Chủ đề 6
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy –
Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát
hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để
cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ
gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga
Bunhiacopxki.
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn
học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực
trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các
trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki.
2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki
a. Dạng tổng quát
+ Cho hai dãy số tùy ý

và

. Khi đó ta có:

Dạng 1:
Dạng 2:
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là:
Dạng 3:
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là:
Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý

và

với

Khi đó ta có
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là:
Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các
bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là
bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
b. Một số dạng đặc biệt

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Đẳng thức xẩy ra khi

Đẳng thức xẩy ra khi

B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng
thức xẩy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số ví dụ sau
Ví dụ 1.1: Cho a là số thức dương thỏa mãn mãn
biểu thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

+ Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1:

.

Sai lầm 2:
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là .
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là

thì dấu đẳng thức xẩy ra tại

trái với giả thiết
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
đẳng thức xẩy ra tại

Ta cần chọn hai số
có sơ đồ điểm rơi:

. Giả sử với các số

với dấu
ta có

sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại

. Từ đó ta

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.2: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:
+ Sai lầm thường gặp:

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là

.

+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là

Khi đó

thì dấu đẳng thức xẩy ra tại

trái với giả thiết

+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
đẳng thức xẩy ra tại

với dấu

. Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong

căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số

ta có

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A
đạt được tại

. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Khi đó ta được
Để ý ta thấy

, do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được

Dấu đẳng thức xẩy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

Đẳng thức xẩy ra khi

Ví dụ 1.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa
của biểu thức:

.
. Tìm giá trị nhỏ nhất

+ Sai lầm thường gặp:

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là

.

+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là
tại

Khi đó

thì dấu đẳng thức xẩy ra

không thỏa mãn giả thiết

+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
đẳng thức xẩy ra tại

với dấu

. Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong

căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số

ta có

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A
đạt được tại
. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Khi đó ta được
Để ý ta thấy

, do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết

ta được

Dấu đẳng thức xẩy ra

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

khi

Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b,c thỏa

Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả
sử với các số
ta có:

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại
Do đó ta có sơ đồ điểm rơi

Lời giải

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.5: Cho các số thực dương a, b,c thỏa

Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

Phân tích: Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị
nhỏ nhất của A đạt tại

. Do đó ta có sơ đồ điểm rơi

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Do đó ta được

Hay
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Suy ra

ta được
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
nhất của biểu thức:

Phân tích: Trong ví dụ này ta xét biểu thức đại diện

. Tìm giá trị nhỏ

. Một cách tự

nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
một cách bình thường:

Đẳng thức xảy ra khi

, khi đó nếu áp dụng tương tự thì không thỏa

mãn giả thiết của toán. Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại
chọn một bộ số

Khi đó ta cần

để có đánh giá

Dấu đẳng thức xẩy ra tại

với

. Từ đó dễ dàng chọn được

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Từ đó ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vậy
giá trị nhỏ nhất của A bằng

. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

Phân tích: Xét biểu thức

. Nếu áp dụng bất đẳng thức

Bunhiacopxki một cách trực tiếp thì ta được
dấu đẳng thức không xẩy ra tại

. Khi đó
. Từ đó ta chọn các số

để có

đánh giá như sau:

Và đẳng thức xảy ra tại
bộ số thỏa mãn là

với

. Từ đó ta chọn được một

.
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Từ đó ta được

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

khi

.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ví dụ 1.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức:
Phân tích và lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Để sử dụng được giả thiết ta
cho hệ sau thỏa mãn

cần chọn một bộ số

sao

Khi đó ta có lời giải như sau
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Do đó ta được

hay giá trị nhỏ nhất của P là

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:
Phân tích và lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Để áp dụng giả thiết

ta cần chọn một bộ số

thỏa mãn hệ sau

Khi đó ta có lời giải như sau
Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là

. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.10: Cho a, b, c là các số thực dương sao thỏa mãn

. Chứng

minh rằng:
Phân tích và lời giải
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Như vậy ta cần chọn một bộ số

sao cho hệ sau thỏa mãn

Thử một số trường hợp ta chọn được
như sau
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

, khi đó ta có lời giải

Hay
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Cách 2: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể sử dụng bất đẳng thức
Binhacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên chú ý đến giả thiết
nhân thêm hệ số để khi áp dụng dưới mẫu xuất hiện

, ta cần
. Do đó ta có thể

chứng minh bài toán trên như sau
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopcki dạng phân thức ta được

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ví dụ 1.11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:
+ Sai lầm thường gặp: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta
được

+ Nguyên nhân sai lầm: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại

khi đó

. Tức là dấu đẳng thức của bất đẳng thức trên không xẩy ra
+ Phân tích: Để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ta chọn một
số k sao cho

và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra,

tức là thỏa mãn điều kiện

với

, do đó ta chọn được

.

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Mặt khác ta lại có
Do đó ta được

, hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 18. Đẳng thức xẩy ra

khi và chỉ khi

.

Ví dụ 1.12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
rằng:

. Chứng minh

Phân tích và lời giải
Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại

. Khi sử dụng bất

đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta chú ý cộng các mẫu để có thể viết được
thành

.
Để ý là nếu đánh giá

đó đẳng thức không xẩy ra vì
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

, khi

Như vậy để có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
ta làm như sau

Ta cần chọn k để đẳng thức sau đúng

, dễ dàng chọn

được giá trị
. Đến đây ta có lời giải như sau
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.

Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được

. Tuy

nhiên, dễ thấy
Do đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 1.13: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải
Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại

, Trước hết ta để ý đến mẫu số có thể

phân tích được

. Quan sát bất đẳng

thức ta thấy có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi vậy ta cần chọn
các số

để được bất đẳng thức

Đồng thời đẳng thức

đúng với

.

Dễ dàng chọn được
Khi đó ta có thể giải được bài toán như sau:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Chứng minh tương tự ta được

Do đó ta có

Ta cần chứng minh được
Bất đẳng thức đó tương đương với

Hay
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì

Như vậy đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng.
Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại
Ví dụ 1.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
minh rằng:

.

. Chứng

Phân tích và lời giải
Tương tự như ví dụ trên ta chọn được
Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

, khi đó áp dụng bất đẳng

Hoàn toàn tương tự ta được

Ta cần chứng minh
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Thật vậy, áp dụng một đánh giá quen thuộc và kết hợp với giả thiết, ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.15: Cho các số thực a, b thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Giả sử đẳng thức xẩy ra tại

. Từ đó ta mạnh dạn

đưa vào các số p, q để có đánh giá như sau

Và đánh giá trên xẩy ra dấu bằng tại
đó ta có thể chọn

, ta được

.

Hoàn toàn tương tự với biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

ta có thể chọn
Lời giải

Từ đó ta được

Ta cần chọn m, n sao cho

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

từ

Khi đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.16: Cho các số thực a, b tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Giả sử đẳng thức xẩy ra tại

. Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các

số p, q để có đánh giá như sau

Ta cần chọn p, q sao cho đẳng thức xảy ra khi x = y = a nên
đó ta có thể chọn

.

Tương tự với biểu thức
với biểu thức

từ

ta có thể chọn
ta có thể chọn

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

.

Lời giải

Từ đó ta được

Ta cần chọn m sao cho
Với giá trị vừa tìm của m ở trên ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

và

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ
đại lượng

về đại lượng

hoặc

ngược lại. Để rõ hơn ta xét một số ví dụ sau
Ví dụ 2.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh

rằng:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 2.2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể đưa đưa đại lượng dưới các
dấu căn ở vế trái vào trong cùng một căn thức, chú ý chiều bất đẳng thức ta liên
tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Do đó ta được
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Để ý là

. Do đó ta nghĩ đến việc đưa hai đại lượng

dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta
liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng

Do đó ta được

, ta được

, tương tự ta có

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại

.

Ví dụ 2.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý nếu ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành

Bất đẳng thức trên gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng
phân thức. Tuy nhiên ở đây ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
xem sao.
Ta cần đánh giá đại lượng
đó ta viết

sao cho xuất hiện

thành

, do
, đến đây ta áp

dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Do đó ta có

Suy ra ta được
Bất đẳng thức được chứng minh.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.5: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Phân tích: Chú ý đến giả thiết có đại lượng
chứng minh cho đại lượng
có

đánh

giá

và trong bất đẳng thức cần

. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta

theo

bất

đẳng
.

Đến

thức
đây

ta

Bunhiacopxki
chỉ

cần

đánh

là
giá

là xong.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2.6: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy nếu đánh giá từ vế trái sang vế
phải của bất đẳng thức thì rất khó khăn, do đó ta tìm cách đánh giá từ vế phải sang
vế trái, tức là ta cần chứng minh được bất đẳng thức kiểu
dấu

đẳng

thức

xẩy

ra

khi

và

chỉ

khi

. Dự đoán
nên

ta

viết

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

được

, chú ý đến chiều của bất đẳng thức cần chứng minh
ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta đánh giá được

về

,

tuy nhiên đánh giá này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ bất đẳng thức
Bunhiacopxki.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có

Do đó ta được
Hoàn toàn tương tự ta được
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.7: Cho các số thực

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy trong căn thức thứ nhất có chứa nhân tử
a và trong căn thức thứ hai lại có chứa nhân tử

, để ý là

sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để triệt tiêu đi biến a

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

nên ta sẽ

Khi này ta được

. Không cần quan

tâm đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta có

.

Đến ta đây ta lặp lại đánh giá như trên thì bài toán được hoàn tất.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có

Do đó ta được
Dễ dàng chứng minh được

. Áp dụng vào bài toán ta

được

Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Hay
Vậy ta có
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 2.8: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
.
Phân tích: Bất đẳng thức trên có các biến độc lập nhau, do đó nếu đánh giá làm
giảm đi số biến thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Ta chú ý đến sự xuất hiện của đại
lượng

ở vế trái và

ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh.

Sự xuất hiện này làm cho ta suy nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để
đánh giá đại lượng

làm sao cho xuất hiện đại lượng

. Như vậy ta

sẽ có đánh giá sau

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ta quy bài toán về chứng minh

. Bất đẳng thức

này chỉ có hai biến và có thể chứng minh được bằng phép biến đổi tương đương.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng

ta được

Bài toán đưa về chứng minh

Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được
Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng
minh.
Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Nhận xét: Bất đẳng thức này còn được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng
thức Bunhiacopxki kết hơp với nguyên lý Dirichlet như sau:
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số a, b, c luôn tồn tại hai số cùng không
lớn hơn 1 hoặc không nhỏ hơn 1.
Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là b và c, khi đó ta được
.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Bài toán quy về chứng minh
Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được

.

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả sử trên. Vậy bài toán được chứng
minh.
Ví dụ 2.9: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Tương tự như trên, ta chú ý đến sự xuất hiện đại lượng
ở vế trái và
lượng

ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Ta cần đánh giá đại
làm sao cho xuất hiện đại lượng

. Để thực hiến được

đánh giá đó ta để ý đến phép biến đổi

.
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Bài toán quy về chứng minh
Đây là một đẳng thức đúng vì
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2.10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Phân tích: Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành

Quan sát giả thiết ta viết bất đẳng thức cần chứng minh được thành

Đến đây ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki với cách áp dụng như
các ví dụ trên.
Lời giải
Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau

Hay
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Bài toán đưa về chứng minh

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.

Đây là một bất đẳng thức đúng vì

Ví dụ 2.11: Cho các số thực a, b, c > 1 thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Sự xuất hiện đại lượng
cùng với chiều của bất
đẳng thức cần chứng minh là cơ sở để ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki. Tuy nhiên ta cần đánh giá làm sao để xuất hiện
và với sự xuất hiện của đại lượng
càng có cơ sở.

. Để ý ta có

thì nhận định trên

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Do đó ta được
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2.12: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Các đại lượng trong bất đẳng thức có dạng phân thức nên điều đầu tiên
ta nghĩ đến là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tuy nhiên do
bậc ở mẫu lớn hơn trên tử nên việc đánh giá sẽ khó khăn hơn. Do đó ta tính đến sử
dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản, nhưng để dễ đánh giá hơn ta viết
bất đẳng thức lại thành

Đến đây áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Đánh giá cuối cùng chính là bất đẳng thức Neibiz.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có

Dễ dàng chứng minh được

Do đó ta có

Hay
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.13: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Tương tự như ví dụ trên ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh
thành

Ta thấy

và

Đến đấy ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như lời giải sau đây
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có

.

Do đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
minh rằng:

. Chứng

Phân tích: Chú ý đến giả thiết và chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng
thức Bunhiacopxki là

.

Lời giải
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được

Áp dụng tương tự ta có

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Cách 2: Đặt

. Từ giả thiết ta suy ra

.
.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
Do đó ta có

Áp dụng tương tự ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 2.15: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacoxki là

Lời giải
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Do đó

, chứng minh tương tự ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi
Ví dụ 2.16: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy khi và chỉ khi
Ví dụ 2.17: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

.

Quan sát giả thiết và chiều bất đẳng thức cần chứng minh ta liên tưởng đến
bất đẳng thức Bunhiacopxki. Bất đẳng thức không xẩy ra dấu đẳng thức tại
mà lại xảy ra tại

. Do đó ta có đánh giá bất đẳng thức

trên theo hướng giảm biến. Vì vai trò của a, b, c như nhau nên ta giả sử c là số lớn
nhất, khi đó ta có đánh giá
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Đến đấy ta đặt

, do đó ta có

Khi đó ta được

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
Hay
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại

và

các hoán vị của nó.
Ví dụ 2.18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý đến đánh giá
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Do đó ta có
Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức

Ta cần chứng minh
Hay
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Mà
Do đó
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.19: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh

rằng:

Phân tích: Để ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.

Do đó ta được

Chứng minh tương tự ta được

Do đó ta có bất đẳng thức

Ta cần chứng minh

hay

Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 2.20: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích: Quan sát biểu thức ta thấy có thể viết biểu thức về dạng

Yêu cầu của bài toán cùng với cách phát biểu của biểu thức làm ta liên tưởng
đến bất đẳng thức Bunhiapcopxki
Lời giải
Biến đổi biểu thức P ta được

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Nên
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.
Ví dụ 2.21: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải
Biến đổi biểu thức ta có

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Do đó ta được
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và x, y, z là các số thực.
Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý là
đại lượng

, do đó ta thêm vào hai vế cùng một
và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Lời giải

Đặt

. Khi đó ta có

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Do đó ta được
Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.23: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải
Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là khử căn bậc
hai bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Tuy nhiên đánh giá trên lại là một đánh giá ngược chiều.
Để ý ta thấy bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức hoán vị, có một kinh
nghiệm khi chứng minh bất đẳng thức đó là nếu ta biến đổi từ bất đẳng thức hoán vị
về thành bất đẳng thức đỗi xứng thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Với kinh
nghiệm đó ta thử biến đổi bất đẳng thức về dạng đối xứng xem sao. Quan sát đại
lượng vế trái ta có thể đối xứng hóa như sau

Đến đây ta có thể khử căn bất đẳng thức trên bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki như
sau

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Tiếp tục biến đổi tương đương ta được

Đây là một bất đẳng thức đúng.
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 2.24: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải
Ta đối xứng hóa bất đẳng thức trên thành

Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Biên đổi tương đương ta được

Theo bất đẳng thức Cauchy ta được

. Do đó ta cần chứng minh

được

Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được

Đây là một đánh giá đúng quen thuộc.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng
dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một
lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.
Ví dụ 3.1: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự
nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 3.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự
nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Nhận xét: Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi

thì ta thu được bất

đẳng thức

Để ý ta lại thấy

, khi đó ta được bất đẳng thức

Ví dụ 3.3: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ
đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như
thế mà áp dụng thì không được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng
thích hợp.
Để ý là

.

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
Tuy nhiên đánh giá trên ta một đánh giá đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi khi và chỉ khi
Ví dụ 3.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Ta lại có
Do đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 3.5: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích: Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn
nên ta có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Nhưng thực sự bất ngờ khi cách áp dụng như thế này lại không giúp ta giải
quyết được bài toán vì đánh giá trên là một đánh giá không đúng. Nên buộc ta phải
tìm hướng giải quyết khác

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Để ý ta thấy

. Khi đó ta

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức như sau
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Khi đó ta cần chứng minh được

Theo bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 3.6: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức có tử là các lũy thừa bậc hai, tuy nhiên ta không thể áp
dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như các ví dụ trên vì ta sẽ thu được bất đẳng thức
ngược chiều. Để ý ta thấy có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân
thức kiểu

Ta cần xác định được x và y sao cho tổng của chúng là

và

đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra. Xét đến vai trò đối xứng của b và c trong biểu thức
ta có thể xác định được

, khi đó ta được

Đến đây ta có thể giải được bài toán trên.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng tương tự ta được

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 3.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh

rằng:

Phân tích: Sự xuất hiện biểu thức

và chiều của bất đẳng thức cần

chứng minh làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức với
cách đánh giá tương tự như ví dụ trên. Như vậy ta cần viết

về dạng

, ta cần xác định được các đai lượng
. Để ý đến giả thiết
ta

có
...