CHUYÊN ĐỀ : THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

1.Các kiến thức vận dụng:
+ Tính chất của phép cộng , phép nhân
+ Các phép toán về lũy thừa:
an =

; am.an = am+n ;

am : an = am –n ( a

0, m n)

(am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ;
2.Các dạng bài tập
Dạng 1: RÚT GỌN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a,
HD :

b,

c,

a, Ta có:

b, Ta có:

c, Ta có:
Bài 2: Thực hiện phép tính:

=

a,
HD :

b,

a, Ta có:
b, Ta có:
c, Ta có:
Bài 3: Thực hiện phép tính:
a,
HD :

c,

=

=

=
=

b,

c,
1

a, Ta có:

=

b, Ta có:
c, Ta có:
Bài 4: Thực hiện phép tính:
a,
HD:

b,

c,

a, Ta có :
=
b, Ta có :
c, Ta có :
Bài 5: Thực hiện phép tính:

=
=

a,
HD :

c,

b,

a, Ta có:
b, Ta có :

=
=

c, Ta có:
Bài 6: Thực hiện phép tính :

a,
Bài 7: Thực hiện phép tính:

b,

a,
Bài 8: Thực hiện phép tính :

b,

a,

b,
2

Bài 9: Thực hiện phép tính:
a,
Bài 10: Thực hiện phép tính:

b,

a,
Bài 11: Thực hiện phép tính:

b,

a,

b,

Bài 12: Tính giá trị của biểu thức:

Bài 13: Tính biểu thức:

Bài 14: Tính biêu thức:
Bài 15: Thực hiện phép tính:
a, 1024:
HD :

b,

c,

a, Ta có: 1024:
b, Ta có:
c, Ta có:
Bài 16: Thực hiện phép tính:
b,

a,
HD :
a, Ta có:
c Ta có :
Bài 17: Thực hiện phép tính:
a,
HD :

=

b,
a, Ta có:

3

b, Ta có:
Bài 18: Thực hiện phép tính :
a,
HD :

=
b,

a, Ta có :

Bài 19: Tính:

Bài 20: Thực hiện phép tính :
HD :

Bài 21: Rút gọn :

4

Dạng 2 : TÍNH ĐƠN GIẢN

Bài 1: Thực hiện phép tính:
HD:

Ta có :

=

Bài 2: Thực hiện phép tính:
HD:

Ta có :

=

=

Bài 3: Thực hiện phép tính:
HD:

Ta có :

=

Bài 4: Thực hiện phép tính:
HD:

5

Ta có :

=

Bài 5: Thực hiện phép tính:

a,
HD:

b,

a, Ta có :

b, Ta có :
Bài 6: Thực hiện phép tính:

=

=

a,
HD:

b,

a, Ta có :

=

b, Ta có :
Bài 7: Thực hiện phép tính:

=

a,
HD:

b,

a, Ta có :

=
6

b, Ta có :

=

7

Bài 8: Tính nhanh:
HD:

Ta có :
Bài 9: Tính:

=

a, A=
HD:

b,

a, Ta có :

và
b, Ta có :

Câu 10: Thực hiện phép tính:

=>

a,

b,

8

Dạng 3 : TÍNH TỔNG TỰ NHIÊN
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an

HD:

b) Tính tổng : A =

với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k

a) S = 1+ a + a2 +…..+ an
nhân vào hai vế của đẳng thức với số a, ta được:
aS = a + a2 +…..+ an + an+1
Lấy a.S – S, theo vế ta được : aS – S = an+1 – 1
( a – 1) S = an+1 – 1
Nếu a = 1
S=n

Nếu a khác 1 , suy ra S =
b) Áp dụng

với b – a = k

Ta có : A =
=
=
Bài 3: Tính tổng S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +…..+ 2100
HD:

2.S = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 +…..+ 2101
2S – S = S = 2101 - 1

Bài 4 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2
b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3
HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2
9

Bài 5: Tính tổng tự nhiên
a, A=
HD:

( 10 số 9)

b, B=

(10 số 1)

a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 6: Tính tổng tự nhiên
a, C=
HD:
a, Ta có:
b, Ta có :

( 9 số 1)
( 10 số 9). Tính như câu a
(10 số 4)

b, D=

(10 số 2)

( 10 số 1)
( 10 số 9). Tính như tính ở trên
(10 số 1)

Bài 7: Tính tổng sau: E=

(10 số 9)
(10 số 3)

10

Dạng 4 : TÍNH TỔNG PHÂN SỐ
Bài 1: Tính nhanh tổng sau:
a, A=
HD:

b, B=

a, Ta có :
b, Ta có :
Bài 2: Tính nhanh tổng sau:
a, D=
HD :

b, K=

a, Ta có :

b, Ta có:
=>

Bài 3: Tính nhanh tổng sau:
a, N=
HD :

b,

a, Ta có :
Bài 4: Tính tổng sau:
Bài 5: Tính tổng sau:
Bài 6:Tính tổng sau:
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

HD:
Ta có :

và
11

. Khi đó :
Bài 8: Tính nhanh:
HD:
Ta có :

=

=>

Bài 9:Tính tổng sau: C=
Bài 10: Tính nhanh tổng sau:
a, E=
HD:

b, C=

a, Ta có :
b, Ta có :
Bài 11: Tính nhanh tổng sau
a, F=
HD:

b, G=

a, Ta có :
=>
b, Ta có :

Bài 12: Tính nhanh tổng sau : M=
HD:
Ta có :
=
12

Bài 13 : Tính :
Bài 14: Tính:

Bài 15: Tính:
Bài 16: Tính:
Bài 17: Tính tổng:
Bài 18: Tính nhanh tổng sau
a, H=
HD:

b, I=

a, Ta có :

b, Ta có :
Bài 19: Thực hiện phép tính:
HD:
Ta có :

=

Bài 20: Không quy đồng, Hãy tính :
HD:
Ta có :

=>
=>

Bài 21: Tính :
HD:
Ta có :

và

13

Khi đó :

Bài 22: Tính nhanh tổng sau: P=
HD:
Ta có :

Bài 23 : Tính :
Bài 24 : Tính :
Bài 25: Thực hiện phép tính:
HD:
Đặt :
=>
và
Khi đó :

Bài 26: Thực hiện phép tính:
HD:

Ta có:
Bài 27: Tính tỉ số

biết :

và

HD:

14

Khi đó :
Bài 28: Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:

a)

b)

A=

−1 −1 −1 −1 −1 −1
+ + + + +
20 30 42 56 72 90

B=

5
4
3
1 13
+
+
+
+
2. 1 1 .11 11. 2 2. 15 15 . 4

HD:
a)

b)

Bài 29: Tính tổng
HD:

A
Bài 30: Tính tỉ số B biết
HD:
15

Bài 31: Cho

A
Tính tỷ số B
HD:

Bài 32: Tính tỉ số
HD:

40
35
30
25
91
65
39
143
+
+
+
+
+
+
biết: A = 31. 39 39 . 46 46 . 52 52. 57 ; B = 19 .31 19 . 43 23 . 43 69. 19

40
35
30
25
+
+
+
A = 31. 39 39 . 46 46 . 52 52. 57

(

) (

) (

) (

40 1 1 35 1 1 30 1 1 25 1 1
−
+
−
+
−
+
−
7 39 46
6 46 52
5 52 57
= 8 31 39

=

5

)

(311 −571 )=315..5726

91
65
39
143
+
+
+
B = 19 .31 19 . 43 23 . 43 69. 19

Bài 33: Tính tổng:
1
1
1
1
A


   
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30
4
4
4
4
B


   
5.8 8.11 11 .14
305.308
16

HD:

1
1
1
1
+
+
+....... .. ......+
27. 28.29.30
A = 1 .2.3 .4 2.3. 4.5 3. 4.5 .6

[

]

( ) (

)

1 1
1
1 4059
451
−
= .
=
= 3 1. 2. 3 28 . 29. 30 3 28 .29 . 30 8120

(

) (

)

4 1 1 4 1 1
4 1
1
4 1 1
4 . 303 303
− +
− +. .. . .. .+
+
=
−
=
=
3 305 308 3 5 308 3 . 5. 308 485
B = 3 5 8 3 8 11
2
2
2
2
+
+
+.. . .+
97 .100
Bài 34: Tính tổng: A = 1 . 4 4 . 7 7 . 10
HD:

2
2
2
2
+
+
+.. . .+
97.100
A = 1 . 4 4 . 7 7 . 10
1 1 1 1
2 2 1 1
= ( − )⇒
= ( − )
1. 4 3 1 4
Ta có 1 . 4 3 1 4
Tương tự:

2
2 1
1
= ( −
)
; ......; 97 . 100 3 99 100

2 1 1 1 1 1 1
1
1
2 1 1
2 99 33
( − + − + − +. .. . .+ −
)
( −
)= .
=
99 100 = 3 1 100 3 100 50
 A = 3 1 4 4 7 7 10

17

Dạng 5: TÍNH TỔNG TỰ NHIÊN DẠNG TÍCH
Bài 1:Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1). n

(1)

HD:
Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1 => Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3
lần khoảng cách (nhân với 3) ta được.
3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3
= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)] + (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)]
= (n – 1).n.(n + 1)

Bài 2: Tính nhanh các tổng sau
a, A= 1.2+2.3+3.4+…+98.99
HD:

b, B=

a, Ta có:

b, Ta có:

Đặt

Tính
Bài 3: Tính nhanh các tổng sau
a, D= 1.4+2.5+3.6+…+100.103
HD:
a, Ta có:

rồi thay vào B
b, E=

Đặt,
b, Ta có:

Đặt

và

và
18

Tính rồi thay vào E
Bài 4: Tính nhanh các tổng sau
a, F=
HD:

b, G= 1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+98.99.100

a,

Đặt

, Tính rồi thay vào F

b,

Bài 5: Tính nhanh các tổng sau
b, K=

a, H=
HD:
a,

Đặt
Tính A và B rồi thay vào H
b,

Đặt
Tính A và B rồi thay vào K
Bài 6: Tính nhanh các tổng sau : C=
HD:

Đặt
Tính A và B rồi thay vào C
Bài 7: Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + …..+ 99.101
HD:

Ta có: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 97.99 + 99.101
A = 1.(1 + 2) + 3.(3 + 2) + 5.(5 + 2) + … + 97.(97 + 2) + 99.(99 + 2)
A = (12 + 32 + 52 + … + 972 + 992) + 2.(1 + 3 + 5 + … + 97 + 99).
19

Đặt B = 12 + 32 + 52 + … + 992

B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =
=> Với k = 100 có B =
=> A = 166650 + 2.(1 + 99).50 : 2
=> A = 166650 + 5000 = 171650.
Bài 8: Tính tổng M = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ….+ 49.51
HD:
Ta có: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 47.49 + 49.51
A = 1.(1 + 2) + 3.(3 + 2) + 5.(5 + 2) + … + 47.(47 + 2) + 49.(49 + 2)
A = (12 + 32 + 52 + … + 472 + 492) + 2.(1 + 3 + 5 + … + 47 + 49).
Đặt B = 12 + 32 + 52 + … + 492

B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =
=> Với k = 50 có B =
=> A = 20825 + 2.(1 + 49).25 : 2
=> A = 20825 + 1250 = 22075.
Bài 9: Tính tổng N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + …..+ 100.102
HD:
A = 2.(2 + 2) + 4.(4 + 2) + 6.(6 + 2) + … + 98.(98 + 2)+ 100.(100 + 2)
A = (22 + 42 + 62 + … + 982 + 1002) + 2.(2 + 4 + 6 + … + 98 + 100).
Đặt B = 22 + 42 + 62 + … + 982 + 1002

B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =
=> Với k = 50 có B =
=> A = 20825 + 2.(1 + 49).25 : 2
20

=> A = 20825 + 1250 = 22075.
Bài 10: Tính tổng P = 1.4 + 4.7 + 7.10 + ….+ 49.52
HD:

Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 3
 Nhân cả hai vế với 9 ta có:
9P = 1.4.9 + 4.7.9 + 7.10.9 + ….+ 46.49.9 + 49.52.9
= 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 – 1) + 7.10.(13 – 4) + …+ 46.49.(52 – 43) + 49.52.(55 – 46)
= 1.4.7 +1.4.2 + 4.7.10 – 1.4.7 + 7.10.13 – 4.7.10 +...+46.49.52 – 43.46.49 + 49.52.53 –
46.49.52
= 1.4.2 + 49.52.55
= 140148
 P = 15572

Bài 11: Tính tổng S = 2.6 + 6.10 + 10.14 + 14.18 + ….+42.46 + 50.54
HD:

Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 4 (trừ ra số hạng cuối)
 Nhân cả hai vế với 12 ta có:
12P = 2.6.12 + 6.10.12 + 10.14.12 + 14.18.12 + ….+42.46.12 + 50.54.12
= 2.6.(10 + 2) + 6.10.(14 – 2) + 10.14.(18 – 6) + 14.18.(22 – 10) +…+ 42.46.(50 – 38) +
50.54.12
= 2.2.6 + 42.46.50 + 50.54 .12
= 2350800

Bài 12: Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …..+ 16.17.18 + 17.18.19
HD:

Khoảng cách giữa các thừa số bằng 1 => Nhân hai vế với 4 ta được.
4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + …..+ 16.17.18.4 + 17.18.19.4
= 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + …+ 16.17.18.(19 – 15) + 17.18.19.(20 – 16)
= 17.18.19.20 = 116280

Bài 13: Tính tổng S = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + …+ 95.97.99
HD: Gợi ý: Nhân hai vế với 8
Bài 14: Tính tổng A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + 18.19.20.21 + 19.20.21.22
HD: Gợi ý: Nhân hai vế với 5

Bài 15: Tính:

21

Dạng 6: TÍNH TỔNG CÔNG THỨC
I. Phương pháp
Cần tính tổng: S = a1 + a2 + a3 + …. + an

(1)

Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d (các số hạng cách đều nhau một giá trị d)
Số số hạng trong tổng là n =
a1 là số hạng thứ nhất
an là số hạng thứ n
Tổng S = n.(a1 + an) : 2
Số hạng thứ n của dãy là an = a1 + (n – 1).d
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.
HD:
Tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
S = 1 +  3 +  5 + …+ 33 +  35 +  37.
Cách 1: Tính tổng theo công thức trong phương pháp:
Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành những cặp số có tổng bằng nhau:
Ta thấy:  1 + 37 = 38   

5 + 33 = 38

1 + 35 = 38

7 + 31 = 38

……

=> Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38.
Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 19.
Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 38 x 9 + 19  = 361
Cách nhóm khác:
Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 – 1 = 18 (số hạng)
Ta thấy:      3 + 37 = 40

7 + 33 = 40

5 + 35 = 40

9 + 31 = 40

………

=> Nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào được các cặp số có tổng là 40.
Số cặp số là:  18 : 2 = 9 (cặp số)
Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1 + 40 x 9 = 361
Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n.
HD:
Tổng S = 1 + 2 + 3 + ….+ n
Số các số hạng = n
Ta có:
Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + …+ 98,99 + 100
22

HD:
d =  11,12 – 10,11 = 12,13 – 11,12 = … = 1,01
Tổng này có (100 – 10,11) : 1,01 + 1 = 90 số hạng
E = 90.(10,11 + 100) : 2 = 4954,95
Bài 4: Tính tổng S =

.

HD:
Các số hạng trong dãy cách đều nhau một giá trị d =
n=

=

S=

= 95

= 19 số hạng

Bài 5: Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ….+ 100
HD:
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 1
Tổng này có 100 số hạng
S = 100.(100 + 1) : 2 = 5050
Bài 6: Tính tổng S = 2 + 5 + 8 + 11 + …+ 47 + 50
HD:
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 3
Tổng này có (50 – 2): 3 + 1 = 17 số hạng
S = 17.(50 + 2) : 2 = 442
Bài 7: Tính tổng: S = 5 + 10 + 15 + 20 + …+ 100
HD:
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 5
Tổng này có (100 – 5): 5 + 1 = 20 số hạng
S = 20.(100 + 5) : 2 = 1050
Bài 8: Tính tổng: D =
HD:
Ta có:

23

Bài 9: Tính tổng:
HD:
Ta có:

Bài 10: Tính:
HD:
Ta có:

Bài 11: Tính tổng:
HD:
Ta có:

Bài 12: Tính tổng:
HD:
Ta có:
Bài 13: Tính:
HD:

Ta có:=

Bài 14: Tính:
HD:
Ta có:

24

25

Dạng 7: TÍNH TÍCH
Bài 1: Tính tích
a, A=
HD:

b, B=

a, Ta có:
b, Ta có:
Bài 2: Tính tổng C =
HD:

Ta có:

Bài 3: Tính: A =
HD:
Ta có:

Bài 4: Tính:
HD:
Ta có:

Bài 5: Tính:
HD:
Ta có:

26

Bài 6: Tính:
HD:

Ta có:

Bài 7: Tính:
a/
HD:

b/
a, Ta có:

b, Ta có:

Bài 8: Tính tích
a, D=
HD:

b, E=

a,
b,
Bài 9: Tính tích
a, G=
HD:

b, H=

a, Ta có:
b, Ta có:

27

Bài 10: Tính tích
a, I=
HD:

b, J=

a, Ta có:

b, Ta có:

Bài 11: Tính tích
a, K=
HD:

b, M=

a, Ta có:

b, Ta có:
Bài 12: Tính tích
a, F=
HD:

b, N=

a,
b,
Bài 13: Tính tích
a, C=
HD:

b,

a, Ta có:
b, Ta có:

Bài 14: Tính giá trị của biểu thức:
HD:
28

Ta có :

=

Bài 15: Cho
HD:

và

, Tính

Ta có:

Mà
Bài 16: Tính:
Bài 17: Cho

và

, Tính G + H

Bài 18: Tính:
Bài 19: Tính:
Bài 20: Tính nhanh:
Bài 21: Tính nhanh: E=
Bài 22: So sánh :
HD:

=
Mà

29

Dạng 8 : TÍNH TỔNG CÙNG SỐ MŨ
Bài 1: Tính tổng: P = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2
HD:
Áp dụng tổng của DẠNG 5 là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ n(n+1)
S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) +…+ n(n + 1)
= (12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + (1 + 2 + 3 + …. + n)
= P + (1 + 2 + 3 + …. + n)
 P = S - (1 + 2 + 3 + …. + n)
Trong đó theo S =
Theo (1 + 2 + 3 + …. + n) =
 P=
Bài 2: Tính tổng: S = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2

(k chẵn và k ∈ N)

HD:
Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k
= 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k
= 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + …+ (k – 1). [(k– 2) + k]
= 1.2 + 3. 6 + 5.10 +…+ (k - 1).(2k – 2)
= 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2
= 2.[12 + 32 + 52 + ….+ (k – 1)2]
= 2.S
 S=

mà tổng

 S=
Bài 3: Tính tổng: S = 22 + 42 + 62 + …+ (k - 1)2 (k lẻ và k ∈ N)
HD:
Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k
= 2(1 + 3) + 4(3 + 5) + 6(5 + 7) + …+ (k – 1). [(k– 2) + k]
= 2.4 + 4.8 + 6.12 +…+ (k - 1).(2k – 2)
= 2.2.2 + 4.4.2 + 6.6.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2
= 2.[22 + 42 + 62 + ….+ (k – 1)2]

30

= 2.S
 S=

mà theo DẠNG 5 thì tổng

 S=
Bài 3: Tổng cùng số mũ:
a, A=
HD:

b, B=
a, Ta có :

Đặt

, Tính tổng B ta được :

Thay vào A ta được :
b, Ta có :

Bài 4 : Tổng cùng số mũ :
a, D=
HD:

b, E=
a, Ta có :

Đặt

, Thay vào D ta được :

b, Ta có :
Đặt
Tính ta được :

31

Và
Vậy
Bài 5 : Tổng cùng số mũ :
a, C=
HD:

b, F=
a, Ta có :
Đặt

b, Ta có :

Đặt
Tính

=>
Tính B rồi thay vào F ta được :
Bài 6 : Cho biết :
HD :

, Tính nhanh tổng sau :

Ta có :
Bài 7 : Tổng cùng số mũ :
a, G=
HD:

b, K=
a, Ta có :

Đặt
Tính

32

Tính tổng B rồi thay vào G
b, Ta có :

Đặt
Tính

Tính B tương tự rồi thay vào K
Bài 8 : Tổng cùng số mũ :
a, H=
HD:

b, I=
a, Ta có :

Tính tổng A ta được :
b, Ta có :
I=

, Thay vào H ta được 
=>

Đặt
Ta có :

Tương tự tính B rồi thay vào I

=>

Bài 9: Tính:
Bài 10: Tính:
33

Bài 11: Biết :
HD:
Bài 12: Cho biết:
HD:

, Tính

, Tính nhanh tổng sau:

Ta có:

34

Bài 1: Tổng cùng cơ số:
a, A=
HD:

Dạng 9: TỔNG CÙNG CƠ SỐ
b, B=

a, Ta có :

b, Ta có :

Bài 2: Tổng cùng cơ số:
a, C=
HD:

b, D=
a, Ta có :

b, Ta có :

Bài 3: Tổng cùng cơ số:
a, E=
HD:

b, F=
a, Ta có :

b, Ta có :

Bài 4: Tổng cùng cơ số: G=
HD:
Ta có :

=>

35

Bài 5: Tổng cùng cơ số:
a,
HD:

b,
a, Ta có :
Đặt

, Tính A ta được :
, Thay vào M ta được :

b, Ta có :

=>

Bài 6: Tổng cùng cơ số : I=
HD:
Ta có :
=>
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
HD:
Ta có :

=>

=>
Bài 8: Tính
HD:
Đặt :

=>
, Khi đó :

Bài 9: Cho
HD:
Ta có :
Tính tổng A ta được :

, Tính
. Đặt :
, Thay vào H ta được :

Bài 10: Tính tổng :
Bài 11: Tính:
Bài 12: Tính
Bài 13: Tổng cùng cơ số : H=
HD :
Ta có :
36

Đặt

, Tính A ta được :
, Thay vào H ta được :

Bài 14: Tính tổng cơ số: A=
HD:
a, Ta có:
=>
Bài 15: Tính tổng cơ số: B=
HD :
Ta có:

Bài 16: Tính tổng cơ số
a, D=
HD:

b, E=

a, Ta có:

b, Ta có:
=>
Bài 17: Tính tổng cơ số G=
HD:
Ta có:
37

Đặt

Bài 18: Tính tổng cơ số

a,
HD:

b, I=

a, Ta có:

b, Ta có :

Bài 19: Tính tổng cơ số: C=
HD:
a, Ta có :

=>
Bài 20: Tính:
a,

b,

Bài 21: Tính
Bài 22: Tính tổng cơ số: H=
HD :
Ta có :

38

Đặt

, Tính A rồi thay vào H

39

Bài 23: Tính tổng cơ số: F=
HD:
Ta có:

Đặt

. Tính A rồi thay vào F

Bài 24: Tính:
Bài 25: Cho
a, Tính A
b, Tìm chữ số tận cùng của A
c, A có là số chính phương không
HD:
a,
b,

c, Lập luận được A chia hết cho 3

nên A có tận cùng là 0

Lập luận được A không chia hết cho
Mà 3 là số nguyên tố nên A không là số chính phương
Bài 26: Chứng tỏ rằng :
HD:

chia hết cho 100

Tính tổng
Bài 27: Tính tổng S = 6 + 62 + 63 + 64 + …..+ 699
HD:

6S = 62 + 63 + 64 + 65 + …..+ 6100
6S – S = 5S = 6100 – 6
=> S = (6100 – 6) : 5

Bài 28: Tính tổng S = 1 + 4 + 42 + 43 + …...+ 41000
HD:

4S = 4 + 42 + 43 + 44 + …...+ 41001
4S – S = 3S = 41001 – 1
=> S = (41001 – 1) : 3

Bài 29: Tính tổng S =
40

HD:
2S =
2S – S = S = 2 Bài 30: Tính tổng S =
HD:

1
1
98
3B = 1 + 3 +....+ 3 +

=> 3B - B = 1 -

=> B =

Bài 31. Tính A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220
HD:

A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221.
Nên A.2 - A = 221 -2
 A = 221 - 2

Bài 32: Tính S = 1 + a2 + a4 + a6 + ….+ a2n
HD:

(1)

B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được.
a2.S = a2 + a4 + a6 + a8 + ….+ a2n + 2

(2)

B2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được:
a2.S – S = a2n + 2 – 1 =>
Bài 33: Tính tổng S = 1 + 22 + 24 + 26 + …..+ 298 + 2100
HD :
22.S = 22 + 24 + 26 + 28 + ....+ 2100 + 2102
22.S – S = 3S = 2102 – 1 => S = (2102 – 1)/3
Bài 34: Tính tổng S = 62 + 64 + 66 + …..+ 698 + 6100
HD :
62.S = 64 + 66 + 28 + ....+ 6100 + 6102
62.S – S = 35S = 6102 – 62 => S = (6102 – 36)/35
Bài 35: Tính tổng S = 1 + 32 + 34 + 36 + …...+ 3100 + 3102
HD :
32.S = 32 + 34 + 36 + ....+ 3102 + 3104
32.S – S = 8S = 3104 – 1 => S = (3104 – 1)/8

41

Bài 36: Tính tổng S =
HD :

S=

S–S=

Bài 37: Tính tổng S =
HD :
S=

S-

S=

-

-

Bài 38: Tính tổng: S = a + a3 + a5 + a7 + ….+ a2n + 1 (1)
HD :
B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được.
a2.S = a3 + a5 + a7 + a9 + ….+ a2n + 3

(2)

B2: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế được:
a2.S – S = a2n + 3 – a =>
Bài 39: Tính tổng S = 1 + 2 + 23 + 25 + …..+ 299 + 2101
HD :
S = 1 + 2 + 23 + 25 + …..+ 299 + 2101
=> 22S = 22 + 23 + 25 + 27 + ... + 2101 + 2103
=> 22S – S = 3S = 22 + 2103 – 1 – 2 = 2103 + 1
42

=> S =
Bài 40: Tính tổng S = 63 + 65 + 67 + …..+ 699 + 6101
HD :
S = 63 + 65 + 67 + …..+ 699 + 6101
=> 62S = 65 + 67 + ... + 6101 + 6103
=> 62S – S = 35S = 6103 – 63
=> S =
Bài 41: Tính tổng S = 1 + 33 + 35 + 37 + …...+ 3101 + 3103
HD :
S = 1 + 33 + 35 + 37 + …...+ 3101 + 3103
=> 32S = 9 + 35 + 37 + ... + 3103 + 3105
=> 32S – S = 8S = 3105 + 9 – 27 – 1 = 3105 - 19
=> S =
Bài 42: Tính tổng S =
HD :
S=

=>

S=

=> S –

S=

S=

=> S =
Bài 43: Tính tổng S =
HD :
S=

=>

S=
43

=> S –

S=

S=

=> S =

44

Dạng 10: TÍNH ĐƠN GIẢN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a,
HD:

b,

a, Ta có :

=

b, Ta có :

=

Bài 2: Thực hiện phép tính:
HD:
Ta có :
Bài 3: Tính:

=

a,

b,

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau:
và a, b, c, d # 0
HD:
Đặt

biết

=>

Bài 5: Tính gá trị của biểu thức:
HD:

1 =>B=
biết

Đặt :
Khi đó :

=1 hoặc

=-1

Bài 6: Tính gá trị của biểu thức: B=
HD :
Ta có :
Bài 7: Thực hiện phép tính:
HD:
Ta có :
Khi đó :
45

46

Bài 8: Tính giá trị của biểu thức:
HD:
Ta có:
Khi đó:
Bài 9: Tính tổng
a, A=
HD:

b, B=

a, Ta có:

b, Ta có:

và

Khi đó:
Bài 10: Thu gọn biểu thức:
Bài 11: Tính tổng: A=
HD:
Ta có:
. Khi đó:
Bài 12: Tính:
HD:
Ta có:

Đặt

, Tính A và B rồi thay vào ta được:
47

48

Bài 13: Thực hiện phép tính:

a, A=
HD:
a, Ta có:

, Khi đó

49

Dạng 11: TÍNH TỈ SỐ CỦA HAI TỔNG

Bài 1: Thực hiện phép tính:
HD:
Mẫu số :

Khi đó :

Bài 2: Thực hiện phép tính:
HD:

Khi đó :
Bài 3: Tính tỉ số
HD:

biết :

và

Ta có :

Khi đó :
Bài 4: Tính tỉ số
HD:

biết:

và

Ta có :
=>
50