SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012

MÔN: TOÁN
Lớp 9 thcs
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012

Câu I (4đ)
Cho biểu thức P =

Rút gọn P
Tính giá trị của P khi x =

Câu II (4đ)
Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P).
Tính độ dài AB.
Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho
CD = AB.
Câu III (4đ)
Giải hệ phương trình

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320
Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng:
ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
KH
AM.
Câu V (2đ)
Với
. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:


(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)


Họ và tên thí sinh SDB .........................



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN
Ngày thi :18/02/2012

Câu I:
1,
C1,
a,
(ĐK:
; x ≠ 5)
Đặt
( a ≥ 0)




b,






C2,
a,
(ĐK:
)




b)


=> x=
vì x>1( P = ... (

Câu II:
1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình
x2 + x -2=0
=> x = 1 hoặc x = 2
Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1) ( AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 = 18
( AB = 3

2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình x2-x+m=0 (1)
có hai nghiệm phân biệt <=>
<=>

Ta có CD2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2 mà

nên:

Ta có AB2 =18
nên CD = AB ( CD2 = AB2 ( (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*)
( 2(x1-x2)2 = 18 ( (x1-x2)2 = 9
( (x1+x2)2 - 4x1x2 = 9
( 1-4m-9 = 0 (Theo Viet)
( m = - 2 (TM)
Câu III
1,ĐK x
0, y
0
C1,
Dùng phương pháp thế rút y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta có pt:


C2,
Nhân vế của hai PT được: (x+y)2 = 1 ( x+y = ± 1 (1)
Chia vế của hai PT được:
(2)
Từ 4 PT trên giải được (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1)
Thử lại: Chỉ có hai nghiệm thoả mãn HPT là: (-2;1) và (1/3;2/3)

2, GPT: 2x6 + y2 – x3y = 320
C1,


Câu IV: (Đổi điểm C1 thành C’, C2 thành C’’ cho dể đánh máy và vẽ hình)
1) Ta có
nên tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm chính là (C1) là trung điểm AH







2, gọi giao điểm AM với (C’) là I. ta có:
ME là tt của (C’’) (ME2 = MI. MA
ME là tt của (C’’) ( ME2 = MD. MK
( MI. MA = MD. MK ( ... ( ( AIDK nt ( (AIK = (ADK = 1v ( KI ( AM