4

(6 điểm)




1
(4 điểm)






























a) + Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân.

0.5


+ Từ đó suy ra
0.5

+ Diện tích của hình thang ABCD là
0.5



0.5

b) + (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc)
0.5

+ Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có
, do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng.
Suy ra (2)
0.5

+ Từ (1) và (2), suy ra
0.5


+ Mà hay
0.5
2
(2 điểm)










+ Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M.
Ta có (hai góc ở vị trí đồng vị)
(hai góc ở vị trí so le trong)
Mà nên hay tam giác ACM cân tại A, suy ra














0.5

+ Do AD//CM nên

0.5

+ Mà (1)
0.5

+ Tương tự ta có
(2); (3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm
0.5
Câu 5 1điểm
1 điểm
+ Ta có
0.25

+ Chứng minh được với hai số dương thì
0.25

+ Do đó

0.25

+ Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi .
0.25

Điểm toàn bài
(20điểm)


Lưu ý khi chấm bài:
• Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
• Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG


ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC
MÔN THI: TOÁN; LỚP: PHỔ THÔNG
Ngày thi:
Thời gian làm bài phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. ( điểm)
1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử , với .
2) Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng chia hết cho .
Câu 2. ( điểm) 1) Cho biểu thức . Hãy rút gọn và tìm tất cả các giá trị của để .
2) Tìm tất cả các số nguyên để là số chính phương.
Câu 3. ( điểm)
1) Giải phương trình .
2) Tìm phần dư của phép chia đa thức cho . Biết rằng đa thức chia cho
dư , chia cho dư .
Câu 4. ( điểm) 1) Cho hình chữ nhật có cm, cm. Trên cạnh lấy điểm sao cho cm.
a) Chứng minh rằng vuông góc với .
b) Tia phân giác của góc cắt tại . Kẻ đường thẳng qua vuông góc với . Đường thẳng cắt và lần lượt tại . Đường thẳng cắt tại . Chứng minh rằng là tia phân giác của góc .
2) Cho tam giác vuông tại . Hai đường phân giác trong và cắt nhau tại . Chứng minh rằng .
Câu 5. ( điểm) Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng:
---------- HẾT ----------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 21/3/2014
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 1


1.1.
(1.5 điểm)


0.5


0.5

. Kết luận
0.5

1.2
(2.5 điểm)
+ Với ta có: (đúng)
0.5

+ Với và là số tự nhiên lẻ ta luôn có:


0.5


(1)
0.5

Tương tự ta cũng có:
(2)
0.5

Từ (1) và (2) ta có .
0.5

Câu 2


2.1
(2.5 điểm)
Điều kiện:
0.5


0.5


0.5


0.5

. Kết luận
0.5

2.2
(2.5 điểm)
Đặt . Ta có:

0.5

+ Với thì là số chính phương (thoả mãn).
0.5

+Với , là số chính phương là số chính phương là số chính phương.
0.5

Tồn tại số nguyên dương thoả mãn:

0.5

hoặc hoặc .
Thử lại thoả mãn.Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán.
0.5

Câu 3

(4,0 điểm)
3.1
(2,0 điểm)
Ta có: (1)
Đẳng thức xảy ra khi
0.5

(2)
Đẳng thức xảy ra khi
0.5

(3)
Đẳng thức xảy ra khi
0.5

Từ (1), (2) và (3)
Đẳng thức xảy ra khi . Kết luận
0.5

3.2
(2,0 điểm)
Do là đa thức bậc 2 nên phần dư của phép chia cho là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2.
Giả sử là phần dư cần tìm
0.5

Từ giả thiết bài toán: Tồn tại các đa thức thoả mãn:
.
0.5

Xét . Từ đó ta có hệ phương trình:

0.5

Giải hệ tìm được . Kết luận phần dư cần tìm là .
0.5

Câu 4


4.1.a
(2.0 điểm)


Tìm được .
0.5

Xét tam giác vuông , theo định lý Pytago:
.
0.5

Tương tự: Xét tam giác vuông có: .
0.5

Xét tam giác có: .
Theo định lý Pitago đảo ta suy ra .
0.5

4.1.b
(2.0 điểm)
Xét và có: chung,
(g.g) .
0.5

Xét và có: và chung
. (1)
0.5

Tương tự ta cũng có: . (2)
0.5

Từ (1) và (2) suy ra . Mà .
Từ đó suy ra (Điều phải chứng minh).
0.5

4.2
(2,0 điểm)

Đặt .
Theo tính chất phân giác ta có:
.
0.5

Xét có là phân giác trong. Ta có (1)
0.5

Chứng minh tương tự: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
0.5

Mà vuông tại nên theo Pitago có: . Như vậy:

Kết luận




0.5

Câu 5


1.0 điểm
Sử dụng BĐT ta có:

0.25


0.25

Lại có:
0.25

Kết hợp lại ta được:
Đẳng thức xảy ra khi .
0.25

Lưu ý khi chấm bài:
• Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
• Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Ngày thi:
Thời gian làm bài phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( điểm) 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: , với .
2) Cho các thực khác 0 thoả mãn
Tính
Câu 2 ( điểm) 1) Cho biểu thức .
a) Tìm để biểu thức có nghĩa, khi đó hãy rút gọn .
b) Tìm các giá trị của để .
2) Giải phương trình
Câu 3 ( điểm) 1) Cho đa thức với là các số hữu tỉ. Biết rằng có giá trị nguyên. Chứng minh rằng có giá trị nguyên.
2) Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố.
Câu 4 ( điểm) 1) Cho hình chữ nhật và điểm nằm trên đoạn . Gọi là điểm đối xứng của qua . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các đường thẳng .
a) Chứng minh rằng // và ba điểm thẳng hàng.
b) Cho vuông góc với , và . Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật.
2) Cho tam giác nhọn có các đường cao . Gọi là trực tâm của tam giác . Chứng minh rằng
Câu 5 ( điểm)
Cho các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
---------------Hết----------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 21/3/2015
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 1


1.1
(2 điểm)

.
1.0

.
1.0

1.2
(2 điểm)
Ta có .
0.5

Kết hợp với giả thiết suy ra (do x, y ≠ 0).
0.5

Với x = 1 thì y =1 suy ra S = 2.
0.25

Với y = 1 thì x = 1 suy ra S = 2.
0.25

KL: S = 2.
0.5

Câu 2


2.1
(3 điểm)
a) B xác định khi
0.25

+)
0.25

+) B xác định khi
0.5

+)B =
0.5

+) B = .
Kết luận…
0.5

b) B > 0
0.75

KL: ,.
0.25

2.2
(2 điểm)
+) ĐK .
Phương trình
0.25
0.5


0.25


0.5


0.25

Kl: nghiệm của phương trình là = 1, = 2.
0.25

Câu 3


3.1
(2 điểm)
+) là các số nguyên .
0.5

+) Từ (1) và (2) suy ra là số nguyên.
 là số nguyên. (4)
0.5

+)Từ (1) ,(3)và (4) suy ra 2a là số nguyên.
0.5

+) Từ (4) và 2a nguyên suy ra 2b nguyên.
Vậy 2a, 2b có giá trị nguyên.
0.5

3.2
(2 điểm)
+)

0.75

+) ta có P = 1 không thoả mãn.
0.5

+) n > 0 thì . P nguyên tố khi . Do đó n =1.
0.5

+) Kết luận : n = 1.
0.25

Câu 4


4.1
(4 điểm)



a) TO là đường trung bình của tam giác CMA, suy ra TO song song với AM.
Khi đó .
Gọi I là giao điểm của AM và EF.
0.5


0.5


0.5

Mặt khác IT là đường trung bình của tam giác MAC, suy ra IT song song AC.
0.5

Từ đó suy ra E, F, T thẳng hàng.
0.5

b)
+) suy ra tam giác CTB và DTC đồng dạng.




0.5

0.5

0.5

0.5

4.2
(2 điểm)



Dựng đường thẳng d đi qua C song song với AB. Gọi D là điểm đối xứng với A qua d.
0.25

Chứng minh được góc BAD vuông, CD=AC, AD = 2CP.
Xét ba điểm B, C, D ta có
Tam giác BAD vuông tại A nên

0.5




0.5


Hoàn toàn tương tự ta có

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có

0.25




0.5

Câu 5


(1 điểm)
+) Chứng minh
Thật vậy
+) x = 0 đúng
+) x > 0 , ta chỉ cần chứng minh

0.25


0.25

+) Chứng minh .
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi yz =1, x = 0.
Mặt khác





0.25

Do đó khi x = 0, y= z = 1.
0.25


Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.




SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Ngày thi:
Thời gian làm bài phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( điểm)
1) Cho số nguyên dương thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức

2) Cho đa thức . Tìm số dư trong phép chia cho đa thức
Câu 2 ( điểm)
1) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Giải phương trình
Câu 3 ( điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng số đó chia cho 51 dư 17 và chia cho 101 dư 22.
Câu 4 ( điểm)
1) Cho hình vuông . Điểm thay đổi trên đường chéo ( khác và ).
Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và .
a) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
b) Xác định vị trí điểm để diện tích tứ giác lớn nhất.
2) Cho tam giác cân tại có Hai điểm và lần lượt nằm trên các cạnh và sao cho , và vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác .
3) Cho tứ giác . Qua trung điểm của đường chéo dựng đường thẳng song song với , cắt cạnh tại . Chứng minh chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Câu 5 ( điểm) Cho các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

---------------Hết----------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 20/3/2016
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu
Hướng dẫn giải
Điểm

Câu 1



1.1
(2.5 điểm)

Từ tìm ra được
1.5


Thay tính được Kết luận.
1.0

1.2
(2.5 điểm)
Ta biến đổi

0.5


Đặt ta có .
1.25


Vậy khi chia cho ta được dư là 1416.
0.75

Câu 2



2.1
(2.0 điểm)

0.75



0.5


Do đó
0.25


Khi đó
0.25


đạt giá trị nhỏ nhất là . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0.25


2.2
(2.0 điểm)
ĐK :

0.5


Biến đổi được về phương trình
0.5


.
0.5


Kết luận tập nghiệm của phương trình là .
0.5

Câu 3


3.1
(2 điểm)

0.75

=
=
0.75

= .
0.5
3.2
(2 điểm)
Từ giả thiết, gọi là số có bốn chữ số cần tìm thì tồn tại hai số tự nhiên sao cho
0.25

Ta có , do đó .
Đặt
0.5

Thế vào (1)
0.5

Thay vào (1)
Vì nên
0.5

Khi đó và suy ra
0.25
Câu 4


4.1
(3 điểm)



a) Khẳng định hai tam giác vuông và bằng nhau, suy ra , .
0.5

- Khẳng định hai tam giác vuông và bằng nhau, suy ra , .
0.5

- Khẳng định hai tam giác và bằng nhau, suy ra , .
0.5

Từ đó ta có là ba đường cao của tam giác nên đồng quy.
0.5

b) Giả sử hình chữ nhật có cạnh là .
Chu vi hình chữ nhật bằng không đổi
0.5

không đổi
lớn nhất ( là hình vuông)
Hay là trung điểm của .
0.5
4.2
(2.0 điểm)



Chỉ ra được và
0. 5

Gọi là giao điểm của .
Ta có
Chỉ ra được
0.75

Chỉ ra được
Suy ra
0.75
4.3
(1.0 điểm)



Kẻ căt đường thẳng tại . Suy ra và
0.25

Ta có
0.25

suy ra , điều phải chứng minh.
0.5
Câu 5


(1 điểm)
Ta có
0.25


0.25

Mà - nên . Do đó
Giá trị nhỏ nhất của S là -8064. Dấu “=” đạt được khi
Kết luận.
0.5


Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.


phßng GD&§T
viÖt yªn



Bµi 1: (2 ®iÓm).
a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö:
x2 + 4x + 3
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

Bµi 2 : (2 ®iÓm)
Cho biÓu thøc: P=
a) Rót gän P.
b) T×m a nguyªn ®Ó P nguyªn.
Bµi 3 : (2,5 ®iÓm)
a) T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:
.
b) Cho ®a thøc f(x)=ax2+bx+c, víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng: 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 4 : (2,5 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®­êng cao AA', BB', CC'. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: .
Bµi 5: (1 ®iÓm)
T×m c¸c h»ng sè a, b sao cho x3+ax+b chia hÕt cho (x+1) d­ 7, chia cho (x-3) d­ -5.
phßng GD&§T
viÖt yªn



Bµi 1: (2 ®iÓm).
Cho biÓu thøc: A=
a) Rót gän biÓu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: A>0 víi mäi m, n.
Bµi 2 : (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch : x4+4 thµnh nh©n tö.
b) ¸p dông tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
B=
Bµi 3 : (2 ®iÓm)
a) Cho A=x15-7x14+7x13-7x12+...-7x2+7x-5.
TÝnh gi¸ trÞ cña A víi x=6
b) Cho 2x2+2y2=5xy vµ x>y>0.
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M=
Bµi 4 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC . P, Q lµ ch©n c¸c ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ A ®Õn c¸c ®­êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi cña gãc B. R, S lµ ch©n c¸c ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ A ®Õn c¸c ®­êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi cña gãc C.
a) C¸c tø gi¸c: APBQ, ARCS lµ h×nh g×? T¹i sao.
b) Chøng minh P, Q, R, S th¼ng hµng.
c) Chøng minh ®é dµi QS b»ng nöa chu vi tam gi¸c ABC.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
T×m x, y biÕt: 2x2+2y2-2xy-6x+6=0.
phßng GD&§T
viÖt yªn



Bµi 1: (3 ®iÓm). Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 6x2 + 5x + 1
b) (x - 1)(x - 2)(x - 5)(x - 6) + 4
c) x3 + 6x2 + 11x + 6
Bµi 2 : (3 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau víi x =
S=
b) Cho A = n4 - 4n3 - 4n2 + 16n, víi n lµ sè tù nhiªn ch½n vµ lín h¬n 4.
Chøng minh A lu«n chia hÕt cho 384.
Bµi 3 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC. D, E, F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, AC, BC. Gäi M, N, P, Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AD, AE, EF, FD.
b) X¸c ®Þnh d¹ng cña tø gi¸c: MNPQ, ADFE.
c) T×m ®iÒu kiÖn cña tam gi¸c ABC ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh thoi? H×nh ch÷ nhËt. VÏ h×nh trong c¸c tr­êng hîp ®ã.
Bµi 4 : (1 ®iÓm)
Cho abc = 2. TÝnh gi¸ trÞ cña cña biÓu thøc:
M=


phßng GD&§T
viÖt yªn



Bµi 1: (3 ®iÓm). Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 6x2 + 5x + 1
b) x4+4a4
Bµi 2 : (3 ®iÓm)
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: A = (a ; b lµ h»ng sè)
BiÕt r»ng: 4a2+b2=5ab vµ 2a>b>0.
Bµi 3 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC c¸c ®­êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. HE, HF lµ trung
trùc cña AC, BC (E; vµ H lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng trung trùc trªn)
a) Chøng minh: BG=2HE; AG=2HF.
b) C¸c tam gi¸c CEH, CFH ®ång d¹ng víi tam gi¸c nµo? T¹i sao?
Bµi 4 : (1 ®iÓm)
T×m x :
(a lµ h»ng sè)








phßng GD&§T
viÖt yªn



Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Thùc hiÖn phÐp chia A= 2x4 - x3 - x2 - x + 2 cho B= x2 + 1
T×m xZ ®Ó AB
b) Ph©n tÝch ®a thøc th­¬ng thµnh nh©n tö.
Bµi 2 : (2®iÓm)
a) So s¸nh cÆp sè sau: A= 532-1 vµ B=(516+1) (58+1) (54+1) (52+1) (5+1)
b) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: A=
Bµi 3 : (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu (a+b+c)2 = 3(ab+ac+bc) th× a=b=c.
b) Cho ®a thøc f(x)= x100+x99+...+x2+x+1. T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho x2-1.
Bµi 4 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE
a) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? T¹i sao?
b) Chøng minh AB.CF=AC.AE
c) So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn:




phßng GD&§T
viÖt yªn



Bµi 1: (1,5 ®iÓm)
Cho P=
a) Rót gän P
b) T×m a nguyªn ®Ó P lµ sè nguyªn.
Bµi 2 : (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
A=x2 - (x -1)2 + (x-2)2 - (x - 3)2 +...-(x - 2005)2 víi x = 2006
b) Cho a + b + c =1 vµ . TÝnh a2 + b2 + c2
Bµi 3 : (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc vµ viÕt quy tr×nh bÊm phÝm:
A= khi x = 1,8165.
b) X¸c ®Þnh a trong ®a thøc f(x)= a2x3+3ax2-6x-2a ®Ó f(x) chia hÕt cho x+1
Bµi 4 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn l­ît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC.
a) Chøng minh E, A, F th¼ng hµng.
b) Chøng minh BEFC lµ h×nh thang. Cã thÓ t×m ®­îc vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®­îc kh«ng.
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt.
Bµi 5: (1,5 ®iÓm)
VÏ n ®­êng th¼ng trªn cïng mét mÆt ph¼ng sao cho 22 ®­êng th¼ng bÊt k×
trong sè ®ã ®Òu c¾t nhau, nh­ng 3 ®­êng th¼ng bÊt k× trong sè ®ã kh«ng ®ång quy. TÝnh sè phÇn mÆt ph¼ng ®­îc chia ra bëi n ®­êng th¼ng ®ã.
phßng GD&§T
viÖt yªn



Bµi 1 ( 2 ®iÓm )
Cho P =
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2 ( 2 ®iÓm )
a) Cho ; x, y, z 0. Chøng minh r»ng x=y=z.
b) BiÕt ; x+y+z=2xyz; x, y, z 0.
TÝnh A=
Bµi 3 ( 2 ®iÓm )
a) X¸c ®Þnh a, b trong ®a thøc A=ax3+bx2-3x-2 ®Ó A chia hÕt cho (x-1)(x+2).
b) Chøng minh r»ng nÕu tæng hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph­¬ng cña chóng chia hÕt cho 9.
Bµi 4 ( 3 ®iÓm )
Cho tam gi¸c ABC. VÏ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng ABDE, ACFG cã t©m theo thø tù lµ M, N. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña EG, BC.
a) Chøng minh r»ng EC=BG
b) Chøng minh tø gi¸c KMIN lµ h×nh vu«ng.
c) NÕu tam gi¸c ABC cã BC cè ®Þnh vµ ®­êng cao t­¬ng øng b»ng h kh«ng ®æi th× I chuyÓn ®éng trªn ®­êng nµo.
Bµi 5 ( 1 ®iÓm )
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=x(x+6)(x2+6x+10)-2006.

phßng GD&§T
viÖt yªn




Bµi 1 ( 2 ®iÓm )
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2 - 2007x - 2008.
b) Gi¶i ph­­¬ng tr×nh : .
Bµi 2 ( 2 ®iÓm )
a) Chøng minh a4 + b4 a3b + ab3 víi mäi a, b.
b) Cho P = n4 + 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó P lµ sè nguyªn tè.
Bµi 3 ( 2 ®iÓm )
a) Chøng minh A = n3 - 3n2 - n + 3 chia hÕt cho 48 víi n lµ sè nguyªn lÎ.
b) T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè biÕt .
Bµi 4 (3 ®iÓm )
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (600). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC chøa ®Ønh B, ng­êi ta vÏ tia Ax sao cho . Gäi E lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua ®­êng th¼ng Ax. Nèi BE c¾t Ax t¹i ®iÓm D. C¸c ®­êng th¼ng CD, CE c¾t AB lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm I vµ K. Chøng minh r»ng:
a) Tia AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ngoµi ë ®Ønh A cña tam gi¸c ABE.
b) Tø gi¸c ACDE lµ h×nh thoi.
c) AK.AB = BK.AI.
Bµi 5 ( 1 ®iÓm )
Cho a, b, c lµ ba sè tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
N = a2006 + b2007 + c2008.



Phßng GD & §T
ViÖt Yªn
§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc 2008 – 2009
M«n: To¸n 8
Thêi gian lµm bµi: 150 phót

Bµi 1(2 ®iÓm):
a) Rót gän biÓu thøc sau:
A =
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 2 (2 ®iÓm):
a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x4 - 5x3 + 10x + 4
b) Gi¶i ph­­¬ng tr×nh : (x2 - 5x + 6)3 + (1 - x2)3 = (7 - 5x)3 .
Bµi 3 (2 ®iÓm):
a) T×m sè d­ trong phÐp chia cña biÓu thøc:
(x + 2)(x + 4)(x+ 6)(x + 8) + 2009 cho ®a thøc x2 +10x +21
b) T×m c¸c nguyªn d­¬ng x, y tho¶ m·n:
x3 +7y = y3 + 7x
Bµi 4 ( 3 ®iÓm)
C¸c c¹nh bªn, ®­êng chÐo vµ ®¸y cña mét h×nh thang c¾t ®­êng th¼ng d t¹i 6 ®iÓm tøc kµ c¾t thµnh 5 ®o¹n
a) Chøng minh r»ng nÕu 2 ®o¹n ®Çu vµ cuèi b»ng nhau th× 2 ®o¹n th­ 2 vµ thø 4 còng b»ng nhau.
b) T×m tû sè hai c¹nh ®¸y h×nh thang ®Ó cá thÓ kÎ ®­îc ®­êng th¼ng d sao cho 5 ®o¹n b»ng nhau.
Bµi 5 (1 ®iÓm)
Cho ®iÓm P n»m trong ABC lÊy ®iÓm MAC vµ LBC sao cho , . Chøng minh r»ng nÕu D lµ trung ®iÓm c¹nh AB th× DM = DL.






Phßng Gi¸o dôc-§µo t¹o
viÖt yªn
®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc 2009 - 2010
M«n : To¸n 8
Thời gian làm bài: 150 phút

Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010
b) 4( x2 + 15x + 50 )( x2 + 18x + 72 ) - 3x2
Bµi 2: ( 2 ®iÓm )
Mét « t« ch¹y trªn qu·ng ®­êng AB. Lóc ®i « t« ch¹y víi vËn tèc 35km/h, lóc vÒ « t« ch¹y víi vËn tèc 42km/h, v× vËy thêi gian vÒ Ýt h¬n thêi gian ®i lµ nöa giê. TÝnh chiÒu dµi ®o¹n ®­êng AB.
Bµi 3: ( 2 ®iÓm )
a) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x;y) tho¶ m·n y2 + 2(x2 + 1) = 2y(x + 1).
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
Bµi 4: (3 ®iÓm )
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C ( AC > BC ), mét ®iÓm I ë trªn c¹nh AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ta kÎ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi IC kÎ qua C c¾t tia Ax, By lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm M vµ N.
a) Chøng minh: CAI CBN ; ABC INC.
b) Chøng minh: MIN = 900.
c) T×m vÞ trÝ cña I sao cho diÖn tÝch tam gi¸c IMN lín gÊp ®«i diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
Bµi 5: (1 ®iÓm)

Cho S= + + +... + + Hãy so sánh S với .









Phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
ViÖt Yªn
§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc 2010 - 2011
M«n : To¸n 8
Thêi gian lµm bµi: 150 phót


Bµi 1(4 ®iÓm):
a) T×m c¸c sè nguyªn m, n tho¶ m·n
b) §Æt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña n.

Bµi 2 (4 ®iÓm)
a) Gi¶i ph­­¬ng tr×nh sau:
(x - 2).(x - 5).(x - 6).(x - 9) = (x + 2).(x + 5).(x + 6).(x + 9)
b) Phân tích đa thức thành nhân tử

Bµi 3 (4 ®iÓm)
a) T×m c¸c sè x, y, z nguyªn tho¶ m·n bÊt ph­¬ng tr×nh
x2 + y2 + z2 xy + 3y + 2z - 4
b) Cho P = n4 + 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó P lµ sè nguyªn tè.

Bµi 4 (6 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E vµ trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm F sao cho AE = AF. VÏ AH vu«ng gãc víi BF (H thuéc BF), AH c¾t DC vµ BC lÇn l­ît t¹i M, N.
a) Tø gi¸c AEMD lµ h×nh g×? v× sao?
b) T×m vÞ trÝ cña E trªn AB, F trªn AD sao cho diÖn tÝch tam gi¸c BCH gÊp bèn lÇn diÖn tÝch tam gi¸c AEH.
c) Chøng minh r»ng.

Bµi 5 (2®iÓm)
Cho a,b,c là ®é dài ba c¹nh cña tam gi¸c ABC và a+b+c=3.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .






Phßng GD-§T viÖt yªn

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
n¡M häc 2011-2012
Môn: TOÁN 8
(Thêi gian lµm bµi : 120 phót)


Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức: A =
a) Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A?

Bài 2 (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử

b) Tìm a và b để đa thức x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hết cho x2 - 2x + 2
Bµi 3 (6 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx, My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E. Chøng minh:
a) BD.CE=.
b) DM, EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.

Bµi 4 (4®iÓm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy +y = x3 + x2 + 7
2. Giải phương trình
Bµi 5 (2 ®iÓm)
Cho vµ x2+y2=1
Chøng minh r»ng:


PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
Ngày thi: …./4/2013
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề


Câu 1. (4,0 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .
2. Rút gọn biểu thức sau: .
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình sau:

2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) chia cho được thương là và còn dư.
2. Chứng minh rằng:

Câu 4. (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng: .
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho là ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng : .



PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI : TOÁN 8
Ngày thi: 12/4/2014
Thời gian làm bài: 120 phút.

Câu 1: (4 điểm).
Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2: (4 điểm).
a) Chứng minh rằng A = với .
b) Cho P = n4 + 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó P lµ sè nguyªn tè.
Câu 3: (4 điểm).
a) Giải phương trình :
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =
Câu 4: (6 điểm).
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh OA2 = AC.BD
b) Chứng minh tam giác AMB vuông
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh MN//AC
Câu 5: (2 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: .

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
Ngày thi: 02/4/2015
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm) 1)Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2) Xác định các hệ số a và b sao cho đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6, chia cho x – 2 dư 21.
Câu 2. (5 điểm) 1) Cho biểu thức :
Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của x để A > 0.
2) Giải phương trình:
Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:
2) Cho là các số nguyên dương có tổng bằng .
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:
a)AID và ABI đồng dạng.
b)
2) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. Chứng minh rằng :
AB.AH + AD.AK = AC2.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
.
---------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Có 4 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8




Câu 1
Hướng dẫn giải
(4.0 điểm)
1
(2 điểm)

0,5


0.5

=
0.5


0.5

2
(2 điểm)
Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6 => - a + b = -4 (1)
0.5

Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x - 2 dư 21 => 2a + b = 5 (2)
0.5

Từ (1) và (2), tìm ra a = 3; b= -1
0.75

Kết luận
0.25

Câu 2

(5.0 điểm)
1
(3 điểm)

ĐKXĐ: x 0 ; x 2; x 3
0.5


0.5


0.5


0.5

Vậy . với
0.25

Với (Vì 4x2 >0) (TMĐKXĐ)
0,5

Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,25







2
(2 điểm)
ĐKXĐ:
0.25

PT






0.5

=> (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
 (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)
 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
0.5

 8x2 + 40x = 0
 8x(x + 5) = 0
x = 0 hoặc x = -5
0.5

Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm.
0,25

Câu 3

(4.điểm)
1
(2 điểm)
(*)
0.5

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
0.5


0.75

Vậy có 2 cặp số nguyên ,
0.25

2
(2 điểm)
là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
0.5

Xét hiệu
chia hết cho 3
0.5

Mà là các số tự nhiên có tổng bằng .
0.5

Do vậy B chia hết cho 3.
0.5

Câu 4

(6 điểm)






1
(4 điểm)








a) Ta có DCE cân tại C =>
(AI là phân giác góc A),
0,5




0,5



0,5


Do đó
=> AID và ABI đồng dạng(g.g).
0,5


b) Từ => AI2 = AD.AB (1)
Chứng minh tương tự có EBI và IBA đồng dạng. => BI2 = BE.AB (2)
Từ (1) và (2) =>
0,5

0,5

0,5

0,5

2
(2 điểm)



Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Chứng minh AE = CF
0.5

Chứng minh : =>
0.5

Chứng minh : =>
0.5

AB.AH + AD.AK = (AE + AF)AC = (CF + AF).AC = AC.AC = AC2
0,5
Câu 5 1điểm
1 điểm
Đặt





0.25

Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra
Ta có



0.25

Bởi vậy



=(ĐPCM)
0.25


0.25

Điểm toàn bài
(20điểm)












PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆT YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8
Ngày thi: 28/3/2016
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm)
3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .
2) Cho và . Tính S =
Câu 2. (4,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức sau: .
2) Giải phương trình sau:

Câu 3. (4,5 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 4x = x2 y + 3y +5
2) Cho f(x) = (x – a)(x – b)(x – c ).
Chứng minh r