ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 9
Câu 1. Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn?
*Nhận biết: Trong các phương trình sau, những phương trình nào không phải là
phương trình bậc hai một ẩn? Nêu rõ lí do vì sao không phải?
a)2x – x2 = 0;

b) 3x2 + 4 = 0;

c) -5x + 4 = 0;

e) 2x2 – 3y = 0;

f) -x2 = 0;

g) x2 – 5x4 + 5 = 0

d) 18x3 + 4x2 = 0

*Vận dụng: Tìm điều kiện để các phương trình sau là phương trình bậc hai một ẩn?
a) (m – 2)x + x2 – 1 = 0;
b) (m + 1)x2 + 3x – 4 = 0;
c) kx2 – 5x – 17 = 0.
Câu 2. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn:
ax2 + bx + c = 0?
*Vận dụng thấp: Giải các phương trình sau:
a) 3x2 + 5x – 2 = 0;

b) 4x2 + x + 8 = 0;

c) -9x2 + x + 17 = 0;

d) 5x2 + 3x – 1 = 0;

e) 4x2 – 1 = 0;

g) -3x2 + x = 0.

*Vận dụng cao: Tìm điều kiện của m để phương trình:
a) (m – 1)x2 + 4x – 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt
b) mx2 + 6x – 19 = 0 có nghiệm kép
c) 13x2 + 43x – (m – 3) = 0 vô nghiệm.
d) x2 – mx + (m - 1) = 0 có nghiệm.
Câu 3. Viết dạng tổng quát của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? Có mấy
cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? Nêu tên các cách?
Giải các hệ phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Câu 4. Hàm số y = ax2 (a 0) có đồ thị như thế nào? Nêu cách vẽ?
*Bài tập: a) Tìm a biết đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(1;3).

b) Cho hàm số y = f(x) = - 2x2. Tính f(0); f(2); f(-3); f(1)
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x2; y = x2; y = - x2 (mỗi đồ thị một hệ trục khác
nhau)
d) Cho hàm số y = -x2 có đồ thị là (P). Hãy tìm toạ độ giao điểm của (P) với
đường thẳng (d): y = 3x – 4.
e) Tìm m biết đồ thị của hàm số y = 3x2 đi qua điểm M(2m; 9)
f) Tìm m biết đồ thị của hàm số y = - 2x2 đi qua điểm N(9; 2m)
Câu 5. Viết hệ thức Viet của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
(giả sử phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2)?
Bài tập: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm của mỗi
phương trình sau:
a) x2 + 8x – 20 = 0;

b) 4x2 + 8x – 5 = 0;

c) – x2 + 7x + 9 = 0

Câu 6. Hệ thức Viet có những ứng dụng gì? Viết lại từng ứng dụng đó?
Bài tập:
1. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
a) 8 và 12;
b) – 5 và 4;
c) 11 và 28;
2. Nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 3x2 + 4x – 7 = 0;
b) – 2x2 + 3x + 5 = 0;

d)

và c) x2 + 7x – 8 = 0

3. Tìm m để phương trình x2 – x + m – 3 = 0 có:
a) hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 = x1x2
b) hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: (x1 + x2)2 = x1x2
c) hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = x1x2
Câu 7. Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương
trình)? Hãy giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình (hệ phương
trình)
a) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100m2. Tính chiều dài và
chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng là
15m.
b) Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và
chiều rộng cùng tăng thêm 5cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích
bằng 153 cm2. Tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu.
c) Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức
21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản
phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?
d) E4dài hơn kém nhau 4 cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông?

e) Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180 cm2. Tính chiều dài cạnh đáy
thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên 4m và chiều cao tương ứng giảm
đi 1m thì diện tích không đổi.
f) Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong
một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, ngườ đó nghỉ 9 phút. Do đó, để
đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Tính vận tốc
lúc đầu của người đó.
g) Để phục vụ cho Festival Huế 2018, một cơ sở sản xuất nón lá dự kiến làm ra
300 chiếc nón lá trong một thời gian đã định. Do được bổ sung thêm nhân
công nên mỗi ngày cơ sở đó làm ra được nhiều hơn 5 chiếc nón lá so với dự
kiến ban đầu, vì vậy cơ sở sản xuất đã hoàn thành 300 chiếc nón lá sớm hơn
3 ngày so với thời gian đã định. Hỏi theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày cơ sở
đó làm được ra bao nhiêu chiếc nón lá? Biết rằng số chiếc nón lá làm ra mỗi
ngày là bằng nhau và nguyên chiếc.
h) Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được giao làm 600 sản phẩm. Nhờ tăng năng
suất lao động tổ 1 làm vượt mức10%và tổ hai làm vượt mức 20% so với kế
hoạch của mỗi tổ, nên cả hai tổ làm được 685sản phẩm. Tính số sản phẩm
mỗi tổ làm theo kế hoạch.
i) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng thêm chiều dài 3m
và chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều
rộng của mảnh vườn.
Câu 8.
a) Nêu cách giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a

0)

Giải các phương trình sau:
1)
3)
5)
b)

4x4 – 7x2 + 3 = 0;
2) – 2x4 + 3x2 + 5 = 0
x4 – 5x2 – 6 = 0;
4) 2x4 + 5x2 – 7 = 0
x4 – 4x2 + 4 = 0
6) 2x4 + 8x2 + 8 = 0
nêu cách giải phương trình tích A(x).B(x) = 0.

Giải các phương trình sau:
1) (x – 2)(x2 + 3x + 5) = 0;

3) (3x – 4)(x2 – x - 2) = 0

2) (2x2 – 5x + 1)(x2 – 2x + 1) = 0
c) nêu cách giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu:
giải các phương trình sau:
1)

2)

Câu 9. Có những loại góc nào với đường tròn? Vẽ hình minh hoạ và nêu
cách tính số đo của mỗi loại góc đo? (hoàn thành bảng sau)
Tên góc
1.

Hình vẽ

Cách tính số đo góc

2.
3.
….
Điền thích hợp vào chỗ trống trong mỗi câu sau:
a)
b)
c)
d)

Góc ở tâm có số đo …………. số đo của cung bị chắn.
Góc nội tiếp bằng…………..số đo của cung bị chắn.
Góc nội tiếp bằng………………..góc ở tâm cùng chắn cung đó.
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng………….số đo của cung bị
chắn.
e) Góc nội tiếp …….góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một
cung.
Câu 10. a) Thế nào là tứ giác nội tiếp? vẽ hình minh hoạ?
b)Nêu tính chất của tứ giác nội tiếp? Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp?
làm các bài tập sau:
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có các đường cao AK, BM, CL cắt
nhau ở H. Chứng mình rằng:
a) LHKB, MHKC, MHLA là các tứ giác nội tiếp.
b) BLMC, CKLA, AMKB là các tứ giác nội tiếp.
Dạng 2. Có hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C
là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (không đi qua O) với đường tròn.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) Chứng minh 𝐴𝐵2 = 𝐴𝑀. 𝐴𝑁
c) Gọi H là giao điểm của OA và BC, từ O vẽ OI  MN cắt BC tại K. Chứng minh
KM, KN là tiếp tuyến của (O).
d) Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.
Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C (C
không trùng với A, B và CA>CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C
cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc AB(𝐻 ∈ 𝐴𝐵), DO cắt AC tại E.

a) Chứng minh tứ giác ADCO, OHCE nội tiếp.
b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh: 𝐹𝐴. 𝐹𝐵 = 𝐹𝐶2.
c) Chứng minh:
d) BD cắt CH tại M. Chứng minh 𝐸𝑀//𝐴𝐵.
Bài 3. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB.
Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CD ⏊ AB (D  AB), CE ⏊ MA (E  MA), CF ⏊
MB (F  MB).
a) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp.
b) Chứng minh
c) Chứng minh 𝐶𝐷2 = 𝐶𝐸. 𝐶𝐹
d) Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh
IK ⏊ CD.
Dạng 3. Cho tam giác có các đường cao.
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC (𝐴𝐵 < 𝐵𝐶 < 𝐶𝐴) nội tiếp đường tròn (O), các
đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
1. Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính HC.
2. Đường tròn (K) đường kính HC cắt đường tròn (O) ở M (M khác C). BM cắt
đường tròn (K) ở N (N khác M). Chứng minh 𝐵𝐷. 𝐵𝐶 = 𝐵𝑁. 𝐵𝑀
3. Chứng minh 𝐴𝐵// 𝐸𝑁
4. Chứng minh 3 điểm N, D, F thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH nội tiếp đường tròn (O;R)
gọi I và K theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua hai cạnh AB và AC. Chứng
minh:
a) Tứ giác AHBI nội tiếp được đường tròn.
b) Tứ giác AHCK nội tiếp được đường tròn.
c) Ba điểm I, A, K thẳng hàng.
Dạng 4. Cho đường tròn (hoặc nửa đường tròn):
Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối cua tia AB lấy
điểm C. Vẽ cát tuyến CEF (E nằm giữa C và F). Gọi G là giao điểm của BE và
AF. Vẽ GH vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFGH nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh FA là tia phân giác của góc EFH.
c) Chứng minh 𝐶𝐻. 𝐶𝑂 = 𝐶𝐸. 𝐶𝐹.
d) Vẽ CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Chứng minh D, G, H thẳng hàng.
Bài 2. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. C là điểm chính giữa của nửa
đường tròn. Gọi D là trung điểm của BC. Tia AD cắt nửa đường tròn (O) tại F và
cắt tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn ở G. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với
AB tại E và cắt CG ở I.
a) Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh IC = ID.
c) Chứng minh 𝐺𝐹. 𝐺𝐴 = 4𝑅2 .
d) Gọi H là hình chiếu của C trên AF. Chứng minh O, H, I thẳng hàng.
Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB, trên tia AB lấy C nằm ngoài đường
tròn (O), đường thẳng d vuông góc với AB tại C, kẻ cát tuyến CMN (M nằm giữa
C và N), AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác BCFN nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh CM.CN = CA.CB.
c) Chứng minh

.

Câu 10. a)Viết công thức tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn.
b)Viết công thức tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn.
Bài tập: Cho (O; 5cm).
a) Tính độ dài đường tròn. Tính diện tích hình tròn.
b) Trên đường tròn này lấy một cung tròn có số đo 340, hãy tính độ dài cung
tròn này. Tính diện tích hình quạt tròn này.
Câu 11. Các hình không gian
a) Hình trụ: Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ?
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ biết bán kính đáy là R = 7cm
và chiều cao là h = 9cm.
b) Hình nón: Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón?
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón biết bán kính đáy là R =
2cm, đường sinh l = 6cm, chiều cao h = 4cm.