Dạng 3: Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước
*) Phương pháp giải
Ta sử dụng quy tắc “chuyển vế” biến đổi số hạng tự do sang một vế, số hạng chứa x sang một vế
khác.
Bước 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế
Bước 2. Thực hiện tính toán để tìm x.
Bước 3. Kết luận.
Ta có:

Bài 1:
Tìm x, biết
Hướng dẫn giải
Ta có:

Vậy
Bài 2:
Tìm x, biết:
a)

b)
Lời giải

a)
Vậy
b)
1

Vậy
Bài 3:
Tìm x, biết

a)

b)
Hướng dẫn giải

a)
Vậy

b)
Vậy
Bài 4:
Tìm x, biết
a)

b)

c)
Lời giải

2

a)
Vậy
b)
Vậy
c)
Vậy
Bài 5:
Tìm x, biết
a)

b)

c)
Lời giải

a)

b)

c)
Bài 6:
Tìm x, biết

a)

b)

c)
Lời giải

a)

3

Vậy

b)

Vậy

c)

Vậy
Bài 7:
Tìm
a)

, biết:
b)

c)
Lời giải:

a)

. Vậy

b)

. Vậy

c)

. Vậy

4

d)

d)

. Vậy
Bài 8:

Tìm

, biết:

a)

b)

c)

d)

Lời giải:
a)

. Vậy

b)

. Vậy

c)

Vậy
d)

Vậy
Bài 9:
Tìm
a)

, biết:
b)

c)

5

d)

Lời giải:
a)

. Vậy

b)

. Vậy

c)

. Vậy

d)

.

. Vậy
Bài 10:

Tìm

, biết:

a)

b)

c)

d)

Lời giải:
a)

. Vậy

b)

. Vậy

c)

. Vậy

d)

. Vậy
Bài 11:

Tìm
a)

, biết:
b)

c)
Lời giải:

a)

. Vậy

b)

. Vậy

6

d)

c)

. Vậy

d)

. Vậy
Bài 12:

Tìm

, biết:

a)

c)

b)

d)
Lời giải:

a)

Vậy

b)

Vậy
c)

7

Vậy

d)

Vậy
Bài 13:
Bài 7 . Tìm

, biết:

a)

c)

b)

d)
Lời giải:

a)

. Vậy

b)

. Vậy

c)

.

Vậy

d)

. Vậy
Bài 14:

Tìm

, biết:

a)

c)
8

b)

d)
Lời giải:

a)

b)
c)

d)
Bài 15:
Tìm

, biết:

a)

b)

c)

d)
Lời giải:

a)
b)

. Vậy
. Vậy

c)

Vậy
d)
Vậy
9

Bài 16:
Tìm

, biết:

a)

b)

c)

d)
Lời giải:

a)

. Vậy

b)

. Vậy

c)

. Vậy

d)
Vậy
Bài 17:
Tìm

, biết:

a)

b)

c)

d)
Lời giải:

a)
b)
c)
d)
10

Bài 18:
Tìm

, biết:

a)

b)

c)

d)
Lời giải:

a)

b)

c)

d)
Bài 19:
Tìm

, biết:

a)

b)

c)

d)
Lời giải:

a)

b)

c)
11

d)
Bài 20:
Tìm

, biết:

a)

b)

c)

d)
Lời giải:

a)

b)

c)

d)

Bài 21:
Tìm

biết:

a)

b)

c)

d)
Lời giải:

a)
12

b)

c)

d)
Bài 22:
Tìm

, biết:

và
Lời giải:

Ta có:
Vì
Bài 23:
Tìm

biết:

và
Lời giải:

Vì
Bài 24:

biết:
Tìm
Lời giải:

Đặt

.

13

Ta có mẫu của

Khi đó
Như vậy ta có:
Bài 25:
Tìm

, biết:
Lời giải:

Ta có :

Bài 26:
Tìm

, biết:
Lời giải:

Ta có:

14

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG TOÁN
Bài 1.
a)

. Vậy

b)
Vậy
c)

15

Vậy
d)

Vậy
Bài 2.
a)

.Vậy

b)

Vậy
c)

Vậy
d)
16

Vậy
Bài 3.
a)

.

Vậy
b)

.

Vậy
c)

.

Vậy
d)

Vậy
Bài 4.
17

a)

. Vậy

b)

Vậy
c)

Vậy
d)

Vậy
Bài 5.
a)
18

vì

và

nên

b)

vì
Bài 6.

a)

b)

19

Bài 7.
Ta có :

=

=

Khi đó :
Bài 8.
Ta có:

Dạng 4: Tính tổng dãy số có quy luật

20

*) Phương pháp giải: Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính chất đặc trưng của từng
số hạng trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính.
Bước 1. Ở ví dụ bên, ta thấy các giá trị ở tử không thay đổi và chúng đúng bằng hiệu hai thừa số
ở mẫu.

Mỗi số hạng đều có dạng

Do đó ta thực hiện tách các số hạng của tổng S theo công thức
Bước 2. Vì tổng sau khi tách có đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn đối nhau, nên ta dùng tính
chất kết hợp để nhóm các số hạng. Khi đó các số hạng trong tổng được khử liên tiếp đến khi trong
tổng chỉ còn số hạng đầu và số hạng cuối.

Tổng quát: Nếu trong tổng xuất hiện các số hạng dạng
thức sau:

.
Bài 1:

Tính
Hướng dẫn giải
Bước 1. Tách mỗi số hạng của tổng

Bước 2. Áp dụng tính chất kết hợp, nhóm các số hạng:

Bài 2:
21

thì ta tách các số hạng theo công

Tính nhanh
a)
b)
Hướng dẫn giải
a)

Vậy

.

b)

Vậy
Bài 3:
Tính
Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức

với

ta có:

22

Vậy

.
Bài 4:

Tính giá trị biểu thức

.
Lời giải

Ta có:
Bài 5:
Tính giá trị biểu thức

.
Lời giải

Ta có:
Dạng 5: Bài toán thực tế
I. Phương pháp giải: Để giải một bài toán thực tế liên quan đến cộng, trừ số hữu tỉ, ta thường
làm như sau:
Bước 1: Phân tích bài toán, từ các dữ kiện đề bài xác định các giá trị của cùng một đại lượng (ví
dụ: các giá trị của một đoạn đường, một chiếc bánh, một quyển sách, một đơn vị thời gian...) và
thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.
Bước 2: Dựa vào quy tắc cộng, trừ số hữu tỉ, thực hiện các phép toán tương ứng.
Bước 3: Kết luận.
II. Bài toán:
Bài 1:
An đọc một quyển sách trong
An đọc được

ngày. Ngày thứ nhất An đọc được

quyển sách. Hỏi trong

quyển sách, ngày thứ hai

ngày An đọc được bao nhiêu phần quyển sách?
Lời giải :

23

Trong

ngày An đọc được:

(quyển sách).

Bài 2:
Ba xe ô tô cùng chuyển long nhãn từ Hưng Yên lên Hà Nội . Ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba
chuyển được lần lượt
long nhãn trong kho?

số long nhãn trong kho. Cả ba ô tô chuyển được bao nhiêu phần
Lời giải:

Cả ba ô tô chuyển được:

(số long nhãn trong kho)
Bài 3:

Tính chu vi tam giác biết độ dài ba cạnh của tam giác có số đo là:

cm;

cm;

cm.

Lời giải:
cm

Chu vi tam giác là:
Vậy chu vi tam giác là:

cm
Bài 4:

Một con voi châu Á sinh thiếu tháng nên chỉ đạt
tạ, ít hơn tạ so với cân nặng trung bình
của voi sơ sinh. Tính cân nặng trung bình của voi sơ sinh châu Á?
Lời giải:
Cân nặng trung bình của voi sơ sinh châu Á là:

(tạ)

Bài 5:
Nhiệt độ hiện tại trong một kho lạnh là
tiếp tục giảm độ lạnh của kho thêm

. Do yêu cầu bảo quản hàng hóa, người quản lý kho
. Hỏi khi đó nhiệt độ trong kho là bao nhiêu độ?
Lời giải:

Nhiệt độ trong kho khi đó là:
Bài 6:

24

Chị Hà mới đi làm và nhận được tháng lương đầu tiên. Chị quyết định dùng
chi tiêu trong tháng, dành
tiền lương?

số tiền đó để chị

số tiền để mua quà biếu bố mẹ. Hỏi chị Hà còn lại bao nhiêu phần
Lời giải:

Số phần tiền lương còn lại của chị Hà là:

phần
Bài 7:

Một xưởng may trong tuần thứ nhất thực hiện được

kế hoach tháng, tuần thứ hai thực hiện

được kế hoạch, trong tuần thứ ba thực hiện được kế hoạch. Để hoàn thành kế hoạch của
tháng thì trong tuần cuối xưởng phải thực hiện bao nhiêu phần kế hoạch?
Lời giải:
Để hoàn thành kế hoạch của tháng thì trong tuần cuối xưởng phải thực hiện:

(kế hoạch)
Bài 8:
Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài là

(km), chiều rộng là

(km).

a) Tính nửa chu vi của khu đất.
b) Chiều dài hơn chiều rộng bao nhiêu km?
Lời giải:
a) Nửa chu vi khu đất là:

(km)

b) Chiều dài hơn chiều rộng là:

(km)
Bài 9:

Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất

giờ, người

thứ hai phải mất giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được
mấy phần công việc?
Lời giải:
25

Coi toàn bộ công việc là

đơn vị.

Người thứ nhất làm xong công việc trong
Người thứ hai làm xong công việc trong
Vậy trong

giờ. Suy ra trong
giờ. Suy ra trong

giờ làm được
giờ làm được

giờ, cả hai cùng làm thì được số phần công việc là:

công việc.
công việc.

công việc.

Bài 10:
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước. Trong một giờ, vòi thứ nhất chảy vào
được
bể, vòi thứ hai chảy vào được
hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?

bể. Hỏi vòi nào chảy nhanh hơn và trong một giờ, cả
Lời giải:

Coi toàn bộ bể là

đơn vị.

Ta có
Vậy trong giờ, khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy chậm hơn vòi thứ hai.
Vậy trong

giờ, cả hai vòi cùng chảy thì được số phần bể là:

bể.

Bài 11:
Hai vòi cùng chảy vào một bể. Nếu vòi thứ nhất chảy thì mất
thứ hai chảy thì mất giờ
bể?

phút mới đầy bể. Hỏi trong
Lời giải:

giờ

phút =

giờ

giờ

phút =

giờ

Coi toàn bộ bể nước là 1 đơn vị

26

giờ

phút mới đầy bể. Nếu vòi

giờ, hai vòi chảy được bao nhiêu phần

Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong

giờ. Suy ra trong một giờ vòi thứ nhất chảy được

Vòi thứ hai chảy đầy bể trong

giờ. Suy ra trong một giờ vòi thứ hai chảy được

bể.
công việc.

Vậy trong một giờ, cả hai vòi cùng chảy được số phần bể là:
bể.
Bài 12:
Hai vòi nước cùng chảy vào
trong

bể. Vòi

chảy trong h, vòi

h thì bể cạn. Bể đang cạn nếu mở cả

chảy trong

h đầy bể. Vòi

tháo

vòi thì sau h chảy được bao nhiêu phần bể?
Lời giải:

giờ vòi

chảy vào được

phần bể.

giờ vòi

chảy vào được

phần bể.

giờ vòi

chảy ra được

phần bể

Bể đang cạn nếu mở cả 3 vòi thì sau 1h chảy được số phần bể là:
(phần bể)
Vậy bể đang cạn nếu mở cả

vòi thì sau 1h chảy được

phần bể.

Bài 13:
Người thứ nhất đi xe đạp từ A đến B hết

giờ; người thứ hai đi xe máy từ B về A hết

người thứ hai khởi hành sau người thứ nhất
người đã gặp nhau chưa?

giờ. Hỏi sau khi người thứ hai đi được

giờ ;
giờ thì hai

Lời giải:
Sau

giờ người thứ hai đi được

quãng đường.

Vì người thứ hai khởi hành sau người thứ nhất
người thứ nhất đã đi được

giờ nên sau khi người thứ hai đi được

giờ. Vậy người thứ nhất đi được
27

quãng đường.

giờ thì

Tổng quãng đường hai người đã đi là:
quãng đường
Vì

nên hai người chưa gặp nhau.
Bài 14:

Một cửa hàng bán

kg đường trong ba ngày. Biết tổng số đường cửa hàng bán được của hai

ngày đầu là
kg. Tổng số đường bán trong hai ngày sau là
bán được bao nhiêu ki – lô– gam đường?

kg. Hỏi mỗi ngày cửa hàng

Lời giải:
Khối lượng đường cửa hàng bán trong ngày thứ hai là:

(kg)

Khối lượng đường cửa hàng bán trong ngày đầu là:

(kg)

Khối lượng đường cửa hàng bán trong ngày thứ ba là:

(kg)

Bài 15:
Một kho lương thực nhập gạo vào

đợt. Đợt đầu nhập

đầu là

tấn và ít hơn đợt thứ ba là

đợt là

tấn gạo. Hỏi đợt thứ tư nhập mấy tấn gạo?

tấn gạo. Đợt thứ hai nhập ít hơn đợt

tấn. Đợt thứ tư nhập ít hơn mức trung bình của cả bốn

Lời giải:
Số tấn gạo nhập vào đợt hai là :

( tấn )

Số tấn gạo nhập vào đợt thứ ba là :

(tấn)

Trung bình bốn đợt nhập số tấn gạo là :
Số tấn gạo nhập vào đợt thứ tư là :

(tấn)
(tấn)
Bài 16:

Bình đọc một cuốn sách trong

ngày. Ngày thứ nhất đọc được

quyển sách, ngày thứ hai đọc

được
quyển sách, ngày thứ ba đọc được
quyển sách. Hỏi hai ngày đầu Bình đọc nhiều hơn
hay ít hơn hai ngày sau. Tìm phân số chỉ số chênh lệch đó?
Lời giải:
Phân số chỉ số trang sách đọc được trong ngày thứ tư là:
28

(quyển sách)
Phân số chỉ số trang sách đọc được trong hai ngày đầu là:
(quyển sách)
Phân số chỉ số trang sách đọc được trong hai ngày sau là:
(quyển sách)
Hai ngày đầu Bình đọc nhiều hơn hai ngày sau.
Phân số chỉ số chênh lệch đó là:

(quyển sách)
Bài 17:

Bốn vòi cùng chảy vào đầy một bể nước trong

giờ. Biết trong

giờ: Vòi thứ nhất chảy

bể,

vòi thứ hai chảy được
bể, vòi thứ ba chảy được
bể. Hỏi trong giờ vòi thứ nhất và vòi thứ
hai chảy được nhiều hơn hay ít hơn vòi thứ ba và vòi thứ tư. Tìm phân số chỉ số chênh lệch đó?
Lời giải:
Phân số chỉ số phần bể vòi thứ tư chảy được trong

giờ là:

(bể)
Phân số chỉ số phần bể vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy trong

giờ là:

(bể)
Phân số chỉ số phần bể vòi thứ ba và vòi thứ tư chảy trong

giờ là:

(bể)
Trong

giờ vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được nhiều hơn vòi thứ ba và vòi thứ tư.

Phân số chỉ số chênh lệch đó là:

(bể)
Bài 18:

29

Một giá sách có hai ngăn, ngăn A và ngăn B. Số sách ngăn A bằng
chuyển
sách

quyển từ ngăn A sang ngăn B thì số sách ngăn A bằng

số sách ngăn B. Nếu
số sách ngăn B. Tính tổng số

ngăn?
Lời giải:

Số sách ngăn A bằng:

(tổng số sách hai ngăn)

Nếu chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thì số sách ngăn A bằng:
(tổng số sách hai ngăn)
quyển sách ứng với:

(tổng số sách hai ngăn)

Tổng số sách hai ngăn bằng:

(quyển)
Bài 19:

Có

quả cam chia đều cho

cam nào thành

người. Làm thế nào để chia được mà không phải cắt bất kì quả

phần bằng nhau.
Lời giải:

Có

quả cam chia cho

người thì mỗi người sẽ được

quả cam.

Mà:
Nên mỗi người sẽ được

và

quả cam.

Vì vậy để không phải cắt bất kì quả cam nào thành

phần bằng nhau thì ta phải:

+ Lấy

quả, mỗi quả chia thành

phần bàng nhau thì ta có được

+ Lấy

quả, mỗi quả chia thành

phần thì cũng đủ
Bài 20:

30

phần.

phần cho mọi người.

Học kì I, số học sinh giỏi của lớp

bằng

 số học sinh còn lại. Sang học kì II, số học sinh giỏi

tăng thêm

bạn (số học sinh cả lớp không đổi nên số học sinh giỏi bằng

kì I, lớp

có bao nhiêu học sinh giỏi?

 số còn lại). Hỏi học

Lời giải:
Học kì I, số học sinh giỏi lớp
kì I so với cả lớp là 

bằng 

số học sinh còn lại nên phân số chỉ số học sinh giỏi học

số học sinh lớp

.

Học kì II, số học sinh giỏi lớp

bằng

học kì I so với cả lớp là 

số học sinh lớp

Vì học kì II, số học sinh giỏi lớp
ứng với
Vậy, lớp

 số học sinh còn lại nên phân số chỉ số học sinh giỏi
.

nhiều hơn học kì I là 8 học sinh, nên ta có phân số tương

học sinh là:
A có số học sinh là: 

Số học sinh giỏi học kì I là: 

(học sinh)
(học sinh)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:

Người ta mở hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Vòi thứ nhất mỗi giờ chảy được
hai mỗi giờ chảy được

bể, vòi thứ

bể. Nểu mở đồng thời cả hai vòi, mỗi giờ được mấy phần bể?
Lời giải

Nếu mở đồng thời cả hai vòi, mỗi giờ chảy được

bể

Bài 2:
Tính chu vi tam giác biết độ dài ba cạnh của tam giác có số đo là:

31

cm;

cm;

cm.

Lời giải
Chu vi tam giác là:
Vậy chu vi tam giác là:

(cm)
cm
Bài 3:

Để hoàn thành một công việc, anh Nam cần
trong

giờ, anh Việt cần

giờ. Nếu hai anh cùng làm

giờ thì cả hai người làm được mấy phần công việc.
Lời giải

Trong

giờ anh Nam làm được

Cả hai anh cùng làm trong

công việc. Trong

giờ thì cả

giờ anh Việt làm được

công việc.

người làm được số công việc là:

công việc

Bài 4:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là
nửa chu vi của mảnh vườn.

m, chiều rộng kém chiều dài

m. Tính

Lời giải
Chiều rộng mảnh vườn là:

(m)

Nửa chu vi mảnh vườn là:

(m)
Bài 5:

Người thứ nhất đi xe đạp từ A đến B hết

giờ; người thứ hai đi xe máy từ B về A hết

người thứ hai khởi hành sau người thứ nhất
hai người đã gặp nhau chưa?

giờ. Hỏi sau khi người thứ hai đi được

giờ ;
giờ thì

Lời giải
Sau

giờ người thứ hai đi được

quãng đường.

Vì người thứ hai khởi hành sau người thứ nhất
người thứ nhất đã đi được

giờ nên sau khi người thứ hai đi được

giờ. Vậy người thứ nhất đi được

Tổng quãng đường hai người đã đi là:

quãng đường

32

quãng đường.

giờ thì

Vì

nên hai người đã gặp nhau rồi.
Bài 6:

Một cửa hàng bán

kg lạc trong ba ngày. Biết tổng số lạc cửa hàng bán được của hai ngày đầu

là
kg. Tổng số lạc bán trong hai ngày sau là
nhiêu ki – lô– gam lạc?

kg. Hỏi mỗi ngày cửa hàng bán được bao

Lời giải
Khối lượng lạc cửa hàng bán trong ngày thứ hai là:
(kg)
Khối lượng lạc cửa hàng bán trong ngày đầu là:
(kg)
Khối lượng lạc cửa hàng bán trong ngày thứ ba là:
(kg)
Bài 7:
Có

quả táo chia đều cho

nào thành

người. Làm thế nào để chia được mà không phải cắt bất kì quả táo

phần bằng nhau.
Lời giải

Có

quả táo chia cho

người thì mỗi người sẽ được

quả táo.

Mà:
Nên mỗi người sẽ được

và

quả táo.

Vì vậy để không phải cắt bất kì quả táo nào thành

phần bằng nhau thì ta phải:

+ Lấy

quả, mỗi quả chia thành

phần bàng nhau thì ta có được phần.

+ Lấy

quả, mỗi quả chia thành

phần thì cũng đủ
Bài 8:

33

phần cho mọi người.

Tính tổng số học sinh lớp
sinh lớp

. Nếu chuyển

học sinh lớp

và lớp

của một trường biết: Số học sinh lớp

học sinh từ lớp

sang lớp

thì số học sinh lớp

.
Lời giải

Ban đầu số học sinh lớp
Nếu chuyển

bằng:

học sinh từ lớp

(tổng số học sinh
học sinh bằng:
Tổng số học sinh hai lớp là:

(tổng số học sinh
sang lớp

thì số học sinh lớp

lớp)
(tổng số học sinh

lớp)

lớp)

(học sinh)

34

bằng:

bằng
bằng

số học
số