thuvienhoclieu.com
THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2025 - 2026
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: ................................. Mã Đề 1001
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Trong không gian

, đường thẳng

có một vectơ chỉ phương là

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 2. Theo một báo cáo của Common Sense Media, thời gian sử dụng thiết bị số của thanh thiếu niên có
thể liên quan đến hiện tượng “Brain rot” (suy giảm khả năng tập trung do sử dụng quá nhiều nội dung số,
như video ngắn) đang ngày càng phổ biến ở học sinh. Một khảo sát 100 học sinh lớp 12 cho kết quả như sau:
Thời gian (giờ)
Số học sinh

10

20

30

C.

.

25

15

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
A.

.

B.

.

Câu 3. Cấp số nhân
có số hạng đầu là
A.
.
B.
.
Câu 4. Tập nghiệm của phương trình
A.

.

.

D.

.

B.

Câu 6. Nghiệm của phương trình
A.
.
Câu 7. Cho hình chóp

thì có số hạng
D.

.
bằng
.

là

.B.

Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật
thẳng

A.

và công bội
C. .

D.

C.

(xem hình bên). Mặt phẳng

.

C.

.

.

vuông góc với đường

D.

.

là

B.
.
C.
.
(xem hình bên). Tìm mệnh đề đúng.
thuvienhoclieu.com

D.

.
Trang 1

thuvienhoclieu.com

A.

. B.

Câu 8. Đồ thị hàm số
A.

. C.

B.

.

C.

Câu 9. Nguyên hàm của hàm số
.

.

B.

Câu 11. Cho hình chóp
A.

.

.

D.

.

là hình thoi và
bằng
C.

.

. Mặt phẳng đi qua điểm

C.

. Thể tích khối chóp
B.
.

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình

.

và điểm
.

có đáy

D.
là:

C.

Câu 10. Trong không gian
, cho điểm
vuông góc với
có phương trình là
.

.

trên khoảng

B.

A.

.

có tiệm cận ngang là

.

A.

. D.

D.

.

vuông góc mặt phẳng

.

D.

và

. Biết

.

là:

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 1. Cho hàm số
.
a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng
b) Hàm số đã cho có đạo hàm
c) Hàm số

.

.

có hai điểm cực trị.

d) Hàm số
không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng
.
Câu 2. Trong công nghệ ô tô điện (EV), Hệ thống Quản lý Pin (BMS) của xe sẽ tự động điều chỉnh dòng
điện để bảo vệ tuổi thọ pin. Một trạm sạc DC siêu nhanh có công suất truyền vào pin
gian (giờ) kể từ lúc bắt đầu cắm sạc được tính bằng hàm số:
thuvienhoclieu.com

(kW) theo thời
Trang 2

thuvienhoclieu.com
, với là một hằng số dương đặc trưng cho giới hạn tản nhiệt của dòng xe đó.
Biết rằng, ngay tại thời điểm vừa cắm sạc, tốc độ sụt giảm công suất sạc là
kW/giờ. Thực tế, BMS của
xe sẽ tự động ngắt sạc (báo pin đầy) khi công suất sạc giảm xuống chỉ còn bằng
so với công suất ban
đầu.
a) Công suất sạc ban đầu ngay khi cắm sạc là
kW.
b) Tốc độ thay đổi công suất tại thời điểm

là

.

c) Công suất sạc giảm dần theo thời gian và
.
d) Thời gian từ lúc bắt đầu cắm sạc đến khi hệ thống tự ngắt kéo dài không quá
phút.
Câu 3. Trong một buổi hội thảo chuyên đề về ứng dụng Trí tuệ nhân tạo (AI) trong học tập, có
học sinh
khối 11 và
học sinh khối 12 tham gia. Qua khảo sát thực tế, tỉ lệ học sinh khối 11 có sử dụng hệ thống
chatbot AI hỗ trợ học tập là
; trong khi tỉ lệ này ở khối 12 là
sinh tham dự hội thảo để phỏng vấn.

. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên một học

a) Xác suất để học sinh được chọn tham gia phỏng vấn thuộc khối 12 là

.

b) Xác suất để chọn được một học sinh khối 11 và em này có sử dụng chatbot AI là

.

c) Xác suất để học sinh được chọn có sử dụng chatbot AI là
.
d) Giả sử học sinh được chọn phỏng vấn cho biết mình có sử dụng chatbot AI, xác suất học sinh đó thuộc
khối 12 là
.
Câu 4. Bay Flycam trái phép là hành vi tiềm ẩn nguy cơ uy hiếp trực tiếp an toàn hàng không, lĩnh vực liên
quan đến tính mạng của hàng trăm hành khách trên mỗi chuyến bay. Một cảng hàng không quốc tế thiết lập
hệ thống radar giám sát được đặt tại gốc tọa độ
là mặt đất). Tại thời điểm

trong không gian

(đơn vị:

km, mặt phẳng

, radar quét được tín hiệu một flycam xâm nhập tại điểm

và

đang bay theo đường thẳng với vectơ vận tốc

(đơn vị: km/phút). Cùng lúc đó, một máy bay chở

khách A321 đang chờ lệnh cất cánh tại điểm

. Nếu được cấp phép, quỹ đạo cất cánh dự kiến của

máy bay là một đường thẳng với vectơ vận tốc
(đơn vị: km/phút). Kiểm soát viên không lưu
không được phép cấp lệnh cất cánh cho máy bay thương mại nếu hệ thống dự báo có bất kì thời điểm nào
khoảng cách giữa máy bay và vật thể lạ nhỏ hơn km.
a) Khoảng cách từ vị trí ban đầu của máy bay đến Flycam tại thời điểm phát hiện lớn hơn km.
b) Phương trình đường thẳng mô tả quỹ đạo máy bay cất cánh là
.
c) Tốc độ của Flycam là km/h và tốc độ cất cánh dự kiến của máy bay A321 là
km/h.
d) Nếu máy bay A321 được phép cất cánh, khoảng cách ngắn nhất giữa nó và chiếc Flycam sẽ đạt được
vào thời điểm phút kể từ lúc rời đường băng.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Một bảng quảng cáo được minh họa bằng phần được tô màu như hình bên, đơn vị trên các trục đo
bằng mét. Biết đường cong là một parabol có đỉnh
và
là hình chữ nhật. Tính diện tích của
bảng quảng cáo theo mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét vuông).

thuvienhoclieu.com

Trang 3

thuvienhoclieu.com

Câu 2. Một giải đấu eSports có 8 đội tuyển tham gia thi đấu loại trực tiếp, bắt đầu từ Tứ kết (8 đội được chia
thành 4 cặp, đội thắng trong mỗi cặp sẽ tiến vào Bán kết, đội thua bị loại). Ban Tổ chức đánh số hạt giống
các đội theo thứ tự từ mạnh đến yếu là 1 đến 8. Việc bốc thăm chia 4 cặp đấu Tứ kết được thực hiện ngẫu
nhiên. Biết rằng khi thi đấu, đội có số hạt giống nhỏ hơn sẽ đánh bại đội có số hạt giống lớn hơn, tuy nhiên,
có hai ngoại lệ: Đội số 8 luôn đánh bại Đội số 1 và Đội số 7 luôn đánh bại Đội số 2. Tính xác suất để Đội hạt
giống số 3 giành chức vô địch giải đấu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 3. Trong một xưởng in, người ta sản xuất hai loại poster quảng bá sự kiện. Loại I sử dụng 2 tờ giấy khổ
lớn và 1 đơn vị mực màu, thu được 35 nghìn đồng. Loại II sử dụng 3 tờ giấy khổ lớn và 2 đơn vị mực màu,
thu được 60 nghìn đồng. Biết rằng xưởng chỉ có tối đa 210 tờ giấy khổ lớn và 130 đơn vị mực màu và mỗi
poster phải được in trọn vẹn. Hỏi số tiền lớn nhất mà xưởng có thể thu được là bao nhiêu (nghìn đồng)?
Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng
có độ dài cạnh bên bằng
và đáy là tam giác
vuông
cân tại , có
. Gọi
là trung điểm của cạnh
, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
(không làm tròn ở các bước trung gian).
Câu 5. Trong ngành hàng hải, lượng nhiên liệu tiêu thụ của một con tàu trong một đơn vị thời gian xấp xỉ tỷ
lệ thuận với lập phương vận tốc của nó. Một tàu chở hàng xuất phát từ cảng Singapore đi đến cảng Tiên Sa
cách 1000 hải lý. Gọi (hải lý/giờ) là vận tốc của tàu (
). Dữ liệu kỹ thuật cho thấy chi phí nhiên liệu
vận hành của con tàu là
(USD/giờ). Các chi phí vận hành cố định khác như lương thuyền viên, khấu
hao, bảo hiểm,... không phụ thuộc vào vận tốc tàu là
USD/giờ. Hỏi thuyền trưởng cần duy trì vận tốc
trung bình là bao nhiêu hải lý/giờ để tổng chi phí cho toàn bộ chuyến đi là thấp nhất?
Câu 6. Cho hàm số

và hàm số

dưới dạng

, với

. Giả sử

được viết

là số nguyên và
là các số nguyên tố. Tính
------------------ HẾT ------------------

.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
PHẦN I.
Câu
Đáp án

1
B

2
A

3
A

b
Sai

c
Đúng

4
C

5
D

6
B

7
A

8
C

9
A

10
B

PHẦN II.
Câu
1

a
Đúng

d
Sai
thuvienhoclieu.com

Trang 4

11
A

12
C

Câu
2
3
4

a
Đúng
Đúng
Đúng

b
Sai
Đúng
Đúng

c
Đúng
Sai
Sai

d
Đúng
Đúng
Đúng

thuvienhoclieu.com

PHẦN III.
Câu
1
2
3
4
5
6

Đáp án
26,1
0,03
4050
2
25
409
LỜI GIẢI THAM KHẢO

PHẦN I.
Câu 1
Đường thẳng có dạng đối xứng

nên một vectơ chỉ phương là
.
Vậy chọn B.
Câu 2
Bảng tần số:

•

: 10

•

: 20

•

: 30

•

: 25

thuvienhoclieu.com

Trang 5

thuvienhoclieu.com
•

: 15

Tần số tích lũy:

• đến

: 10

• đến

: 30

• đến

: 60

• đến

: 85

• đến

: 100

Vì có 100 số liệu nên trung vị nằm giữa vị trí thứ 50 và 51.
Hai vị trí này đều rơi vào nhóm

Vậy nhóm chứa trung vị là

.

. Chọn A.

Câu 3
Cấp số nhân có
.
Ta có
.
Chọn A.
Câu 4
Phương trình

có nghiệm tổng quát:

.
thuvienhoclieu.com

Trang 6

thuvienhoclieu.com

Chọn C.
Câu 5

Trong hình hộp chữ nhật
đáy

, các cạnh bên

đều vuông góc với mặt phẳng

.

Trong các phương án, chỉ có

thỏa mãn.

Chọn D.
Câu 6
Ta có
.

Trong chương trình phổ thông,

là logarit cơ số 10, nên:

.
Chọn B.
Câu 7
Ta có
.
Suy ra
.

Mà

, nên

thuvienhoclieu.com

Trang 7

thuvienhoclieu.com
.
Chọn A.
Câu 8

Hàm số

là phân thức bậc nhất trên bậc nhất.

Tiệm cận ngang là tỉ số hệ số của

:

.
Chọn C.
Câu 9

trên

.

Nguyên hàm là

.
Chọn A.
Câu 10

Cho

,

.

Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Mặt phẳng đi qua

nên có phương trình:

thuvienhoclieu.com

Trang 8

thuvienhoclieu.com
.
Chọn B.
Câu 11

Đáy

là hình thoi, có hai đường chéo

.

Diện tích đáy:

.

Vì

và

nên chiều cao khối chóp là

.

Thể tích:

.
Chọn A.
Câu 12
Ta có
.
Viết lại:

.

thuvienhoclieu.com

Trang 9

thuvienhoclieu.com
Vậy tập nghiệm là

.

Chọn C.
PHẦN II.
Câu 1

Cho

.

Ta biến đổi:
nên

.
a)
Vì tại

mẫu bằng 0 còn tử bằng

, nên đồ thị có tiệm cận đứng

.

Kết luận: Đúng.
b)
Tính đạo hàm:

.

Đề cho

là sai.

Kết luận: Sai.
c)

Giải

:

thuvienhoclieu.com

Trang 10

thuvienhoclieu.com
.
Có 2 nghiệm phân biệt và đều khác 1 nên hàm số có 2 điểm cực trị.
Kết luận: Đúng.
d)

Trên khoảng

, đặt

, khi đó

.
Theo AM-GM:

,

dấu “=” khi

, tức là

.

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất trên

.

Kết luận: Sai.
Câu 2

, với

.

a)

.
Kết luận: Đúng.
b)

.

thuvienhoclieu.com

Trang 11

thuvienhoclieu.com
Đề cho

, thiếu dấu trừ.

Kết luận: Sai.
c)
Theo đề, tại

, tốc độ sụt giảm công suất là

kW/giờ, tức là

.
Mà
.
Suy ra
.

Vì

với mọi , nên công suất giảm dần theo thời gian.

Kết luận: Đúng.
d)
Hệ thống ngắt khi công suất còn

ban đầu, tức là

.
Ta có

giờ.
Đổi ra phút:

phút.
thuvienhoclieu.com

Trang 12

Do đó thời gian không quá 111 phút.

thuvienhoclieu.com

Kết luận: Đúng.
Câu 3
Có 300 học sinh khối 11 và 200 học sinh khối 12, tổng cộng 500 học sinh.
a)
Xác suất chọn được học sinh khối 12 là

.
Kết luận: Đúng.
b)
Xác suất chọn được học sinh khối 11 và có dùng AI là

.
Kết luận: Đúng.
c)
Xác suất chọn được học sinh có dùng AI là

.

Không phải

.

Kết luận: Sai.
d)
Theo công thức xác suất có điều kiện:
thuvienhoclieu.com

Trang 13

thuvienhoclieu.com

.
Kết luận: Đúng.
Câu 4
Flycam:

.
Máy bay:

.
a)
Khoảng cách ban đầu giữa máy bay và flycam là

km.
Vì

nên mệnh đề đúng.

Kết luận: Đúng.
b)

Quỹ đạo máy bay đi qua

và có vectơ chỉ phương

nên:

Kết luận: Đúng.
c)
Tốc độ flycam là

thuvienhoclieu.com

Trang 14

thuvienhoclieu.com
km/phút
Không phải

km/h.

km/h.

Tốc độ máy bay là

km/phút

km/h.

Vế sau đúng, nhưng vế đầu sai nên cả mệnh đề sai.
Kết luận: Sai.
d)
Vị trí flycam tại thời điểm :

.
Vị trí máy bay tại thời điểm :

.
Khi đó

.
Bình phương khoảng cách:

.
Khai triển:

.

thuvienhoclieu.com

Trang 15

thuvienhoclieu.com
Giá trị nhỏ nhất đạt được khi

(phút).

Kết luận: Đúng.
PHẦN III
Câu 1

Từ hình vẽ:

•

,

•

,

•

.

là hình chữ nhật,

Parabol có đỉnh

nên

nên có dạng

.

Vì parabol đi qua

nên

.
Vậy phương trình parabol là

.
Diện tích hình chữ nhật

là

.

thuvienhoclieu.com

Trang 16

thuvienhoclieu.com
Diện tích phần nằm dưới parabol từ

đến

là

.
Ta có

.
Do đó

.
Vậy diện tích phần tô màu là

.

Làm tròn đến hàng phần mười:

.

Câu 2
Đội số 3 chỉ thua đội số 1 và đội số 2.
Vì thế muốn đội 3 vô địch thì ngay ở tứ kết:
• đội 1 phải bị đội 8 loại,
• đội 2 phải bị đội 7 loại.
Tức là trong 4 cặp tứ kết bắt buộc phải có hai cặp:

và

.

Khi đó đội 3 phải gặp một trong ba đội

, và hai đội còn lại trong

ghép với nhau.

Số cách chia 8 đội thành 4 cặp
Số cách chia 8 đội thành 4 cặp là
thuvienhoclieu.com

Trang 17

thuvienhoclieu.com

.
Số trường hợp thuận lợi

Giữ cố định hai cặp

Ba đội

và

.

thì đội 3 có thể ghép với:

• đội 4,
• hoặc đội 5,
• hoặc đội 6.
Nên có

cách thuận lợi.

Xác suất

.

Vậy xác suất cần tìm là

.

Câu 3
Gọi
•

là số poster loại I,

•

là số poster loại II.

Điều kiện:

.

Theo đề:

• về giấy:

• về mực màu:

,

.
thuvienhoclieu.com

Trang 18

thuvienhoclieu.com

Doanh thu cần tối đa hóa:

(nghìn đồng).
Xét giao điểm hai đường thẳng biên:

Từ

, thay vào phương trình đầu:

.
Suy ra
.
Khi đó

.
Vậy số tiền lớn nhất thu được là

nghìn đồng

Câu 4
Xét hệ trục tọa độ sao cho

•

,

•

,

•

.
thuvienhoclieu.com

Trang 19

thuvienhoclieu.com
Vì lăng trụ đứng và cạnh bên bằng

•

,

•

.

Trung điểm

của

nên

là

.
Vectơ chỉ phương
• Đường thẳng

có vectơ chỉ phương
.

• Đường thẳng

có vectơ chỉ phương
.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

và

là

.

Ta có

.

Lấy các vectơ đơn giản hơn:

.

Khi đó

.
thuvienhoclieu.com

Trang 20

thuvienhoclieu.com
Suy ra

.

Mặt khác

.

Vậy

.

Do đó khoảng cách giữa

và

là

.

Câu 5
Gọi

là vận tốc tàu (hải lý/giờ).

Quãng đường là 1000 hải lý nên thời gian đi là

.
Chi phí trong 1 giờ là:

• nhiên liệu:

(USD/giờ),

• chi phí cố định:

(USD/giờ).

Vậy tổng chi phí chuyến đi là

.

Ta cần tìm

để

nhỏ nhất.

Đạo hàm
thuvienhoclieu.com

Trang 21

thuvienhoclieu.com

.

Cho

:

.

Vì

với mọi

nên tại

,

, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Vậy vận tốc tối ưu là

hải lý.

Câu 6

Cho

.

Ta nhận thấy trên miền

, hàm

là hàm ngược của

vì:

.

Do đó

.

Theo công thức diện tích của hai đồ thị hàm số ngược nhau:

.
Ở đây:
•

,

thuvienhoclieu.com

Trang 22

thuvienhoclieu.com
•

,

•

,

•

.

Nên

.

Suy ra

.

So sánh với dạng
•

,

•
•

:

,
.

Vậy
Kết quả là

.
.

thuvienhoclieu.com

Trang 23