Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 11
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2024
PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD 2024
Bài thi môn: TOÁN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1:
Chọn khẳng định đúng
A. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vecto pháp tuyến tương ứng cùng phương.
B. Nếu hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
C. Nếu hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song song.
D. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vecto pháp tuyến tương ứng bằng nhau.
Lời giải.Chọn A
Đáp án A và D là đáp án Sai. Vì “Nếu hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt
phẳng đó song song hoặc trùng nhau”
Đáp án B là đáp án Sai. Vì “Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vecto pháp tuyến tương ứng cùng
phương”
Câu 2:

Phương trình
A.

có nghiệm là

.

B.

.

Lời giải.Chọn C.ĐK:

C.

.

D.

.

.
.

Câu 3:

Họ nguyên hàm của hàm số

A.

là

.B.

.C.

Lời giải.Chọn B.

.D.

.

.

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.

B.

C.

Lời giải.Chọn C.Số chỉnh hợp chập
Câu 5:

Với

A.

và

B.

Lời giải.Chọn D.
Câu 6:
Khối chóp có chiều cao
.

A.

Hàm số
.

bằng
.

C.

.

D.

.

. Chọn đáp án D
và diện tích đáy thì thể tích bằng
B.

.

Lời giải.Chọn B.Khối chóp có chiều cao
Câu 7:

phần tử là

là hai số thực dương tùy ý,

.

A.

của

D.

C.

và diện tích đáy

.

D.

thì có thể tích

.

.

có tập xác định là:
B.

.

Lời giải.Chọn D.Hàm số xác định khi
Câu 8:
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy

C.
và chiều cao

.
bằng

1.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

A.

0394838727

.

B.

Lời giải.Chọn B.Ta có
Câu 9:

với
.

C.

.

và

.

B.

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
.

C.

. D.

Lời giải.Chọn A.Ta có
Câu 10: Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên gấp
bao nhiêu lần?
A. .
B. .

C. .
là
.

Câu 11:

?

,

, khi đó
B.

.

C.

Lời giải.Chọn C.
Trong không gian

D. .

.

Do đó khi tăng cạnh hình lập phương lên 2 lần thì thể tích là
Cho
A. .

.

.
lần thì thể tích của hình lập phương đó sẽ tăng lên

Lời giải.Chọn D.Ta có thể tích của hình lập phương cạnh

Câu 12:

D.

.

Cho

A.

.

.

D.

.

.
, viết phương trình mặt cầu

có tâm

và bán kính

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải.Chọn A.Mặt cầu

có tâm

và bán kính

có phương trình là

.
Câu 13:

Cho hàm số

A.

có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình

.

B.

Lời giải.Chọn B.Xét phương trình:

.

C.

.

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

. Dựa vào đồ thị hàm số

suy ra số nghiệm của phương trình là 3.

Phương trình
A.
.

D. .

.

Số nghiệm của phương trình

Câu 14:

là

có nghiệm là
B.
.
C.
.
2.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

với đường thẳng

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

Lời giải.Chọn C.Ta có:

.

Câu 15: Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?
A.

.

B.

Lời giải.Chọn B.Mặt khác hàm số
đồng biến trên tập xác định của nó.
Hàm số

Hàm số
định của nó.

C.

.

là hàm số có tập xác định là

có tập xác đinh là

Mặt khác hàm số
xác định của nó.

Câu 16:

.

D.

.

nhưng có cơ số

nên hàm số

và là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

là hàm số có tập xác định là

là hàm số có tập xác định là

nhưng có cơ số

và có cơ số

nên hàm số đồng biến trên tập

nên hàm số nghịch biến trên tập xác

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số có dạng

.

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

.

B.

.

C.

.

Lời giải.Chọn A.Từ đồ thị ta suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Câu 17: Cho hàm số

Cho hàm số

.

.

có bảng biến thiên như sau :

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
A. .
B. .
C. .
Lời giải.Chọn D.Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0.
Phương án nhiều A, nhầm giá trị cực đại của hàm số.
Phương án nhiễu C, nhầm điểm cực đại của hàm số.
Phương án nhiều D, nhầm điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 18:

D.

D.

.

có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng
và
.
3.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

và

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

.

và

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

.

.

Lời giải.Chọn A.Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên các khoảng
Câu 19: Cho hai số phức
và
. Số phức
bằng
A.
.
B.
.
C.
Lời giải.Chọn B.Ta có:
Câu 20:

Trong không gian

vectơ

A.

B.

.

đường thẳng

.

.

C.

.

D.

.

.
, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của

?

A.

.

Lời giải.Chọn C.

B.

.

C.

.

D.

.

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Nguyên hàm của hàm số

.

là

A.

.

C.

B.

.

.

D.

.

Lời giải.Chọn B.

.

Tìm họ nguyên hàm

của hàm số

A.

.

C.

D.

có tọa độ là:

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ

Câu 23:

.

.

Lời giải.Chọn B.Theo định nghĩa ta có

Câu 22:

và

B.
.

.

D.

Lời giải.Chọn A.Ta có
Câu 24: Bảng biến thiên trong hình vẽ là của hàm số nào?

.
.

A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải.Chọn C.Dựa vào bảng biến thiên trên ta có: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng
; tiệm cận ngang là đường thẳng

.Do đó loại A,

4.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

B. Lại có

0394838727

.

Vậy hàm số thỏa mãn đk bài ra là
Câu 25:

có

Trong mặt phẳng tọa độ
A.

.

Lời giải.Chọn C.
Câu 26: Gọi , ,
sau đây đúng?

.

cho số phức
B.

điểm biểu diễn số phức

.

C.

.

Câu 27:

vuông tại

Cho cấp cộng
A. .

, có:

hay

có số hạng đầu
B. .

.

Câu 28: Cho hai hàm số

và

.

.

D.

.

. Công sai của cấp số đã cho bằng
C. .
D. .
.Ta có:

liên tục trên đoạn

bằng
B.

.

.

và

Lời giải.Chọn A.Gọi công sai của cấp số cộng đã cho là

Giá trị của
A.

D.

Vậy điểm biểu diễn số phức có tọa độ là
lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của một hình nón. Khẳng định nào

A.
.
B.
.
C.
Lời giải.Chọn D.Mức độ nhận biết các đại lượng của hình nón cơ bản.

Dễ dàng xét

có tọa độ là

.
sao cho

C.

và

.

Lời giải.Chọn B.Ta có:

D.

.

.

.

Câu 29: Tìm phần ảo của số phức thỏa mãn
A.
B.

C. 9.

D. 13.

Lời giải:Chọn D.Gọi

Vậy phần ảo của số phức
Câu 30:

là

Một cấp số cộng có
A. .

. Giá trị của
B.

.

Lời giải.Chọn D.Ta có:
Khi đó

là
C.

.

.
.Vậy

.

5.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

Câu 31:

0394838727

Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.

.

B.

Lời giải.Chọn D.Ta có

có

. Gọi
bằng

.

D.

ta có

và

.Suy ra góc

có

nên

Suy ra
. Vậy
Câu 33: Cho số phức thỏa mãn
A.

.

Lời giải.Chọn A.
Câu 34:Cho hình chóp
. Khoảng cách từ
.

D.

và

là trung điểm

A.

.

.

C.

suy ra

Trong tam giác

C.

đôi một vuông góc với
là trung điểm của
. Góc giữa hai

A.
B.
Lời giải.Chọn D

Gọi

.

.Vậy

Câu 32: Cho tứ diện
nhau và
đường thẳng
và

là

.

Ta có:

Đặt

trên đoạn

. Xét

là tam giác đều

.
. Tính mô đun của số phức
B.

.

.Do đó
là hình vuông cạnh

có đáy
đến mặt phẳng
B.

C.

.

.
.

, cạnh bên

D.

.

.
vuông góc với đáy và

bằng
C.

6.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

.

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

Lời giải.Chọn B
Ta có

,

vẽ

tại

.

Ta có

Câu 35: Một nhóm có 4 bạn nam và 4 bạn nữ ngồi ngẫu nhiên vào 1 bàn tròn. Tính xác suất để bạn nam
và nữ ngồi xen kẽ nhau.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải.Chọn C.Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ ngồi vào 1 bàn tròn thì số cách xếp là:
Gọi A là biến cố:” Các bạn Nam và Nữ ngồi xen kẽ vào bàn tròn”
Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8.
Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào
3 ghế có .
Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đã xếp ở trên có .
Vậy có
Câu 36:

Tìm phương trình mặt cầu có tâm là điểm

và tiếp xúc với trục

A.

B.

.

D.

.

.

C.

.

Lời giải.Chọn C.Ta có

.Khi đó phương trình mặt cầu có tâm là điểm

và tiếp xúc với trục

là:

Câu 37: Cho hàm số

.

liên tục trên tập

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số
A.

và

.

.

.

.

B.

và

Lời giải.Chọn A.
Ta có bảng xét dấu

và có đạo hàm
.

C.

.

.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng

và

.

7.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

Câu 38:

Đường thẳng

0394838727

đi qua điểm

và vuông góc với hai đường thẳng

và

có phương trình là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải.Chọn A.Đường thẳng

có VTCP

Vì

.Đường thẳng

có VTCP

là một VTCP của đường thẳng

.

.

hay
.
Câu 39: Một thùng rượu có bán kính các đáy là
, thiết diện vuông
góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là
, chiều cao thùng rượu
là
(hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh
thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là
bao nhiêu ?
A.
lít.
B.
lít.
C.
lít.
D.
lít.
Lời giải.Chọn B.Đơn vị tính là
.
Gọi

qua

.

.
.
Câu 40: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên
với mọi

A.

.

B.

.

thỏa mãn

. Tính

và
.

C.

.

Lời giải.Chọn C.

8.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

+) Tính
Đổi cận

. Đặt

+) Tính

. Đặt

.
Câu 41:

Cho ba số thực dương

nào sau đây đúng?
A.
Lời giải.Chọn D.Do

.

khác 1 và thỏa mãn
B.

.

. Khẳng định
C.

.

D.

.

là ba số thực dương khác 1 nên:

.
Câu 42:

Cho khối lăng trụ

, khoảng cách từ

đến đường thẳng

bằng 2, khoảng cách

từ
đến các đường thẳng
và
lần lượt bằng 1 và
, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
( A ' B ' C ') là trung điểm M của B ' C ' và A ' M 2 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
2 3
A. 3 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải.Chọn D

AA1 1; AA2  3; A1 A2 2.
Gọi A1 , A2 lần lượt là hình chiếu của A trên BB ' , CC ' . Theo đề ra
AA12  AA2 2  A1 A2 2
AA1 A2
Do
nên tam giác
vuông tại A .
9.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

AA
AH  1 2 1
A
A
2
Gọi H là trung điểm 1 2 thì
.
2
2
MH  BB '  MH  ( AA1 A2 )  MH  AH
Lại có
suy ra MH  AM  AH  3 .
MH
3
cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) cos( MH , AM ) cos HMA 
 .
AM
2
nên
S AA1 A2
S ABC 
1.
V  AM S ABC 2
cos((
ABC
),
(
AA
A
))
1
2
Suy ra
Thể tích lăng trụ là
.
S
'

S
cos

Nhận xét. Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu
.
Câu 43: Một nhà máy sản xuất các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích V .
Hỏi bán kính của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để chi phí làm thùng là tiết kiệm nhất?
V
V
V
3V
r 3
r 3
r 3
r 3
2 .
 .
4 .
2 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải.Chọn A.Gọi và h ( r , h  0 ) lần lượt là bán kính đáy và
O
r
S

S
tp
r
chiều cao của hình trụ. Ta cần tìm để diện tích toàn phần
của
hình trụ đạt GTNN.
h
V
2
2 
V
2
S

2

rh

2

r

2


r
V  r h  h  2


 r
.
r .
Ta có:
Áp dụng BĐT Cô – si cho các số dương ta có:

O'
.

V2
V
V
V
3 3 2 V 2

r 2  r 3 
 r 3
2
2 r
2
2 .
4
. Dấu bằng xảy ra
V
r 3
2 .
Vậy S đạt GTNN khi
A a;0;0  B 0; b;0  C 0; 0; c 
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
,
,
, trong
 ABC  đi qua điểm I 1; 2;3 sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt
đó a  0 , b  0 , c  0 . Mặt phẳng
giá trị nhỏ nhất. Khi đó các số a , b , c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?
2
A. a  b  c 18 .
B. a  b  c 0 .
C. a  b  c 12 .
D. a  b c  6 .
x y z
1 2 3
I   ABC     1
 ABC  :   1
a b c
a b c
Lời giải.Chọn A.Ta có
. Do
.
 S 2 .3 3

1 2 3
6
1
1    3 3
 abc 162
VOABC  abc 27
a b c
abc
6
Ta có
. Suy ra
.
1 1 2 3
    a 3; b 6; c 9
Dấu bằng xảy ra khi 3 a b c
.

2  i  z z  1  2i  z 1  3i và z1  z2 1 .
z ,z
Câu 45: Giả sử 1 2 là hai nghiệm phức của phương trình
M  2 z1  3 z2
Tính
A. M 19 .
B. M 25 .
C. M 5 .
D. M  19 .
2
2

 2
2 z  1   z  2 i . z  10   2 z  1   z  2   . z 10

Lời giải.Chọn D.Từ giả thiết, ta có
4

2

 5 z  5 z  10 0  z 1

(vì

z 0

Gọi z1  x1  y1i và z2  x2  y2i . Ta có

).
z1  z2 1

2
2
2
2
nên x1  y1  x2  y2 1 .

10.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

Mặt khác,

z1  z2 1

x 
nên 1

M  2 z1  3 z2 

Khi đó
Vậy M  19 .

x2    y1  y2 
2

2

2 x1  3x2   2 y1  3 y2 
2

0394838727

1
x1 x2  y1 y2 
1
2.
. Suy ra
2

 4  x12  y12   9  y12  y22   12  x1 x2  y1 y2 

m    10;10

y

 3cos x  1
6 cos x  m nghịch

Câu 46: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
 
 0; 
biến trên khoảng  3  .
A. 8.
B. 7.
C. 6.
D. 5.
 3t  1
 3m  6
 
1 
t cos x  y  f t  
 f t  
2
x   0; 
t   ;1
6t  m
6t  m  .Xét  3  nên  2  .
Lời giải.Chọn C.Đặt
 
1 
 0; 
 ;1
 f t 
3


t

cos
x
Vì
nghịch biến trên khoảng
nên ycbt
đồng biến trên khoảng  2 

m   2

m   2
  m 1

  6 2    m  3 
 m

  m  6
   1
  6
m    10;10
m    10,  9,  8,  7,  6,  3
Mà
và m nguyên nên:
.
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m tmđb.
 3m  6  0
1 


 f t   0, t   ;1   m  1  
2 
 6   2 ;1




  3 m   2
 m  6


A(1; 2;3), B 3; 4;5 
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  2 z  3 0 hai điểm
. Gọi
MA  2 3
P
  . Giá trị lớn nhất của biểu thức MB là
M là một điểm di động trên
Câu 47:

A.

54  6 78

Lời giải.Chọn A.Ta có

B. 8 2  .
A   P ; AB 2 3; AB 2; 2; 2 

C. 6 3 .
D. 3 3  78

P  là n 1;  2; 2  .
.VTPT của

d
B

A

M

d'

P
AB
AM
BM
AM  AB



Xét tam giác AMB có sin M sin B sin A sin M  sin B .
M B
M B
M B
2sin
cos
cos
MA  2 3 MA  AB sin M  sin B
1
2
2 
2  1 



A
A
A
A
MB
MB
sin A
d , P 
2sin cos
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
Suy ra,




AB.n
1
 M B
sin
d
,
P

cos
AB, n 
.
 





3
3
AB
.
n
A

d
,
P




Dấu '' '' xảy ra khi 
.Ta có





11.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch


 d ,  P  
 d , P  
1
2sin 
 cos 



2 
2  3 3
 d , P  

9  78


 sin 




2
18


 2  d ,  P  


2 d ,  P 
sin

cos

1








2
2 



Ta có 
.
MA  2 3
1

 54  6 78
MB
9  78
18

Vậy

0394838727

.

y  f x 
y  f 'x 
Câu 48: Cho hàm số
xác định trên R và hàm số
có đồ thị như hình bên dưới và
f 'x   0
g  x   f  x   mx  5
x   ;  3, 4   9;  
với mọi
. Đặt
. Có bao nhiêu giá trị dương của
g x 
tham số m để hàm số
có đúng hai điểm cực trị?

A. 4.

B. 7.

C. 8.
D. 9.
g  x   f  x   m g  x  0  f  x   m 0  f  x  m
y g x 
Lời giải.Chọn C.Ta có
;
. Để hàm số
g  x  0
có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm bội lẻ phân biệt
m

5


 10 m  13 .

m  1, 2,3, 4,5,10,11,12

. Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 49: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy £ 4 y - 1 . Giá trị nhỏ nhất của
6 (2 x + y )
x +2 y
P=
+ ln
x
y
là a + ln b . Giá trị của tích a.b là
Khi đó

A. 45 .

B. 81 .

C. 115 .
x 4 1
  2
Lời giải.Chọn B.Từ giả thiết, ta có xy £ 4 y - 1 nên y y y .
x
4 1
t

4
y , ta có 0  t 4 (vì y y 2
Đặt
, y  0 ).
6
6
1
P = 12 + + ln (t + 2) Pt   2 
0
t
t
t 2
Ta có
;
, với mọi 0  t 4 .
27
27
a
Pmin P 4   2  ln 6
2 , b 6 nên a.b 81 .
Do đó
. Suy ra

D. 108 .

T = z +i + z - 2 - i
z - 1 = 2.
Xét các số phức z thỏa
Giá trị lớn nhất của
bằng
A. 8 2.
B. 4.
C. 4 2.
D. 8.
Lời giải.Chọn B
Cách 1:Gọi số phức z x  yi , với x, y  R . gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z.
Câu 50:

z  1  2   x  1  y 2 2
.
2

Ta có

12.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

C  tâm I 1;0  và bán kính R  2.
Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn
A 0;  1 B 2;1
z  i z2 2  i
Gọi
,
lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 1
,
. Dễ thấy A, B thuộc
C  . Vì AB 2 2 2 R nên AB là đường kính của đường tròn C   MA2  MB 2  AB 2 8 .
đường tròn
Từ đó:

2
2
2
2
P  z  i  z  2  i MA  MB  1  1 MA  MB  4.

 MB MA
 MA 2

 2

MA  MB 2 8  MB 2
Dấu " " xảy ra khi 
.
max
P

4.
Vậy
T  z  i  z  2  i   z  1  1  i    z  1  1  i 
Cách 2.
.
T  w  1  i   w  1  i 
w 2
Đặt w  z  1 . Ta có
và
.
2
2
2
w 2  x  y
Đặt w  x  y.i . Khi đó
.
T   x  1   y  1i   x  1   y  1i 1.



 x  1   y  1
2

 12  12   x  1   y  1   x  1   y  1
2

2

2

2

  2 2 x

2

2

 1.

 x  1   y  1
2

 2 y 2  4  4

------------- HẾT -------------

13.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

2

.Vậy max T 4 .

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 12
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2024
PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD 2024
Bài thi môn: TOÁN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1:
Bảng biến thiên trong hình bên dưới của hàm số nào dưới đây?

4

2

3

3

A. y x  2 x  3 .
B. y  x  3 x  2 .
C. y  x  3x  4 .
Câu 2:
Thể tích khối nón có chiều cao h , bán kính đường tròn đáy r là:
4
1
V   r 2h
V   r 2h
2
3
3
A. V  r h .
B.
.
C.
.
A
z
Câu 3: Điểm
trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức .

D.

y

x 1
2x  1 .

1
V   r 2h
2
D.
.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực là 3 và phần ảo là  2 .
B. Phần thực là 3 và phần ảo là  2i .
C. Phần thực là  3 và phần ảo là 2i .
D. Phần thực là  3 và phần ảo là 2 .
Câu 4:
Câu 5:

1
sin 2 x là
Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
2
A. x  cot x  C .
B. x  tan x  C .
C. x  cot x  C .
f x 3x 2  3x
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  
là
x
3
x3 
C
3
x
3
x
ln 3
A. x  3 ln 3  C .
B.
.
C. x  3  C .
f  x  2 x 

Câu 7:
trục Oz là
Câu 8:

Câu 9:

Câu 10:

D.

x3 

ln 3
C
3x
.

z 1  i   3  3i 
Tổng phần thực và phần ảo của số phức
là
A.  3  i .
B. 10
.
C. 4 .
D.  4 .

OM  1;3; 4 
Trong không gian Oxyz , cho
. Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên
2

Câu 6:

2
D. x  tan x  C .

0;3; 4  .
0;0;  4  .
 1;3;0  .
0;0; 4  .
A.
B.
C.
D.
Cho b là số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây sai?
log 5 b5 5log 5 b
log 5 5 b 5log 5 b .
A.
.
B.
 5
log 5   1  log 5 b
log 5 5b  1  log 5 b
b
C.
.
D.
.

 

log3 2 x  1 2
Nghiệm của phương trình
là
7
x
2.
A.
B. x 3 .
Cho hàm số

y  f x 

C. x 5 .

có bảng biến như hình vẽ bên dưới

14.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

D.

x

9
2.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây ?
2; 4  .
 1; 2  .
1; 2  .
1;3 .
A.
B.
C.
D.
Câu 11: Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h là
2
1
1
V  Bh
V  Bh
V  Bh
3
2
3 .
A. V Bh .
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C
P  : x  2 y  z  3 0 . Véc tơ nào dưới đây là một véc
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P  ?
tơ pháp tuyến của mặt phẳng



n 1;  2;1
n 1; 0;  2 
n 1; 2;1
n 1;  2; 0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S  có tâm I (2;1;  2) và đi qua điểm A(1; 2;3) . Phương trình
Câu 13: Trong không gian Oxyz , mặt cầu
của mặt cầu là
2
2
2
2
2
2
A. x  y  z  4 x  2 y  4 z  18 0 .
B. x  y  z  2 x  4 y  6 z  13 0
2
2
2
C. x  y  z  4 x  2 y  4 z  18 0 .

Câu 14:

2
2
2
D. x  y  z  2 x  4 y  6 z  13 0

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng

y log 2 x

0;  ?

y log 3 x

y log 2 x

3
2 .
3 .
A. y log x .
B.
.
C.
D.
Câu 15: Cho khối chóp có diện tích đáy B 6 và chiều cao h 3 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. 6 .
B. 18 .
C. 9 .
D. 36 .
4
2
Câu 16: Đồ thị của hàm số y  x  2 x  1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A.  2 .
B.  3 .
C.  1 .
Câu 17: Hình trụ có bán kính đáy là r , chiều cao h có diện tích xung quanh là
1
2
S   rh
S   rh
3
3
A.
.
B. S rh .
C.
.
1

Câu 18:
Câu 19:
ý. Khi đó:

f  x dx 2

f x 

3

f  x dx 6

D. 2 .

D. S 2 rh .
3

I f  x dx

0
liên tục trên  và có 0
; 1
. Tính
.
B. I 8 .
C. I 12 .
D. I 36 .
f x
Giả sử hàm số   liên tục khoảng K và a, b là hai điểm của K , ngoài ra k là một số thực tùy

Cho hàm số
A. I 4 .

a

a

b

b

b

a

b

a

a

a

 I  f  x  dx 0. II  f  x dx f  x  dx. III  k . f  x dx k f x dx.
Trong ba công thức trên:
I
II
A. Chỉ có   và   sai.
B. Cả ba đều đúng.
II
I
C. Chỉ có   sai.
D. Chỉ có   sai.
Câu 20: Cho hàm số y  f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới.

15.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x 2.

0394838727

B. x  1.

C. x 0.

x 2

D. x 1.

Nghiệm của phương trình 2 32 là
A. x 8 .
B. x 4 .
C. x 7 .
D. x 3 .
u
Câu 22: Cho cấp số cộng  n  với u1 3 và u2 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.  6 .
B. 3 .
C. 12 .
D. 6 .
Câu 23: Số nào trong các số sau lớn hơn 1 :
1
1
log 1 36
log 0,5
log 0,5
log
125
0,2
2.
8.
6
A.
B.
.
C.
.
D.
Câu 21:

y  x 3  x 2 

5

Tìm tập xác định D của hàm số
D  \  0;1
A.
.
B. D  .
D 0;1
D  ;0   1;  
C.
.
D.
.
k
C
Câu 25: Kí hiệu n là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 k n ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
n!
n!
Cnk 
Cnk 
k !n  k !
n  k ! .
A.
.
B.
n!
n!
Cnk 
Cnk 
k !n  k !
k!.
C.
.
D.
Câu 26: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d cho phương trình tham số
 x 1  2t

 y 1  t t  R 
 z 3  5t

d
 . Đường thẳng có một
 vec-tơ chỉ phương là: 

u  2;  1;5 
u 1;1;3
u 2;  1;5 
u 2t ;  t ;5t 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 24:

  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số
Câu 27: Cho hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
yf x

y  f  x

A. 0;2 . B.  2;2 .
C.  ;0 .
D. 2;  .
Câu 28:Cho hình chóp S . ABC có SA BC 2a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AB , và SC , MN a 3 . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và
BC .
A. 60 . B. 120 .
C. 30 .
D. 150 .
2

2

z  2 z.z  z 8

Câu 29: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời
và z  z 2 ?
A. 4
B. 2
C. 1
D. 3
u  u 4; u 3 0 . Giá trị của u10 bằng
Câu 30: Cho cấp số cộng n có 1
A.  14 .
B. 22.
C.  32 .
D. 40.
Câu 31: Có 10 hộp sữa trong đó có 3 hộp hư. Chọn ngẫu nhiên 4 hộp. Xác suất để nhiều nhất 1 hộp hư là
1
1
2
5
A. 180 .
B. 21 .
C. 3 .
D. 21 .
Câu 32:
đúng?

Cho hàm số

y  f x 

f  x   x  2   1
liên tục trên  , có đạo hàm
. Khẳng định nào sau đây
4

16.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số

y  f x 

y  f x 
y  f x 
y  f x 

0394838727

đồng biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

2;  và nghịch biến trên khoảng  ; 2  .

 ;   .

nghịch biến trên khoảng

 ;   .

 ; 2 
2;  
đồng biến trên khoảng 
và nghịch biến trên khoảng 
.
S  có tâm là điểm I 2 ;  2 ;1 và đi qua điểm
Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho hình cầu
A  2 ; 0 ;  1
S  là
. Phương trình của
2
2
2
2
2
2
 x  2    y  2    z  1 2 6 .
 x  2    y  2    z  1 24 .
A.
B.
2
2
2
2
2
2
x  2    y  2    z  1 2 6
x  2    y  2    z  1 24


C.
.
D.
.
A
1;2;1 và
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm
P : x  2 y  z  1 0 là
vuông góc với mặt phẳng
x 1 y  2 z 1
x 2
y
z 2
d:


d:
 
1
2
1 .
1
2
1 .
A.
B.
x 1 y 2 z 1
x 2
y
z 2
d:


d:
 
2
2
1 .
2
4
2 .
C.
D.
9
y x 
x trên đoạn  2; 4 .
Câu 35: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
13
25
m
m
2 .
4 .
A.
B. m 6 .
C. m  6 .
D.

D. Hàm số

2

Câu 36:

Cho

f  x dx 2

1

17
I
2 .
A.

2

và

g  x dx  1

1

. Tính

1

.

11
7
I
I
2 .
2.
B.
C.
D.
Câu 37: Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông tại A , biết SA  (ABC) và AB 2a , AC 3a ,
SA 4a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) .
A.

d

a 43
.
12

I

B.

d

5
2.

2

I   x  2 f  x   3 g ( x)  dx

2a
11

.

C.

d

6a 29
.
29

12a 61
d
.
61
D.

z1
2z
z1
1  1
z z
z 0; z1  z2 0 z1  z2
z2 .Mô đun của số phức z2
Câu 38: Cho hai số phức 1 và 2 thỏa mãn 2
và
bằng
2
2
A. 3 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 3 .
Câu 39: Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 45 cm, diện tích đáy 625

cm 2 . Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ qua
kích thước các mép gấp).
A. Chiều dài 25 cm , chiều rộng 45 cm .
B. Chiều dài 50 cm , chiều rộng 45 cm .
C. Chiều dài 50 cm , chiều rộng 45 cm .
D. Chiều dài 625 cm , chiều rộng 45 cm .
3 2
y

x
H
  là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
Câu 40: Cho
và đường Elip có phương trình

x2
 y 2 1
H  bằng
4
(phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của

17.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

3
2
 3
2  3
4 .
6
A. 4 .
B. 3 .
C.
D.
.
Câu 41: Cho hình lăng trụ ABC .A¢B ¢C ¢ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của
( ABC ) là trung điểm của AB . Mặt bên ( ACC ¢A¢) tạo với mặt phẳng đáy một góc
điểm A¢ lên mặt phẳng
450 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC . A¢B ¢C ¢.

2a 3 3
a3 3
3a 3
.
.
.
3
A.
B. 16
C. 3
Câu 42: Một hình cầu có bán kính 6 dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng
hai mặt phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt
xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ). Tính thể tích V
mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4 dm ..
736
 dm3 
3
A.
.
368
V
 dm3 
3
C.
.

B.

V 288 dm3 

D.

V 192 dm3 

V

.

.

f  x  a ln 2017

Câu 43: Cho a , b là các số thực và
P  f  6log 5 
giá trị của biểu thức
với 0  c 1 .
A. P 4 .
B. P 2 .

a3
.
D. 16





x 2  1  x  bx sin 2018 x  2

. Biết





f 5log c 6 6

, tính

c

D. P 6 .
2mx  4
y
x  2m đồng
Câu 44: Có bao nhiêu số tự nhiên m không vượt quá 2020 và là số chẵn để hàm số
1;  ?
biến trên
A. 1004 .
B. 1001 .
C. 1000 .
D. 1010 .
A 0;  2;  1, B  2;  4;3, C 1;3;  1
Câu 45: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba điểm
và mặt
 

P  : x  y  2 z  3 0 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng P  sao cho MA  MB  2MC đạt giá trị nhỏ
phẳng
nhất.
1 1

M  ; ;  1
M  2;  2; 4 
2 2
.
A.
B.
.

 1 1 
M   ;  ;1
 2 2 .
C.

Câu 46:

C. P  2 .

D.

M 2; 2;  4 

.
1
1
m

i
M
Gọi
là giá trị lớn nhất của
với m là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?
18.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

 2 3
M  ; 
 3 2.
A.

 3 9
 3
 3 2
M  ; 
M   0; 
M  ; 
 2 5.
 5 .
5 3 .
B.
C.
D.
A 3;  1; 2 , B 1;1; 2 , C 1;  1; 4 
C  là giao
Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho các điểm
. Đường tròn
P  : x  y  z  4 0 và mặt cầu S  : x 2  y 2  z 2  4 x  6 z  10 0 . Hỏi có bao nhiêu
tuyến của mặt phăng
C  sao cho T MA  MB  MC đạt giá trị lớn nhất?
điểm M thuộc đường tròn
A. 4 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
3
2
g ( x)  f  f ( x )  m 
Câu 48: Cho hàm số f ( x ) x  3x  1 và
cùng với x  1 , x 1 là hai điểm cực
trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số y  g ( x) . Khi đó số điểm cực trị của hàm y g ( x) là
A. 9 .
B. 11 .
C. 14 .
D. 15 .
iz  2  i 1
z  z 2
z z
Câu 49: Giả sử 1 , 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn
và 1 2
. Giá trị lớn
z  z2
nhất của 1
bằng
A. 4 .
B. 2 3 .
C. 3 .
D. 3 2 .
ln x  ln y ln  x 2  y 
x
,
y
Câu 50: Cho
là số thực dương thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  y
A. P 6 .
B. P  17  3 .
C. P 2 2  3 .
D. P 2  3 2 .
------------- HẾT -------------

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 13
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2024
PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD 2024
Bài thi môn: TOÁN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
y  f x 
Câu 1: Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 ;1
1; 2
A. 
.
B.   .
C.
3
log a b
Câu 2: Với a và b là hai số thực dương tùy ý,
bằng

 

A. log a  3log b .

2;   .

1
log a  log b
B. 3log a  log b .
C. 3
.
19.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

D.

1;3 .

D.

3 log a  log b 

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

0394838727

2

Câu 3: Tính tích phân

I  2 x  1dx
1

.

A. I 3 .

B. I 1 .
2
Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 x 1 là
x3
 x C
A. 3
B. 6x  C
y  f x 
Câu 5: Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.  2 .
B. 2 .

I


6.

C. I 2 .

D.

3
C. x  x  C

3
D. x  C

C. 1 .
A 2; 2; 4 , B  2; 0; 2 

D.  1 .

Câu 6:Mặt cầu nhận AB là một đường kính với
có phương trình là
2
2
2
2
2
x   y  1   z  3  36
x 2   y  1   z  3  6
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
x   y  1   z  3 24
x   y  1   z  3 6
C.
.
D.
.
4
2
Câu 7: Đồ thị của hàm số y  x  3x  5 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. 0
B. 1 .
C.  5 .
D. 5
Câu 8:Cho khối chóp có thể tích V = 10 và chiều cao h = 6 . Diện tích đáy của khối chóp đã cho bằng
A. 30.
B. 10.
C. 15.
D. 5.
2 x1
25 là
Câu 9:Tập nghiệm của bất phương trình 5
1
 1
 1
1




  ; 
  ; 
  ; 
  ; 
2.
2 .
2.
2 .
A. 
B. 
C. 
D. 

Câu 10: Trong không gian O x yz , cho hai điểm A , B. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của
đường thẳng song song với đường thẳng AB?
u2= (1 ;−2 ;−1 ) .
u3= ( 2; 4 ;−2 ).
u 4=(−2 ; 4 ;−2 ) .
u1= (−1;−2 ; 1 ).
A. ⃗
B. ⃗
C. ⃗
D. ⃗
Câu 11: Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là M (1;  2) ?
A. 1  2i .

B. 1  2i .
C.  2  i .
D.  1  2i .
z 2  2i z2  3  3i
z  z
Câu 12: Cho hai số phức 1
,
. Khi đó số phức 1 2 là
A.  1  i .
B.  5  5i .
C.  5i .
D. 5  5i .
a
Câu 13: Cho là số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
5
5
5
1
5
log 5 2 5  2 log 5 a
log 5 2 1  2 log 5 a
log 5 2 1  2 log 5 a
log 5 2 5  log 5 a
a
a
a
a
2
A.
. B.
.C.
.D.
.
Câu 14: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) :  x  3 y  2 z  1 0 . Vectơ nào sau đây là
một vectơ pháp tuyến của ( P) ?
A.


n1  1;3;  2 

Câu 15:
A.  .
Câu 16:

.

B.


n3  1;3;1

.
2
y  x  2 


n2 1;  3;  2 

C.

.

D.


n4  1;3; 2 

Tập xác định của hàm số
là
 \   2
 2;  .
  2;  .
B.
C.
.
D.
Với k , n là hai số nguyên dương tùy ý k n , mệnh đề nào dưới đây đúng?

20.Nếu cần lời giải chi tiết gọi nhé

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch

n!
Ank 
k !n  k !

A.
Câu 17:

0394838727

n!
Ank 
n  k !

Ank 

n!
k! .

.
B.
.
C.
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
4
Bh.
A. 3Bh.
B. Bh.
C. 3

D.

k !n !
Ank 
n  k !

u 
u 3
u
Cho cấp số cộng n có số hạng đầu 1
và công sai d 2 . Tính 5 .
A. 14 .
B. 15 .
C. 12 .
Câu 19: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới?
Câu 18:

3
A. Hàm số y  x  3...