ĐỀ THI HỌC KỲ I CỦA CÁC TRƯỜNG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC TRƯỚC
CÂU 4 HÌNH VÀ CÂU 5
Bài 4.
B
K
I
E

A

C

M

D

N

a) Vì M là trung điểm AC, BD nên I là tâm ABCH là hình bình hành
b) Ta có
( vì cùng bằng AB) suy ra ACDB là hình bình hành. Mà góc A
vuông nê ACDN là hình chữ nhật
c) ta có A trung điểm BN và AK//MN nên K trung điểm BI.
Ta có MI//AK, và M trung điểm AC nên I trung điểm KC. Do đó KC=2KB
d) Ta có EBMN là hình thoi, do đó để EBMN là hình vuông thì tam giác ABC có thêm
điều kiện AB=2BC.
Câu 5. Cho a thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức:

Hướng dẫn
T a có

Bài 4 (3,5 điểm): Cho
vuông góc với
và

.

tại

vuông tại
,

vuông góc với

,
tại

là trung điểm của
. Gọi

. Kẻ

là giao điểm của

a) Chứng minh rằng tứ giác
b) Gọi

là hình chữ nhật.

là điểm đối xứng của

qua

c) Chứng minh rằng ba điểm

,

. Chứng minh rằng
d) Kéo dài

tại

, cho

a) Chứng minh tứ giác

(

tại

)

(

tại

)

,
. Tính độ dài đoạn
Hướng dẫn

.

)

là hình chữ nhật.

b) Chứng minh

là hình thoi.

Ta có

là hình chữ nhật nên

Hay

.
có

.

là trung điểm của

Xét tứ giác

và

(chứng minh trên)

là trung điểm của

(

Do đó, tứ giác
Mà

đối xứng với

là trung điểm của

.

qua

là hình thoi.

c) + Chứng minh ba điểm

,

,

thẳng hàng.

là hình chữ nhật (theo câu a) và
là trung điểm của

Mặt khác vì
Do đó

cắt

tại

(gt).

.

là hình thoi (theo câu b) nên
và

Suy ra

)

là hình bình hành.

nên tứ giác

Ta có

nên

có

là trung điểm của

Mà

tạ i

là hình chữ nhật.

vuông tại

Vậy tứ giác

Suy ra

vuông góc với

có
(

Xét

thẳng hàng/ Kẻ

là hình thoi.

.

cắt

Xét tứ giác

,

. Chứng minh tứ giác

(vì

và

.

)

là hình bình hành.
là trung điểm của

Hay ba điểm
+ Chứng minh

,

,

(chứng minh trên) nên

thẳng hàng.
.

cũng là trung điểm của

.

Ta có

là hình chữ nhật (theo câu a) và

Suy ra

là trung điểm của

Lại có

vuông tại

Suy ra

và

tại

(gt).
(1)

)

(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra
Do đó

hay

vuông tại

hay

là giao điểm của

và

d) Tính
Xét

tại

. Hay

(

Hay

Gọi

cắt

.
.

.
có

Suy ra

và

.

là các đường trung tuyến. Do đó

là trọng tâm của

.

Mặt khác, vì

vuông tại

nên

(định lý Py-ta-go)

.
Suy ra

(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
.

Xét

và

có

(hai góc đối đỉnh)
(

đối xứng với

qua

)

(cặp góc so le trong,
Vậy
Suy ra

là hình thoi nên

(g.c.g)
(cặp cạnh tương ứng)

Do đó

.

Bài 5 (0.5 điểm): Cho

Chứng minh rằng:

và

thỏa mãn

)

.

Hướng dẫn
Điều kiện:

và

Ta có

Do đó

hoặc

Vai trò của
Khi đó

hoặc

như nhau nên giả sử

Vậy
(điều phải chứng minh).
Bài 4 (3.5 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh AB, CD.
a) Tứ giác AECF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: Tứ giác AEFD là hình chữ nhật.
c) Vẽ điểm M đối xứng với F qua D và điểm N đối xứng với A qua D. Ch ứng
minh: Tứ giác AMNF là hình thoi.
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với AF, EF. Chứng minh:
Hướng dẫn
a) Ta có:

Hơn nữa
b) Ta có:

( do ABCD là hình chữ nhật )

. Vậy AECF là hình bình hành.

A

E

B

( do ABCD là hình chữ nhật )
K
I
M

Hơn nữa

D

, suy ra AEFD là hình bình hành.

Ta lại có:
N

F

C

Vậy ABFD là hình chữ nhật.
c) Do M là điểm đối xứng với F qua D nên

Do N là điểm đối xứng với A qua D nên

Hơn nữa
Vậy AMNF là hình thoi.
d) Xét
có :
E là trung điểm của AB

Do đó I là trung điểm của DK hay
Xét
có :
F là trung điểm của DC

Do đó K là trung điểm của BI hay

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy
Bài 5 (0.5 điểm): Cho
Tính giá trị của biểu thức
Hướng dẫn

Bài 4 (3.5 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh AB, CD.
e) Tứ giác AECF là hình gì? Vì sao?
f) Chứng minh: Tứ giác AEFD là hình chữ nhật.
g) Vẽ điểm M đối xứng với F qua D và điểm N đối xứng với A qua D. Ch ứng
minh: Tứ giác AMNF là hình thoi.
h) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với AF, EF. Chứng minh:
Hướng dẫn
b) Ta có:

Hơn nữa
b) Ta có:

( do ABCD là hình chữ nhật )

. Vậy AECF là hình bình hành.

A

E

B

( do ABCD là hình chữ nhật )
K
I
M

Hơn nữa

D

, suy ra AEFD là hình bình hành.

Ta lại có:
Vậy ABFD là hình chữ nhật.
c) Do M là điểm đối xứng với F qua D nên

N

F

C

Do N là điểm đối xứng với A qua D nên

Hơn nữa
Vậy AMNF là hình thoi.
e) Xét
có :
E là trung điểm của AB

Do đó I là trung điểm của DK hay
Xét
có :
F là trung điểm của DC

Do đó K là trung điểm của BI hay

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy
Bài 5 (0.5 điểm): Cho
Tính giá trị của biểu thức
Hướng dẫn

Câu 1. Cho tam giác

vuông tại

đoạn thẳng

đối xứng với

. Điểm

a. Chứng minh tứ giác

Gọi

là trung điểm của

qua

là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật

.
b. Kẻ

Gọi E là điểm đối xứng với

qua

. Chứng minh

và
c. Tính tỉ số
d. Chứng minh tứ giác

là hình thang cân.
Hướng dẫn
GT

KL

a) Cm

là hình chử nhật,

b) Cm

c)
d)

là hình thang cân?

Giải
a) Ta có

là hình bình hành 

Và
Vậy

là hình chử nhật.

b) Xét
Ta có

và
là đường trung bình
và

c) Ta có

Ta lại có :

Vậy
d) Ta có

là hình thang.

Ta lại có
Mà

là đường trung trực của
(

là hình chử nhật ).

Từ
và
là hình thang cân.
Bài 4 (3,5 điểm): Cho ∆ABC có 3 góc nhọn AB < AC. Các đường cao BE, CF c ắt nhau
tại H. Gọi M là trung điểm của BC. K là điểm đối xứng với H qua M.
a. Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành
b. Chứng minh: BK ⊥ AB và CK ⊥ AC
c. Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh: T ứ giác BIKC là hình thang
cân.
d. BK cắt HI tại G. Tam giác ABC phải có thêm đi ều ki ện gì đ ể t ứ giác GHCK là
hình thang cân.
Hướng dẫn
A
a. Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành
Tứ giác BHCK có 2 đường chéo BC và HK
cắt nhau tại trung điểm M mỗi đường
nên Tứ giác BHCK là hình bình hành
b. Chứng minh: BK ⊥ AB và CK ⊥ AC
Do Tứ giác BHCK là hình bình hành suy ra

E
F

B

H
D

M

G
c. Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh: Tứ giác
I BIKC làK hình
thang cân.
Gọi D là giao của BC và HI,
suy ra D là trung điểm của HI
mà M là trung điểm của Hk
suy ra DM là đường trung bình trong tam giác HIK
suy ra DM // IK hay IK // BC (1)
Lại có BK = IC (=HC)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác BIKC là hình thang cân.
d. BK cắt HI tại G. Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK là
hình thang cân.
Ta có tứ giác GHCK là hình thang (do GK // HC) nên đ ể hình thang GHCK là
hình thang cân thì cần thêm điều kiện là 2 góc kề 1 đáy bằng nhau.
Giả sử

Mặt khác CH là đường cao (gt) do đó tam giác ABC cân tại C

C

Vậy Tam giác ABC phải có thêm điều kiện cân tại C đ ể t ứ giác GHCK là hình
thang cân.
Bài 5 (0,5 điểm): Cho các số

thỏa mãn điều kiện:

Hãy tính giá trị biểu thức
Hướng dẫn

Câu 5: Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc BAC (
). Từ D kẻ các
đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt AC, AB tại E và F.
a) Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình thoi.
b) Trên tia AB lấy điểm G sao cho F là trung đi ểm AG. Ch ứng minh: T ứ giác EFGD là
hình bình hành.
c) Gọi I là điểm đối xứng của D qua F, tia IA cắt tia DE t ại K. G ọi O là giao đi ểm c ủa
AD và EF. Chứng minh: G đối xứng với K qua O.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADGI là hình vuông.
Hướng dẫn

a) Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình thoi.

Xét tứ giác AEDF có
nên tứ giác AEDF là hình bình hành.
Mà có AD là tia phân giác của góc A nên tứ giác AEDF là hình thoi.
b) Chứng minh: Tứ giác EFGD là hình bình hành.
Xét tứ giác EFGD có
(do
) và
Suy ra tứ giác EFGD là hình bình hành.
c) Chứng minh: G đối xứng với K qua O.
Chứng minh tương tự câu b, ta được tứ giác AEFI là hình bình hành.

.

Xét tứ giác AKDG có
và
Suy ra tứ giác AKDG là hình bình hành.
Mà có O là giáo điểm của AD và FE nên O là trung điểm của AD và FE (vì AEDF là
hình bình hành)
Vì tứ giác AKDG là hình bình hành và O là trung điểm AD nên O là trung điểm GK.
Vậy G đối xứng với K qua O.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADGI là hình vuông.
Xét tứ giác ADGI, có
F là trung điểm AG
F là trung điểm DI
Suy ra tứ giác ADGI là hình bình hành
Mà
Nên tứ giác ADGI là hình chữ nhật.
Ta có tứ giác ADGI là hình vuông
góc IAD
Khi đó

hình chữ nhật ADGI có AG là tia phân giác của

, mà AD là tia phân giác của góc BAC nên góc BAC có

số đo là
.
Vậy khi tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác ADGI là hình vuông.

Câu 6: Tính giá trị biểu thức:
Hướng dẫn
Ta có:

Bài 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, g ọi D là
trung điểm của AC, lấy điểm E đối xứng với H qua D.
a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật
b) Qua A kẻ AI song song với HE (I ∈ đường thẳng BC). Chứng minh tứ giác AEHI
là hình bình hành.
c) Trên tia đối của tia HA lấy điểm K sao cho AH = HK. Ch ứng minh AK là tia
phân giác của góc IAC.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác CAIK là hình vuông, khi đó t ứ giác
AHCE là hình gì?
Hướng dẫn
A

E

D

I

B

H

C

K

a) Xét tứ giác AHCE có D là trung điểm AC; D là trung điểm HE (vì E đối xứng với H
qua D)
AHCE là hình bình hành (1)
Lại có:
(2)
Từ (1) + (2) suy ra AHCE là hình chữ nhật
b) Ta có: AE // HC (vì AHCE là hình chữ nhật)
AH // IH (vì
)
Xét tứ giác AEHI có AI // HE và AE // IH suy ra AEHI là hình bình hành

c) Ta có: AC = HE (vì AHCE là hình chữ nhật) và AI = HE (vì AEHI là hình bình hành)
AI = AC
Xét
Vì

cân tại A

cân tại A có AH là đường cao

AH cũng là đường phân giác

AK là tia phân giác của góc IAC

d) Xét
cân tại A có AH là đường cao
AH cũng là đường trung tuyến
H là
trung điểm IC
Xét tứ giác CAIK có H là trung điểm của IC, H là trung điểm của AK (vì K đối xứng
với A qua H)
CAIK là hình bình hành mà lại có
CAIK là hình thoi

(vì

)

để CAIK là hình vuông khi và chỉ khi AK = IC

vuông cân tại A
vuông cân tại A
Khi đó: hình chữ nhật AHCE cũng là hình vuông vì có AH = HC.
Bài 5 (0,5 điểm).
Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau, thỏa mãn:
a3 + b3 + c3 = 3abc và abc ≠ 0. Tính P =
Hướng dẫn
Ta có:

Vì a, b, c đôi một khác nhau suy ra
Thay vào P ta được:

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH. G ọi I là
trung điểm của AB. Lấy điểm K đối xứng với B qua H. Qua A dựng đường th ẳng song
song với BC cắt HI tại D.
a) Tứ giác AKHD là hình gì? Chứng minh?
b) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật. T ừ đó tính di ện tích c ủa t ứ giác
AHBD nếu AH = 6cm; AB = 10cm.
c) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác AHBD là hình vuông?
d) M là điểm đối xứng với A qua H. Chứng minh: AK ⊥ CM.
Hướng dẫn
C
a)
Tứ giác AKHD là hình bình hành vì AD//KH; AK//HD.
b)
Tứ giác AHBD là hình chữ nhật vì
Diện tích:
c)

K

và góc

M

H
A

I
D

B

Để tứ giác AHBD là hình vuông thì
suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.
d)
Dễ thấy tứ giác AKMB là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm tại
mỗi đường và vuông góc với nhau suy ra AK//BM.
Dễ chứng minh được
Vậy
Bài 5

(0,5

(c.c.c) suy ra

điểm).

Cho

các

số

thực

hay
x,

y

thỏa

mãn

đẳng

thức:

Tính giá trị của biểu thức:
Hướng dẫn
Có:

Vì

nên

Nên
Bài 3 (3.5 điểm): Cho

cân tại

Gọi

lần lượt là trung điểm của các

cạnh
a) Chứng minh tứ giác

là hình thang cân.

b) Gọi
là điểm đối xứng với
nhật.
c) Gọi

và

d) Gọi

là hình chiếu của

Chứng minh tứ giác

lần lượt là giao điểm của

kiện gì để tứ giác
của tam giác

qua

trên cạnh

là hình vuông? Khi
biết

cm.

với

Tam giác

và

là hình chữ
Chứng minh

phải có thêm điều

là hình vuông, tính diện tích

Hướng dẫn

a) Vì

là đường trung bình của tam giác

Suy ra
Và

Do đó
(

cân tại

b) Ta có

là hình thang.
). Vậy

là hình thang cân.

là hình bình hành.

Mà

cân có

Vậy tứ giác

là đường trung tuyến cũng là đường cao. Hay
là hình chữ nhật.

c) Ta có

là hình bình hành.

Suy ra

là trung điểm của hai đường chéo

Tam giác

có hai đường trung tuyến

và
và

cắt nhau tại

Nên

là

trong tâm của tam giác

Vậy
d) Vì

là hình chiếu của

góc với

trên

nên

Suy ra

).

Trong tam giác

có

là trung điểm của

(cùng vuông

Hay

là đường trung bình của tam giác

Suy ra

Và

Hơn nữa,
Để
Tam giác

, do đó

Nên

là hình bình hành.

là hình chữ nhật.

là hình vuông thì
có

là trung tuyến và

nên

vuông tại

Hay
Mà

(do

là đường trung bình của

).

Ta suy ra
Vậy tứ giác

là hình vuông khi và chỉ khi tam giác

Bài 4 (3.5 điểm): Cho tam giác

vuông tại

là chân các đường vuông góc hạ từ

xuống

vuông cân tại

, đường cao

. Gọi

lần lượt

và

a. Chứng minh
b. Gọi

là trung điểm của

c. Chứng minh
d. Gọi

và

. Chứng minh:

vuông góc với

là trung điểm của

a. Ta có:
b. Ta có:

là giao điểm của

. Chứng minh
Hướng dẫn

là hình chữ nhật
vuông tại
cân tại

có

là đường trung tuyến
(1)

Mặt khác:

cân tại
(2)

Từ
c. Ta có:

(đpcm)
là đường trung trực của

Mà

d. Ta có:

Bài 5 (0.5 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2y2 – 2xy + 4y + 2014
Hướng dẫn
Ta có

Vì
nên
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2010 khi x – y = 0 và y + 2 = 0 hay x = y = –2
Bài 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Kẻ MH,
MK lần lượt vuông góc với AB và AC (H thuộc AB và K thuộc AC).
a) Chứng minh tứ giác AKMH là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BHKM là hình bình hành
c) Gọi E là trung điểm của MH, gọi F là trung đi ểm c ủa MK. Đ ường th ẳng HK c ắt
AE, AF lần lượt tại I và J. Chứng minh HI = KJ.
d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử tam giác ABG vuông tại G và
(cm). Tính độ dài EF.
Hướng dẫn

a ) xét tứ giác AKMH có:
(vì

- gt)

(do

B

-gt)

(do
-gt)
Vậy tứ giác AKMH có 3 góc vuông, do
đó AKMH là hình chữ nhật (dấu hiệu
nhận biết hình chữ nhật).

M

E

H
I

G

F

J
A

K

b ) Do AKMH là hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên MK//AB.
Do M là trung điểm BC (gt) nên MK là đường trung bình của tam giác ABC.
Từ đó MK//HB và

(1).

+) Do AKMH là hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên MH//AC.
Do M là trung điểm BC (gt) nên MH là đường trung bình của tam giác ABC.
Từ đó H là trung điểm AB. Do đó

(2).

Do đó, từ (1) và (2), ta có
, MK // HB.
Vậy BHKM là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c ) Gọi O là trung điểm AM. Khi đó O là trung điểm HK do AKMH là hình chữ
nhật.
Tam giác AHM có 2 trung tuyến HO, AE cắt nhau tại I.
Tam giác AKM có 2 trung tuyến AF, KO cắt nhau tại J.
Theo tính chất đường 3 đường trung tuyến trong tam giác ta có:

Mà

(do O là trung điểm HK). Từ đó HI = KJ.

d ) Ta có:
Vậy, áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABG ta có:

C

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A nên
Kết hợp (1), (2) ta được:
Trong tam giác MHK, EF là đường trung bình của tam giác nên HK = 2EF.
Trong tam giác ABC, HK là đường trung bình của tam giác nên BC = 2HK.
Do đó: BC = 4EF.
Vậy EF = 3 (cm).
Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số hữu tỉ a, b, c và d thỏa mãn điều kiện:

Tính giá trị của biểu thức
Hướng dẫn
Từ điều kiện

, ta có

Do đó:

Từ đó :
Vậy
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho

có

, từ trung điểm

sao cho
a) Tứ giác

cắt

tại

của

kẻ tia

, từ

kẻ tia

.

là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh
c) Gọi

là giao điểm của

điểm của
d) Gọi

với

với

là giao điểm của

với

Chứng minh

là giao điểm của

với

. Chứng minh
Hướng dẫn

thẳng hàng.

là giao

C

N

F

D

E

G
B

M

a) Vì

A

(1)

tương tự, ta có:
Từ (1) và (2), ta được:

(2)

là hình bình hành (3)

Mặt khác,

(4)

Từ (3) và (4), ta được:
là hình thoi (dhnb)
b) Vì BMNC là hình thoi(cmt) nên ta có: BN  CM (1)
Ta có: CN / / BM và M là trung điểm AB (gt)
Mặt khác: CN BM (cmt)
CN / / MA
 
 CNAM
CN MA
là hình bình hành.
 CM / / NA (2)
Từ (1) và (2), ta được: BN  AN (đpcm)
c) Ta có: CNAM là hình bình hành(cmt)
 D là trung điểm của AC và MN (t/c hbh) (1)
Tương tư: E là trung điểm của BN và CM ( vì BMNC là hình thoi) (2)

Từ (1) và (2), ta được: ED là đường trung bình của tam giác CMA .

1
ED  MA
 ED / / MA và
2
(1)
mà F  ED
 FD / / CN (vì CN / / MA )
 F là trung điểm NA (đ/l đường trung bình).
 FD là đường trung bình của tam giác CNA

1
 FD  CN
2
(2)
Ta có:

CN MA cmt 

(3)

Từ (1);(2) và (3), ta được: ED DF (đpcm).
d) Xét tam giác NAB có:
E là trung điểm BN (cmt)

M là trung điểm BA (gt)
NM  BA  G ( gt )

. Suy ra: G là trọng tâm tam giác NAB (1)
Mà F là trung điểm NA (cmt)
Do đó, BF là trung tuyến (2)
Từ (1) và (2), ta được: B, G, F thẳng hàng (đpcm).
2
2
2
Bài 5 (0,5 điểm): Cho các số x, y, z dương thỏa mãn x  y  z 1
1
1
1
M 
 2 2
2
16x
4y
z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn
2

2

2

Ta có ( x, y, z )  0 và x  y  z 1
1
1
1
M 
 2 2
2
16x
4y
z
Áp dụng BĐT AM-GM, ta được:
1
22
42
(1  2  4) 2
M 



16 x 2 16 y 2 16 z 2 16( x 2  y 2  z 2 )
49
 M
16

Dấu “ ” xảy ra khi:
1
2
4
7
1
2
4

 2   x2  ; y2  ; z 2 
2
2
16 x
16 y
16 z
16
7
7
7
Vậy

MinM 

49
1
2
4
x2  ; y2  ; z 2 
16 khi
7
7
7.

Bài 4 (1.5 điểm): Cho ABC cân tại A , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AC .
Lấy điểm D đối xứng với điểm H qua điểm I
a) Chứng minh tứ giác ADCH là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác ADHB là hình bình hành

c) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB . Chứng minh điểm A đối xứng với
điểm H qua đường thẳng EI

1
AF  AC
3
d) Gọi giao điểm của BD và AC là F . Chứng minh
Hướng dẫn
a) Ta có IA IC ; ID IH , vậy tứ giác ADCH có hai đường chéo cắt nhau tại trung

điểm mỗi đường nên ADCH là hình bình hành và H 90 nên ADCH là hình chữ
nhật.
b) ADCH là hình chữ nhật  AD HC mà HC HB  AD HB (1)
Ta lại có AD / / HB ( do ADCH là hình chữ nhật)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra Chứng minh tứ giác ADHB là hình bình hành
c) Xét AHB vuông tại H có E là trung điểm của đoạn thẳng AB nên HE EA (*)
ADCH là hình chữ nhật  IA IH (**)
Từ (*) và (**) suy ra A đối xứng với điểm H qua đường thẳng EI
d) Ta có AD / / BC , theo talet ta có

AF AD 1
AF 1
AF
1
AF 1
1

 
 


  AF  AC
FC BC 2
FC 2
AF  FC 1  2
AC 3
3
A
D

F
E

I

B

C

H

3
3
Bài 5 (1.5 điểm): Cho x; y là các số dương thỏa mãn: x  8 y  6 xy  1 0

Tính giá trị biểu thức:

x

2018

1

 y  
2


2019

Hướng dẫn
Cách 1: Ta chứng minh:
a 3  b3  c 3  3abc a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  

1
2
2
2
a  b  c   a  b   b  c   c  a  
2

Thật vậy
a 3  b 3  c 3  3abc a 3  b 3  3ab a  b   c 3  3abc  3ab a  b  a  b   c 3  3ab a  b  c 
3

a  b  c   a  b   a  b c  c 2   3ab a  b  c 


2

a  b  c a 2  2ab  b 2  ac  bc  c 2   3ab a  b  c 

a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  

1
2
2
2
a  b  c   a  b   b  c   c  a  
2

2
2
2
x 3  8 y 3  6 xy  1 0   x  2 y  1   x  2 y   2 y  1  1  x   0


Vì x  0; y  0  x  2 y  1 0

x  2 y   2 y  1  1  x 
Vậy 
2

2

 x  2 y 0

 2 y  1 0 
1  x 0

Thay vào

P x

2

0

 x 1



 y  2

2018

1

 y  
2


2019
2018

ta có

P 1

1 1
  
 2 2

2019

1  0 1

x 3 ; 2 y  ;13
Cách 2: Do x  0; y  0 nên áp dụng bất đẳng thức Coossi cho 3 số
3

x 3  2 y   13 3 3 x 3 . 2 y  .13 6 xy
3

Ta có

3

 x 1



 y  2
x

2
y

1
Dấu bằng xảy ra khi
Thay vào

P x

2018

1

 y  
2


2019
2018

ta có

P 1

Bài 4 (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tại
điểm E đối xứng với điểm B qua D .

1 1
  
 2 2

A ,  AB  AC 

2019

1  0 1

. Gọi D là trung điểm của AC . Vẽ

a) Chứng minh: Tứ giác ABCE là hình bình hành
b) Gọi M là điểm đối xứng với B qua A . Tứ giác AMEC là hình gì? Vì sao?

c) Kéo dài MD cắt BC tại I . Vẽ đường thẳng qua A song song với MD cắt BC ở K .
Chứng minh: KC 2 BK
d) Cho AC 8cm, BC 10cm . Tính diện tích của tứ giác MECB
Hướng dẫn
B
K
I
A

D

C

E

M

 DB DE
 ABCE

DA

DC

a) Chỉ ra
là hình bình hành.
 EC / / AB  EC / / AD
 
 ACEM

EC

AB
EC

AD


b)
là hình bình hành.
0

Mặt khác CAM 90  ACEM là hình chữ nhật.
c) ID / / AK mà D là trung điểm AC  I là trung điểm KC .

AK / / MI mà A là trung điểm BM  K là trung điểm
BI  BK KI IC  KC 2KB
d) Sử dụng Pytago tính được AB 6cm .
Diện tích hình thang AECB là

S

EC  MB
6  12
.ME 
.8 72cm 2
2
2

Bài 5 (0,5 điểm). Ông Giáp có 15m hàng rào rất đẹp. Ông muốn rào một sân vườn hình
chữ nhật để đạt được diện tích lớn nhất. vườn ngay sát tường nhà đ ể m ột chi ều
không phải rào. Hỏi diện tích sân vườn đó là bao nhiêu m 2 ?
Hướng dẫn
Gọi kích thước hai cạnh của hình chữ nhật là x, y .

15
15
x y  m
x  y
2 suy ra
2
Suy ra
( mét)

15
225
 15

S  xy   y  . y  y 2  y 

2
2
16


Diện tích hình chữ nhật là:

2

15 
225

 y
 
4
16 .


15
15
y  x
4
4.
Dấu bằng xảy ra khi
225 2
m
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng 16
Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao. G ọi D và E l ần
lượt là hình chiếu của điểm M lên AB và AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật
b) Lấy I đối xứng với D qua A, K đối xứng với E qua M. Chứng minh DK = IE.
c) Gọi O là giao điểm của AM và DE. Chứng minh 3 điểm K, O, I thẳng hàng
d) Gọi P, Q thứ tự là trung điểm của BM, CM. Chứng minh tứ giác DPQE là
hình thang vuông
Hướng dẫn

o
  
a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì A D E 90

b) Vì tứ giác ADME là hình chữ nhật (cmt) nên AD ME, AD ME
Mà I đối xứng với D qua A, K đối xứng với E qua M nên DI KE, ID KE
 Tứ giác IDKE là hình bình hành
 DK IE
c) Vì O là giao điểm của AM và DE nên O là trung điểm của AM và DE.
Lại có tứ giác DKEI là hình bình hành (cmb) nên O cũng là trung điểm của KI.
Vậy 3 điểm K, O, I thẳng hàng.

d) Ta có BDM vuông tại D, DP là đường trung tuyến ứng với cạnh huy ền BM
nên
1
DP BP PM  BM


2
=> PDM cân tại P => PDM PMD , ta cũng có DOM



cân tại O ( OD = OM theo tính chất hình chữ nhật) => ODM OMD
o
o




Ta có: DMO  PMD 90  ODM  MDP 90  DP  DE (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có EQ  DE (2)
Từ (1), (2) suy ra DP EQ (3)
Từ (1), (3) suy ra tứ giác DPQE là hình thang vuông.
Bài 5 (0,5 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz 1 . Tính giá trị biểu thức:

1
1
1
M


1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx
Hướng dẫn

M

xyz
xyz
1
xyz
xyz
1





1
2
xyz  x yz  xy xyz  y  yz 1  z  zx xy  z  xz  1 y  xz  1  z  1  z  zx

Bài 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D là điểm đối
xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC . Gọi I là giao điểm của AB và

DH , K là giao điểm của AC và EH .
a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba điểm D, E , A thẳng hàng
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM ⊥ IK
Hướng dẫn
B
D

H

I

M

O
P
A

K

C

E
a) Chỉ ra tứ giác AIHK có 3 góc vuông  AIHK là hình chữ nhật.



b) Vì H đối xứng D qua AB  DAB HAB ( tính chất đối xứng trục)


Vì H đối xứng E qua AC  EAC HAC ( tính chất đối xứng trục)
0
0



Mà BAC 90  DAE 2.BAC 180  A, D, E thẳng hàng.
c) Gọi O là giao AH và IK , P là giao AM và IK .





Chỉ ra OH OK  OKH OHK BCA ( cùng phụ góc KHC ) MAC ( vì
AM MC MB : Tính chất trung tuyến tam giác vuông)
0
0
0





mà OKH  OKA 90  MAC  OKA 90  APK 90

2
2
Bài 5 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 5 x  9 y  12 xy  24 x  48 y  81
Hướng dẫn
Ta có:

M 9 y 2 –12 y  x  4   4  x  4  – 4  x  4   5 x 2  24 x  81
2

2

2

 3 y – 2  x  4   x 2 – 8 x 17 3 y – 2 x – 8    x – 4  1 1

Dấu bằng xảy ra khi

2

3 y  2 x  8 0


 x  4 0

2

 x 4


16
 y  3

 x 4

min M 1  
16
 y  3
Vậy

A  AB  AC 
Câu 5 (3,5 điểm) Cho ABC vuông tại
, đường cao AH . Gọi M là trung
điểm của BC , D là điểm đối xứng với A qua M . trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao
cho HE  HA
1
HM  DE
2
a) Chứng minh HM / / ED và
.
b) Chứng minh ABDC là hình chữ nhật
c) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của E lên BD và CD, EP cắt AD tại K
Chứng minh DE DK

d) Chứng minh 3 điểm H , P, Q thẳng hàng
Hướng dẫn
a) Chứng minh MH là đường trung bình của AED
b) Xét tứ giác ABDC có:
M là trung điểm của BC (gt)
M là trung điểm của AD ( D đối xứng với A qua M )

⇒ ABDC là hình bình hành

Mà   BAC 90 ⇒ ABDC là hình chữ nhật


c) CBD BDE (2 góc so le trong, BC / / DE )
 MDB

CBD
( MBD cân, có lập luận)
⇒ DEK cân tại D (có lập luận) ⇒ DE DK
d) Chứng minh PH là đường trung bình của AEK
⇒ PH / / AK , tức PH / / AD (1)
Gọi I là giao điểm của PQ với ED  I là trung điểm của ED
Chứng minh PI là đường trung bình của DEK  PI / / DK
Mà I  PQ; K  AD  PQ / / AD (2)
Từ (1) và (2)  H , P, Q thẳng hàng
Câu 6 (0,5 điểm)
2
2
2
2
Tìm x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau: ( x  z )  ( y  z )  y  z 2 xy  2 yz  6 z  9
Hướng dẫn

x – y – z    y – z    z – 3
Biến đổi về dạng: 
2

-

2

2

0

Lập luận và chỉ ra x 6, y 3, z 3
Bài 5 (3,5đ): Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E trên cạnh BC, điểm F thuộc tia đối
của tia DC sao cho

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với EF tại H, cắt CD

tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD, cắt AK tại I.
a) Tứ giác ABEI là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh
c) Chứng minh tứ giác

Từ đó suy ra

và

là hình thoi

d) Chứng minh ba điểm

thẳng hàng.

Bài 6 (0,5đ): Tìm các cặp số nguyên dương (x, y) biết:
Bài 5 (3,5đ): Cho hình vuông
của tia DC sao cho

. Lấy điểm E trên cạnh BC, điểm F thuộc tia đối
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với EF tại H, cắt CD

tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD, cắt AK tại I.
a)Tứ giác
b)Chứng minh

là hình gì? Vì sao?
Từ đó suy ra

và

c)Chứng minh tứ giác

là hình thoi

d)Chứng minh ba điểm

thẳng hàng.
Hướng dẫn .

A

a) Vì ABCD là hình vuông

B

2

1

Lại có

nên tứ giác
là hình thang

Mà  

I

nên

vuông

H

b) tam giác vuông
vuông

và tam giác

1

F

có :

(c.g.c)
Nên

D

; 

 

 

c)Chứng minh được

vuông cân tại A có

AH là đường trung trực của EF và AH là phân giác của  
Mà I,K thuộc AH

(1)

IEF cân tại I có IH là đường cao
Lại có IE // FK

nên

IH là phân giác của  
FIK cân tại F

Từ (1) và (2) ta có

Trên đoạn thẳng

FI=FK(2)

tứ giác FIEK là hình thoi

d) Chứng minh ba điểm

thẳng hàng

lấy điểm Q sao cho

có : H là trung điểm của FE , D là trung điểm của FQ
DH là đường trung bình của
Vì

E

1 2

là hình thang

(1)

K

Q

C

ECQ vuông cân tại C

 

Lại có DB là đường chéo của hình vuông

Nên  

DB là phân giác của  

mà đây là hai góc đồng vị

Từ (1) và (2)

(2)

thẳng hàng

Bài 6 (0,5đ): Tìm các cặp số nguyên dương (x, y) biết:
Hướng dẫn
Ta có

Mà

nên

là ước của 5 . Ta có bảng :
1

5

5

1

4

8

7

3

Vậy

Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác
Từ

kẻ
a)

vuông góc với

vuông ở
tại

và

Chứng minh tứ giác

b) Gọi

Chứng minh tứ giác

là trung điểm của cạnh

vuông góc với

tại

là hình chữ nhật

là điểm đối xứng của

qua

và

qua

là điểm đối xứng của

là hình thoi

c) Chứng minh:
d)

cắt

tại

Chứng minh ba điểm
Hướng dẫn

thẳng hàng.

 

A
D

E

B

C

M
P

Q
I

a) Tứ giác

là hình chữ nhật vì

b) Tứ giác
giác

là hình bình hành vì

mà

( Tứ

là hình chữ nhật) nên là hình thoi

mà

( tứ giác

là hình thoi)  nên

nên
mà

( tứ giác

c) Tứ giác

là đường trung bình của tam giác

hay

là hình thoi)  nên

là hình bình hành vì

và

mà

nên là hình chữ nhật suy ra
Tương tự: tứ giác
mà
Tứ giác
BC nên

là hình bình hành vì

và

nên là hình chữ nhật suy ra
là hình chữ nhật vì

cũng là trung điểm của

Bài 4: (0,5 điểm) Xác định hằng số

chia cho

dư

mà
hay ba điểm

thỏa mãn
Hướng dẫn

là trung điểm của
thẳng hàng.

chia cho

dư