CHUYÊN ĐỀ:
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
A) TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết.
c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế....

B) CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
Nững kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số :

+ Biểu diễn số có ba chữ số :

+ Tổng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:
.
Ví dụ 1: Một số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng
phân số đã cho. Tìm phân số đó?
Giải:
Gọi tử số của phân số đó là x (đk:
)
Mẫu số của phân số đó là x + 3.
Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì
Tử số là x + 1
Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4
Được phân số mới bằng
ta có phương trình
.


Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
Giải:
Gọi x là chữ số hàng chục (x
N, 0 < x
9).
Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y
N, x
9)
Số cần tìm có dạng
= 10x + y
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2 (1)
Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới:
=100x +10y + x = 101x +10y

Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình:
(101x + 10y) – (10x + y) = 682
91x + 9y = 682 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

Giải hệ pt ta được
(thỏa ĐK)
số cần tìm là 75.

Ví dụ 3: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (



Vì tổng 2 chữ số là 9 ta có x + y = 9 (1)
Số đó là

Số viết ngược lại là

Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì được số viết theo thứ tự ngược lại ta có


Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình



Vậy số phải tìm là 18.

Ví dụ 4: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85.
Giải
Gọi số bé là x (
). Số tự nhiên kề sau là x + 1.
Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85


Phương trình có hai nghiệm


Vậy hai số phải tìm là 6 và 7.
Ví dụ 5: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó.
Giải:
Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y
N)
Theo đề bài ta có hệ pt:



Giải hệ ta được:
(thỏa ĐK)
hai số cần tìm là 34 và 25.
Ví dụ 6: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó