Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

CHUYÊN ĐỀ 17.TÍCH PHÂN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tích phânCho hàm số
- Tích phân từ

đến

liên tục trên đoạn

của hàm số

nguyên hàm bất kì của

Tài liệu tự học hè 2026-2027

.

xác định bởi

trên đoạn

với

là một

.

- Quy ước:

.

- Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu của biến số:
- Ý nghĩa hình học:
Nếu

liên tục và không âm trên

thì

là diện tích

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng

Cho các hàm số

trên đoạn

là

liên tục trên đoạn
(

Câu 1. Biết

. Khi đó:
;

;

là hàm số liên tục trên
A.

.

là số thực thỏa mãn

B.

C.

và
B.

.

là số thực);

A. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 2.Cho
A. .

, trục hoành và hai

.

- Giá trị trung bình của hàm số
2. Tính chất của tích phân

Tính

. Tích phân

.

C.

Câu 3.Cho hàm số

.

có đạo hàm

đoạn
và đồ thị hàm số
như hình bên. Tìm mệnh đề đúng

D.

D. .
liên tục trên

trên đoạn

được cho

.

B.

.

C.

.

D.

.

. Khi đó
B.

và

bằng:

A.

Câu 4.Cho
A. .

của

bằng:
C. .

.
1

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 5.Cho hàm số

Tài liệu tự học hè 2026-2027

liên tục trên

Nếu biết
A. .

và

và

là số thực tùy ý thuộc đoạn

, thì giá trị của
.
C.

B.

là bao nhiêu?
.

D.

Câu 6.Một vật chuyển động với vận tốc
Tính quảngđường vật đi được trong khoảng thời gian từ

, với thời gian
đến
.

A.

C.

.

B.

Câu 7.Cho hàm số
Khi đó
Câu 8.Biết
A.
.

A.

B.

B.

.

và

Câu 10.Biết rằng
trị của

thì

Câu 13.Cho hàm số
A. .

liên tục trên
B.
.

Câu 14.Nếu

và

Câu 15.Nếu

thì

Câu 16.Cho hàm số

Câu 17. Cho
A. .
Câu 18.Nếu

. Biết
C.

và
B.
thì

.

D.

.

B.

C.

.

D.

.

.

B. -4.

C. 12.

D. 4.

bằng
D. .

B.

C.

.

. C.

.

D.

.

D. .

là một nguyên hàm của hàm số

A. .

B.

.

. Giá trị tích phân
C. .

2

. Giá

.

. B.

bằng: A. . B.

,
C.

bằng:A.
.

.

B. .

.

. Biết hàm số

.

và

thì

. Giá trị của

.

D.

bằngA. 8.

bằng:A. .

thoả mãn

D.

.

thì

liên tục trên

.

.

. Tích phân

.

bằng.

trên đoạn

bằng A.

Câu 12.Cho

D.

bằng
C. 5.

là một nguyên hàm của hàm số
A.

.

là số thực tùy ý thuộc đoạn

thì tích phân
B.
.

bằng

Câu 11.Nếu

và

.
.

C.
. Tính
C.

liên tục trên đoạn

D.

và

.

và

Câu 9.Cho hàm số

trên

.

.

tính bằng giây.

.

có đạo hàm liên tục trên đoạn

bằng

Nếu
A. 11.

.

.

C.

.

bằng
D. .
.

C. .

D. .

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 19.Cho hàm số
bằng
A.
.

liên tục trên
B. .

Câu 20.Nếu

thỏa mãn

và

bằngA.

liên tục trên

.

thì

Câu 25.Cho

. Giá trị của

Câu 26.Cho hàm số
A.
. B.
.

C.

D.

C.

.

D.

.

.

Câu 30.Cho

. Tính

Câu 32.Cho hàm só
bằng A. 2.

liên tục trên
. A.

.

và

.

3

.

bằng
.

B.

C.

D.

là hàm số

.

C.

.

C.

.

D.

B. -15.

C. 15.

.

C.

D. -3.

, biết
.

và
C. -6.

.

khi đó giá trị
D.
.

là một nguyên hàm của
B.

D.

. D.

và

A.3.

có đạo hàm liên tục trên đoạn
B. -2.

,

.

. Tính

Câu 31.Cho hàm số
và

B.

C.

.

.

liên tục trên

.

. Tính

B.

A.

.
bằng

C.

. Biết

.

Câu 29.Tìm

D.

B.

và có một nguyên hàm trên

có đạo hàm
B. .

.

D.

bằng: A.

là nguyên hàm của
C.
.

.

.

A.

Câu 28.Cho hàm số
bằng: A. .

C.

. Giá trị của

bằng? A.

Câu 27.Cho hàm số
liên tục trên
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

D. .

D.
B.

trên

.

Câu 24.Nếu

.

.

bằng A. .

B.

.

. Tích phân

là một nguyên hàm của hàm số

A. .

B.

C.

thì

Câu 23.Biết

.

và có

B. .

Câu 22.Nếu

Khi đó
C.

thì

Câu 21.Cho hàm số
A.

Tài liệu tự học hè 2026-2027

D.
. Giá trị của

D. 6.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 33. Biết

Tài liệu tự học hè 2026-2027

,

. Tính

Câu 34.Giá trị của tích phân
Câu 35.Cho hàm số
,
A.

.

bằng. A.

liên tục trên
C.

A.

.

C.

.
,

.

,

và

C.

.

. Giá trị
A. .

.

.

.

.

C.

C. .
.

D. .

D. .
.

B.

.

.
liên tục trên

B.

.

.

C.
.
D.
Câu 44. Phát biểu nào sau đây là đúng?

.

?

.

Câu 43. Phát biểu nào sau đây là đúng? Biết

.

B. .

B.

D.

D.

.

.

B. .

Câu 42. Phát biểu nào sau đây là đúng? A.

A.

.Tính
D.

bằngA.

Câu 41. Phát biểu nào sau đây là đúng?A.

Câu 45. Tích phân

và

D.

biết rằng

A.

trên

bằng

.

B.

A.

.

D. .

có đạo hàm liên tục trên

C.

D.

.

.

. Khi đó
C.

C.

C.

. D.

bằng

.

và

Câu 40.Tính

.

, khi đó

.

Câu 39.Cho

. C.

là một nguyên hàm của
D.

và

Câu 38.Cho hàm số

B.

. B.

bằng:

B. .

Câu 37. Biết
A.
B.

.

. Biết hàm số

. Tích phân

Câu 36.Cho
A.
B.

.A.

.

B.

. C.

.

D.

.

bằng:
B.

.

4

C.

.

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 46. Biết
A.

Tài liệu tự học hè 2026-2027

là một nguyên hàm của hàm số

.

B.

trên

.

C. 3.

.

.

D.

.

B.

.

C.

.

D.

.

A.

Câu 51.Tích phân

.
có giá trị bằng: A.

B. 80.

B.

Giá trị

.

.

. Khi đó

Câu 57. Tích phân

bằng A.

. D.

.

.
. Giá trị của

là

.

C.

.

D. 19.

là nguyên hàm của

.

B.
. Biết
bằng A.

.

.

và thoả mãn

. Biết

. Khi đó

C.

D.

là số thoả mãn

B. 11.

bằng. A.

.

.

bằng

liên tục trên đoạn

là hàm số liên tục trên đoạn

và

.

D.

là hàm số liên tục trên

D.

C.

B.

C. 4.

là A. 9.

Câu 56.Cho

B.

D.

. Biết rằng

.

Câu 55. Cho

.

C. 15.

Câu 54. Cho hàm số

.

.

. Giá trị của

Câu 53.Cho hàm số
A. 2.

C.

có giá trị bằng:A.

Câu 52.Cho hàm số
A. 45.

.

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

. B.

Câu 50.Tích phân

B.

liên tục trên

A.

thoả mãn

.

.

Câu 48. Phát biểu nào sau đây là đúng? Biết

Câu 49. Cho

bằng:

D.

Câu 47. Phát biểu nào sau đây là đúng? A.
C.

. Giá trị của

5

.

B. 1.
.

thỏa
C.

là nguyên hàm của
.

B.

trên

C.
C.

trên đoạn
.

.

.

D. 5.
D.

.

và
D.

.

thỏa mãn

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 58.Tính tích phân
Câu 59. Tích phân

. A.
bằng

A.

Câu 60. Tích phân

Câu 63.Giá trị của

.

.

B.
.

C.

.C.
.

B.

,

. Tích phân

.
. Biết hàm số

Câu 69. Tích phân

bằng:A.

. B.

Câu 70. Cho hàm số
A.
.

có đạo hàm trên
B.
.

Câu 71. Tích phân

bằng A.

Câu 72. Tích phân
.

Câu 73. Tích phân

.

D.

D.

.

. C.

.
.

D.

là một nguyên hàm của

.

B.

.

C.

.
B.

bằngA. .

.

D.

C.

Câu 68. Tích phân

.

D.

.

.

bằng

.

bằngA.

D.

.D.

C.

.

.A.
liên tục trên

D. .

C. -1.

B.

Câu 67.Cho hàm số

.

.

C. .

là các tham số thực. Giá trị tích phân
.

. D.

B. .

.

A.

C.

.

bằngA. 0. B. 1.

Câu 66.Tính tích phân

A.

.

.B.
B.

Câu 64.Tính tích phân

A.

B.

bằngA.

bằngA.

Câu 65.Với

.

bằng A.

Câu 61. Tích phân
Câu 62.

Tài liệu tự học hè 2026-2027

B.

.

C.

.

C.
.

C.

, biết
C.
B.

.

trên

.

D.

.

.

D.

.

.

và
.

. Tính
D.
C.

.
và

D.

.
.

.

.

D.

.

có giá trị bằng:
В.

.

C.

bằng A. .

B.
6

.
.

C.

D.
. D.

.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 74. Tích phân

Tài liệu tự học hè 2026-2027

bằngA.

Câu 75. Tích phân

.

B.

có giá trị bằng:A.

Câu 76. Tính tích phân

.

.

B.

C.

.

. D.

C. -1.

.

D. 1.

.

A.
.B.
.C.
.D.
.
Câu 77. Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đờ thị ở hình bên. Tính
quãng đường mà vật di chuyển được trong hai giây đầu tiên.
A.

. B.

.

C.

Câu 78. Tích phân

.

D.

bằng A. 61.

B.

Câu 79. Giá trị của
Câu 80.
A.
. B.

bằng A. 0.
với

.

C.

Câu 81.Giá trị của

Câu 84.Biết rằng
A. 2.
B. 6.

C.

Câu 86.Cho hàm số
A.
B.
.

.

.

D.

B.

. C.

.

D. 7.

đồ thị hàm số

. Biết
và

.

C.

. D.

7

.

D.

.

.

D.
bằng

bằng

.

.
В.

.

). Khi đó

như hình vẽ và diện tích phần tô đậm

. Tính

D. 1.

.

C.

. Khi đó giá trị của
D.
.

là một nguyên hàm của hàm số trên

.

.

B.
(với

D. 4.

.

có đồ thị như hình vẽ, tính
C.
.
D.

Câu 87.Cho hàm số

.

.

.

. C.

C.

.

C. 1.

Câu 85.Cho hàm số
A. 0.
B. 24.

A.

.

bằngA.

C.

. Tính tổng
D.

bằngA.

Câu 83.Giá trị của

.

B.

bằng A. 12.B. 6.

Câu 82.Giá trị của

.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học hè 2026-2027

Câu 88.Đường gấp khúc trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số
trên đoạn
A.

. Tích phân

.

B.

bằng

.

C.

.

D.

Câu 89.Cho hàm số
có đồ thị là hình bên. Gọi
dương biểu diễn cho diện tích của các phần tô đậm phía

trên và phía dưới
A.

.

.Khi đó

B.

.

Câu 90.Nếu
bằng:A. . B.

.

và
C. .

.

D.

.

thì
D. .

Câu 91. Nếu

thì

bằngA.

Câu 92.Nếu

thì

bằngA.

Câu 93.Nếu

thì

Câu 94.Nếu

và

Câu 95.Nếu

thì

Câu 99.Biết
A. .
B. .

Câu 101.Biết
A. .
B.

bằngA.
thì

C.

D.

B.

.

C.

.

D. .

bằngA

.B.

B.

C. .

.

.

bằngA.

.

C.

.

.

D.

.B.

.

D.

.

.

C. .

D. .

bằng?
bằngA. .

.
B.

Khi đó

.

C.

.

D.

.

C. .

D.

.

và

,

bằng

.

D.

.

bằngA. .

B. .

, khi đó
C.

.

.

. Khi đó

và

D.

C.

D.

. Khi đó

.

B. .

C. .

C.

.

.

. Khi đó

và

Câu 100.Biết

.

thì

và

Câu 98.Biết

. B.

bằngA. .

và

Câu 97.Biết
A. .
B. .

là các số

bằng

C.

Câu 96.Nếu

.

bằng

.

D.

.

Câu 102.Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm

8

,

liên tục trên

là

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

các số bất kỳ thuộc

Tài liệu tự học hè 2026-2027

? A.

.

C.

.

Câu 103.Cho

. Tính

.
.A.

và
.

C.

Câu 105. Cho

. B.

.C.

. Tính
D. .

và

, khi đó

B.

.

D.

,

Câu 104. Cho hai tích phân
A. .
B.
.

B.

bằng

C.

D.

A.
Câu 106.Cho
A. .
B. .

,

thì

bằng:

C. .

Câu 107. Cho hàm số

D.

có đồ thị trên đoạn

như hình vẽ (một

phần là nửa đường tròn, một phần là đường gấp khúc). Tích phân
bằng A.

.

B.

.

C.

.

D.

Câu 108. Hình vẽ bên (bao gồm đường gấp khúc
một nhánh của Parabol

A.

và

có phương trình

) là đồ thị của hàm số
Tích phân

.

.

bằng

.

B. 7.

C.

Câu 109. Cho hàm số
trên đoạn

.

D.

.

có đồ thị hàm số

cho bởi hình vẽ bên. Giá trị của biểu thức
là

A.

.

B.

Câu 110. Tích phân
A.

.

B.

.

Câu 111. Tích phân

.

C.

. D.

.

bằng
C.
bằng A.

.

D.
.

B.
9

.

.
C.

.

D. .

. D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 112. Tích phân

Tài liệu tự học hè 2026-2027

bằng A.

Câu 113. Tích phân

.

bằngA.

Câu 114. Tích phân

.

bằngA.

Câu 115. Tích phân

bằngA.

Câu 116. Cho

B.

.
.

C.

.

D. .

B. .

C. .

D.

.

B. .

C. .

D.

.

B.

. Tích phân

B.

.

.

C.

.

D. .

bằng A.

C.

.

Câu 117. Giá trị trung bình của hàm

trên đoạn

Khi đó, giá trị trung bình của hàm

D.

.

được tính theo công thức

trên đoạn

làA.

.

.

B. 18.

C. 6. D. 5.

Câu 118. Một đất nước tiêu thụ dầu theo tốc độ xác định bởi
tỉ thùng mỗi năm, trong đó
thời gian tính theo năm,
. Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là
A.

.

B.

.

Câu 119. Giá trị của

bằngA. 3.

Câu 120. Tính tích phân
D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1.Xét hàm số
a)
c) Gọi

.

A.

trên khoảng

.

.
B. 6.

.

B.

D.
C. 5.

là một nguyên hàm của

Câu 2.Cho hàm số
a)
thì

.

.

d)Nếu

thỏa mãn
thì

là một nguyên hàm của hàm số
.

. D.

.

trên khoảng

.

.

D. 7.

. C.

b)

Khi đó

c)Nếu

C.

b)

.

.
, với mọi
với

.

10

.

là hằng số.

là

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

d)Biết rằng

Tài liệu tự học hè 2026-2027

với

là phân số tối giả. Khi đó

Câu 3.Cho hàm số

và

là một nguyên hàm của hàm số

a) Ta có

. b) Nếu

thì

. c) Nếu

thì

.

d) Cho
là một nguyên hàm của hàm số
, nếu
. Khi
đó:
.
Câu 4.Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi xe ô tô cách
điểm nhập làn 200m, tốc độ của ô tô là
. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ
trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô
nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc đó trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
a)Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m b)Giá trị của
.
c)Quãng đường

( đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây (

) kể từ khi tăng tốc

được tính theo công thức
.
d)Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là
Câu 5.Cho hàm số
a)
c)Nếu

liên tục trên

.

và thoả mãn
thì

trên đoạn

d)
Câu 6. Cho hàm số

thì

.

.

.

có tập xác định là đoạn

d)Nếu hàm số

.

thoả mãn

. Ta có

a)Hàm số

.

b)Nếu

là một nguyên hàm của

.

b)

.

là một nguyên hàm của hàm số

và thoả mãn

c)

.

thì

.

Câu 7.Cho hàm số
a)
c)
d)Gọi

.

b)Hàm số

, với
là nguyên hàm của hàm số

,

là một nguyên hàm của hàm số

là phân số tối giản. Tổng
thỏa mãn

và

.
. Khi đó

, với
là các số hữu tỉ. Tổng
Câu 8. Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm
nhập làn

, tốc độ của ô tô là

. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ
11

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

, trong đó

Tài liệu tự học hè 2026-2027

là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn

cao tốc sau
giây tăng tốc và duy trì sự tăng tốc trong
giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, sau
duy trì tốc độ cao nhất trong
giây đầu trong thời gian còn lại trên cao tốc.
a)Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là
b)Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là

.

.

c)Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian
d)Sau

giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn

giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng

cách đó

đó ô tô

là

.

thì phát hiện chướng ngại vật

, người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với

. Khi đó ô tô dừng lại cách chướng ngại vật

.

Câu 9.Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ
gian tính bằng giây kể từ khi ô tô bắt đầu chuyển động. Đi được

trong đó

người lái xe phát hiện chướng ngại vật

và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
a) Tốc độ của ô tô tại thời điểm

tính từ lúc xuất phát là

là thời

.
.

b) Quãng đường ô tô chuyển động được trong
đầu tiên là
.
c) Quãng đường (đơn vị: mét) mà ô tô chuyển động được kể từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng lại
được tính theo công thức

.

d) Quãng đường ô tô chuyển động được kể từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến khi dừng lại là
Câu 10.Trong một cuộc thử tên lửa,Triều Tiên đã cho phóng một quả tên lửa có gắn đầu đạn hạt nhân với
vận tốc
trong đó đơn vị giây tính từ lúc tên lửa Triều Tiên bắt đầu
phóng và dự định sẽ rơi xuống một vùng biến. Đi được giờ thì bay ngang qua vùng biển thuộc chủ quyền
của Nhật Bản ngay lập tức Rađa nhận được tín hiệu và gửi tín hiệu về căn cứ quân đội. Khi nhận được tín
hiệu của rađa sau
phút quân đội Nhật Bản đã cho phóng một quả têm lửa tầm trung đã được xác định sẵn
mục tiêu đi với gia tốc
trung bắt đầu phóng.

(

),

trong đó

đơn vị giây tính từ lúc tên lửa tầm

a)Vận tốc của tên lửa tầm trung được biểu thị dưới hàm
(m/s),
.
b)Kể từ khi bị Rađa phát hiện đến lúc Nhật Bản phóng tên lửa thì quả tên lửa gắn đầu dạn hạt nhân đi được
km.
c)Sau
phút phóng lên thì tên lửa tầm trung hạ được mục tiêu biết quãng đường nó đi được bằng
đường tên lửa Triều Tiên đi được trong
phút đó khi đó giá trị của
.

quãng

d)Giả sử hàm số
,
(đơn vị: mét) thể hiện độ cao của quả tên lửa
gắn đầu đạn hạt nhân so với mực nước biển. Khi quả tên lửa của Triều Tiên đạt độ cao lớn nhất thì quãng
đường nó đi được là
Câu 11.

km.

Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc

( đơn vị:

) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng

các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian giây khi
tương ứng thời gian giây khi
.

và

12

, biết

có dạng đường Parabol

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học hè 2026-2027

a)Vận tốc của chất điểm tại thời điểm
là
.b)Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian
giây đầu (
) là
.
c)Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian
giây cuối (

) là

.

d)Vận tốc trung bình
của chất điểm trong thời gian giây (
Câu 12.Hai vận động viên và tham dự một cuộc thi
chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời
điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc
lần lượt là

và

. Trong khoảng thời gian

đầu tiên ta có

) thỏa mãn

.

giây chạy

(m/s),
(m/s) (với

là thời gian tính bằng giây).

Hàm số
có đồ thị là một phần của parabol như
hình vẽ
a)Tốc độ chạy lớn nhất của vận động viên
trong khoảng
giây tính từ khi bắt đầu xuất phát là
b)Sau
giây tính từ khi bắt đầu xuất, hai vận động viên cách nhau một khoảng bằng
m.
c)
d)Quãng đường vận động viên
chạy được trong
(giây) tính từ khi bắt đầu xuất phát là
làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 13. Trong đường đua, một chiếc xe công thức I bắt đầu chuyển động

(m/s).

m (kết quả

và nó tăng tốc với gia tốc
không đổi, khi vận tốc đạt
thì
xe chuyển động đều trong thời gian 56 giây; sau đó nó giảm vận tốc với
gia tốc
không đổi cho đến khi dừng lại ( và là các số
dương). Biết rằng tổng thời gian chuyển động của xe là 74 giây.
a) Thời điểm xe đạt vận tốc

là

.

b) Quãng đường mà xe chuyển động với vận tốc không đổi bằng
c)

.

.

d) Tổng quãng đường xe đi được trong 74 giây là
.
Câu 14.Một chất điểm chuyển động trong 19 giây với vận tốc
(đơn vị m/s) là hàm số phụ thuộc thời gian (đơn vị: giây)
có đồ thị như hình vẽ.
a)Tại thời điểm
giây, vận tốc của chất điểm bằng
m/s.
b)Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ
giây đến giây bằng 24m.
c)Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến

giây, đồ thị của

là một phần của đường parabol. Khi đó,
(m/s).
d)Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng
m.
Câu 15.Một người điều khiển xe Taxi xuất phát từ trạm thu phí muốn nhập làn vào đường cao tốc, chuyển
13

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học hè 2026-2027

động tăng tốc với tốc độ
(m/s) (trong đó, là
thời gian tính bằng giây kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu
phí). Từ trạm thu phí đó, một xe Cứu thương cũng xuất phát, chuyển
động thẳng cùng hướng với xe Taxi nhưng chậm hơn giây so với
xe Taxi và có gia tốc bằng
( là hằng số). Sau khi xe Cứu
thương xuất phát được
giây thì đuổi kịp xe Taxi. Biết rằng, xe
Taxi
nhập làn cao tốc sau
giây và cả hai xe duy trì sự tăng tốc trong

giây kể từ khi Taxi rời trạm thu phí.

a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn
khoảng
.
b) Xe Cứu thương chuyển động với gia tốc
.
c) Vận tốc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của xe Cứu thương tại thời điểm đuổi kịp xe Taxi khoảng
.
d) Trong khoảng thời gian kể từ lúc hai xe gặp nhau cho đến giây thứ
(kể từ khi Taxi chuyển động rời
trạm thu phí) vận tốc trung bình của xe Cứu thương lớn hơn vận tốc trung bình của xe Taxi.
Câu 16.Trên đường quốc lộ, một ô tô đang di chuyển với vận tốc
. Cùng lúc, một đoàn tàu chạy cùng hướng và song song
với đường quốc lộ với vận tốc

. Khi ô tô cách đuôi tàu

mét thì ô tô bắt đầu tăng tốc với vận tốc
, với
là thời gian kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc. Khi ô tô đạt đến vận
tốc tối đa cho phép

thì ô tô giữ nguyên vận tốc.

a) Giá trị của bằng
.
b) Thời gian ô tô đạt vận tốc tối đa cho phép là giây.
c)Sau giây kể từ khi ô tô tăng tốc, ô tô đi được quãng đường nhỏ hơn quãng đường của tàu đi được.
d) Thời gian ô tô bắt kịp đuôi tàu kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc là

giây.

Câu 17.Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm
trong đó

tính bằng phút,

là

,

tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số

, với tính bằng phút,
tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát, khinh khi
cầu ở độ cao 520 m và 5 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao 530 m. Khinh khí cầu sẽ trở lại
độ cao khi xuất phát sau 15 phút.
a)
m.
b) Độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm
là
.
c) Giai đoạn khinh khí cầu tăng độ cao kéo dài trong 10 phút kể từ thời điểm xuất phát.
d) Độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m.
Câu 18.Tốc độ di chuyển v(t) của một ca nô trong khoảng thời gian 51giây được xác định như hình vẽ
a) Tại thời điểm
b) Từ thời điểm

vận tốc của ca nô là
đến

.

vận tốc của ca nô tăng.

c) Quãng đường ca nô đi được trong

đầu tiên là

.
d) Quãng đường ca nô đi được trong

đầu tiên là
14

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học hè 2026-2027

.
Câu 19.Một chất điểm chuyển động theo quy luật với tốc độ
, biết rằng

có dạng đường parabol

đường thẳng khi

có đỉnh

khi

và

có dạng

(Hình vẽ).

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

trục

, và

hai đường thẳng
là
(đvdt).
b) Quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây
thứ 5 đến giây thứ 10 là
.
c. Quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ
đến

giây là

giây

.

d) Phương trình parabol
là:
.
Câu 20.Một robot tự hành ở một cảng vận chuyển công nghệ cao bắt
đầu di chuyển từ vị trí nghỉ tại điểm . Robot di chuyển như sau:
Trong giai đoạn đầu, robot tăng tốc đều từ vận tốc
trong thời gian chưa biết

đến

giây theo hàm số vận tốc

( gọi là gia tốc trong giai đoạn này,
). Sau đó,
robot tiếp tục di chuyển với vận tốc không đổi trong 40 giây. Cuối
cùng, robot giảm tốc đều từ
chuyền điểm

với thời gian

và dừng lại đúng tại băng
giây theo hàm vận tốc

( gọi là gia tốc trong giai đoạn này,
).
Toàn bộ quá trình vận chuyển diễn ra trong tổng thời gian là 70 giây.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Nếu gia tốc 

, thời gian tăng tốc  bé hơn

b) Nếu gia tốc 

, thời gian giảm tốc

lớn hơn

giây.
giây.

d) Tổng quãng đường mà robot đã di chuyển từ đến là
Câu 21.Một chất điểm chuyển động từ trạng thái nghỉ và xuất phát từ
đều với gia tốc
; 6 giây sau nó đạt đến vận tốc
động thẳng đều. Cũng từ trạng thái nghỉ một chất điểm

c)
, chuyển động thẳng, nhanh dần

. Từ thời điểm đó chất điểm
chuyển
xuất phát từ , chuyển động thẳng cùng hướng

với nhưng chậm hơn 3 giây so với
và chuyển động thẳng, nhanh dần đều với gia tốc
a)Quãng đường chất điểm đi được trong 6 giây đầu tiên là
.
b)Quãng đường chất diểm

đi được trong

c)Quãng đường chất điểm

đi được từ lúc

trong đó
là thời gian từ lúc chất điểm
d)Thời gian để
đuổi kịp tính từ lúc

giây kể từ lúc

xuất phát là

xuất phát cho đến lúc gặp chất điểm
xuất phát cho đến khi đuổi kịp chất điểm
xuất phát lớn hơn 5 giây.

15

.
là
.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học hè 2026-2027

Câu 22.Một đoàn tàu đứng yên trong sân ga, ngay trước đầu
tàu có một cái cây. Đoàn tàu khởi hành từ trạng thái đứng yên
với gia tốc
và đi qua cái cây trong thời
gian
giây. Sau
giây đoàn tàu chuyển sang trạng thái
chuyển động đều. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)Vận tốc của đoàn tàu là
b)Sau

.

giây, đoàn tàu chuyển động với vận tốc

.

c)Sau khi chuyển động đều một thời gian, đoàn tàu gặp một cây cầu có chiều dài
Khi đó đoàn tàu đi qua cây cầu đó trong thời gian
giây.

.

d)Chiều dài của đoàn tàu là
.
Câu 23.Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức
. Ở đây

là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được

a)Lợi nhuận khi bán được đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức
b)Lợi nhuận khi bán được
sản phẩm đầu tiên là
triệu đồng.
c)Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
lên đơn vị sản phẩm lớn hơn
khi đó giá trị nhỏ nhất của là
.

đơn vị sản phẩm.
.
triệu đồng,

d)Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
lên
đơn vị sản phẩm là
triệu đồng.
Câu 24.Giả sử rằng khi tăng năm tuổi, một máy công nghiệp
tạo ra doanh thu với tốc độ
(triệu đồng/năm), thời điểm
biên cho vận hành và bảo trì là
trì của máy
khi nó được năm tuổi.

tính từ lúc máy

bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí

(triệu đồng/năm), ở đây

là chi phí vận hành và bảo

a)Doanh thu sau 12 năm của máy
là
(triệu đồng).
b)Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy
trong 6 năm là
(triệu đồng).
c)Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó tạo ra
bắt đầu giảm. Tuổi thị hữu ích của máy là 8 năm.
d)Lợi nhuận do máy
tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2532 (triệu đồng).
Câu 25.Thành phố theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực và trong thời gian năm (kể từ
đầu năm
đến hết năm
). Hình vẽ sau mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực trên trong
năm, với đơn vị trên trục
tính bằng năm,
diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm. Khu vực
bởi hàm

.Khu vực

ứng với mốc từ đầu năm
. Đơn vị trên trục
biểu
có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả

có tốc độ gia tăng

dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm
Biết rằng
lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm
tại khu vực và sau năm.
a)Tốc độ gia tăng dân số của khu vực với
là
(người trên n