SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM

TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

GV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN

CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

-

Các phương pháp giải PT vô tỉ

1) Phương pháp lũy thừa.
2) Phương pháp đặt ẩn phụ.
3) Phương pháp biến đổi thành tích.
4) Phương pháp nhân liên hợp
5) Phương pháp đánh giá.
6) Phương pháp hàm số.

-

Các phương pháp giải BPT vô tỉ

1) Phương pháp lũy thừa.
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
3) Phương pháp nhân liên hợp
4) Phương pháp đánh giá.

Tài liệu được biên soạn bởi : Nguyễn Trường Sơn
Số điện thoại : 0988.503.138
Gmail : ngoisaocodon1911@gmail.com

I.

BÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Phương pháp lũy thừa.

- Nêu các dạng phương trình cơ bản.
Bài 1 Giải các phương trình
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Bài 2 Giải phương trình
a)
b)
c)
Bài 3 Giải phương trình
a)

b)

c)

(Phải thử , loại nghiệm)

Bài 4 Giải phương trình
a)
b)
c)

II.

. Bình phương 2 lần. nghiệm
Bình phương 2 lần. nghiệm

Phương pháp đặt ẩn phụ.

1) Dạng 1 : Phương trình có chứa
Bài 1 Giải phương trình.
a)

Nghiệm

b)
c)
d)
Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệm
a)
b)
Bài 3 Giải phương trình :
a)
b)
2) Dạng 2 : Phương trình có chứa
Bài 4 Giải phương trình
a)

Nghiệm

b)
c)
d)
Bài 5 (B – 2011) Giải phương trình :
-

Đặt

. Nghiệm

Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm
a)
b)

c)
3) Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Bài 7 Giải phương trình
a)

Đặt

nghiệm

b)
Nghiệm

c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
4) Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ.
Bài 8 Giải phương trình.
a)

bình phương, chia

b)

chia cho

c)

Chia 2 vế cho

Bài 9 Giải phương trình
a)
b) (Thi thử ninh giang 2013)
-

Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được

c)
-

Chuyển vế, bình phương ta được :

Đặt
Nghiệm

và đặt

thử lại

-

Chia 2 vế cho

Nghiệm

5) Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.
 Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba.
Bài 10
a)

Đặt

b)

Đặt

- Phương trình đã cho có dạng
c)
-

Cách 1 : Đặt

. PT

- Cách 2 : Đặt
d)
-

trong đó căn thường
nghiệm :

, thay vào PT ta được
(Thi thử NG 2013)

Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được

e)
-

Nghiệm :
Chuyển vế, bình phương ta được :

Bài 11. Giải phương trình :
-

Điều kiện :

. Bình phương 2 vế ta có :

-

Ta có thể đặt :

-

Do

khi đó ta có hệ :

. nên

-

.
.Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

Bài 12. Giải phương trình :
-

Đặt

.
. ta có :

Bài 13 Giải phương trình :
-

Đặt

ta được phương trình :

.

-

Chú ý có thể sửa lại đề bài thành :

-

Bài tập tương tự :

- Bài tập tương tự :
6) Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Bài 14 Giải phương trình
-

Đặt

- Thay vào phương trình có :
- Thay (1) vào (2) và rút gọn được
Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)
a)
(A – 2009)

Nghiệm

b)

Nghiệm

c)

Nghiệm

d)

Nghiệm

e)

Nghiệm

f)

Nghiệm

g)
7) Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt.
Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt)
a)

PT vô nghiệm.

b)

Đặt

c)

Đặt

d)

Đặt

III.

Phương pháp biến đổi thành tích.

Bài 1 Giải phương trình
a)
- Phương trình
b)

HD

c)
Bài 2 Giải phương trình
a)
b)
c)
d)

IV.

Phương pháp nhân liên hợp.

1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm hữu tỉ, khi đó
phương trình luôn viết được thành
và
có thể vô nghiệm hoặc giải được.
2) Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị
để trong căn là bình phương hoặc lập phương.
Bài 1
a) (Khối B 2010) Giải phương trình :
-

PT

. Nghiệm duy nhất

b) Giải phương trình :
-

Nghiệm duy nhất

PT

c) (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình :
-

ĐK:

. Pt

0,25

-

0,25

-

TH 1.
TH 2.

-

pt

(TMPT)

0,25

0,25

-

Do

nên

- Vậy phương trình có 2 nghiệm là
Bài 2 Giải phương trình

. Đẳng thức xảy ra
và 5

a)

Nghiệm

b)
c)
-

. Nghiệm duy nhất
Nhận xét

để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm.

d)
e)
- Nghiệm
Bài 3 Giải phương trình :
a)
-

vô nghiệm.
.

Ta có
Nhân với biểu thức liên hợp ta được :

b)

. Từ phương trình

-

.

Bài 4. Giải phương trình :
-

Điều kiện :
.
Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

-

-

Ta chứng minh :

- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 7 Giải phương trình
a)
.
b)
c)
d)
e)
f)
Bài 8 Giải phương trình :
a)
b)
c)
d)

V.

Phương pháp đánh giá.

Bài 1 Giải các PT sau :
a)

Nghiệm

b)
c)

Nghiệm

d)

Nghiệm

e)
Bài 2 Giải PT sau :
a)
-

VT :

VP. Nghiệm

b)

Nghiệm

c)
Bài 4. Giải phương trình:

(1)

Mà :

và

Do đó ta có:

.
.

Bài 5 Giải phương trình
-

Bình phương 2 vế ta được :

-

Áp dụng bđt bunhia :

-

VT

. Áp dụng cosi

.
. Nghiệm

.

VI.

Phương pháp hàm số.

1) Cơ sở phương pháp :
- Để giải phương trình :
ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến.
- Xét hàm số
luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà có
.
2) Bài tập.
Bài 1 Giải các phương trình.
a)
.
b)

. Chuyển vế, nghiệm duy nhất

c)

. Chuyển vế, nghiệm duy nhất

.
.

Bài 2 (CĐ – 2012) Giải phương trình
-

Nhân 2 vế với 2 và biến đổi phương trình
Xét hàm số

-

Từ phương trình có

Bài tập tương tự :

Hàm số luôn đồng biến.

a)
b)

Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm :
, vẽ bảng biến thiên
Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm :
-

Cô lập tham số,

Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm :
Bài 6 (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm :
-

Cô lập tham số

Bài 7 (B – 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm :
- Đặt ẩn phụ :
Bài 8 (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi

phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :

- Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba.
Bài 9 Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 10 Tìm m để phương trình có nghiệm

BÀI 2 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I)

Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản :

-

Dạng 1 :

-

Dạng 2 :

- Dạng 3 :
Bài 1 Giải bất phương trình :
a)
b)
c)
d)
Bài 2 Giải bất phương trình :
a)
b)
c)
d)
e)
Bài 3 Giải bất phương trình :
a)
b)
c)
Bài 4 Giải bất phương trình :
II)
Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1 Giải bất phương trình :
a)
b)
c)
Bài 2 Giải bất phương trình :
a)
b)

Kết quả :
Kết quả :

Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình
-

Chia 2 vế cho

và đặt

Bài 4 (Thử GL – 2013) Giải BPT :
- Điều kiện :
.
- Bình phương 2 vế và rút gọn ta được :
-

Chia 2 vế cho

và đặt

. Nghiệm

Bài 5 Giải bất phương trình
a)
-

Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được

b)
- Chuyển vế, bình phương ta được :
- Nghiệm
Bài 6 (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT
- Điều kiện :

. Đặt

0,25

- Bpt trở thành
-

TH 1.
TH 2.

. Thỏa mãn BPT
. Chia hai vế cho
. Đặt

ta được

0,25

và giải BPT ta được

0,25

-

-

. Kết hợp

ta được

0,25
-

. Vậy tập nghiệm của BPT là S =

 Cách 2 : Có thể biến đổi BPT về dạng tích
 Bài tập tương tự :

Phương pháp nhân liên hợp.
Bài 1 Giải bất phương trình :
a)
b)

Nghiệm

Bài 2 Giải bất phương trình :
a) Giải phương trình :
-

. Nhẩm nghiệm

BPT

. Trong ngoặc

b) Giải phương trình :
-

Nghiệm

Nhẩm nghiệm

BPT

III) Phương pháp đánh giá.
Bài 1 Giải các PT sau :
a)

Nghiệm

b)
c)

Nghiệm

d)

Nghiệm

e)
Bài 2 Giải PT sau :
a)

VT :

VP

b)
Bài 5 (A – 2010) Giải BPT :
-

Ta có

-

Mặt khác ta lại có :

-

Từ đó

-

Dấu bằng khi

nên

.
.