MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. Định nghĩa
Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó
+

được gọi là các bất đẳng thức.

+ Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau
+ Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai.
Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là
một bất đẳng thức đúng.
II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
+ Tính chất giao hoán
Với các số thực A và B bất kì, ta luôn có
+ Tính chất bắc cầu
Với các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có
+ Tính chất liên hệ với phép cộng
- Với các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có
- Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có

+ Tính chất liên hệ với phép nhân
- Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có

- Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có

+ Tính chất liên hệ với lũy thừa
- Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có
, với n là số thực dương.
, với n là số tự nhiên lẻ.
, với n là số tự nhiên chẵn.

+ Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo
- Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có
III. Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ

+
+
+
+
+

với
với
với

A
A và k là số tự nhiên

Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Nội dung cơ bản của chương I gồm:
Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh
bất đẳng thức trên.
Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời
giải và các lời giải được trình bày cụ thể.
Giới thiệu một số bài tập tự luyện.
Chủ đề 1
MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Kiến thức cần nhớ
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức
. Tư tưởng của phương pháp
là biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổ
biến là các dạng sau:
+ Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức:
+ Dạng tổng bình phương:

, với các số m, n, k

dương.
+ Dạng tích hai thừa số cùng dấu:
hoặc
+ Xây dựng các bất đẳng thức từ các điều kiện ban đầu: Nếu
ta nghĩ ngay tới một trong các bất đẳng thức đúng sau đây
Một số đẳng thức cần nhớ
+
+
+
+
+
+
+
+
+

thì

+
Một số bất đẳng thức cơ bản
+
+
+
+
+
+ Bất đẳng thức tam giác

Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương
+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức.
+ Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức.
+ Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức.
+ Kỹ thuật đặt biến phụ.
+ Kỹ thuật sắp thứ tự các biến.
+ Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến.
2. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:

Phân tích: Các bất đẳng thức trên khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét
hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương.
Lời giải
a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Suy ra

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:

Phân tích: Đây là một bất đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét
hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương.
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức
bậc hai thường xuất hiện các đại lượng

với điều kiện dấu đẳng

thức xẩy ra tại
. Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu
đẳng thức xẩy ra để từ đó có hướng đi hợp lí.
Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng
thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành
tổng các bình phương. Để được các tích

vào trong bình phương ta cần

ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việc
biến đổi như sau

Trong trường hợp trên ta có thể chọn
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

, tức là ta phải nhân hai vế với 4.

Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể
dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh.
Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện

. Chứng minh rẳng:

Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu của các biểu thức xuất hiệt các bình phương, ý tưởng
chứng minh bất đẳng thức trên là xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bình
phương. Chú ý đến giả thiết

.

Lời giải
a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với.

Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta được

Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

.

. Chứng minh rẳng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức
. Trong khi đó giả thiết lại xuất hiện biểu thức
. Vậy mối liên hệ của hai biểu
thức này như thế nào? Dễ thấy được hằng đẳng thức

. Do

đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết với biểu thức
làm xuất hiện

và

cần chứng minh

, khi đó ta được

để
. Tới đây chỉ

là xong.

Lời giải
Biến đổi giả thiết ta được

Ta cần chứng minh được

Do

hiển nhiên đúng. Nên bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và các biểu thức trong căn có chứa
các bình phương, lại có thêm điều kiện

, nên ta bình phương hai vế để biến

đổi bất đẳng thức.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Vì

nên

. Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức cơ bản có vế trái là các lũy
thừa bậc chẵn. Để ý ta thấy

, do đó rất tự nhiên ta

nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng của các bình phương.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 8. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng:

Phân tích: Để ý ta thấy

, do đó ta biến đổi tương đương để

thu gọn và chứng minh bất đẳng thức.
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức

Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 9. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện
Phân tích: Từ giả thiết
chẳng hạn

. Chứng minh rằng:

ta có thể rút một biến theo các biến còn lại,

, thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được

là

biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương. Đến đây ta tìm cách phân
tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức.
Lời giải
Theo giả thiết thì

, nên bất đẳng thức đã cho tương ứng với

Từ đó ta có điều phải chứng minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 10. Chứng minh với các số thực a dương, ta có:
Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa một biến a, nên thông thường
ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh. Để ý thêm nữa ta
thấy, bất đẳng thức chứa các đại lượng
thức

, lại thấy đẳng thức xẩy ra khi

và

làm ta liên tưởng đến hằng đẳng
nên suy nghĩ rất tự nhiên là biến đổi

tương đương bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng

xem có thể chứng minh

bài toán được không. Với

khi đó ta có

và

nên

ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức.
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy những đặc điểm
sau:
+ Hai vế của bất đẳng thức cùng có bậc một.
+ Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến một bất bất đẳng thức
khá hay dùng

.

Lời giải
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức

với x, y là các số

dương
Thật vậy

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được

Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có

Phân tích: Bất đẳng thức chỉ chứa một biến và có chứa căn bậc hai. Trước hết ta
kiểm tra điều kiện xác định của các căn thức

và
Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x.
Quan sát bất đẳng thức ta thấy nếu thay x bằng
thức trở là

thì vế trái của bất đẳng

và vế phải của bất đẳng thức là

đó nếu nhân hai vế với

, khi

thì được

, tức là bất

đẳng thức không thay đổi gì cả. Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp x không âm là
được.
Với

, ta thấy vế trái luôn dương và vế phải nhỏ hơn hoặc bằng

không nên ta có thể chia nhỏ các trường hợp

và

để chứng minh bất

đẳng thức.
Lời giải
Vì

và

Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x.
Nếu

, ta đặt

khi đó bất đẳng thức trở thành.

Bất đẳng thức cuối này có dạng như bất đẳng thức ở đề bài và quan trọng
hơn lúc này ta lại có
. Như vậy, với lập luận này ta thấy rằng chỉ cần xét bài
toán trong trường hợp
là đủ. Lúc này có hai khả năng xảy ra :
+ Nếu

thì
suy ra

+ Nếu

. Nên bất đẳng thức đúng.
thì hai vế cùng dương, nên bình phương hai vế ta được

Mà

nên bất đẳng thức cuối cùng đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 13. Cho các số thực

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Từ giả thiết

ta được

lũy thừa ta được

. Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức được

thay bằng đại lượng

, khi đó theo tính chất của

. Cũng từ giả thiết

và biểu thức

bên làm ta liên tưởng đến tích

. Do đó ta sử dụng phép biến đổi

tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên.
Lời giải
Theo giả thiết

ta có

Cũng từ giả thiết

nên

và

.

Do đó ta suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
hoặc

và các hoán vị.

Ví dụ 14. Chứng minh rằng với mọi số thực khác không a, b ta có:
Phân tích: Để ý ta thấy

, do đó ta có thể biến đổi bất đẳng

thức thành

. Đến đây ta có thể phân tích thành tích rồi quy

đồng hoặc đặt biến phụ

, chú ý điều kiện

.

Lời giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên.
+ Hướng 1: Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đẳng thức

Mà
Do đó bất đẳng thức được chứng minh.
+ Hướng 2: Đặt

, khi đó ta được

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
-

Nếu

-

Nếu

, suy ra
, suy ra

nên

.
nên

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 15. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:

.

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của có sự xuất hiện các đại
lượng

và chú ý thêm các đại lượng bên ta nhận thấy
và

. Đến đây ta thấy có hai ý tưởng chứng

minh bất đẳng thức trên.
+ Thứ nhất là ta biến đổi tương đương làm xuất hiện các bình phương
.
+ Thứ hai là đặt biến phụ

và sử dụng điều kiện của

biến phụ để chứng minh.
Lời giải
Cách 1: Gọi P là vế trái của bất đẳng thức đã cho, ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Đặt
Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

.

Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái xuất hiện các lũy
thừa bậc chẵn và vế phải xuất hiện tích của hai trong ba biến nên ta nghĩ đến việc
biến đổi bất đẳng thức thành tổng các bình phương. Tuy nhiên vì hệ số khác nhau
nên ta cần phải tinh ý khi phân tích.
Sau khi chuyển vế ta phân tích thành
tìm m, n, k sao cho
được

và cần
. Giải hệ điều kiện trên ta tìm

. Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vật bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 17. Cho a, b là các số thực thỏa mãn

.

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và đẳng thức xẩy ra tại
đó ta có các ý tưởng chứng minh bất đẳng thức sau đây:
+ Thứ nhất là đặt biến phụ

, do

để làm mất căn bậc hai và phân tích

thành các bình phương.
+ Thứ hai là khử căn bậc hai bằng một đánh giá quen thuộc
chiều bất đẳng thức và điều kiện dấu bằng xẩy ra tại

. Để ý đến
ta đánh giá được

Lời giải
Cách 1: Đặt

, khi đó

. Bất đẳng thức cần chứng minh

được viết lại thành

Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
hay
.
Cách 2: Áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được

Do đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 18. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:
Phân tích: Để ý ta thấy, với
để tạo ra nhân tử chung

thì dấu đẳng thức xẩy ra nên ta tách các hạng tử
.

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 19. Cho a, b là hai số thực khác không. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy khi
dấu bằng và

thì bất đẳng thức xẩy ra

. Nên ta có các ý tưởng biến đổi tương đương bất

đẳng thức như sau:
+ Thứ nhất là quy đồng hai về và phân tích làm xuất hiện nhân tử chung

+ Thứ hai là đặt biến phụ

, chú ý điều kiện

.

Lời giải
Cách 1: Bất đẳng thức đã cho tương đương với.

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Cách 2: Bất đẳng thức được viết lại thành

Đặt

, khi đó ta được

.

. Suy ra

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 20. Cho các số thực dương

. Chứng minh rằng:

.

Phân tích: Nhận thấy bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng tại

do đó một cách tự

nhiên ta nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện

, chú ý đến điều kiện

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vì
và
nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi

hoặc

.

Ví dụ 21. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra với
đó rất tự nhiên ta nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng
Mặt khác với

ta lại có

. Để ý là

đổi bất đẳng thức thành
phân tích thành các bình phương.

, khi
.

, nên ta ta biến

. Tới đây ta quy đồng hai vế và
Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vật bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 22. Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

Phân tích: Dấu đẳng thức xảy ra với
ta biến đổi bất đẳng thức thành
hai vế và phân tích thành các bình phương.

, khi đó

. Nên ta
. Tới đây ta quy đồng

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
hoặc
Ví dụ 23. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích:
a) Quan sát bất đẳng thức thứ nhất ta nhận thấy

do đó bất

đẳng thức lúc này tương đương với

. Đến đây chỉ cần sắp

thứ tự các biến sao cho

là xong.

b) Tương tự như trên ta có

, biến đổi tương đương bất đẳng thức

ta được bất đẳng thức
tự các biến sao cho

. Đến đây ta chỉ cần sắp thứ
là xong.

Lời giải
a) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát
ta giả sử
. Khi đó ta có

Vì
nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
b) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát
ta giả sử

Vì

. Khi đó ta có

nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 24. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau:
+ Quy đồng hai vế của bất đẳng thức thì vế trái xuất hiện
vế phải xuất hiện

và

. Như vậy chỉ cần chuyển vế trái

ta viết được thành tổng các bình phương
+ Để ý ta thấy

. Như vậy ta cần nhân hai vế với 2 và

ghép tương tự.
Lời giải
Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

.

Ví dụ 25. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Nhận thấy
cần chứng minh.

. Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vì a, b, c là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 26. Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng
thức.

Phân tích: Vì vai trò của a, b như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại
, do đó khi biến đổi bất đẳng thức ta cần làm xuất hiện nhân tử
bất đẳng thức trở thành
ta cho

, khi đó ta được

. Khi đó

. Để tìm k lớn nhất
. Đến đây ta chỉ cần chứng minh

bất đẳng thức đúng là được.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vì

nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi

Cho

thì bất đẳng thức trên trở thành

. Ta chứng

minh
là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau
+ Với

thì ta được

+ Với

thì bất đẳng thức

.
trở thành

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Vậy hằng số k lớn nhất là 12.
Ví dụ 27. Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng
thức

Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta được

Vì

nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi

Cho

thì bất đẳng thức trên trở thành

. Ta chứng

minh
là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho. Thật vậy, ta xét các
trường hợp sau
+ Với

thì

+ Với

thì bất đẳng thức trên được viết lại thành

Ta có

.

nên

Và
Do đó ta có
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Vậy hằng số k lớn nhất là 8.
Ví dụ 28. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Đẳng thức xẩy ra khi
hiện đại lượng

, do đó ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất

. Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất hiện

nhân

tử

chung

có

dạng

ta

cần

chú

ý

đến

phép

biến

Khi đó ta có
Lời giải
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau

Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 29. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý ta thấy

Lại có
Do đó ta biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi như sau

Vì

nên ta cần chứng minh

Thật vậy, ta có

đổi

Do vậy bất đẳng thức trên tương đương với

Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng, Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 30. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải
a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có

Chứng minh tương tự ta được
Nhân vế các bất đẳng thức ta được

Mà ta lại có
Nên từ bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Nhận xét: Bất đẳng thức

không chỉ đúng với a, b, c

là các cạnh của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thực dương bất
kì. Bât đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur. Trong phần Phụ lục 3,
ta sẽ bàn nhiều về bất đẳng thức này hơn.

Bài 31. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được

Do a, b, c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng luôn
đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 32. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau:
+ Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi
+ Khi thay 1 bằng

.

vào bất đẳng thức và chuyến vế thì ta được các

nhóm

. Vì vai trò a, b, c như nhau

nên ta dự đoán mỗi nhóm trên không âm. Để chứng minh dự doán trên ta có thể
bình phương làm mất căn bậc hai rồi biến đổi tương đương thành tổng các bình
phương.
+ Để ý giả thiết
nhận ra

, khi đó ta có

. Như vậy chỉ cần áp dụng tương tự cho hai trường

hợp còn lại thì bất đẳng thức được chứng minh.
Lời giải
Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Ta cần chứng minh

. Dễ dàng

Thật vậy, ta có

Chứng minh tương tự ta được

.

Đến đây bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Cách 2: Kết hợp với giả thiết

ta có

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành

Mặt khác ta có

Chứng minh tương tự ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Hay
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 33. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có những nhận xét sau:
+ Dễ thấy đẳng thức xẩy ra khi
và vai trò các biến là như nhau.
+ Để ý ta thấy
viết lại thành

, như vậy bất đẳng thức được
, là bất đẳng thức được

chứng minh ở Ví dụ 23.
+ Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể sử dụng cách đặt biến phụ:
Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành

Chú ý đến đẳng thức
có thể biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên.

ta

Lời giải
Cách 1: Vai trò của a, b ,c là như nhau nên có thể giả thiết
Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Vì

nên

.

, suy ra bất đẳng thức cuối cùng luôn

đúng. Do đó bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

hoặc

Cách 2: Đặt

và các hoán vị.
. Khi đó ta được

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau

Ta cần chứng minh
Thật vậy, áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được

Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được

.

Do đó bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 34. Cho các số thực

hoặc
và

và các hoán vị.
. Chứng minh rằng:

Phân tích:
a) Từ điều kiện

, để tạo ra

ta có thể sử dụng các bất đẳng thức

, áp dụng tương tự và để ý đến giả thiết
b) Để chứng minh được bất đẳng thức ta cần làm như thế nào để vừa có thể
tạo ra
vừa làm xuất hiện tích
. Để ý giả thiết
có thể biến

đổi tương đương thành

. Như vậy trong bất đẳng thức có

thêm sự xuất hiện của

. Từ điều kiện

bất đẳng thức

.

ta cũng nên để ý đến

c) Cũng tương tự như câu b nhưng trong bất đẳng thức ở câu c có sự xuất
hiện của biểu thức

nên ta lại chú ý đến

.

Lời giải
a) Do

nên ta có

hay

Chứng minh tương tự ta được

.
.

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với giả thiết

ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
b) Trước hết ta chứng minh
Do

nên ta có

Hay
Mặt khác, vì

nên

Hay
Khi đó ta được
Ta cần chứng minh
.
Thật vậy, vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả
sử
. Từ đó suy ra

Khi đó ta được
Suy ra
Do đó ta có
Kết hợp hai kết quả trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh chứng minh.
c) Do

nên ta có

Hay
Mà ta có
Nên
hay
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 35. Cho các số thực

.
và
Lời giải

. Chứng minh rằng:

Đặt

, khi đó ta được

và

Ta có

Dấu đẳng thức có khi

hay

Mặt khác do

.

nên ta có

Suy ra

. Đẳng thức xẩy ra khi

và các hoán vị.

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 36. Cho các số thực

.
và

. Chứng minh rằng:

Lời giải
Đặt

, khi đó ta được

Đặt

Mà

và

, khi đó P được viết lại thành

nên ta có

Do đó
Mà ta chứng minh được

nên

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 37. Cho các số thực

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy
+ Với
thì
, bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Như vậy ta
cần tìm cách chứng minh cho trường hợp
+ Từ giả thiết
Khi đó để tạo ta

và trường hợp

dẫn đến

ta nghĩ đến bất đẳng thức

. Để

ý vế phải của bất đẳng thức có thể được viết thành
nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức

, do đó rất tự nhiên ta
.

Lời giải

.

Vì

nên ta có

+ Xét trường hợp
minh hiển nhiên đúng.
+ Xét trường hợp

.
suy ra

, khi này bất đẳng thức cần chứng

, khi đó ta có

Khi đó ta có
Chứng minh tương tự ta được
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
và các hoán vị
Ví dụ 38. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
minh rằng:

Phân tích: Để ý từ giả thiết

ta có

. Chứng

, khi đó bất đẳng

thức có thể viết lại thành

Đến đây ta quy đồng hai vế và biến đổi tương đương bất đẳng thức, chú ý đến đẳng
thức
Lời giải
Áp dụng giả thiết

ta được

Áp dụng tương tự ta được
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thứ được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Nhận xét: Trong bất đẳng thức trên, có một kinh nghiệm nên nhớ khi tìm lời giải đó
là tìm cách đổi chiều bất đẳng thức. Cách đơn giản nhất là nhân hai vế với
khi đó
ta được:

Bây giờ ta chưa biến đổi ngay mà tìm cách triệt tiêu các đại lượng âm trong
các biểu thức trước và đổi dấu vế phải. Để ý ta thấy
, do vậy chỉ
cần cộng 1 vào mỗi phân số rồi quy đồng là ta triệt tiêu được các đại lượng âm,
không những vậy ta còn đổi được dấu bên vế phải, cụ thể là

Đến đây ta sẽ tìm thấy các hướng khác để xử lí bài toán.
Ví dụ 39. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện
nay có rất nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức này. Để chứng minh bằng
phương pháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau
+ Thứ nhất ta xét hiệu hai vế và chú ý

, khi đó ta có

6 phân thức. Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi
, nên ta ghép hai phân thức
làm một nhóm sao cho có thể phân tích được thành bình phương của hiệu hai trong
ba số a, b, c. Để ý là
.
+ Thứ hai ta để ý đến biến đổi

. Do đó ta cộng vào hai vế của

bất đẳng thức với 3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về dạng
như sau

, đến đây ta có thể đơn giản hóa bất

đẳng thức bằng việc đặt biến phụ

.

+ Thứ ba là ta tiến hành đặt biến phụ
khi đó ta được
minh thu được ở đây là

ngay từ đầu,
và bất đẳng thức cần chứng
sẽ chứng minh dễ dàng hơn.

Lời giải
Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với

Đặt

.

, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Cách 3: Đặt

.

, khi đó ta được

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 40. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
rằng:

.
. Chứng minh

Phân tích: Quan sát giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ ngay đến
việc đổi biến

, chính việc đổi biến này ta thu được kết

quả không thể hợp lý hơn là
thành

và bất đẳng thức cần chứng minh trở

Đến đấy việc chứng minh bất đẳng thức hết sức đơn giản.
Lời giải
Đặt

, suy ra

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

.

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

hay

.

Ví dụ 41. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích: Với bất đẳng thức trên ta có các ý tưởng chứng minh sau:
+ Thứ nhất là ta khai triển các tích và nhóm các hạng tử với nhau một cách hợp
lý, chú ý là

.

+ Thứ hai là vì a là số thực dương nên ta có

, áp dụng

tương tự ta biến đổi được bất đẳng thức về dạng đơn giản.
Lời giải
Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 42. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

.

.

Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại
đẹp là

. Khi đó ta có được kết quả

, do đó ta rất tự nhiên ta nghĩ đến xét hiệu

hai vế của bất đẳng thức. Hơn nữa ta lại có hai kết quả sau

Đến đây càng thấy yên tâm là đã đi đúng hướng.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Do

nên ta chỉ cần chứng minh

Bất đẳng thức này đúng vì ta có

Và
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 43. Cho a, b, c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bài toán gợi cho ta hằng đẳng thức:

Khi đó ta có

Để ý đến bất đẳng thức
Lời giải
Dễ dàng chứng minh được
Áp dụng hằng đẳng thức trên ta được

Do đó ta được

Như vậy ta cần chứng minh

Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 44. Cho a, b, c là các số thực khác 1 thỏa mãn

Phân tích: Từ giả thiết

. Chứng minh rằng:

ta nghĩ đến cách đặt biến phụ

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Sử dụng các biến đổi cơ bản và giả thiết

.
ta có các kết quả sau

Đến đây ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành

Và sử dụng các kết quả trên.
Vì

nên

Lời giải

. Đặt

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Bất đẳng thức trên tương đương với

.

, khi đó

và

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 45. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát kĩ bất đẳng thức cần chứng minh ta có các nhận xét như sau
+ Để ý ta thấy

, do đó ta có kết quả sau

Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể đặt
đó ta được

hay

thức cần chứng minh được viết lại là
được bất đẳng thức
+ Với cách đặt

như trên ta có được một kết quả khác như sau

Đến đây ta cũng có thể chứng minh được bất đẳng thức.
Lời giải

Khi đó ta có
Và
Suy ra

và bất đẳng

. Đến đây ta có thể chứng minh

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Cách 1: Đặt

, khi

.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
hay một trong ba số a, b, c bằng 0.
Cách 2: Đặt

. Khi đó ta được

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Dễ thấy
Do đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi một trong ba số a, b, c
bằng 0.
Ví dụ 46. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đưa ra các ý tưởng
sau
+ Thứ nhất ta để ý đến biến đổi sau

. Áp dụng tương tự

ta ...