PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN PHONG ĐIỀN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022-2023
Khóa ngày: 20 tháng 12 năm 2022
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 02 trang)

Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức Q 

x 1
x



x x 1
x x



x2  x x  x 1
x x x

(với x  0; x  1 ).

a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Chứng minh rằng Q  4.
Câu 2. (3,0 điểm) Cho phương trình x 2  2mx  2m  1  0 (1), (với m là tham số). Tìm các
giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa mãn điều kiện:
1
1

 2. 
2
(x 1  2)
(x 2  2)2

Câu 3. (4,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực
a)

12
4

1
x2  x  4 x2  x  2

x 2  xy  y 2  1
b) 
3x  y  y 2  3


Câu 4 (2,0 điểm) Một cửa hàng nhập về lô hàng gồm 60 cái máy tính cầm tay hiệu Casio
fx − 580VN X với giá 600 000 đồng mỗi máy. Người quản lý cửa hàng lập kế hoạch bán lô hàng
đó như sau: Một nửa số máy tính được bán với giá tăng thêm 30% so với giá nhập, một phần ba
số máy tính được bán giá tăng thêm 25% so với giá nhập, số máy tính còn lại bán giảm giá 20%
so với giá nhập. Hỏi khi bán số hết máy tính trong lô hàng trên thì cửa hàng lãi được bao nhiêu
phần trăm?
Câu 5. (2,0 điểm) Anh Bình và anh An đặt ra mục tiêu cho bản thân là mỗi ngày đi bộ ít nhất là
6000 bước để rèn luyện sức khỏe. Hai người cùng đi bộ ở công viên và nhận thấy rằng nếu hai
người cùng đi trong 3 phút thì anh Bình bước nhiều hơn anh An là 12 bước; nếu anh Bình đi
trong 5 phút và anh An đi trong 4 phút thì số bước anh Bình nhiều hơn số bước anh An là 118
bước. Hỏi mỗi ngày, nếu anh Bình và anh An đi bộ trong 1 giờ thì họ có đạt được mục tiêu đề
ra không? (Giả sử rằng tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi).
Câu 6. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O ). Gọi M và
N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN và CM cắt nhau
tại I . Dây MN cắt cạnh AB và BC lượt tại H và K .
Trang 1/2

a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.
c) Gọi P,Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK và MCK ; E là trung
điểm của đoạn thẳng PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O ). Chứng minh ba điểm
D, E , K thẳng hàng.
Câu 7. (2,0 điểm) Cho a,b là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

(a  b)2 (a  b)2

ab
a 2  b2

------HẾT-----Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh…………………………………… Số báo danh …………………………
Chữ ký của giám thị 1…………………… Chữ ký của giám thị 2…………………………

Trang 2/2