CÁC BÀI TOÁN VỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT
I. Các dạng toán
Dạng 1. Dùng dấu hiệu chia hết để viết số tự nhiên
1. Phương pháp:
Bước 1. Gọi số cần tìm có dạng

,

,

, ….

Bước 2. Sử dụng dấu hiệu chia hết 2, 3, 5, 9 để lựa chọn các giá trị thích hợp cho
từng chữ số.
2. Ví dụ 1
Cho 5 chữ số: 0, 1, 2, 4, 5. Từ 5 chữ số đã cho có thể viết được:
a) Bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 ?
b) Có thể viết bao nhiêu chữ số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chữ số
hàng trăm bằng 4 ?
c) Có thể viết được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?
Bài giải
a) Số cần tìm có dạng
- Có 4 cách chọn a (1, 2, 4, 5)
- Có 5 cách chọn b (0, 1, 2, 4, 5)
- Có 5 cách chọn c (0, 1, 2, 4, 5)
- Có 2 cách chọn d (0, 5 )
Ta có : 4

5

5

2 = 200 cách chọn

Kết luận: Có 200 số có 4 chữ số chia hết cho 5.
b) Số cần tìm có dạng

hoặc

+ Nhóm 1:
- Có 3 cách chọn a (1, 2, 5)
- Có 2 cách chọn b (3 cách trừ 1 cách đã chọn a)
Ta có : 3 2 = 6 cách chọn
+ Nhóm 2:

- Có 2 cách chọn a (1, 2 )
- Có 2 cách chọn b (0 và 1 hoặc 2 )
Ta có : 2 2 = 4 cách chọn
Kết luận: Có thể viết 10 số (6 + 4 = 10) có 4 chữ số chia hết cho 5 mà chữ số hàng
trăm bằng 4.
c) Số phải tìm có dạng
- Có 3 cách chọn a ( 1, 2, 4 )
- Có 3 cách chọn b ( 0 và 2 chữ số còn lại)
- Có 2 cách chọn c ( 2 chữ số còn lại)
- Có 1 cách chọn d ( chữ số cuối cùng)
Ta có 3 3 2 1 = 18 cách chọn số
Kết luận: Có thể viết được 18 số lẻ có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Dạng 2: Dùng dấu hiệu chia hết để tìm các chữ số chưa biết của một số tự
nhiên
1. Phương pháp
Áp dụng dấu hiệu chia hết
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên A =
là số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 3 và 4.
Bài giải
- Vì A chia hết cho 4 nên

(2 chữ số tận cùng) chia hết cho 4. Suy ra b = 0, 4, 8.

- Vì A có 5 chữ số khác nhau nên b = 0 và 8.
+ Khi b = 0 , A có dạng :
Vì A chia hết cho 3 nên 3+a+4+6+0 = a +13 chia hết cho 3. Suy ra a = 2, 5, 8
Số phải tìm là: 32460, 35460, 38460.
+ Khi b = 8, A có dạng :

Vì A chia hết cho 3 nên 3 + a + 4 + 6 + 8 = a + 21 chia hết cho 3. Suy ra a = 0, 3,
6, 9.
Vì A có 5 chữ số khác nhau nên ta chọn a = 0 và 9
Số phải tìm là 30468, 39468
Kết luận: Các số cần tìm là32460, 35460, 38460, 30468, 39468.
Ví dụ 2. Cho số 47, hãy viết 1 chữ số bên phải và 1 chữ số bên trái để nhận được số
lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 2, 3 và 5.
Bài giải
Gọi chữ viết thêm vào bên phải là a, số bên trái là b. Số phải tìm có dạng A=
- Vì A chia hết cho 2 nên b= 0, 2, 4, 6, 8.
- Vì A chia hết cho 5 nên b= 0, 5.
- Vì A chia hết cho 2 và 5 nên b= 0. Thay b= 0 vào A ta có :
Số phải tìm A là A =
- Vì A chia hết cho 3 nên :
a+ 4 + 7 + 0 = a + 11 chia hết cho 3
Suy ra a = 1, 4, 7.
Để A là số lớn nhất có 4 chữ số, ta chọn a = 7.
Số phải tìm là : 7470.
Dạng 3: Các bài toán về phép chia có dư
1. Phương pháp
- Một số chia cho 2 dư 1 thì chữ số hàng đơn vị của nó bằng 1, 3, 5, 7, 9.
- Một số chia cho 5 dư 1 thì chữ số hàng đơn vị của nó bằng 1 hoặc 6; nếu dư 2 thì
hàng đơn vị bằng 2 hoặc 7; nếu dư 3 thì hàng đơn vị bằng 3 hoặc 8; nếu dư 4 thì
hàng đơn vị bằng 4 hoặc 9.
- Số tự nhiên A và tổng các chữ số của nó khi chia cho 9 có cùng số dư.
- Nếu A chia cho B dư 1 thì A – 1 sẽ chia hết cho B.
- Nếu A chia cho B dư B – 1 thì A + 1 sẽ chia hết cho B.
2. Ví dụ

Ví dụ 1. Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên n =
số có 4 chữ số khác nhau khi chia cho 2, 5, 9 đều dư 1:

là

Bài giải
- Vì n chia cho 5 dư 1 nên b = 1, 6.
+ Nếu b = 1, thay vào n ta có n =
- Vì n chia cho 9 dư 1 nên a + 7 + 5 + 1 = a + 13 chia cho 9 dư 1. Suy ra a = 6.
- Vì n chia cho 3 dư 1 nên a + 7 + 5 + 1 = a + 13 chia cho 3 dư 1. Suy ra a = 3 hoặc
6 hoặc 9.
- Vì n chia cho 3 hoặc 9 đều dư 1 nên ta chọn a = 6.
Thay a = 6 vào n, ta có n = 6751.
+ Nếu b = 6 thay vào n ta có n =
- Vì n chia cho 9 dư 1 nên a + 5 + 7 + 6 = a + 18 chia cho 9 dư 1. Suy ra a = 1.
- Vì n chia cho 3 dư 1 nên a + 5 + 7 + 6 = a + 18 chia cho 3 dư 1. Suy ra a = 1 hoặc
4 hoặc 7.
- Vì n chia cho 3 hoặc 9 đều dư 1 nên ta chọn a = 1.
Thay a = 1 vào n, ta có n = 1756.
Kết quả:
a = 6 và b = 1 ta có n = 6751.
a = 1 và b = 6 ta có n = 1756.
Ví dụ 2. Viết thêm vào bên phải số 91 ba chữ số để nhận được một số có năm chữ
số khác nhau khi chia cho 2 dư 1 , chia cho 5 dư 3, chia cho 9 không dư.
Bài giải
Gọi số phải tìm là n =

ta có:

- Vì n chia cho 5 dư 3 nên c = 3 hoặc 8 (1)
- Vì n chia cho 2 dư 1 nên c = 1, 3, 5, 7, 9 (2).
và (2) suy ra: c = 3.
Thay c = 3 vào n: n =

- Vì n chia hết cho 9 nên 9 + 1 + a + b + 3 = a + b + 13 chia hết cho 9. Suy ra a + b
= 5 hoặc 14.
+ Nếu a + b = 5 thì:
a = 0; b = 5 hay a = 5 ; b = 0.
a = 1; b = 4 hay a = 4 ; b = 1.
a = 2; b = 3 hay a = 3 ; b = 2.
Do n là các chữ số khác nhau nên chọn a = 0, b = 5 hoặc a = 5, b = 0.
- Nếu a = 0 thay vào n: n = 91053.
- Nếu a = 5 thay vào n: n = 91503.
+ Nếu a + b = 14 thì:
a = 8 ; b = 6 hoặc a = 6, b = 8.
- Nếu a = 8 thay vào n: n = 91863.
- Nếu a = 6 thay vào n: n = 91683.
Ví dụ 3. Cho số tự nhiên A. Viết các chữ số của A theo thứ tự ngược lại ta được số
tự nhiên B lớn gấp 3 lần A. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 9.
Bài giải
Vì B = 3 A nên tổng các chữ số của B chia hết cho 3, tổng các chữ số của A cũng
chia hết cho 3.
Vì B và A có các chữ số bằng nhau nên tổng các chữ số của A và B bằng nhau và
chia hết cho 3.
Vì A chia hết cho 3 nên A = 3 k (k là số tự nhiên).
Suy ra B = 3A = 3 3 k = 9 k
Suy ra B chia hết cho 9.
Vì B chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của B chia hết cho 9.
Suy ra tổng các chữ số của A cũng chia hết cho 9.
Suy ra A chia hết cho 9.
Ví dụ 4. Không làm phép tính hãy cho biết kết quả sau đúng hay sai ?
723 +

= 1235

Bài giải
723 chia hết cho 3 vì 7 + 2 + 3 = 12 (chia hết cho 3).
tổng các chữ số 3 a chia hết cho 3.
Vì 1235 có 1 + 2 + 3 + 5 = 11 không chia hết cho 3 nên bài tính sai.
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho 6 chữ số: 0, 1, 4, 5, 7, 8:
a) Có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho.
b) Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chính số hàng trăm
bằng 1.
c) Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chính số hàng
chục là số lẻ.
d. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2 và 5 lớn hơn 2004.
Bài 2: Thay x và y bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên
có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 3 và 5.

là số

Bài 3: Hãy viết thêm vào bên phải số 123 ba chữ số để nhận được số nhỏ nhất có 6
chữ số khác nhau chia hết cho 2, 5 và 9.
Bài 4: Hãy viết thêm vào bên phải số 312 một chữ số và bên trái hai chữ số để nhận
được số nhỏ nhất có 6 chữ số chia hết cho 4, 5 và 9.
Bài 5: Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên n =
khi
chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 4. Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất thoả mản các điều
kiện nói trên.
Bài 6: Hãy viết thêm vào bên trái số 714 hai chữ số và bên phải một chữ số để nhận
được số nhỏ nhất có 6 chữ số khi chia cho 3, 4, 9 đều dư 1 và chia cho 5 thì không
dư.
Bài 7: Cho số tự nhiên A. Viết các chữ số của A theo thứ tự ngược lại thì ta được
số tự nhiên B gấp 9 lần A. Chứng minh rằng B chia hết cho 81.
Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia cho 2; 3; 4; 5 và 7 đều dư
1.
Bài 9: Cho số
. Tìm a; b để khi thay vào số đã cho ta được số có 5 chữ số
chia cho 2 dư 1; chia cho 5 dư 3 và chia cho 9 dư 7.

Bài 10: Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 567 để được số lẻ có 6 chữ số khác
nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.
Bài 11: Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 2; 3 và 5, biết rằng khi đổi chỗ các chữ số
hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi.
Bài 12: Hãy viết tất cả các số có ba chữ số khác nhau từ bốn chữ số 0 ; 4 ; 5 ; 9
thỏa mãn điều kiện:
a) Chia hết cho 2
b) Chia hết cho 4
c) Chia hết cho 2 và 5
Bài 13
a) Có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số mà các chữ số của nó đều là số
chẵn.
b) Có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà các
chữ số của nó đều là số lẻ?
Bài 14.
a) Có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau mà các chữ số của nó
đều là số chẵn.
b) Có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà các
chữ số của nó đều là số chẵn?
Bài 15: Tìm a và b để

chia hết cho 36.

Bài 16: Tìm a và b để số

chia hết cho 9 và chia cho 5 dư 1.

Bài 17: Cho số
. Hãy tìm x và y để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết
cho 2, 3 và chia cho 5 dư 4.
Bài 18: Cho A=

Tìm x và y để A chia cho 2, 5 và 9 đều dư 1.

Bài 19: Hãy viết thêm ba chữ số vào bên phải số 543 để được một số chẵn có sáu
chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.
Bài 20: Hãy viết thêm hai chữ số vào bên phải và một chữ số vào bên trái số 54 để
được số lớn nhất có năm chữ số thỏa mãn tính chất: chia số đó cho 4 dư 3, cho 5 dư
4 và cho 9 dư 8.
Bài 21: Một cửa hàng hoa quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng
một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104 ; 115 ; 132 ; 136 và 148 quả. Sau

khi bán được 1 rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số
cam. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu quả mỗi loại?
Bài 22: Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ trứng gà và trứng vịt (mỗi rổ chỉ đựng một
loại trứng). Số trứng trong mỗi rổ theo thứ tự lần lượt là: 45 ; 56 ; 60 ; 66 ; 75 ; 85
và 92 quả. Sau khi bán hết 6 rổ, chỉ còn lại 1 rổ trứng gà, người bán hàng thấy rằng
trong số trứng đã bán, số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà. Hỏi lúc đầu cửa hàng có
bao nhiêu quả trứng mỗi loại?
Bài 23: Một tháng có 3 chủ nhật là ngày chẵn. Hỏi ngày 15 của tháng đó là thứ
mấy?
Bài 24: Một chuỗi các viên bi được sắp xếp theo quy luật sau: 5 viên xanh, 4 viên
đen, 4 viên trắng, 5 viên xanh, 4 viên đen, 4 viên trắng,... Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi
màu của viên thứ 321 là màu gì? Màu của viên thứ 508 là màu gì?
Bài 25: Cho M là một số có ba chữ số và N là số có ba chữ số viết theo thứ tự
ngược lại của M. Biết M lớn hơn N. Hãy chứng tỏ rằng hiệu của M và N chia hết
cho 3.
Bài 26: Nếu đem số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số thì cả hai phép chia
đều có số dư bằng nhau. Hãy tìm số dư của hai phép chia đó.
Bài 27: Một người hỏi anh chàng chăn cừu : “Anh có bao nhiêu con cừu ?”. Anh
chăn cừu trả lời : “Số cừu của tôi nhiều hơn 4000 con nhưng không quá 5000 con.
Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3 còn chia cho 25 thì dư 19”.
Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu ?