CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
MỤC TIÊU:
Hệ thống lại các dạng toán và các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
CÁC PHƢƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ƣớc của hệ số tự do, q là ƣớc dƣơng của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)
a - 1
và f(-1)
a + 1
đều là số nguyên.
Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ƣớc của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm

của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:
x3 – x2 – 4 = x3  2x2   x2  2x  2x  4  x2  x  2  x(x  2)  2(x  2) =  x  2x2  x  2

Cách 2:
x3  x2  4  x3  8  x2  4  x3  8x2  4  (x  2)(x2  2x  4)  (x  2)(x  2)
=  x  2 x2  2x  4  (x  2 (x  2)(x2  x  2)
Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: 1, 5 không là nghiệm của f(x), nhƣ vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên

f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x = 1
3

là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x3  x2  6x2  2x 15x  5  3x3  x2 6x2  2x 15x  5

= x2 (3x 1)  2x(3x 1)  5(3x 1)  (3x 1)(x2  2x  5)

Vì x2  2x  5  (x2  2x 1)  4  (x 1)2  4  0 với mọi x nên không phân tích đƣợc thành

nhân tử nữa
Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1