BÀI 3
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1. HỢP VÀ GIAO CỦA HAI TẬP HỢP
Cho hai tập hợp

và

.

 Tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp
hợp

và

, kí hiệu

hoặc thuộc tập hợp

được gọi là hợp của hai tập

.

A  B = {x  x  A hoặc x  B} hay
 Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp
tập hợp

và

, kí hiệu

vừa thuộc tập hợp

được gọi là giao của hai

.

= {x  x  A và x  B} hay

Chú ý:
 Nếu

và

là hai tập hợp hữu hạn thì

 Nếu

và

không có phần chung, tức là

thì

2. HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP, PHẦN BÙ CỦA TẬP CON
Cho hai tập hợp

và

.

 Tập hợp các phần tử thuộc

nhưng không thuộc

được gọi là hiệu của

và

, kí hiệu

.

= {x x  A và x  B}
 Nếu

là tập con của

thì hiệu

gọi là phần bù của

trong

, kí hiệu

.

Chú ý: Trong các chương sau, để tìm các tập hợp là hợp, giao, hiệu, phần bù của những tập con của tập
số thực, ta thường vẽ sơ đồ trên trục số

PHẦN 1
Trang 1

TỰ LUẬN
DẠNG 1
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
Bài 1. Cho hai tập hợp

Bài 2.

Cho tập

Bài 3.

Cho

a)
Bài 4.

. Xác định các tập hợp

và tập

.

b)

,

. Xác định phần bù của A trong X .

.

C)

Cho

Cho

.
.

b) Hãy xác định các tập hợp

và

.

và

.

là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình

trị tuyệt đối nhỏ hơn 4 Xác định tập hợp
Bài 6.

,

. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.

a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp
Bài 5.

,

Cho

,

,

;

là tập hợp các số có giá

?
.Tìm

và

để

.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 7. Hãy xác định
Bài 8. Cho A = {1,2,3,4}; B = {2,4,6}; C = {1,3,5}. Xác định các tập hợp:
a) A  B, A  B, A  C, A  C, C  B, C  B.
b) A \ B, C \ A, (B \ A)  (C \ B), (C \ A)  (A \ B).
Bài 9. Cho A = {1,2,3,4,5} và B = {2,4,6,8}. Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A \ B, B \ A,
Bài 10.Cho A = {a, e, i, o} và B = {a, b, c, d, i, e, o, f}. Xác định các tập hợp: A  B, A \ B,

.
.

Bài 11.Cho tập E = {a, b, c, d} ; F = {b, c, e, g} ; G = {c, d, e, f}.
Chứng minh rằng
Bài 12.Cho A = {1,3,5,7}; B = {1,2,3,6}; E = {x  |x  8}.
a) Tìm
b) Chứng minh
Bài 13.Cho E = {x  ||x|  5}, F = {x  ||x|  5} và B = {x  |(x – 2)(x + 1)(2x2 – x – 3) = 0}
a) Chứng minh A  E và B  E

b) Tìm

rồi tìm quan hệ giữa hai tập này

c) Chứng minh rằng
Bài 14.Cho A = {x  |x  6}, B = {x  |x  15}, C = {x  |x  30}. Chứng minh rằng
Bài 15.Cho A = {x   | x2 + x – 12 = 0 và 2x2 – 7x + 3 = 0}; B = {x   | 3x2 – 13x + 12 =0 hoặc x2 – 3x =
0}. Xác định các tập hợp sau đây A  B ; A\B ; B\A ; A  B.
Trang 2

Bài 16.Cho A = {x   | x < 7} và B = {1;2;3;6;7;8}
a) Xác định AB ; AB ; A\B ; B\A
b) Chứng minh rằng (AB)\(AB) = (A\B)(B\A)
Bài 17.Cho tập hợp A. Hãy cho biết quan hệ giữa tập B và tập A nếu
a)

b)

c)

d)

e)

Bài 18.Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng
a) A  B\A

b) A  A  B

c) A  B  A  B

d) A\B  A

Bài 19.Chứng minh rằng
a) A  B  A và A  B  B
b) A = {x  |x là ước của 6}, B = {x  |x là ước của 18} thì A  B
c) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
d) P(A  B) = P(A)  P(B), với P(X) là tập hợp các tập con của X
e) Với A = {x  |x là bội của 3 và 4}, B = {x  |x là bội của 12} thì ta có A = B
Bài 20.Tìm tập hợp X sao cho A  X = B với A = {a,b}, B = {a,b,c,d}
Bài 21.
a) Xác định các tập hợp X sao cho {a;b}  X  {a;b;c;d;e}.
b) Cho A = {1;2} ; B = {1;2;3;4;5}. Xác định các tập hợp X sao cho A X = B.
c) Tìm A, B biết A  B = {0;1;2;3;4}; A\B = {–3 ; –2} và B\A = {6 ; 9;10}.
Bài 22.Cho A = {x   | x2 < 4}; B = {x   | (5x – 3x2)(x2 – 2x – 3) = 0}.
a) Liệt kê A ; B

b) Chứng minh rằng: (AB)\(AB) = (A\B)(B\A)

DẠNG 2
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ

Bài 1.

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a)

.

c)
Bài 2.

b)
.

.

d)

.

Cho các tập hợp:

a) Hãy viết lại các tập hợp

dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

b) Tìm

.

c) Tìm

.

Bài 3.

Cho

Bài 4.

Cho hai tập hợp

,

. Tìm điều kiện cần và đủ của
và

để

là tập con của

. Tìm tất cả giá trị của tham số
Trang 3

để

?
.

Bài 5.

Cho các tập hợp

Tìm tất cả các số thực
Bài 6.

và

để

.

.

Cho khoảng

và khoảng

. Tìm tất cả các số thực

để

. Tìm tất cả các số thực

để

.
Bài 7.

Cho các tập hợp

và

với

là một khoảng có độ dài bằng 16 .
Bài 8.
hợp

Cho hai tập hợp
là một đoạn có độ dài bằng

và

. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 9. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số.
a) [–3;1)  (0;4]

b) [–3;1)  (0;4]

c) (–;1)  (2;+)

d) (–;1)  (2;+)

Bài 10.Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng lên trục số
a) \ ((0;1)  (2;3))

b) \ ((3;5)  (4;6))

c) (–2;7)\ [1;3]

d) ((–1;2)  (3;5))\ (1;4)

Bài 11.Cho tập hợp A = (–2;3) và B = [1;5). Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 12.Cho hai tập hợp A = {2,7} và B = (–3;5]. Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 13.Cho A = {x  |– 3  x  5} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 14.Cho hai tập hợp A = {x  | x > 2} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A\
B, B\A.
Bài 15.Cho A = {x   | |x |  4} ; B = {x   | –5 < x – 1  8}. Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng: A  B ; A\B ; B\A ; \(A B).
Bài 16.Cho A = {x   | x2  4} ; B = {x   | –2  x + 1 < 3}. Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng: AB ; A\B ; B\A ; \(AB).
Bài 17.Cho A = {x  |1  x  5}, B = {x  |4  x  7} và C = {x  |2  x < 6}
a) Hãy xác định A B, A C, B C, A C, A\(B C).
b) Gọi D = {x  |a  x  b}. Hãy xác định a,b để D  A B C.
Bài 18.Viết phần bù trong  của các tập hợp: A = {x   | – 2  x < 10}; B = {x   | |x | > 2}

;

C = {x   |–4 < x + 2  5}
Bài 19. Cho nửa khoảng

và đoạn

Bài 20.

và

Cho hai tập hợp

. Tìm tất cả các số thực

. Tìm tất cả các giá trị của số thực

tập rỗng và A \ B  .
Trang 4

để

để

khác









2
Bài 21. Cho A  x   mx  3 mx  3 , B  x   x  4 0 . Tìm m để B \ A B .

Bài 22. Cho hai tập hợp
để

,

khác rỗng. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của

.

DẠNG 3
SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN

 Nếu

và

là hai tập hợp hữu hạn thì

 Nếu

và

không có phần chung, tức là

Bài 1.

thì

Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động

người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có

người phiên dịch tiếng Anh,

người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy

trả lời các câu hỏi sau:
a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
Bài 2.

Lớp 10A có

cả Toán và Lý,

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi hóa, học sinh giỏi

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

học sinh giỏi cả ba môn

Toán, Lý, Hóa. Tính học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A?
Bài 3.

Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá

cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? Bao
nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 4.

Lớp 10A có 15 bạn đăng kí học ngoại khoá môn Văn, 12 bạn đăng kí học ngoại khoá môn

Toán, trong đó có 7 bạn đăng kí học cả Văn và Toán. Hỏi:
a) Có bao nhiêu bạn đăng kí học Văn hoặc Toán?
b) Có bao nhiêu bạn chỉ đăng kí học Văn? Bao nhiêu bạn chỉ đăng kí học Toán?
Bài 5.

Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có 7

bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi. a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết
muốn được khen thưởng thì hoặc học sinh giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt. b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa

Trang 5

được xét học lực giỏi và hạnh kiểm tốt. Bài 4. Một lớp có 25 học sinh khá các môn tự nhiên, 24 học sinh
khá các môn xã hội, 10 học sinh khá cả 2 và 3 học sinh không khá môn nào.
a) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá tự nhiên.
b) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá xã hội.
c) Lớp có bao nhiêu hoặc khá tự nhiên hoặc khá xã hội.
d) Lớp có bao nhiêu em học sinh.
Bài 6.

Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có 7

bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi.
a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết muốn được khen thưởng thì hoặc học sinh giỏi
hoặc có hạnh kiểm tốt.
b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xét học lực giỏi và hạnh kiểm tốt. 
Bài 7.

Trong một hội nghị, các đại biểu sử dụng một hoặc hai trong ba thứ tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp.

Cho biết có 30 đại biểu chỉ nói được tiếng Pháp, 35 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 20 đại biểu chỉ nói
được tiếng Nga và 15 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi hội nghị đó có bao nhiêu đại biểu
tham dự?
Bài 8.

Trường Nguyễn Văn Trỗi có 40 em học sinh dự thi ba môn: nhảy dây, chạy và đá cầu. Trong đó

có 8 em chỉ thi nhảy dây, 20 em thi chạy và 18 em thi đá cầu. Hỏi có bao nhiêu em vừa thi chạy vừa thi
đá cầu?
Bài 9.

Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng Anh, 25

cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp.
a) Hỏi ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó.
b) Hỏi có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh, chỉ dịch được tiếng Pháp?
Bài 10. Lớp 10A có 35 học sinh làm bài kiểm tra Toán. Đề bài gồm có 3 bài toán. Sau khi kiểm tra, cô
giáo tổng hợp được kết quả như sau:  Có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán thứ
hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 5 em giải được bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giải được bài toán
thứ nhất và thứ hai, 6 em làm được bài toán thứ nhất và thứ ba, chỉ có 1 học sinh đạt điểm 10 vì đã giải
được cả 3 bài. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh không giải được bài toán nào?
Lớp
Lý,

có

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Toán và Hoá,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi cả Lý và Hoá,

Hoá. Số học sinh giỏi hai môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp
Lớp 10B có
Lý,

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

học sinh giỏi Hoá,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

là bao nhiêu?
học sinh giỏi hóa,

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B là bao nhiêu?

Trang 6

PHẦN 2
TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Câu 1.

Chọn kết quả sai trong các kết quả sau:

A.

B.

C.

D.

Câu 2.

Chọn kết quả sai trong các kết quả sau:

A.

B.

C.

D.

Câu 3.
A.
Câu 4.

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng:
.

A. 3
Câu 9.

.
B.

B. 3
Cho hai tập hợp
B. 5

D.

D.

. Số tập hợp X thỏa mãn
C. 4

và

D.

là tập hợp sau đây?
C.

và

.

. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

C.

Cho hai tập hợp

D.

là tập hợp nào sau đây?

B.

A. 2
Câu 8.

.

Cho hai tập hợp

.

C.

Cho tập hợp

A.
Câu 7.

C.

B.

A.
Câu 6.

.

Cho hai tập hợp A và B khác rỗng thỏa mãn:

A.
Câu 5.

B.

là:
D. 5

. Số tập hợp X thỏa mãn
C. 6

Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa bằng biểu đồ ven như hình vẽ.
Trang 7

là:
D. 8

Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?
A.

B.

C.

Câu 10. Cho tập hợp

D.

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 11. Cho tập hợp

và

. Có tất cả bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn

?
A. 5

B. 6 C. 4

D. 8

Câu 12. Cho hai tập hợp
A.

. Tập nào sau đây bằng tập
B.

Câu 13. Cho hai tập hợp
A.

.

và
B.

Câu 14. Cho
A.

B.

.Tập hợp

B.

bằng tập nào sau đây?

C.

D.
bằng?

C.
Tập hợp

Câu 16. Cho
A.

D.

Tập hợp

Câu 15. Cho
A.

C.

?

D.
bằng:

C.

D.

Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
B.

C.

D.

Câu 17. Cho ba tập hợp:
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.

B.

C.

Câu 18. Cho các tập hợp
A.

D.
. Khi đó:

B.

C.

Câu 19. Cho

D.
. Khi đó tập hợp

bằng:
A.

B.

C.
Trang 8

D.

Câu 20. Cho tập hợp
trình

; B là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của b để phương

vô nghiệm. Số phần tử chung của hai tập hợp trên là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số

DẠNG 2
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ

Câu 21. Cho hai tập
cả hai tập
A.

và

,

là:

và

B.

Câu 22. Cho
A.

. Tất cả các số tự nhiên thuộc

.

C.
,

B.

. Khi đó
.

C.

Câu 23. Cho
A.

.

B.

.

B.

D.

D.

là tập hợp nào sau đây?
D.

. Tập nào sau đây bằng tập
B.

C.
. Khi đó

B.

B.

C.

D.
và tập
B.

là tập nào sau đây?
D.

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

Câu 29. Cho tập hợp

?
D.

C.

. Khi đó
C.
Trang 9

.
.

C.

Câu 28. Cho các số thực a, b, c, d và

A.

.
. Tìm

. Tập

.

là:

C.

Câu 27. Cho hai tập hợp
A.

C.

B.

Câu 26. Cho tập
A.

D.

;

Câu 25. Cho tập hợp
A.

là:

.
. Khi đó

Câu 24. Cho hai tập hợp
A.

D. Không có.

là:
D.

Câu 30. Cho

. Khi đó

A.

B.

C.

Câu 31. Cho hai tập hợp

. Tập hợp

A.

B.

Câu 32. Cho tập hợp

. Khi đó

A.

A.

C.

D.

C.

D.

B.

Tập

.

C.

Câu 34. Cho

.

là:
D.

Tìm

A.

B.

Câu 35. Cho

C.

,

A.

B.

.

C.

C.
;

B.

và
.

,

C.

Câu 40. Cho hai tập hợp

.

.

D.
bằng:

C.

D.
. Khi đó

C.
. Khi đó

B.

D.

. Khi đó

và
B.

.

là:

. Tính

,

B.

Câu 39. Cho hai tập hợp
A.

D.
Tập

B.

Câu 38. Cho 3 tập hợp
A.

:

,

Câu 37. Cho 3 tập hợp:
.

D.

. Khi đó

Câu 36. Cho tập hợp

A.

là:

,

.

A.

D.

là:

B.

Câu 33. Cho tập hợp

A.

là tập hợp nào sau đây?

C.

Trang 10

bằng:
D.

bằng:
D.

.

DẠNG 3
TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ

Câu 41. Cho hai tập hợp
A.

. Điều kiện để
B.

C.

Câu 42. Cho tập hợp
A.

là:
D.

. Tìm điều kiện của m để

hoặc

B.

C.

D.

Câu 43. Cho hai tập hợp
để

.
hoặc

. Tìm tất cả các giá trị của m

.
A.

B.

C.

Câu 44. Cho
A.

. Tìm
.

B.

.

Câu 45. Cho hai tập hợp khác rỗng
nguyên dương của
A.

để

.

.

D.

.

Có bao nhiêu giá trị

.

C.

.

D. 3.

. Điều kiện cần và đủ để
B.

Câu 47. Cho hai tập hợp
A.

C.

?
B.

.

để

và

Câu 46. Cho
A.

D.

.
và

B.

C.

là:
.

. Tìm tất cả các giá trị của
C.

Trang 11

D.
để
D.

.
.

Câu 48. Cho số thực
A.

.Điều kiện cần và đủ để
B.

C.

Câu 49. Cho tập hợp

D.

với m là tham số. Điều kiện để

A.
C.

là:

B.
hoặc

D.

Câu 50. Cho tập hợp

hoặc

. Điều kiện để

là:

A.

hoặc

B.

hoặc

C.

hoặc

D.

hoặc

Câu 51. Cho hai tập hợp
A.

và

,

. Tìm m để

B.

A.

,

A.

.

D.
,

B.

Câu 53. Cho hai tập

. Tìm m để

C.

;

,

B.

.

.

Câu 55. Cho số thực
A.

. Với giá trị nào của

C.

B.

.

.

Câu 57. Tìm

và

.

, biết

Câu 59. Cho số thực

.

D.

D.

C.

.

C.

. Tìm

để

.

D.

.

.

D.

,
.

để

.

.

B.

.

là:

và

B.

.

.

. Tìm tất cả các giá trị của
.

Câu 58. Cho 2 tập hợp khác rỗng
A.

C.

C.

B.
để

D.

.Điều kiện cần và đủ để

Câu 56. Cho hai tập hợp
.

thì

. Tìm m để

B.

A.

.

D.

Câu 54. Cho 2 tập khác rỗng
A.

.

C.

Câu 52. Cho 3 tập hợp

A.

là:

C.
.

Trang 12

, với

. Tìm

.

D.

.
để

.
.

A.

.

B.

.

Câu 60. Cho tập hợp
và

C.

.

và

D.

.

. Tìm m để B có đúng hai tập con

.
A.

B.

C.

D.

DẠNG 4
SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN

 Nếu

và

là hai tập hợp hữu hạn thì

 Nếu

và

không có phần chung, tức là

thì

Câu 61. Ký hiệu H là tập hợp các học sinh của lớp 10A. T là tập hợp các học sinh nam, G là tập hợp các
học sinh nữ của lớp 10A. Khẳng định nào sau đây sai?
A.

B.

C.

D.

Câu 62. Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14 học sinh giỏi cả môn
Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?
A. 54

B. 40

C. 26

D. 68

Câu 63. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em
học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em
học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết
rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa?
A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 64. Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 học sinh chơi cả bóng
đá và bóng bàn và 6 học sinh không chơi môn nào. Số học sinh chỉ chơi 1 môn thể thao là?
A. 48

B. 20

C. 34

D. 28

Câu 65. Đội tuyển thi đá cầu và đấu cờ vua của Trường Lý Tự Trọng có 22 em, trong đó có 15 em thi đá
cầu và 12 em thi đấu cờ vua. Hỏi có bao nhiêu em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn ?
A. .

B.

.

C.

Trang 13

.

D.

.

Câu 66. Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu nói được một hoặc hai hoặc ba thứ
tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp. Biết rằng có 39 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 35 đại biểu nói được tiếng
Pháp, 8 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 67. Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu có thể sử dụng ít nhất một trong ba
thứ tiếng: Nga, Trung Quốc và Anh. Biết rằng có 30 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 40 đại biểu nói
được tiếng Nga, 45 đại biểu nói được tiếng Trung Quốc và 10 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Nga và
Trung Quốc. Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?
A. .

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 68. Lớp 5A có 15 bạn thích môn tiếng Việt, 20 bạn thích môn Toán. Trong số các bạn thích Tiếng
Việt hoặc thích Toán có 8 bạn thích cả hai môn Tiếng Việt và Toán. Trong lớp vẫn còn có 10 bạn không
thích môn nào (trong hai môn Tiếng Việt và Toán). Hỏi lớp 5A có bao nhiêu bạn tất cả?
A.

.

B.

Lớp 10A có
Lý,

.

học sinh giỏi Toán,

C.
học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

.

D.

học sinh giỏi hóa,

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

.

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (trong ba môn Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là
A.

.

Lớp
Lý,

có

B.

.

học sinh giỏi Toán,

C.
học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi cả Toán và Hoá,

.
học sinh giỏi Hoá,

học sinh giỏi cả Lý và Hoá,

Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp
A.

.

B.

.

D.

C.

Trang 14

.

.

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,
là
D.

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
TỰ LUẬN

PHẦN 1
TỰ LUẬN

DẠNG 1
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Bài 23. Cho hai tập hợp

. Xác định các tập hợp

,

Lời giải
Ta có

.

Bài 24. Cho tập

và tập

. Xác định phần bù của A trong X .
Lời giải

Vì

nên

Bài 25. Cho
a)

.
. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.

.

b)

.

C)

.

Lời giải
a) Sai. Vì

là ký hiệu phần tử, viết đúng phải là :

b) Đúng.
c) Sai. Vì

là 1 tập hợp. không phải là phần tử của

. Viết đúng phải là :

Trang 15

.

,

,

Bài 26. Cho

.

a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp

và

b) Hãy xác định các tập hợp

.

và

.
Lời giải

a) Ta có :

.



.



.

Khi đó :

.

b) Ta có :

nên

;

;

Bài 27. Cho

là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình

trị tuyệt đối nhỏ hơn 4 Xác định tập hợp

.
;

là tập hợp các số có giá

?
Lời giải

Ta có
. Do đó
Bài 28. Cho

,

.
,

.Tìm

và

để

.

Lời giải
Các tập hợp bằng nhau nếu các phần tử của tập này cũng là phần tử của tập kia.
Vậy để cho

thì

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 29.Hãy xác định
Bài 30.Cho A = {1,2,3,4}; B = {2,4,6}; C = {1,3,5}. Xác định các tập hợp:
a) A  B, A  B, A  C, A  C, C  B, C  B.
b) A \ B, C \ A, (B \ A)  (C \ B), (C \ A)  (A \ B).
Bài 31.Cho A = {1,2,3,4,5} và B = {2,4,6,8}. Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A \ B, B \ A,
Bài 32.Cho A = {a, e, i, o} và B = {a, b, c, d, i, e, o, f}. Xác định các tập hợp: A  B, A \ B,
Bài 33.Cho tập E = {a, b, c, d} ; F = {b, c, e, g} ; G = {c, d, e, f}.
Chứng minh rằng
Bài 34.Cho A = {1,3,5,7}; B = {1,2,3,6}; E = {x  |x  8}.
a) Tìm
Trang 16

.
.

b) Chứng minh
Bài 35.Cho E = {x  ||x|  5}, F = {x  ||x|  5} và B = {x  |(x – 2)(x + 1)(2x2 – x – 3) = 0}
a) Chứng minh A  E và B  E

b) Tìm

rồi tìm quan hệ giữa hai tập này

c) Chứng minh rằng
Bài 36.Cho A = {x  |x  6}, B = {x  |x  15}, C = {x  |x  30}. Chứng minh rằng
Bài 37.Cho A = {x   | x2 + x – 12 = 0 và 2x2 – 7x + 3 = 0}; B = {x   | 3x2 – 13x + 12 =0 hoặc x2 – 3x =
0}. Xác định các tập hợp sau đây A  B ; A\B ; B\A ; A  B.
Bài 38.Cho A = {x   | x < 7} và B = {1;2;3;6;7;8}
a) Xác định AB ; AB ; A\B ; B\A
b) Chứng minh rằng (AB)\(AB) = (A\B)(B\A)
Bài 39.Cho tập hợp A. Hãy cho biết quan hệ giữa tập B và tập A nếu
a)

b)

c)

d)

e)

Bài 40.Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng
a) A  B\A

b) A  A  B

c) A  B  A  B

d) A\B  A

Bài 41.Chứng minh rằng
a) A  B  A và A  B  B
b) A = {x  |x là ước của 6}, B = {x  |x là ước của 18} thì A  B
c) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
d) P(A  B) = P(A)  P(B), với P(X) là tập hợp các tập con của X
e) Với A = {x  |x là bội của 3 và 4}, B = {x  |x là bội của 12} thì ta có A = B
Bài 42.Tìm tập hợp X sao cho A  X = B với A = {a,b}, B = {a,b,c,d}
Bài 43.
a) Xác định các tập hợp X sao cho {a;b}  X  {a;b;c;d;e}.
b) Cho A = {1;2} ; B = {1;2;3;4;5}. Xác định các tập hợp X sao cho A X = B.
c) Tìm A, B biết A  B = {0;1;2;3;4}; A\B = {–3 ; –2} và B\A = {6 ; 9;10}.
Bài 44.Cho A = {x   | x2 < 4}; B = {x   | (5x – 3x2)(x2 – 2x – 3) = 0}.
a) Liệt kê A ; B

b) Chứng minh rằng: (AB)\(AB) = (A\B)(B\A)

Trang 17

DẠNG 2
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ

Bài 23. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
a)

.

c)

b)
.

.

d)

.
Lời giải

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

Bài 24. Cho các tập hợp:

a) Hãy viết lại các tập hợp

dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

b) Tìm

.

c) Tìm

.
Lời giải

a) Ta có:

.

b) Suy ra
Suy ra
Suy ra
và
Suy ra ta có
Trang 18

Bài 25. Cho

,

. Tìm điều kiện cần và đủ của

để

là tập con của

?

Lời giải
-∞

Ta có:

2

khi và chỉ khi

Bài 26. Cho hai tập hợp

+∞

B=(m;+∞)

.
và

. Tìm tất cả giá trị của tham số

để

.

Lời giải
Ta có:

. Vậy

Bài 27. Cho các tập hợp
Tìm tất cả các số thực

.
và

để

.

.
Lời giải

Đặt

.
.

Bài 28. Cho khoảng

và khoảng

. Tìm tất cả các số thực

để

. Tìm tất cả các số thực

để

.
Lời giải

Bài 29. Cho các tập hợp

và

với

là một khoảng có độ dài bằng 16 .
Lời giải

Điều kiện để
Khi đó

là

.

.

Độ dài khoảng

bằng

(do

Bài 30. Cho hai tập hợp

và

hợp

.

là một đoạn có độ dài bằng

).

. Tìm tất cả các giá trị của tham số
Lời giải

Nhận xét: Kí hiệu

là độ dài của khoảng/nửa khoảng/đoạn
Trang 19

, khi đó

;

.

để

* TH1:

.

* TH2:

. Vậy không có giá trị nào của

thỏa mãn TH2.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 31.Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số.
a) [–3;1)  (0;4]

b) [–3;1)  (0;4]

c) (–;1)  (2;+)

d) (–;1)  (2;+)

Bài 32.Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng lên trục số
a) \ ((0;1)  (2;3))

b) \ ((3;5)  (4;6))

c) (–2;7)\ [1;3]

d) ((–1;2)  (3;5))\ (1;4)

Bài 33.Cho tập hợp A = (–2;3) và B = [1;5). Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 34.Cho hai tập hợp A = {2,7} và B = (–3;5]. Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 35.Cho A = {x  |– 3  x  5} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 36.Cho hai tập hợp A = {x  | x > 2} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A\
B, B\A.
Bài 37.Cho A = {x   | |x |  4} ; B = {x   | –5 < x – 1  8}. Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng: A  B ; A\B ; B\A ; \(A B).
Bài 38.Cho A = {x   | x2  4} ; B = {x   | –2  x + 1 < 3}. Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng: AB ; A\B ; B\A ; \(AB).
Bài 39.Cho A = {x  |1  x  5}, B = {x  |4  x  7} và C = {x  |2  x < 6}
a) Hãy xác định A B, A C, B C, A C, A\(B C).
b) Gọi D = {x  |a  x  b}. Hãy xác định a,b để D  A B C.
Bài 40.Viết phần bù trong  của các tập hợp: A = {x   | – 2  x < 10}; B = {x   | |x | > 2}

;

C = {x   |–4 < x + 2  5}
Bài 41. Cho nửa khoảng

và đoạn

Bài 42.

và

Cho hai tập hợp

. Tìm tất cả các số thực

. Tìm tất cả các giá trị của số thực

để

để

khác

tập rỗng và A \ B  .









2
Bài 43. Cho A  x   mx  3 mx  3 , B  x   x  4 0 . Tìm m để B \ A B .

Bài 44. Cho hai tập hợp
để

,

khác rỗng. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của

.

Trang 20

DẠNG 3
SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN

 Nếu

và

là hai tập hợp hữu hạn thì

 Nếu

và

không có phần chung, tức là

thì

Bài 11. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động
người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có

người phiên dịch tiếng Anh,

người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy

trả lời các câu hỏi sau:
Trang 21

a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

a) Số người phiên dịch mà ban tổ chức huy động là :

người.

b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng anh là :

người.

c) Số người chỉ phiên dịch được ttiếng Pháp là :
Bài 12. Lớp 10A có
cả Toán và Lý,

người.

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi hóa, học sinh giỏi

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

học sinh giỏi cả ba môn

Toán, Lý, Hóa. Tính học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A?
Lời giải
Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:
Lý

6

Toán
3

5

4

Hóa

Dựa vào biểu đồ Ven, ta có học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là
Số học sinh giỏi Toán:
Số học sinh giỏi Lý:

.
.

Số học sinh giỏi Hóa:

.

Ta lại có:
Số học sinh giỏi cả Toán và Lý: .
Số học sinh giỏi cả Toán và Hóa: .
Số học sinh giỏi cả Hóa và Lý: .
Và số học sinh giỏi cả Toán, Lý và Hóa là .
Số học sinh giỏi hơn một môn là

.

Trang 22

Bài 13. Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá
cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? Bao
nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?
Lời giải

Dựa vào biểu đồ Ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là
Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là

.

.

Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là

.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 14. Lớp 10A có 15 bạn đăng kí học ngoại khoá môn Văn, 12 bạn đăng kí học ngoại khoá môn
Toán, trong đó có 7 bạn đăng kí học cả Văn và Toán. Hỏi:
a) Có bao nhiêu bạn đăng kí học Văn hoặc Toán?
b) Có bao nhiêu bạn chỉ đăng kí học Văn? Bao nhiêu bạn chỉ đăng kí học Toán?
Bài 15. Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có 7
bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi. a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết
muốn được khen thưởng thì hoặc học sinh giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt. b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa
được xét học lực giỏi và hạnh kiểm tốt. Bài 4. Một lớp có 25 học sinh khá các môn tự nhiên, 24 học sinh
khá các môn xã hội, 10 học sinh khá cả 2 và 3 học sinh không khá môn nào.
a) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá tự nhiên.
b) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá xã hội.
c) Lớp có bao nhiêu hoặc khá tự nhiên hoặc khá xã hội.
d) Lớp có bao nhiêu em học sinh.
Bài 16. Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có 7
bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi.
a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết muốn được khen thưởng thì hoặc học sinh giỏi
hoặc có hạnh kiểm tốt.
b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xét học lực giỏi và hạnh kiểm tốt. 
Bài 17. Trong một hội nghị, các đại biểu sử dụng một hoặc hai trong ba thứ tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp.
Cho biết có 30 đại biểu chỉ nói được tiếng Pháp, 35 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 20 đại biểu chỉ nói
được tiếng Nga và 15 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi hội nghị đó có bao nhiêu đại biểu
tham dự?
Bài 18. Trường Nguyễn Văn Trỗi có 40 em học sinh dự thi ba môn: nhảy dây, chạy và đá cầu. Trong đó
có 8 em chỉ thi nhảy dây, 20 em thi chạy và 18 em thi đá cầu. Hỏi có bao nhiêu em vừa thi chạy vừa thi
đá cầu?
Trang 23

Bài 19. Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng Anh, 25
cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp.
a) Hỏi ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó.
b) Hỏi có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh, chỉ dịch được tiếng Pháp?
Bài 20. Lớp 10A có 35 học sinh làm bài kiểm tra Toán. Đề bài gồm có 3 bài toán. Sau khi kiểm tra, cô
giáo tổng hợp được kết quả như sau:  Có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán thứ
hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 5 em giải được bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giải được bài toán
thứ nhất và thứ hai, 6 em làm được bài toán thứ nhất và thứ ba, chỉ có 1 học sinh đạt điểm 10 vì đã giải
được cả 3 bài. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh không giải được bài toán nào?
Lớp

có

Lý,

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Toán và Hoá,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi Hoá,

học sinh giỏi cả Lý và Hoá,

Hoá. Số học sinh giỏi hai môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp
Lớp 10B có
Lý,

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

là bao nhiêu?

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi hóa,

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B là bao nhiêu?

PHẦN 2
TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Câu 1.

Chọn kết quả sai trong các kết quả sau:

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn B
B sai do
Câu 2.

Chọn kết quả sai trong các kết quả sau:

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Câu 3.
A.

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng:
.

B.

.

C.
Trang 24

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
D đúng do
Câu 4.

.

Cho hai tập hợp A và B khác rỗng thỏa mãn:

A.

B.

. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Vì

gồm các phần tử thuộc B và không thuộc A

Câu 5.

Cho tập hợp

A.

.

là tập hợp nào sau đây?

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Vì

là tập hợp gồm các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y

Câu 6.

Cho hai tập hợp

A.

.
B.

là tập hợp sau đây?
C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Vì

nên

Câu 7.

Cho hai tập hợp

A. 2

và

. Số tập hợp X thỏa mãn

B. 3

C. 4

là:
D. 5

Lời giải
Chọn B.
Vì

nên bắt buộc X phải chứa các phần tử

Vậy X có 3 tập hợp đó là:
Câu 8.
A. 3

và

.

.

Cho hai tập hợp

và
B. 5

. Số tập hợp X thỏa mãn
C. 6

D. 8

Lời giải
Chọn D.
Ta có
Câu 9.

có 3 phần tử nên số tập con

có

(tập).

Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa bằng biểu đồ ven như hình vẽ.
Trang 25

là:

Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nà...