ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút
-------------------------------------I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Bài 1. Rút gọn biểu thức
Bài 2: Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện:
Tính giá trị của biểu thức

.
.

Bài 3. Tìm các số nguyên a; b thỏa mãn
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6 còn chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11
Bài 5. Biết

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Bài 6. Giải phương trình:
Bài 7. Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như
sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng a + b – 2 lên bảng. Việc làm này
thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu?
Bài 8. Giả sử điểm M nằm trong hình chữ nhật ABCD, biết MA = 4cm, MB = 5 cm, MC = 6cm. Tính MD
Bài 9. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD ở I.
Biết IB = 10

cm, ID = 5

cm, tính diện tích tam giác ABC.

Bài 10. Cho hình thang ABCD có
hình thang.
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Bài 11. (1,5điểm)

. Tính diện tích của

Rút gọn biểu thức
Bài 12. (1,5điểm)
Cho
giá trị đều là số chẵn.

, với
Chứng minh rằng các biểu thức

Bài 13: (2 điểm) Giải hệ phương trình
Bài 14: (4 điểm):
Cho hình vuông
có độ dài cạnh bằng
thuộc cạnh
sao cho
vuông góc với
a) Chứng minh rằng
cân
b) Tính diện tích
Bài 15: (1điểm)

và

có

.
Gọi

là trung điểm của cạnh

Điểm

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh,
đỏ, tím. Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt
phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác màu.
-----------hết-----------

ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM

Phần I. Trắc nghiệm
Bài
Bài 1

Bài 2

Nội dung

Đáp án

18

Đặt
Ta có:
Do

là số nguyên có tồng bằng 0 và

hoặc các hoán vị của
Bài 3

Suy ra:

nên

.
.

1) ĐK:
Ta có:

, với

Nếu
Vì
nguyên nên
Vì thế ta có:

Thay

vào

, vô lý vì

ta có:

là số vô tỉ

Bài 4

Bài 5

Vậy
thỏa mãn điều kiện bài toán.
Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có:

Vì a nhỏ nhất, nên a + 27 = BCNN(11;4;19) = 836 => a = 809
Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 809
Ta có:
Dấu

xảy ra khi

Vậy
Lại có:

.

Dấu
Bài 6:

Bài 7

Bài 8

809

xảy ra khi

Vậy
Điều kiện

Ta có:

Vậy
là nghiệm của phương trình
Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng:
Qua mỗi bước ta thấy tổng giảm đi 2.
Lúc đầu tồng
sau 99 bước số còn lai sẽ là

Bài 9
Tính chất phân giác:

2y

Đặt AD = x, CD = y => AB = 2x ; BC =
∆vADB có BD2 = AB2 + AD2 => x
∆vABC có BC2 = AB2 + AC2 => y
Từ đó => AB, AB => S∆ABC =

Bài 10

Ta có

(cùng phụ với

), vì thế trong tam giác vuông

.

4852

ta có

.

Theo định lý Pythagore thì:

hay

Suy ra
Kẻ

nên
. Tứ giác

.

là hình chữ nhật vì có

, suy ra

.
Tam giác

vuông tại

, ta có:

, suy ra

, do đó
.
.
Bài 11

Bài 11

Vậy diện tích hình thang
a) Với điều kiện

bằng
, ta có:

. Vậy
b) - Chứng minh M là số chẵn

)
- Chứng minh N là số chẵn

Vây M, N là các số chẵn.
Chú ý :
- Học sinh có thể tính M bằng cách đưa về phương trình bậc 3:
giải ra được nghiệm M = 2. Mỗi ý dưới đây cho 0,5 điểm.

,

vì
- Học sinh có thể chứng minh N là số chẵn bằng cách đặt :
để chỉ ra S7 là

rồi xây dựng công thức

Bài 13

số chẵn hoặc có thể khai triển

để tính N thì đều cho 0,5đ.

2. Giải hệ phương trình
Trừ theo vế các phương trình (1) và (2) ta được:

.

hoặc
Trường hợp 1:

. Thay

Giải hệ ta được:

.

Trường hợp 2:

vào (1) ta được phương trình:

.

Xét
Ta có:
Tương tự:
Suy ra:

.
. Trường hợp 2 không xảy ra.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
Cách 2 :

.

Trừ theo vế các phương trình (3) và (4) ta được phương trình :
hoặc

:

Cộng theo vế các bất phương trình (1) và (2) ta được :

, suy ra trường hợp

không xảy ra.
Trường hợp

, thay vào (3) ta được:

.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất:

Bài 14

.

I

A

B

H
K
E
C

D
a) Gọi
Xét

là trung điểm của
và
có:

là giao điểm của

và

Suy ra

mà

Lại có
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
Từ (1) và (2) suy ra :
là đường trung trực của
cân tại C
b) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

ta tính được
đường cao

ta có:

Mà

là đường trung bình của

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 15

đường cao

ta có:

Diện tích
là
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo
thành một tam giác cân.
Do đó khi tô 5 đỉnh bởi đủ 3 loại màu đã cho thì tồn tại 2 khả năng:
- Nếu tô 5 đỉnh bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và
tạo thành một tam giác cân.
- Nếu tô 5 đỉnh bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành
một tam giác cân.
Vậy, luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt
phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác nhau.