N

UY
E

NG
NG

HO

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN
THI VÀO 10 THEO CT MỚI
Câu 1.
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O, R  . Các đường cao AD, BF , CE của ABC cắt nhau
tại H . Đường thẳng AD cắt đường tròn  O, R  tại điểm thứ hai K . Đường thẳng KE cắt đường tròn

 O, R  tại điểm thứ hai I . Gọi

N là giao điểm của CI và FE .

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn và xác định tâm P của đường tròn đó.
b) Chứng minh CE 2  CN .CI .

NG

  CIA
 và ba
c) Kẻ OM vuông góc với BC tại M , EG vuông góc với AC tại G . Chứng minh NGC
điểm M , N , P thẳng hàng.

Câu 2.
Cho nửa (O ; R ) đường kính AB . Lấy M  OA ( M không trùng O và A ). Qua M vẽ đường thẳng d

HO

vuông góc với AB . Trên d lấy N sao cho ON  R . Nối NB cắt  O  tại C .Kẻ tiếp tuyến NE với  O 
( E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d ).

a) Chứng minh bốn điểm O, E , M , N cùng thuộc một đường tròn và NE 2  NC .NB .

UY
E

NF là tiếp tuyến của  O  .

N

  NME
 và
b) Gọi H là giao điểm của AC và d , F là giao điểm của HE và  O  . Chứng minh NEH

Câu 3.
Cho nửa đường tròn  O  , đường kính AB . Trên nửa đường tròn  O  lấy điểm C (khác A và B ). Trên

NG

cung CB của nửa đường tròn  O  lấy điểm D ( D khác C và B ). Kẻ CH  AB tại H ; CK  AD tại
K . Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và CH .

a) Chứng minh bốn điểm A, H , K , C cùng thuộc đường tròn, xác định tâm đường tròn này.
  DCB
 và AI . AD  AH . AB
b) Chứng minh KCH
c) Tia CK cắt đoạn thẳng HD tại điểm P . Chứng minh rằng IP //CD .

Câu 4. (Cộng Đồng Gv Toán Vn – Nguyễn Hồng – 0386536670)
Cho đường tròn  O; R  có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy M là một điểm thuộc
cung nhỏ AC ( M khác A và C ). Gọi N là hình chiếu vuông góc của C trên MB ; MB cắt DC tại I
; MD cắt AB tại E . Chứng minh rằng:
  2.NOC
.
a) Tứ giác ONCB nội tiếp và MOC
b) Chứng minh: ID.EB  AD.CB .

Câu 5.
Cho đường tròn  O; R  có hai đường kính AB và CD vuông góc tại O . Gọi I là trung điểm của OB .
Tia CI cắt đường tròn  O  tại E . Gọi H là giao điểm của AE và CD .
1

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

a) Chứng minh bốn điểm O , I , E , D cùng thuộc một đường tròn và AH . AE  2 R .
2

b) Gọi K là hình chiếu của O trên BD , Q là giao điểm của AD và BE . Chứng minh: OA  3.OH và
Q, K , I thẳng hàng.
Câu 6.
Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  nội tiếp trong đường tròn tâm O . Dựng đường thẳng d
qua A song song BC , đường thẳng d ' qua C song song BA , gọi D là giao điểm của d và d ' . Dựng
AE vuông góc BD ( E nằm trên BD ), F là giao điểm của BD với đường tròn  O  . Chứng minh:
.
a) Tứ giác AECD nội tiếp được trong đường tròn và 
AOF  2CAE

b) DF .DB  2 AB 2 .

NG

Câu 7.
Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AE  2 R . Gọi I là trung
điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh:

b) AC 2  BH 2  4 R 2 ;

HO

a) EB  AB và EC  AC và Tứ giác BHCE là hình bình hành;

c) Ba điểm H , I , E thẳng hàng và AH  2OI .

N

Câu 8.
Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao AD và BE của tam giác

UY
E

ABC cắt nhau tại H . Gọi K là trung điểm của AH . Đường thẳng vuông góc với BK tại K cắt AC tại
N.
a) Chứng minh rằng CDHE và BKEN là các tứ giác nội tiếp.

  KNB
 , từ đó suy ra BK  BE 
b) Chứng minh ECB

NG

BN

BC

c) Vẽ đường kính BM của đường tròn  O  . Chứng minh rằng AB.MN  AK .MB .
Câu 9.
Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  . Hai đường cao BP và CQ của ABC cắt nhau tại H , tia BP
cắt  O  tại điểm thứ hai là D ( D khác B ).
a) Chứng minh tứ giác BQPC nội tiếp đường tròn và CHD cân.
b) Gọi E là giao điểm thứ hai của tia CQ và  O  ( E khác C ), M là một điểm thuộc cung nhỏ BC (
M khác B và C ), I là giao điểm của ME và AB , K là giao điểm của MD và AC . Chứng minh ba điểm
I , H , K thẳng hàng.

Câu 10. (Cộng ĐồngGvToánVn_Nguyễn Hồng_038.653.6670)
Cho đường tròn  O  , từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn  O  tại B, C (
B nằm giữa A và C ). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn  O  tại D ; E

( D nằm giữa A và E ). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F .
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
2

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn. Chứng minh DM  AC .
c) Chứng minh: AD. AE  EC. FC  AC 2 .
Câu 11.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi M là điểm chính giữa cung AB , lấy điểm E trên
cung AM ( E khác A và M ). Lấy điểm F trên đoạn BE sao cho BF  AE . Gọi K là giao điểm của
MO và BE .
a) Chứng minh EAOK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác EMF vuông cân.
c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D . Chứng minh: MK .ED  MD.EK .

NG

Câu 12.
Cho đường tròn (O ) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy
điểm C khác điểm M . Kẻ MH vuông góc với BC tại H . Gọi E là giao điểm của MB và OH .
a) Chứng minh tứ giác BOMH nội tiếp và ME.HB  MH .EB .
b) Chứng minh ba điểm C , E , N thẳng hàng.
Câu 13.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O, R) và hai đường cao BE, CF cắt

UY
E

N

HO

nhau tại H .
a) Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Hai đường thẳng BE , CF lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N và P . Đường thẳng
AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M và cắt BC tại D . Tính giá trị biểu thức
AM BN CP


.
AD BE CF
Câu 14.
Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  . Kẻ đường kính AD của đường tròn  O 

NG

. Tiếp tuyến tại D của đường tròn  O  cắt đường thẳng BC tại điểm K . Tia KO cắt AB tại điểm M ,
cắt AC tại điểm N . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC .
.
a) Chứng minh tứ giác OHDK nội tiếp và 
AON  BHD

b) Chứng minh KD 2  KB.KC , Chứng minh OM  ON .
Câu 15.
Cho đường tròn  O  , đường kính AB . Điểm I nằm giữa A và O ( I khác A và O ). Kẻ dây MN
vuông góc với AB tại I . Gọi C là điểm túy ý thuộc cung lớn MN ( C khác M và N ). Nối AC cắt
MN tại E . Chứng minh:
a) Tứ giác IECB nội tiếp.
b) AM 2  AE . AC .
c) AE . AC  AI .IB  AI 2

3

(Cộng ĐồngGvToánVn_Nguyễn Hồng_038.653.6670)

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

Câu 16. Cho đường tròn  O, R  đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn  O  tại A . Trên
tia Ax lấy điểm K sao cho AK  R . Kẻ tiếp tuyến KC tới đường tròn  O  , C là tiếp điểm. Gọi D là
giao điểm của tia KC và đường thẳng AB .
a) Chứng minh tứ giác KAOC là tứ giác nội tiếp và DC 2  DA.DB .
  MBO
.
b) Gọi M là giao điểm của OK và AC . Chứng minh KBC

Câu 17.
Cho đường tròn tâm O đường kính AD .Trên nửa đường tròn lấy điểm B và C sao cho cung AB nhỏ
hơn cung AC , AC cắt BD tại E . Kẻ EF vuông góc với AD tại F .
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
b) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp CBF .

NG

Câu 18. Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn tâm O . Hai đường cao BE và CF

HO

của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . Gọi K là trung điểm BC.
a) Chứng minh ΔAEF đồng dạng ΔABC.
b) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF .
c) Đường phân giác góc FHB cắt AB và AC lần lượt tại M và N . Gọi I là trung điểm của MN , J
là trung điểm của AH . Chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp và ba điểm I , J , K thẳng hàng.

N

Câu 20.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Gọi M , N

UY
E

lần lượt là trung điểm của BC và AH .

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.

  MKB

MLB

NG

  NEM
.
b) Chứng minh NDM
c) Gọi K , L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE , MN và BD . Chứng minh

Câu 21.
Cho ABC nhọn  AB  AC  . Đường tròn  O  đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N . Gọi
H là giao điểm của BN và CM ; D là giao điểm của AH và BC .
.
a) Chứng minh H là trực tâm ABC và DA là phân giác của MDN

b) Qua D kẻ đường thẳng song song với MN đường thẳng này cắt NB và NC lần lượt tại I và J .
Chứng minh D là trung điểm của IJ .
Câu 22.
Cho đường tròn  O, R  , từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA , MB tới đường tròn (
A , B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AC , gọi I là trung điểm của BC , kéo dài tia OI cắt MB tại
D.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn.
b) Gọi K là giao điểm của MC và AD , tia BK cắt AC tại H . Chứng minh DC là tiếp tuyến của
đường tròn  O; R  và K là trung điểm của BH .
4

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

Câu 23.
Cho đường tròn  O; R  và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A , vẽ tiếp tuyến AB tới đường tròn
( B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn  O; R  , AC cắt đường tròn  O; R  tại điểm thứ
hai là D ( D khác C ). Gọi I là trung điểm của CD .
a) Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp và AB 2  AC. AD .
b) Gọi H là hình chiếu của B trên AO . Chứng minh AH . AO  CI 2  AI 2 .
Câu 24.
Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn tâm O , có đường cao BE , CF  E  AC , F  AB 
cắt nhau tại H . Tia AO cắt BC tại M và cắt  O  tại N.
AEF  
ANC
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp và 

NG

b) Gọi P , Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Chứng minh HFE ∽ NCB và
HE . MQ . HB  HF . MP . NC

HO

Câu 25.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  2 R . Trên nửa mặt phẳng bờ AB , cùng phía với nửa
đường tròn vẽ Ax, By lần lượt là các tia tiếp tuyến của  O  tại A và B. Gọi I là trung điểm của AO.

N

  90 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên PQ.
Lấy hai điểm P , Q nằm trên Ax, By sao cho PIQ
a) Chứng minh tứ giác APHI nội tiếp.
b) Gọi M , N lần lượt là giao điểm của AH với PI và BH với IQ. Chứng minh MN //AB

UY
E

c) Chứng minh tích AP.BQ không đổi. Xác định vị trí các điểm P , Q trên Ax, By sao cho diện tích
 IPQ nhỏ nhất.

NG

Câu 26. (Cộng ĐồngGvToánVn_Nguyễn Hồng_038.653.6670)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn  AC  AB  nội tiếp đường tròn  O; R  . Vẽ AH  BC tại H , từ H
vẽ HM  AB và HN  AC  M  AB, N  AC  .

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp và AM .AB  AN . AC .
b) Tia MN cắt  O; R  tại K . Chứng minh: AH  AK .
Câu 27.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn  AC  AB  nội tiếp đường tròn  O; R  . Vẽ AH  BC tại H, từ H
vẽ HM  AB và HN  AC  H  BC , M  AB, N  AC 
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp và AM . AB  AN . AC
b) Kẻ đường kính AE cắt MN tại I , tia MN cắt  O; R  tại K . Chứng minh AE  MN và AH  AK .
Câu 28.

5

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC nội tiếp đường tròn  O  . Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A
của tam giác ABC . Kẻ đường kính AK của đường tròn  O  , gọi E là hình chiếu vuông góc của điểm
B lên đường kính AK . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC . Chứng minh:

a) Tứ giác AEHB là tứ giác nội tiếp và đường thẳng HE / / KC
b) MN  HE và tính tỉ số

ME
.
MH

Câu 29.

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O ; R . Các đường cao AD , BF , CE của ABC
cắt nhau tại H .
(Cộng ĐồngGvToánVn_Nguyễn Hồng_038.653.6670)
a) Chứng minh tứ giác BEHD nội tiếp một đường tròn.
b) Kéo dài AD cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai K . Kéo dài KE cắt đường tròn  O tại điểm thứ

NG

hai I . Gọi N là giao điểm của CI và EF . Chứng minh CE 2  CN .CI .
c) Kẻ OM vuông góc với BC tại M . Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp  AEF . Chứng minh ba
điểm M , N , P thẳng hàng.

UY
E

N

HO

Câu 30.
Cho (O; R) đường kính AB . Kẻ đường kính CD vuông góc với AB . Lấy M thuộc cung nhỏ BC ,
AM cắt CD tại E . Qua D kẻ tiếp tuyến với (O) cắt đường thẳng BM tại N . Gọi P là hình chiếu
vuông góc của B lên DN .
a) Chứng minh các điểm M , N , D, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh EN // CB .
c) Chứng minh AM .BN  2 R 2 .

Câu 31.
2. Cho đường tròn  O, R  , một đường thẳng d cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một

NG

điểm M thuộc đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MC , MD tới đường tròn (
C , D là các tiếp điểm ).
a) Chứng minh bốn điểm M , C , O , D cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh OM  CD . Đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại I chứng minh I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác MCD .
Câu 32.
Cho đường tròn  O; R  đường kính AB . Gọi I là trung điểm của OB . Qua I kẻ dây CD vuông góc
với OB . Tiếp tuyến của  O  tại C cắt AB tại E .
a) Chứng minh OI . OE  R 2 và B là trung điểm của OE
b) Chứng minh bốn điểm C , D, O, E cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi F là trung điểm của dây AC . Chứng minh D, O, F thẳng hàng.
Câu 33.

6

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn  O  vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn  O  ( B, C là các
tiếp điểm). Kẻ đường kính CD của đường tròn  O  . AD cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai M . Gọi
H là giao điểm của OA và BC .

  BCM
.
a) Chứng minh CM 2  MA.MD và MAH
b) Gọi N là giao điểm của BM và OA .Chứng minh: AN 2  NM .NB .
Câu 34.
Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  . Kẻ đường kính AD của đường tròn  O 
. Tiếp tuyến tại D của đường tròn  O  cắt đường thẳng BC tại điểm K . Tia KO cắt AB tại điểm M ,
cắt AC tại điểm N . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC .
.
AON  BHD
a) Chứng minh tứ giác OHDK nội tiếp và 

NG

b) Chứng minh KD 2  KB.KC , Chứng minh OM  ON .

Câu 35. :
Cho đường tròn O  đường kính AB . Trên đường tròn O  lấy điểm C . Qua O kẻ đường thẳng

HO

vuông góc với BC tại H . Tiếp tuyến của đường tròn O  tại C cắt OH tại K . Đường thẳng AH cắt
đường tròn O  tại N ( N khác A ), đường thẳng BN cắt OK tại I . Chứng minh
b) BC .KI  BH .KH .

N

  HAB
.
a) KB là tiếp tuyến của đường tròn O  và IBK

UY
E

Câu 36.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O, R  với R  0 . Kẻ các đường cao AD , BE
của tam giác ABC cắt nhau tại H . BE cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai là F .

NG

a) Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp
b) Kẻ đường kính AM của đường tròn  O  và OI vuông góc với BC tại I . Chứng minh rằng I là
trung điểm của HM và tính AF biết BC  R 3.
Câu 37.
Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB , AC ( B và C
là các tiếp điểm), đường thẳng đi qua A không qua tâm O cắt đường tròn tại điểm D và E ( D nằm
giữa A và E ). Gọi H là trung điểm của DE .
a) Chứng minh tứ giác ABHO là tứ giác nội tiếp.

 . (Cộng Đồng Gv Toán Vn – Nguyễn Hồng – 0386536670)
b) Chứng minh HA là tia phân giác BHC
c) BH cắt  O tại K . Chứng minh AE song song với CK.

Câu 38.
Cho  O  đường kính BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm A bất kì. Qua A kẻ đường thẳng không đi
qua O cắt đường tròn  O  tại hai điểm phân biệt D , E ( D nằm giữa A và E ). Đường thẳng vuông
góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F .
a) Chứng minh ABEF là tứ giác nội tiếp.
7

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

b) Chứng minh CE .CF  AD. AE  AC .
2

Câu 39.
Cho đường tròn  O; R  đường kính AB . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho MA  R . Vẽ tiếp
tuyến MC với đường tròn  O  ( C là tiếp điểm). Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H .
a) Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn  O  .
b) Kẻ đường kính CE của đường tròn  O  . Tính MC; DE theo R .
c) Chứng minh HA2  HB 2 

CD 2
 4R2 .
2

Câu 40.
Cho đường tròn tâm  O  và dây BC cố định không đi qua O . Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho
AB  AC . Kẻ đường kính AK , E là hình chiếu của C trên AK . M là trung điểm của BC .

NG

a) Chứng minh rằng C , E , O , M cùng thuộc một đường tròn.
b) AD  BC tại D .Chứng minh rằng AD. AK  AB. AC .
c) Chứng minh rằng DE // BK và MDE cân.

HO

Câu 41.
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao AK , BE và CF cắt nhau tại H . Gọi I là
trung điểm của đoạn AH , N là trung điểm của đoạn BC .

N

a) Chứng minh bốn điểm A, E , H , F nằm trên cùng một đường tròn.

UY
E

b) Chứng minh NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH .
c) Chứng minh CI 2  IE 2  CK .CB .

Câu 42. (Cộng ĐồngGvToánVn_Nguyễn Hồng_038.653.6670)

NG

Cho đường tròn tâm  O  và dây BC cố định không đi qua O . Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho
AB  AC . Kẻ đường kính AK , E là hình chiếu của C trên AK . M là trung điểm của BC .

a) Chứng minh rằng C , E , O , M cùng thuộc một đường tròn.
b) AD  BC tại D .Chứng minh rằng AD. AK  AB. AC .
c) Chứng minh rằng DE // BK và MDE cân.
Câu 43.
Cho tam giác ABC  AB  AC  có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O  , đường cao AH , D là điểm
nằm giữa hai điểm A và H , đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại M và N khác A .
a) Chứng minh tứ giác BHDM nội tiếp
b) Chứng minh AM . AB  AN . AC .
c) Đường tròn đường kính AD cắt  O  tai điểm thứ hai E . Tia AE cắt đường thẳng BC tại K , biết tứ
giác BMKE nội tiếp một đường tròn. Chứng minh ba điểm K , M , N thẳng hàng.
Câu 44.
Cho đường tròn  O, R  , từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MC , MD tới đường
tròn ( C , D là các tiếp điểm ).
8

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

a) Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp và OM  CD .
b) Đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại I . Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp MCD .
Câu 45.
Cho đường tròn  O  và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường
tròn ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của đường tròn  O  .
a) Tứ giác AOBM nội tiếp và 
AMB  2.
ADB  180.
  MDA
.
b) MB 2  MC .MD và MAC

Câu 46.
Cho đường tròn  O; R  đường kính AB và C là điểm thuộc đường tròn đó ( C khác A; B ), điểm D
thuộc dây BC ( D khác B; C ). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E , tia AC cắt BE tại F .

  BCO
.
b) Chứng minh CFD

NG

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
(Cộng Đồng Gv Toán Vn – Nguyễn Hồng – 0386536670 )

HO

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF . Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn
 O; R  .
Câu 47.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao BE , CF cắt

UY
E

N

nhau ở H . Gọi M là giao điểm của các đường thẳng EF và CB.
a) Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp và MF .ME  MB.MC .
b) Tia AH cắt BC tại D. Đường thẳng qua B và song song với AC cắt tia AD tại P, cắt đoạn thẳng
AM tại Q . Chứng minh FC là tia phân giác của góc EFD và BP  BQ.

NG

Câu 48.
Từ một điểm A nằm ngoài (O ) vẽ hai tiếp tuyến AM , AN ( M , N là hai tiếp điểm) và đường kính
MD, AD cắt đường tròn tại C , MN cắt OA tại H .
a) Chứng minh: tứ giác AMON nội tiếp.
b) Chứng minh AO song song với ND .
  IAN
 và IA2  IC.IN .
c) Gọi I là giao điểm của NC và AH . Chứng minh: NCD

Câu 49.
Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn. Trên tia
Ax lấy điểm M , kẻ tiếp tuyến thứ hai MC tới đường tròn. Gọi H là giao điểm của AC và OM .
a) Chứng minh bốn điểm A, O, C , M cùng thuộc một đường tròn và MA2  MH . MO

b) Gọi K là hình chiếu của C trên AB , MB cắt CK tại I . Chứng minh HI ∥ AB .
Câu 50.
Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn  O , kẻ đường cao BE của ABC . Gọi H và K lần
lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến AB và BC .
a) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp và BH .BA  BK .BC .
9

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

b) Kẻ đường cao CF của ABC ;  F  AB  và I là trung điểm của EF . Chứng minh ba điểm H , I , K
thẳng hàng.
Câu 51.
Cho đường tròn (O; R ) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O ) . Kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với
đường tròn (O ) ( M , N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O ) tại hai điểm
B và C ( AB  AC , d không đi qua tâm O ). Gọi giao điểm của đoạn thẳng AO và dây MN là H
a) Chứng minh 4 điểm A, M , O, N cùng thuộc một đường tròn.
b) Qua O kẻ OK vuông góc với BC tại K . Đường thẳng OK cắt đường thẳng MN tại S . Chứng minh
OM 2  OA.OH và SC là tiếp tuyến của đường tròn (O ) .

Câu 52. . Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn.

NG

Trên tia Ax lấy điểm M , kẻ tiếp tuyến thứ hai MC tới đường tròn. Gọi H là giao điểm của
AC và OM .
a) Chứng minh bốn điểm A, O, C , M cùng thuộc một đường tròn và MA2  MH . MO
b) Gọi K là hình chiếu của C trên AB , MB cắt CK tại I . Chứng minh HI  AB .

N

HO

Câu 53. (Cộng ĐồngGvToánVn_Nguyễn Hồng_038.653.6670)
Cho đường tròn (O ) và dây AB bất kỳ không đi qua tâm O . Kẻ đường kính CD của đường tròn (O )
vuông góc dây AB tại H . Lấy M bất kỳ trên cung lớn AB ( M khác A , B và D ). Gọi giao điểm của
CM và AB là I , các đường thẳng DM và AB cắt nhau tại S .
a) Chứng minh: Tứ giác HIMD nội tiếp và MH.CD  DI .CM .

UY
E

.
b) Gọi giao điểm của đường thẳng DI và SC là P . Chứng minh: HI là phân giác của PHM

Câu 54.
Cho ABC có ba góc nhọn  AB  AC  nội tiếp  O  có hai đường cao BE, CF .

NG

a)Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b)Chứng minh AO  EF .

Câu 55.
Cho đường tròn  O  và điểm A nằm bên ngoài  O  . Kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với đường tròn  O  (
M , N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn  O  tại hai điểm B và C ( AB  AC

, d không đi qua tâm O ).
a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp và AN 2  AB. AC
b) Gọi I là trung điểm của BC . Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T . Chứng minh
MT / / AC .
Câu 56.
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn  O  , kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B là tiếp điểm). Kẻ đường kính
AD của đường tròn  O  , gọi I là trung điểm của BD .

a) Chứng minh tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp.
b) Tia MB cắt tia OI tại E . Chứng minh DE là tiếp tuyến của  O  .
10

SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG

220 BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

0386536670

1

c) Đoạn thẳng OM cắt AB tại H , cắt  O  tại K . Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp MAB .
Câu 57.
Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao AD, BE , CF của tam
giác cắt nhau tại H . Kẻ đường kính AQ của đường tròn  O  .
a) Chứng minh AFHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AQ vuông góc với FE .
c) Gọi giao điểm thứ hai (khác A ) của đường tròn  O  và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE là
điểm N . Chứng minh rằng ba điểm N , H , Q thẳng hàng.
Câu 58.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  , nội tiếp đường tròn  O  , các đường cao BE , CF cắt

NG

nhau ở H . (Cộng Đồng Gv Toán Vn – Nguyễn Hồng – 0386536670)
a) Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp
b) Tia EF cắt tia CB tại M . Chứng minh MF .ME  MB.MC .
c) Tia AH cắt BC tại D . Chứng minh FC là tia phân giác của góc EFD

HO

Câu 59.
Trên nửa đường tròn (O; R ) đường kính BC , lấy điểm A sao cho BA  R.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tính số đo các góc B , C của tam giác vuông ABC .

UY
E

DI .DO  DA.DC

N

b) Qua B kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O ) , nó cắt tia CA tại D . Qua D kẻ tiếp tuyến DE với nửa
đường tròn (O ) ( E là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OD và BE . Chứng minh DO  BE và
c) Kẻ EH vuông góc với BC tại H , EH cắt CD tại G . Chứng minh IG song song với BC .
Câu 60.

NG

Cho đường tròn  O  đường kính AB . Trên cùng một nửa đường tròn  O  lấy hai điểm G và E (theo
thứ tự A, G, E , B ) sao cho tia EG cắt tia BA tại D . Đường thẳng vuông góc với BD tại D cắt BE tại C
, đường thẳng CA cắt đường trò