Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
BÀI 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng
Diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

liên tục, trục hoành và hai đường thẳng

, được tính bằng công thức:
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng

.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng
Diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

đường thẳng
Diện tích

liên tục trên đoạn

và hai

liên tục trên đoạn

và hai

, được tính bằng công thức
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

đường thẳng
Chú ý. Nếu hiệu

, được tính bằng công thức
không đổi dấu trên đoạn

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol

thì
và hai đường thẳng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

và hai đường thẳng

2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THẾ TÍCH VẬT THỂ
a) Tính thể tích của vật thể
Công thức tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian
trục
là

. Gọi

tại các điểm có hoành độ

là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với
. Một mặt phẳng vuông góc với trục

cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là

Khi đó thể tích

của phần vật thể

. Giả sử

tại điểm có hoành độ

là hàm số liên tục trên đoạn

được tính bởi công thức:

Ví dụ 5. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng và chiều cao bằng .
Ví dụ 6. Tính thể tích của khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh và chiều cao là

.

Chú ý. Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì bằng
tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó.
b) Tính thể tich khối tròn xoay
Công thức tính thể tích của khối tròn xoay
Cho hàm số

liên tục, không âm trên đoạn

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.
Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục
có bán kính

diện

.

tại điểm

xung

được một hình tròn

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Thể tich của khối tròn xoay này là
Ví dụ 7. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục
, trục hoành và hai đường thẳng

Ví dụ 8. Tính thể tích của khối cầu bán kính

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

.

.

B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
4.14. Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.

4.15. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a)

;

b)

;

c)
;
d)
.
4.16. Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh hoạ sự phân phối thu nhập trong một quốc gia.
Gọi là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và là phần trăm tổng thu nhập, mô hình
sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz
,
biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với
, biểu thị "sự bất bình
đẳng về thu nhập" của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hoá
bởi hàm số
trong đó được tính từ các gia đình nghèo nhất
đến giàu có nhất. Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.
4.17. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh
trục

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
4.18. Khối chỏm cầu có bán kính

và chiều cao

sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

cung tròn có phương trình
, trục hoành và hai đường thẳng
. Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

xung quanh trục

4.19. Cho tam giác vuông
có cạnh
nằm trên trục
và
Gọi
là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác
xung quanh trục
a) Tính thể tích
của
theo a và .
b) Tìm
sao cho thể tích
lớn nhất.

C. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị

1. Phương pháp:
a/ Phương pháp 1:
* Xét dấu biểu thức
b/ Phương pháp 2:
* Giải phương trình

.

;

, phá dấu trị tuyệt đối và tính tích phân.
; chọn nghiệm trong

* Áp dụng tính chất liên tục của hàm số

trên

. Giả sử các nghiệm là

với

.

; ta có:

2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

1. Phương pháp:
Công thức tính
2. Các ví dụ mẫu:

, trục hoành và đường thẳng

.

, trục hoành và đường thẳng

Dạng 2: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 2 Hai Đồ Thị
. Tính như dạng 1.

2
3
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y ( x  2) , đường cong y  x và trục hoành

H
Ví dụ 2: Gọi   là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các
2
H
hàm số y 3x , y 4  x và trục hoành. Diện tích của   là bằng bao nhiêu?

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

x
H
Ví dụ 3: Cho hình thang cong   giới hạn bởi các đường y e , y 0 ,

0  k  ln 4  chia  H  thành hai phần có diện tích là

x 0 , x ln 4 .

Đường thẳng

x k

S1 và S 2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1 2S2 .

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x ; y 6  x và trục hoành.
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

và

.

Ví dụ 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị:
;
- .
Dạng 3: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Dựa Vào Định Nghĩa
1. Phương pháp:
Gọi

là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;

tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm
là hàm số liên tục trên đoạn

2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho phần vật thể

. Giả sử

.

giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình

bởi mặt phẳng vuông góc trục
đều có độ dài cạnh bằng

,

là diện

tại điểm có hoành độ
Tính thể tích

của phần vật thể

và

. Cắt phần vật thể

, ta được diện tích là một tam giác
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Ví dụ 2: Trong không gian

, cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng

của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

và

, biết rằng thiết diện

tại điểm có hoành độ bằng

là một tam

giác đều cạnh là
.Tính thể tích của vật thể đó.
Dạng 4: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Khi Quay Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị
1. Phương pháp:
Vật thể tròn xoay sinh bởi miền hình phẳng được giới hạn: Đồ thị y  f ( x) ; trục Ox( y 0) ; x a, x b ;
quay xung quanh Ox .
- Nếu thiếu cận thì giải phương trình f ( x) = 0 để bổ sung cận.
b

VOx   f 2 ( x)dx

- Tính thể tích theo công thức:
2. Các ví dụ mẫu:
 H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 x  x 2 và trục hoành. Tính thể tích V
Ví dụ 1: Kí hiệu
của vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox .
2
Ví dụ 2: Cho miền hình phẳng giới hạn bởi: y  x  4 x, y 0 ; quay xung quanh Ox . tính thể tích của vật
a

thể tạo thành.
Ví dụ 3: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường
x a 0  a  4 
y  x ; y 0; x 4 và trục
. Đường thẳng
cắt đồ thị hàm số y  x tại
.

Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác MOH quanh trục Ox . Biết rằng
a
Dạng 5: Toán thực tế
Ví dụ 1: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng
khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết
cm,
tích bề mặt hoa văn đó.

. Tính

cm bằng cách
cm. Tính diện

Ví dụ 2: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh
. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có
chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa .

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng bao nhiêu?
Ví dụ 3. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là
mét, chiều
rộng tiếp giáp với mặt đất là mét. Giá thuê mỗi mét vuông là
đồng. Vậy số tiền bác Năm phải
trả là bao nhiêu ?
Ví dụ 4:
Một tòa nhà có cửa sổ vòm cần lắp một phần gương như hình minh họa ở bên. Biết kinh
phí để lắp gương là
cửa sổ?

đồng

. Hỏi chủ nhà cần bao nhiêu tiền để lắp gương cho các phần của

D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN

x
Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3 , y 0 ,
dưới đây đúng?

2

A.

S 3x dx
0

Câu 2:

2

.

Cho hàm số

f x 

B.

x a, x b a  b 

b

A.

a

Câu 3:
hàm số
b

A.

Cho hàm số

f x 

 f  x dx
a

.

f x 

0

b

.

C.

B.

S

S  f  x dx
a

B.

f  x dx
a

.

0

.

D.

C.

Ox

là

S f  x dx
a

b
a

.

0

.

B.

y  f x 

D.

S  f 2  x dx
a

.

 a ; b  , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
b

C.

.

2

  f  x  dx
a

b

.

Ký hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x a, x b . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

S 32 x dx

b

Câu 4:

S f  x dx

2

b

.

Mệnh đề nào

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

liên tục và không âm trên đoạn
b

S  3x dx

được tính theo công thức

, các đường thẳng x a, x b và trục

.

2

liên tục trên  , diện tích

, trục hoành và hai đường thẳng
S   f  x dx

S  32 x dx

x 0 , x 2 .

c

b

a

c

D.

  f  x dx

y  f x 

S f  x  dx  f  x dx

.

a

.

, trục hoành, đường

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
c

b

a

c

S  f  x  dx  f  x dx

C.

.

D.

c

b

a

c

S  f  x  dx  f  x dx

.
0

f x 

a ;b
liên tục trên đoạn   và thỏa mãn

Câu 5: Cho hàm số
phẳng trong hình vẽ bên bằng

A. m.n .
Câu 6:

Cho hàm số

y  f x 

B. m  n .

A.
C.

0

f x dx  f x dx

S 0

1

2

S   f  x dx
1

Câu 7:

.

Cho hàm số

y  f x 

y  f x 

B.

S  f  x dx
1

và trục

A.

2

0

1

f  x dx  f x dx
1

2

0

. Diện tích hình

.

Ox là

0

D.

S  f  x dx 
1

2

f x dx
0

.

C
liên tục trên  và có đồ thị   là đường cong như hình bên dưới.

C
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   , trục hoành và hai đường thẳng
1

,

f  x dx n

D. n  m .

C. m  n .

2

.

a

b

có đồ thị như hình dưới đây.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2

f  x dx m

x 0 , x 2

là

2

.

 f  x  dx  f  x dx

B.

f x dx
0

2

f  x dx

.

1
C. 0
.
D. 0
.
y

f
(
x
)
Câu 8: Cho hàm số
liên tục trên  và có đồ thị là đường cong như hình bên. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 2 là

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

1

2

0

1

S  f ( x )dx  f ( x )dx

1

.

B.

S f ( x)dx 
0

2

f ( x)dx
1

.
2

2

C.

S  f ( x)dx
0

.

D.

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
công thức nào dưới đây
A.
C.

4
2

.

S   x 2  2 x  8 dx
4

Câu 10: Cho đồ thị hàm số

Diện tích

S

y  f x 

D.

A.
C.

1

S  f  x  dx 
3

S   x 2  2 x  8 dx
2
4

S  8  2 x  x 2 dx
2

y  f x 

.
.

và trục

Ox

được tính bởi công thức

3

3

3

và trục hoành được xác định theo

như hình vẽ.

của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

S  f  x  dx

.

4

B.
.

0

2

y x  2 x  8

2

S   x 2  2 x  8 dx

S f ( x)dx

.

3

f x dx
1

1

.

D.

3

B.

S  f  x  dx  f  x  dx
3

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
4
3.

7
3.

2

2

1

S  f  x dx
3

.

.

y  x 2 ; y 0; x 1; x 2

8
3

bằng

A.
B.
C. .
D. 1 .
Câu 12: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau
đây?

3
 1 4

2
  x  x  x  4  dx

2
2
 .
A.  1 
2
3
1 4

2
 x  x  x  1  dx

2
2


1

B.

 1

  2 x

1

4

3

 x 2  x  1 dx
2


.

2

 1

  2 x

C.
.
D.  1
Câu 13: Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng

4

3

 x 2  x  4  dx
2


.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

3

A.

x
2 dx
1

3

.

B.

2  2 dx

3

2

x

1

.

1

C.

y  f x 

Câu 14: Cho hàm số bậc hai
và hàm số bậc ba
gạch chéo được tính bằng công thức nào sau đây?

A.
C.

1

2

3

1

1

2

3

1

S   f  x   g  x  dx   g x   f  x  dx
S   g  x   f  x  dx   f  x   g  x  dx

Câu 15: Cho hàm số

y  f x 

và

 2  dx

x

y g x 

3

.

D.

2
1

x

 2  dx

.

có đồ thị như hình vẽ. Diện tích phần

2

.

B.

.

D.

y g x 

S   f  x   g  x  dx
3

1

.

2

S   g  x   f  x  dx   g  x   f  x  dx
3

1

có đồ thị giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ a và

H
Gọi   là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số này.

H
Diện tích của   được tính theo công thức
b

A.
C.

S  f  x   g  x  dx
a

b

S  f  x   g  x  dx
a

.
b.

b

.

B.

.

D.

S  g  x   f  x  dx
a

b

.

S   f  x   g  x  dx
a

.

Câu 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x  4 và y  x  2 ?
A.

5
7.

A.

9
2.

B.

8
3

B.

13
3 .

.

2

C.

9
2.

C.

11
3 .

D.

9.

D.

7
2.

Câu 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  1 và đường thẳng y  x  3 .

Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
được xác định bởi công thức:
A.

0

1

1

0

S   x 3  3x dx  3x  x 3 dx

.

B.

0

1

1

0

2

y  x 3  x y 2 x

S  3x  x 3 dx   x3  3 x dx

;

.

và các đường

x 1 ; x  1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
1

1

C.

S  3 x  x 3 dx
1

.

D.

S  3x  x 3 dx
1

.

Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x và đường thẳng y  x  2 bằng
A.

2

9
2.

B.

5
2.

C.

11
2 .

D.

1

2

2

.

H
Câu 20: Cho   là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  2 x , cung tròn có phương trình

y  8  x2

H
trục hoành. Tính diện tích   tính bởi công thức nào

2

A.



2 x  8  x 2 dx

0

2

.

B.


0

2

2 2

(

2x 

8  x 2 )dx

0

C.

.

D.

(

2 x dx 

2 2



8  x 2 dx

2

2 x  8  x 2 )dx

0

.

.

3
2
2
Câu 21: Cho đồ thị hai hàm số y  x  3x  x  3 và y  x  2 x  1 như hình sau

Diện tích phần hình phẳng được gạch sọc tính theo công thức nào dưới đây?
1

 x

2

 2 x 2  x  2 dx   x 3  2 x 2  x  2 dx

3

1

A.

2

 x

1

B.

3

1

 2 x 2  x  2  dx

.

1

2

1

1

3
2
3
2
 x  2 x  x  2 dx  x  2 x  x  2 dx

C.

2

 x

1

3

.

 2 x 2  x  2  dx

.

.

D.
Câu 22: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây?

và

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

2

A.
C.

2 x

2

1

 2 x  4  dx

2

2 x  2 dx

1

2

.

B.

.

D.

Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol
2

B.

2

 2 x

1

1
y  x2
2

2

.

 2 x  4  dx

.

2
và y 6  x bằng

2
 3x 2

 
 6  dx
2
 .
2

2 3

 3x 2

 6  dx


2
 .
2

 2 x  2 dx

1

 x2

  2  6  dx
2 3
.

D.



2 3

 x2

 6  dx
2
 .
3

 

2

A.
C.
Câu 24: Diện tích phần tô đậm trong hình bên được tính theo công thức nào trong các công thức sau?

1

A.
B.

 x

3

0

2

 x
0

3

 3 x 2  2 x  dx
 3 x 2  2 x dx

1

.

B.

.

D.

 x
0

2

 x
0

Câu 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
theo công thức nào dưới đây?

2

A.
C.

3
2
x  x  4x  4  dx
0
1

2

x dx  x
0

3

1

2

.

 4 x  4 dx

1

.

D.

2

x dx  x
0

3

1

B.
2

 4 x  4  dx

.

3

3

 3 x 2  2 x dx
 3 x 2  2 x  dx

.
.

y  x3 , y  x 2  4 x  4

1

2

0

1

 x 3 dx   x 2  4 x  4 dx

và trục

Ox

được tính

.

 P  , Q  vuông góc với
Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng
a  b  . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ,
trục Ox lần lượt tại x a , x b

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
a x b  cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S  x  với y S  x  là hàm số liên tục trên  a; b . Thể
tích V của thể tích đó được tính theo công thức
z

S(x)

O
b

A.

V S 2  x dx
a

y
a

x

b

b

.

B.

V π S 2  x dx
a

x

b

.

C.

V π S  x dx
a

b

.

D.

V S  x  dx
a

 giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x 0 và x 2 . Cắt phần vật
Câu 27: Cho phần vật thể
 bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 2  , ta được thiết diện là
thể
 .
một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2  x . Tính thể tích V của phần vật thể
4
3
V .
V .
3
3
B.
C. V 4 3.
D. V  3.
A.

2 , biết rằng thiết diện của vật thể với mặt
Câu 28: Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 ,


x  0 x  
2  là một đường tròn có bán kính
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 
x

R  cos x . Thể tích của vật thể đó là
2
A. 2 .
B.  .
C.  .
D. 1.
Câu 29: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật
1 x 3 thì được thiết diện là một
thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và
A.

V 32  2 15

3x 2  2
124π
V
3
B.

124
V
3
C.

D. V (32  2 15)π
Câu 30: Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  1; x 1 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x( 1 x 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3π. Thể tích
của vật thể là
3 2 .
A.

B. 6 .

C. 6.

D. 2 .

H  giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , trục hoành. Quay hình phẳng H  quanh
Câu 31: Cho hình
trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:
496
32
4
16
15 .
B. 15 .
C. 3 .
D. 15 .
A.
x2 y2
H  được giới hạn bởi elip có phương trình 25  16 1 . Tính thể tích của khối
Câu 32: Cho hình phẳng
tròn xoay thu được khi quay hình phẳng

H  quanh trục Ox .

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
160
320
3 .
B. 3 .
A.

160
C. 3 .

320
D. 3 .

y  f x  x2  4x  3
Câu 33: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường
thẳng x 1; x 3 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

A.

16
15 .

4
C. 3 .

16
B. 15 .

4
D. 3 .

3
Câu 34: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  3 x  2 , trục hoành và hai đường thẳng
x 1, x 2 . Quay ( H ) xung quanh trục hoành ta được khối nói tròn xoay có thể tích là:

2

2

V  x  3x  2 dx
2

B.

1

A.

2

2

1

2

V x  3 x  2 dx
2

D.

1

C.

V x 2  3x  2 dx

V   x 2  3x  2  dx
2

1

 D  được giới hạn bởi các đường x 0 , x 1 , y 0 và y  2 x  1 . Thể tích
D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức?
của khối tròn xoay tạo thành khi quay

Câu 35: Cho hình phẳng

V

1

V   2 x  1dx

1

.

0

A.
C.

B.

1

V 2 x  1 dx
0

V 2 x  1dx
0

.

1

.

D.

H 

V  2 x  1dx
0

.

giới hạn bởi các đường y  x , x 0 , x 1 và trục hoành. Tính thể tích
V của khối tròn xoay sinh bởi hình  H  quay quanh trục Ox .
π
π
3.
B. 2 .
C. π .
D. π .
A.
y  f x 
Câu 37: Cho hàm số
liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được
xác định theo công thức
y
3
Câu 36: Cho hình phẳng

O 1
3

A.
C.

2

V   f  x  dx
1

V 

2

3 x

3

 f  x 
1

2

.

dx

B.
.

D.

V

3

2
1
 f  x  dx

31
.
3

2

V  f  x  dx
1

.

x
Câu 38: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xe , y 0 ,
x 0 , x 1 xung quanh trục Ox là

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
1

V x 2 e 2 x dx
0

A.

.

B.

1

V  xe x dx
0

1

.

C.

V  x 2 e2 x dx
0

1

.

D.

V  x 2 e x dx
0

.

D  được giới hạn bởi các đường x 0 , x  , y 0 và y  sin x . Thể tích
D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức
của khối tròn xoay tạo thành khi quay

Câu 39: Cho hình phẳng

V



V  sin x dx
0

A.



.

B.



0

.



 sin x dx

V 

V  sin 2 xdx

.

0

D.

V sin 2 xdx
0

.

C.

H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y x.ln x , trục hoành và hai đường thẳng x 1 ;
x 2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới  H  khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định

Câu 40: Cho hình phẳng
bởi
A.

2

V    x.ln x  dx
1

2

2

2

.

B.

V   x.ln x  dx
1

.

2

V   x.ln x  dx

V    x.ln x dx

2

1
1
.
D.
.
B.
Câu 41: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y 3 x  x 2 và trục hoành, quanh trục hoành.

A.

85
B. 10 .

81
10 .

41
C. 7 .

8
D. 7 .

Câu 42: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng


x 0 ,
2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
V    1
V    1
V   1 .
B. V   1 .
C.
.
D.
.
x

A.
Câu 43: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
1
y
x , y 0 , x 1 , x a , a  1 . Tìm a để V = 2.
bởi các đường
π
π
π2
2
a
a
a
a
π 2.
π2 .
π .
π.
A.
B.
C.
D.
1

y
, y 0, x 0, x  .
cos x
3 Thể tích V của
Câu 44: Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục Ox là.
A. V 
B. V 2
C. V  3
D. V  2
2
Câu 45: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y 1  x , y 0 quanh trục Ox là
aπ
V
b với a , b là số nguyên. Khi đó a  b bằng
B. 17 .
C. 31 .
D. 25 .
A. 11 .

Câu 46: Một tòa nhà có
lắp gương là

đồng

cửa sổ vòm cần lắp một phần gương như hình minh họa ở bên. Biết kinh phí để
. Hỏi chủ nhà cần bao nhiêu tiền để lắp gương cho các phần của

cửa sổ?

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.
đồng.
B.
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1:
sai?

đồng.

Cho các hàm số

C.

,

đồng.

D.

và

. Các mệnh đề sau đúng hay

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

,

là 

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

,

,

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

.
là 

, trục hoành,

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
.

là 

,

Câu 2: Cho đồ thị của hàm số
trong hình dưới đây.

đồng.

.
.

,

, các đường thẳng

,

là 
và trục hoành cho

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị của hàm số

và trục hoành được chia thành hai phần: Miền

gồm:

là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là

.

b) Miền

có diện tích là:

c) Miền

gồm:

d) Hình phẳng

.

có diện tích là:
có diện tích là:

.

, các đường thẳng

,
và

và

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 3:

Gọi

là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

và hai đường thẳng

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Gọi

là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
quanh trục

b) Gọi

. Khi đó

là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
quanh trục

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc

trên đường cách đó

quanh trục

. Thề tích của vật thể

thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật

. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm

này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
đề sau đúng hay sai?
a) Quảng đường

,

. Khi đó

c) Giá trị của biểu thức
bằng
.
d) Một vật thể A có hình dạng được tạo thành khi quay hình phẳng
đó là
Câu 4:

,

, trong đó

là quảng đường xe ô t