GV: VŨ NHẬT ANH (0349570940) TOÁN-LÍ-HÓA

K91/18 TÔN ĐẢN-TP. ĐÀ NẴNG

HÌNH HỌC 9 CHƯƠNG 2

1. C¸c tam gi¸c ®Æc biÖt
a/ Tam gi¸c c©n
- §Þnh nghÜa : Tam gi¸c c©n lµ tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau.
- TÝnh chÊt : Trong tam gi¸c c©n hai gãc ë ®¸y b»ng nhau.
- C¸ch chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n
+ C1 : Chøng minh tam gi¸c cã 2 c¹nh b»ng nhau

→

Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.

→

+ C2 : Chøng minh tam gi¸c cã 2 gãc b»ng nhau
Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.
+ C3 : Chøng minh tam gi¸c cã 2 trong bèn ®êng (®êng trung tuyÕn, ®êng ph©n gi¸c,
®êng cao cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh vµ ®êng trung trùc øng víi c¹nh ®èi diÖn cña ®Ønh nµy)
trïng nhau → Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.
b/ Tam gi¸c vu«ng c©n
- §Þnh nghÜa : Tam gi¸c vu«ng c©n lµ tam gi¸c vu«ng cã hai c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau
- TÝnh chÊt : Trong tam gi¸c vu«ng c©n hai gãc ë ®¸y b»ng nhau vµ b»ng 450
- C¸ch chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c vu«ng c©n
+ C1 : Chøng minh tam gi¸c cã mét gãc vu«ng vµ hai c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau
→ Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
+ C2 : Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc cïng b»ng 45 0 → Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c
vu«ng c©n.
c/ Tam gi¸c ®Òu
- §Þnh nghÜa : Tam gi¸c ®Òu lµ tam gi¸c cã ba c¹nh b»ng nhau.
- TÝnh chÊt : Trong tam gi¸c ®Òu ba gãc b»ng nhau vµ b»ng 60 0
- C¸ch chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c ®Òu
+ C1 : Chøng minh tam gi¸c cã ba c¹nh b»ng nhau → Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu.
+ C2 : Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc b»ng 600 → Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu.
+ C3 : Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng 600 → Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu.
2. §Þnh lÝ Pytago thuËn, ®¶o.
*§Þnh lÝ Pytago thuËn (¸p dông cho tam gi¸c vu«ng)
- Trong mét tam gi¸c vu«ng, b×nh ph¬ng cña c¹nh huyÒn b»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng cña
hai c¹nh gãc vu«ng.
NÕu tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th× ta cã : BC2 = AB2 + AC2
*§Þnh lÝ Pytago ®¶o (¸p dông ®Ó kiÓm tra mét tam gi¸c cã ph¶i lµ tam gi¸c vu«ng kh«ng khi
biÕt ®é dµi 3 c¹nh ).
- Trong mét tam gi¸c, nÕu b×nh ph¬ng cña mét c¹nh b»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai
c¹nh cßn l¹i th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng.
(NÕu tam gi¸c ABC cã BC2 = AB2 + AC2 th× tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A)
3. Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác vuông
- Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một
góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một
đường trung tuyến tam giác.
Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa
cạnh huyền.
1

GV: VŨ NHẬT ANH (0349570940) TOÁN-LÍ-HÓA
K91/18 TÔN ĐẢN-TP. ĐÀ NẴNG
Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác
ấy là tam giác vuông.
Ví dụ:
Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường
trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng
1/2 BC
Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác
ABC sẽ vuông ở A.

b/ TÝnh chÊt vÒ tia ph©n gi¸c
*TÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc
- §Þnh lÝ 1: §iÓm n»m trªn tia ph©n gi¸c cña mét gãc th× c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc ®ã.
- §Þnh lÝ 2: §iÓm n»m bªn trong mét gãc vµ c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc th× n»m trªn tia
ph©n gi¸c cña gãc ®ã.
- NhËn xÐt: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch n»m bªn trong mét gãc vµ c¸ch ®Òu hai c¹nh cña
gãc lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ®ã.
* TÝnh chÊt ba ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c
- §Þnh lÝ : Ba ®êng ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch
®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã. Điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
c/ TÝnh chÊt vÒ ®êng trung trùc
*TÝnh chÊt ®êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng
- §Þnh lÝ 1: §iÓm n»m trªn ®êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng th× c¸ch ®Òu hai mót cña
®o¹n th¼ng ®ã.
- §Þnh lÝ 2: §iÓm c¸ch ®Òu hai mót cña mét ®o¹n th¼ng th× n»m trªn ®êng trung trùc cña
®o¹n th¼ng ®ã.
- NhËn xÐt: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai mót cña mét ®o¹n th¼ng lµ ®êng trung trùc
cña ®o¹n th¼ng ®ã.
*TÝnh chÊt ba ®êng trung trùc cña mét tam gi¸c
- §êng trung trùc cña mét tam gi¸c lµ ®êng trung trùc cña mét c¹nh trong tam gi¸c ®ã.
- Ba ®êng trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba
®Ønh cña tam gi¸c ®ã.
- Giao ®iÓm cña ba ®êng trung trùc trong mét tam gi¸c lµ t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp
tam gi¸c ®ã.
d/ TÝnh chÊt vÒ ®êng cao cña tam gi¸c
- §êng cao cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®Ønh ®Õn ®êng th¼ng chøa
c¹nh ®èi diÖn.
- Ba ®êng cao cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm.
- Giao ®iÓm cña ba ®êng cao trong mét tam gi¸c gäi lµ trùc t©m cña tam gi¸c ®ã.
*VÒ c¸c ®êng cao, trung tuyÕn, trung trùc, ph©n gi¸c cña tam gi¸c c©n.
- TÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n : Trong mét tam gi¸c c©n, ®êng trung trùc øng víi c¹nh ®¸y
®ång thêi lµ ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tuyÕn, vµ ®êng cao cïng xuÊt ph¸t tõ ®Ønh ®èi diÖn
víi c¹nh ®ã.
- NhËn xÐt (C¸ch chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n): Trong mét tam gi¸c, nÕu
hai trong bèn lo¹i ®êng (®êng trung tuyÕn, ®êng ph©n gi¸c, ®êng cao cïng xuÊt ph¸t tõ mét
®Ønh vµ ®êng trung trùc øng víi c¹nh ®èi diÖn cña ®Ønh nµy) trïng nhau th× tam gi¸c ®ã lµ mét
tam gi¸c c©n.
4. Đường trung bình của tam giác, hình thang.
2

GV: VŨ NHẬT ANH (0349570940) TOÁN-LÍ-HÓA

a) Đường trung bình của tam giác.

K91/18 TÔN ĐẢN-TP. ĐÀ NẴNG

- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi
qua trung điểm của cạnh thứ ba.
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
b) Đường trung bình của hình thang.
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi
qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN (lí thuyết SGK)
BÀI TẬP: Dạng 1: Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có góc A và C cùng bằng 90∘Chứng minh bốn điểm A,B,C,D
cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 2: Cho tam giác ABC, H là trực tâm tam giác ABC, kẻ đường cao BE, CF. Lấy D là
điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC. Chứng minh bốn điểm B,E,F,C và
A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai
cạnh AB và AB lần lượt tại N và M. Gọi H là giao điểm của BM và CN.
1. Chứng minh AH vuông góc với BC.
2. Chứng minh bốn điểm A,N,H,M cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm II của
đường tròn này.

3

GV: VŨ NHẬT ANH (0349570940) TOÁN-LÍ-HÓA

K91/18 TÔN ĐẢN-TP. ĐÀ NẴNG

4