PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KIM THÀNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm 01 trang


Bài 1: (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A =

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
Hãy tính giá trị biểu thức: A =

Bài 2: (3,0 điểm)
a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012
Tính f(a) tại a =

b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?
Bài 3: (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)

b)

Bài 4: (3,0 điểm)
a) Tìm x; y thỏa mãn:

b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn
thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng:
a + b + c
0
Bài 5: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh:

b) Giả sử: HK =
AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?






TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ
Tổ KHTN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán 9
Thời gian: 120’

Câu 1: (4 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A =

ĐKXĐ: x
4; x
9
A =

=

b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
Hãy tính: A =

Gợi ý: xy + yz + xz = 1
1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y)
Tương tự: 1 + y2 = …; 1 + z2 = ….
Câu 2: (3 điểm)
a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012
Tính f(a) tại a =

b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?
Giải
a/Từ a=


nên a3 + 12a = 32
Vậy f(a) = 1
b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k
) và k > n
(k – n)(k + n) = 17


Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3: (4 điểm)
Giải các phương trình sau:
a/

b/

Giải
a/ ĐK:

Bình phương 2 vế:


(thỏa mãn)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0; x = -3
b/
ĐKXĐ: x





vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
Câu 4: (3 điểm)
a/ Tìm x; y thỏa mãn:

b/ Cho a; b; c là các số thuộc đoạn
thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: a + b + c
0
Giải
a/

Xét VP =
theo BĐT cosi:
vậy VP
xy = VT
Dấu = xảy ra khi:

b/ Do a; b; c thuộc đoạn
nên a + 1
0; a – 2
0 nên (a + 1)(a – 2)
0
Hay: a2 – a – 2
0
a2
a + 2
Tương tự: b2
b + 2; c2
c + 2
Ta có: a2 + b2 + c2
a + b + c + 6 theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = 6 nên: a + b + c
0
Câu 5: (6 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh:

b/ Giả sử: HK =
AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
c/ Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?
Giải
a/ Sử dụng định lý pytago:


=

b/ Ta có: tanB =
; tanC =

Nên: tanBtanC =
(1)



Mặt khác ta có:
mà: